高中数学视频教程学而思-有道高中数学视频教程
高中数学解题方法系列:数列中求通项的10种方法
一、公式法
n
例1 已知数列
{
a
n
}
满足
an?1
?2a
n
?3?2
,
a
1
?2
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
a
n?1
an
3
a
n?1
a
n
3
a
n
,
则,故数列
????{}
是
2
n?1
2
n
22n?1
2
n
22
n
a
n
3
a
3
2
以
1
为首项,以
为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得
,
??
1
?1?(n?1)
n
1
2
222
2
31
所以数列
{
a
n
}
的通项
公式为
a
n
?(n?)2
n
。
22
n
解
:
a
n?1
?2a
n
?3?2
两边除以
2
n?1
,得
二、累加法
a
n
?a
n?1
?f
(
n
)
<
br>,a
1
?1
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
例2 已知数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2n?1
解:由
a
n?1
?a
n
?2n?1
得
a
n?1
?a
n
?2n?1
则
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n
?1
?a
n?2
)?
L
?(a
3
?a
2<
br>)?(a
2
?a
1
)?a
1
?[2(n?1)?1]
?[2(n?2)?1]?
L
?(2?2?1)?(2?1?1)?1
?2[(n?1
)?(n?2)?
L
?2?1]?(n?1)?1
(n?1)n
?
2?(n?1)?1
2
?(n?1)(n?1)?1
?n
2
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
?
n
。
n
例3已知数列
{
a
n
}
满足a
n?1
?3a
n
?2?3?1,a
1
?3
,
求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
解:
a
n?1
?3a
n
?2?3?1
两边除以
3
n?1
,
得
a
n?1
a
n
21
,
???
3
n?1
3
n
33
n?1
则
a
n?1
a<
br>n
21
?
n
??
n?1
n?1
3333
三、累乘法
a
n
?f
(
n
)
a
n?1
n
例4 已知数列
{
a
n
}<
br>满足
a
n?1
?2(n?1)5?a
n
,a
1
?3
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
解:因为
a
n?1
?2(n?1)5?a
n
,a
1
?3
,所以
a
n
?0
,则
a
n?1
?2(n?1)5
n
,故
a
n
a
n
?
a
n
a
n?1
a
a
??
L
?
3?
2
?a
1
a
n?1
a
n?2
a2
a
1
?[2(n?1?1)5
n?1
][2(n?2?1)5
n?2
]?
L
?[2(2?1)?5
2
][2(1?1)?
5
1
]?3
?2
n?1
[n(n?1)?
L?3?2]?5
(n?1)?(n?2)?
L
?2?1
?3
?3
?2
n?1
n(n?1)
2
?5?n!
n?1
所以数列{
a
n
}
的通项公式为
a
n
?3?2?5n(n?1)
2
?n!.
,a
n
?a
1?2a
2
?3a
3
?L?(n?1)a
n?1
(n?2
)
,求
{a
n
}
的通
例5已知数列
{
a<
br>n
}
满足
a
1
?1
项公式。
解:因为a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
?L?
(n?1)a
n?1
(n?2)
所以
a
n?1
?a
1
?2a
2
?3a
3
?L?(n?1)a
n?
1
?na
n
用②式-①式得
a
n?1
?an
?na
n
.
则
a
n?1
?(n?1)a
n
(n?2)
②
①
故
a
n?1
?n?1(n?2)
a
n
四、待定系数法(重点)
n
例6 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3?
5,a
1
?6
,求数列
?
a
n
?
的通项公
式。
解:设
a
n?1
?x?5
n?1
?2(a
n
?x?5
n
)
④
nnn?1n
将
a
n?1
?2a
n
?3?5
代入④式,得
2a
n
?3
?5?x?5?2a
n
?2x?5
,等式两边消去
2a
n
,
nn?1nn
得
3?5?x?5?2x?5
,两边除以
5
,
得
3?5x?2x,则x??1,
代入④式得
a
n?1
?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)
n
例7
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?3a<
br>n
?5?2?4,a
1
?1
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
解:设
a
n?1
?x?2
n?1
?y?3(a
n
?x?2
n
?y)
⑥
n
将
a
n?1
?3a
n
?5?2?4
代入⑥式,得
3a
n
?5?2
n
?4?x?2
n?1
?y?3(
a
n
?x?2
n
?y)
整理得
(5
?<
br>2
x
)
?
2
?
4
?y?
3
x?
2
?
3
y
。
nn
令
?
?<
br>5?2x?3x
?
x?5
n?1n
,则
?
,代入⑥式
得
a
n?1
?5?2?2?3(a
n
?5?2?2)
?
4?y?3y
?
y?2
⑦
2
例8 已知数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5,a
1
?1
,求数列
{a
n
}<
br>的通项公式。
22
解:设
a
n?1
?x(n?1)?y(n
?1)?z?2(a
n
?xn?yn?z)
⑧
2
将
a
n?1
?2a
n
?3n?4n?5
代入⑧式,得
2a<
br>n
?3n
2
?4n?5?x(n?1)
2
?y(n?1)?z
?2(a
n
?xn
2
?yn?z)
,则
2a
n<
br>?(3?x)n
2
?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2a
n
?2xn
2
?2yn?2z
等式两边消去
2
a
n
,得
(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z,
22
?
3?x?2x
?
x?3
??
解方程
组
?
2x?y?4?2y
,则
?
y?10
,代入⑧式,得
?
x?y?z?5?2z
?
z?18
??
a
n?1
?3(n?1)
2
?10(n?1)?18?2(a
n
?3n
2
?10n?18)
⑨
五、对数变换法
n5
例9 已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?2?3?a
n
,
a
1
?7
,求数列
{a
n
}
的通项公式。
n5n5
解:因为
a
n?1
?2?3?a<
br>n
,a
1
?7
,所以
a
n
?0,a
n?1
?0
。在
a
n?1
?2?3?a
n
式两边取
常用对数得
lga
n?1
?5lga
n
?nlg3?lg2
⑩
设
lga
n?1
?x(n?1)?y?5(
lga
n
?xn?y)
六、迭代法
11
○
3(n?1)2
例10 已知数列
{
a
n
}<
br>满足
a
n?1
?a
n
,a
1
?5
,
求数列
{a
n
}
的通项公式。
n
3(n?1)23n?2
解:因为
a
n?1
?a
n
,所以
a
n?a
n?1
nn?1
3(n?1)?2
?[a
n
]3n?2
??
?2
n?2n?1
七、数学归纳法
例11 已知
a
n?1
?a
n
?
呢?)
解:由
a
n?1
?a
n
?
8(n?1)8
,a?<
br>,求数列
{a
n
}
的通项公式。(其他方法
1
(2n
?1)
2
(2n?3)
2
9
8(n?1)
8
及,得
a?
1
(2n?1)
2
(2n?3)
2
9
8(1?1)88?224
???
22
(2?1?1)(2?1?3)99
?2525
8(2?1)248?348
a
3
?a
2
???
?
22
(2?2?1)(2?2?3)2525?4949
8(3?1)4
88?480
a
4
?a
3
????
(2?3?1)
2
(2?3?3)
2
4949?8181
a
2
?a
1
?
(2n?1)
2
?1
由此可猜测
a
n
?
,往下用数学归纳法证明这个结论。
(2n?1)
2
(2?1?1)2
?18
?
,所以等式成立。 (1)当
n?1
时,
a
1
?
2
(2?1?1)9
(2k?1)
2
?1(2)假设当
n?k
时等式成立,即
a
k
?
,则当n?k?1
时,
(2k?1)
2
8(k?1)
(2
k?1)
2
(2k?3)
2
a
k?1
?a
k
?
(2k?1)
2
?18(k?1)
??
(2k?
1)
2
(2k?1)
2
(2k?3)
2
[(2k?1)2
?1](2k?3)
2
?8(k?1)
?
(2k?1)
2
(2k?3)
2
(2k?1)
2
(2k?3)
2
?(2k?3)
2
?8(k?1)
?
(2k?1)
2
(2
k?3)
2
?
(2k?1)(2k?3)?(2k?1)
(2k?1)
2
(2k?3)
2
222
(2k?3)
2
?1
?
(2k?3)
2
[2(k?1)?1]
2
?1
?
[2(k?1)?1]
2
由此可知,当
n?k?1
时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何
n?N
*
都成立。
八、换元法
例12 已知数列
{
a
n
}
满足a
n?1
?
解:令
b
n
?
1
?
24
a
n
,则
a
n
?
故
a
n?
1
?
1
求数列
{a
n
}
的通项公式。
(
1?4a
n
?1?24a
n
),a
1
?1
,
16
1
2
(b
n
?1)
24
1
2
1
(b
n?1
?1)
,代入
a
n?1
?(1?4a
n
?1?24a
n
)
得
2416
1
2
11
2
(b
n?1
?1)?[1?4(b
n?1)?b
n
]
241624
22
即
4b<
br>n?1
?(b
n
?3)
因为
b
n
?
1
?
24
a
n
?
0
,故
bn?1
?1?24a
n?1
?0
则
2b
n?
1
?b
n
?3
,即
b
n?1
?
九、不动点
法
例13 已知数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?
131
b
n
?
,可化为
b
n?1
?3?(b
n
?3)
,
222
21a
n
?24
,a
1
?4
,求数列
{a
n
}
的通
项公式。
4a
n
?1
解:令
x?
21x?2421x?2
4
2
,得
4x?20x?24?0
,则
x
1
?2,
x
2
?3
是函数
f(x)?
的
4x?14x?1
两个不动点。因为
21a
n
?24
?2
a
n ?1
?24a
n
?121a
n
?24?2(4a
n
?1)13a
n
?26
13
a
n
?2
????
a
n?1
?3
21a
n
?24
?3
21a
n
?24?3(4a
n
?1)9a
n
?279an
?3
4a
n
?1
十、倒数法
a
1
?1,a
n?1
?
2a
n
a?2
,求
n
两 边同时倒数
a
n
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