高中数学中的循环结构-高中数学拍题软件
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复数解题规律总结
一.利用复数的代数形式
由复数的代数形式
z?x?yi(x,y?R)
,以代入法解题是最基本而常用的方法. 例1.若复数
z
满足
|z|?z?
10
,则复数
z等于( )
1?2i
A.
?3?4i
B.
?3?4i
C.
3?4i
D.
3?4i
解答:设
z?x?yi(x,y?R)
,则有:
z?x?yi(x,y?R)
代入并且化简得:
x
2
?y
2
-(
x?yi)=
2?4i
由复数相等的充要条件得:
?
?
x
2
?y
2
?x?8
?
解得:
x?3,y?4
,故答案为D.
?
?
y?4
二.利用复数相等的充要条件
在复数集
C?
?
a?bi|a,b?R
?
中,任取两个数
a?bi,
c?di
(
a,b,c,d?R
),
则有
a?bi?c?di
?a?c且b?d
两复数相等的充要条件是解有关
复数题的“万宝囊”,特别是新教材更突出
了以复数相等的充要条件解题.
例2.设存在复数
z
同时满足下列条件:
(1)复数在复平面内对应的点位于第二象限;
(2)
zz?2iz?8?ai(a?R)
求
a
的取值范围.
解答:设
z?x?yi(x?0,y?0)
代入
zz?2iz?8?ai
得
x
2
?y
2
?2y??2xi?8?ai
由复数相等的充要条件得:
?
x
2
?y
2
?2y?8
?
?
2x?a
a
2
由此得实系数方程为:
y?2y??8?0
4
2
方程有正实解(
y?0
)的充要条件得:
.
.
a
2
a
2
??4?4(?8)
?0
①,且
?8?0
②
44
解①得
?6?a?6
,解②得
a??42或a?42
又
x?0
③
由①、②、③可得:
?6?a??42
?
因此,实数
a
的取值范围是
?
?
?6,?42
?
三.利用复数除法法则以及虚数
i
的运算性质
a?bi
1.形如,可以乘以分母的共轭复数,使分母“实数化”;
c?di
2.
i
的乘方规律:
i
2
??1,i
3
??i,
i
4
?1
LL
3.特殊式的化简:
(1?i)
2
?2i,(1?i)
2
??2i
;
例3.(由2005年重庆理2改
).
(
A.
-1
B.-
i
1?i1?i
?i
,
??i
1?i1?i
1?i
2005
= ( )
)
1?i
C.
2
2005
D.-
2
2005
1?i(1?i)
2
?
解答:因为=
i
1?i1
2
?1
2
所以
(
1?i
)
2005
=
i
2006
=(i
2
)
1003
=
(?1)
1003
??1
1?i
故答案A
四.利用共轭复数
复
数
a?bi
与复数
a?bi
(
a,b
是实数)是一对互为共
轭复数.
例4.若
3?2i
是方程
2x
2
?bx?c
?0(b、c?R)
的一个根求
c
的值.
解答:因为
b,c
是实数,所以两根之和是实数,两根之积是实数;
又因为
3?2i
是方程的一个根,因此满足条件的另一个根必定是它的共轭复
c
数<
br>3?2i
,因此,
(3?2i)(3?2i)?
解得
c
=26
2
另解:把
x?3?2i
代入方程得
3b?c?10?(24?2b)i?0
,根据复数的相等
得
3b?c?1
0?0
且
24?2b?0
,解得
c?26
例5.若
z
1
?a?2i
,
z
2
?3?4i
,且
z
1
为纯虚数,则实数a的值为 .
z
2
.
.
解答:
z
1
a?2i
(a?2i)(3?4i)3a?8?(6?4a)i
==
?
22
z
2
3?425
3?4i
因为
8
z
1
为纯虚数,所以
3a?8?0
,得
a?
z
2
3
注:①两共轭复数的积:(
a?bi
)(
a?b
i
)=
a
2
?b
2
②复数
a?bi为纯虚数的充要条件是其实部
a?
0,虚部
b?0
例6.若
z
1
,z
2
?C
,则
z
1
z2
?z
1
z
2
是( )
A.
纯虚数
B.实数 C.虚数 D.不能确定
解答:若一个数的共轭复数是它的本身,则这个数是实数.
由
z
1
z
2
?z
1
z
2
=
z
1
z
2?z
1
z
2
可知
z
1
z
2
?
z
1
z
2
为实数
故答案B
五.利用复数的几何意义
1.利用复数的模
复数
z?a?bi
的模
|z|?a
2
?b
2
(4?3i)
2
(?1?2i)
10
例7.已知
z?
,求
|z|
12
(1?i)
(4
?3i)
2
(?1?2i)
10
|4?3i|
2
g|?1?
2i|
10
解:
|z|
=
|
|
=<
br>1212
(1?i)|1?i|
5
2
?3
5
6065
==
2
6
64
注:如果先化简再求模就会增大计算量.
2.利用复数加法及减法的几何意义
(1)复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则进行运算.
例8.设复数
z
1
,z
2
满足
|z
1
|?|z
2
|?2,|
z
1
?z
2
|?23
,求
|z
1
?z2
|
解:根据题意
画出如图所示的平行四边形
2
2
?2
2
?(23)
2
cos?OBC?
2?2?2
A
ur
z
1
uruur
z
1
?z
2
C
=-
1
2
O
uur
z
2
B
.
.
所以,
cos?AOB?
1
2
因此,
AB
2
?2
2
?2
2
?2?2?2COS?AOB
=4
AB=2
得,
|z
1
?z
2
|
=2
(2)复数减法以及复数模的几何意义
例9.复数
z
的模为1,求
|z?(1?i)|
的最大值和最小值. 解法一:(几何法)由题设
|z|?1
表示了以原点为圆心以一为半径的
圆,|z?(1?i)|
表示了圆上的点到A(1,1)的距离(如图).
由于点A到原点的距离是
2
,
y
A
因此圆上的点到圆心的最大距离
是
2
+1,最小距离是
2
-1.
o
1
x
图1
解题评注:此题如果以代数法,设
z?x?yi
,以二次函数法解就会非常麻烦.
六.利用复数与实数的类比关系
例10(见例9)解法二.不等式法
可以证明不等式:
|
|z
1
|?|z
2
|
|?|
z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|
|
|z|?2
|
?|z?(1?i)|?|z|?2
又:
|z|?1
,
|1?i|?2
所以:
2?1?|z?(1?i)|?2?1
于是:
|z?(1?
i)|
的最大值和最小值分别是
2
+1和
2
-1.
注:此题主要考察了把复数与实数类比得到的不等式的性质.此
解法简捷易懂.
我们看到上面的解题方法互相关联,因此在解题时.要注意灵活解
题,综合运用所学知识.
.