差分方程高中数学-高中数学满分是一种怎样的体验
高考数学基础知识辅导
三角恒等式
y?asin
?
x?bcos
?
x?
三角恒等式
y?asin
?
x?bcos
?
x?
a
2
?b
2
sin
?
?
x?
?
?<
br>的应用
王远征 深圳市蛇口中学(518067)
a
2
?b2
sin
?
?
x?
?
?
是一个重要的恒等式,
在
高考和中学数学竞赛试题中频繁出现。它与求三角函数的周期、最值密切关。本文介绍该恒
等
式在解答这类问题中的应用,以及将非标准式转化成
y?a
2
?b
2
sin(
?
x?
?
)
的几种转
化途径。
例1 。
(2003年6月全国高考数学(文史类)试题20,(理工农医类)试题4)已知函
数
f?
x
?
?2sinx
?
sinx?cosx
?
。
(Ⅰ)求函数
f
?
x
?
的最小正周期和最大值; (Ⅱ)在给定的直角坐标系中,画出函数
y?f
?
x
?
在的区间
?
?
解:函数
f
?
x
?
?2sinx?
sinx?cosx
?
2
=
2sinx?2sinxcosx
?
??
?
,
?
上的图像;
?
22
?
=
1?cos2x?sin2x
=1?2
?
sinxcos
?
?
?
4
?cosx
sin
?
?
?
4
?
=
1?
?<
br>??
2sin
?
x?
?
4
??
所
以
f
?
x
?
?2sinx
?
sinx?cosx<
br>?
的最小正周期是
2
?
,最大值
1?2
(Ⅱ)略。
有兴趣的读者不妨用此方法解答如下试题:
(1991年全国高考题)
求函数
y?sinx?2sinxcosx?3cosx
的最小值,并写出使
函数y
取最小值的
x
的集合。(答案:
y
min
?
2?2
,
?
x|x?k
?
?
22
?
?3
?
?
?
)
8
?
例2
。(1995年全国高考题)函数
y?4sin(3x?
( )
?
4<
br>)?3cos(3x?
?
4
)
的最小正周期为
2
?<
br>?
; (
D),
。
33
?
3
解:原函数可
化为
y?5sin(3x??
?
)
其中
?
?arctan
44
2
?
T?
选(C)
3
(
A),6
?
;
(
B),2
?
; (
C),
评注:一般地,形如
y?as
in
?
x?bcos
?
x?a
2
?b
2
s
in(
?
x?
?
)
,其中
?
?arctan
a
。
b
①最小正周期为:
T?
2
?
?
;
22
②当
x?R
时,
y
min
??a?b,y
max<
br>?a
2
?b
2
;
一般地,将非标准的三角函数式转化成y?a
2
?b
2
sin(
?
x?
?
)
的形式的途径有如下
几种方式:和差化积;积化和差;运用二倍角公式将函数式中的二次降为一
次。
例3.函数
f(x)?sin(
?
3
?2x)?sin2x
的最小正周期为( )
(A),
?
2
(B),
?
(C),2
?
(D),4
?
解:和差化积得:
y?2sin
?
6
cos(
?
6
?2x)?cos(2x?
?
6
)
T?
2
?
?
?
选(B )
2
3x
?
3x5
?
?)cos(?)
的最小正周期为( )
2626
例4.函数
f(x)?sin(
解:积化和差得:
f(x
)?
?
11
?
?
2
?
?
2
?sin3x??sin(?
?
)?sin(3x?)
??
?<
br>22
?
33
?
?
?
?
2
?
3
T?
例5.函数
f(x)?cos
2
?
x??
?
?
?
2
?
?sin(x?)?1
是(
)
4
?
4
?
(A)。周期为
?
的
偶函数; (B)。 周期为
?
的奇函数;
(C)。周期为 2
?
的偶函数; (D)。 周期为
2
?
的奇函数;
解:运用三角函数的二倍角公式,将函数式中的二次降为一次,从而
将原三角函数转化
为标准的三角函数式:
?
?
?
?
??
??
?
?
???
y?sin
2
?
?
?
x?
?
?
?sin
2
(x?)?1?2sin<
br>2
?
x?
?
?1?cos
?
2x?
?
??sin2x
4
?
?
44
?
2
???
?
2
?
所以 T=
?
是奇函数 , 选
(B)
例6.(1992年全国高考试题)函数
y?sinxcosx?3cos
2
x?
( )
3
的最小正周期为
2
A,
?
;
B,2
?
;
C,
解:
y?
?
4
;
D,
?
2
1313
?
sin2x?2cos2
?1?sin2x?cos2x?sin(2x?)
22223
??
所以 T=
?
选(A)
三角函
数式的给出方式可以有多种形式,但通过上述介绍的三种转化途径,总可以将非
标准式转化为标准形式<
br>y?a
2
?b
2
sin(
?
x?
?
)
,从而使问题获解。因此,恒等变形是解
题的关键。
王远征E-MAIL:wyzchg@
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