高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模问题导学案北师大版必修1

4.2 实际问题的函数建模
问题导学
一、二次函数模型的应用
活动与探究1
某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部 租出．在
此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元．设每套设备实际月租金为
x
元(
x
≥270元)，月收 益为
y
元(总收益＝设备
租金收入－未租出设备费用)．
(1)求
y
与
x
之间的函数关系式；
(2)当
x
为何值时，月收益最大？最大值是多少？
迁移与应用
某旅游公司的最大接待量为1 000人，为保证公司正常运作，实际的接待量
x
要小于1
000，留出适当的空闲 量(如：当接待量为800人时，则空闲量为200人)，空闲量与最大接
待量的比值叫作空闲率．已知 该公司4月份接待游客的月增加量
y
(人)和实际接待量
x
(人)
与 空闲率的乘积成正比．(设比例系数
k
＞0)
(1)写出
y
关于
x
的函数关系式，并指出定义域；
1
(2)当
k
＝时，求4月份游客日增加量的最大值．
10

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题列出二次函数解析 式后，
通常可利用配方法求出其最值，但应注意函数自变量的取值范围，即应在函数定义域的前提
下求最值．
二、分段函数模型
活动与探究2
某医药研究所开发一种新药，如果 成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血
液中的含药量
y
(毫克)与时间< br>t
(小时)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出服药后
y< br>与
t
之间的函数关系式
y
＝
f
(
t
)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
迁移与应用
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100
元，已知总收益满足函数：
1
??
400
x
－
x
2
，0≤
x
≤400 ，
2
R
(
x
)＝
?
?
?
80 000，
x
>400，

其中
x
是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数
f
(
x
)．
(2)当月 产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利

润)

分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区
间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．需注意分段函数的最值，是各区间上解析式所得
最值的最大 者或最小者．
三、指数函数模型的应用
活动与探究3
有一种放射性元素，因放出 射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同．若
该元素最初的质量为50 g，经过一年后质量变为40 g.
(1)设
x
(
x
≥0)年后， 这种放射性元素的质量为
y
g，写出
y
关于
x
的表达式．
(2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到0.1年，参考数
据 ：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
迁移与应用
某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%.
(1)写出水中杂质含量
y
与过滤的次数
x
之间的函数关系式；
(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？(参考数据：lg 2＝0.301
0)

实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数 函数模型
来表示，在建立函数模型时，注意用列举、归纳等方法来探求内在的规律．
四、对数函数模型的应用
活动与探究4
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的
1
x
游速可以表示为函数
y
＝log
3
，单位是ms，其中
x
表示鲑鱼的耗氧量的单位数．
2100
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
(3)若鲑鱼
A
的游速大于鲑 鱼
B
的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．
迁移与应用
燕 子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度
可以表示为函数v
＝5log
2
，单位是ms，其中
Q
表示燕子的耗氧量．
10
(1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

有关对数函数 的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中
的参数，或给出具体情境，从中 提炼出数据，代入关系式求值，然后根据所求值回答其实际
意义．
当堂检测
1．一 辆汽车的行驶路程
s
关于时间
t
变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数 模
型是( )．
Q

A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
2．某研究小组在一项 实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函
数中，最能近似刻画
y
与
t
之间关系的是( )．

A．
y
＝2 B．
y
＝2
t

3
C．
y
＝
t
D．
y
＝log
2
t

3．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
t
2
x
y
－2.0

0.24

－1.0

0.51

0

1

1.00

2.02

2.00

3.98

3.00
8.02
则
x
，
y
的函数关系最接近(其中
a< br>，
b
为待定系数)函数( )．
x
A．
y
＝
a
＋
bx
B．
y
＝
b

C．
y
＝
ax
＋
b
D．
y
＝
4．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5 %，如果按此
速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为
m
，则从2000年起， 经过
x
年后，北冰洋冬季
冰雪覆盖面积
y
与
x
的函 数关系式是( )．
A．
y
＝
0.95
·
m

B．
y
＝(1－
0.05
)·
m

50－
x
C．
y
＝0.95·
m

50－
x
D．
y
＝(1－0.05)·
m

5．长为3，宽为2的矩形，当长增加
x
，宽减少时，面积达到最大，此时
x
的值为______．
2

提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精< br>华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。


x
50
x
50
2
b
x
x

答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．
f
(
a
)·
f
(
b
)＜0 中点 小区间
2．反号 中点 精度 任意一个数
2
预习交流1 提示：利用二分 法求得的零点也可能是准确值，例如
f
(
x
)＝
x
－1在[ 0,2]
上的零点；利用二分法求方程在[
a
，
b
]内的近似解时， 如果方程的根有多个，那么一次只能
求得其中的一个．
预习交流2 提示：(1)要看清题目要求的精度，它决定着二分法步骤的结束．
(2)初始区间的选定一般在两个 整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数
却相差较大．
(3)用二分法求出的零 点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零
点，必须满足在区间[
a
，
b
]上连续不断，且
f
(
a
)·
f
(
b
)＜0这样条件的函数才能用二分法求
得零点的近似值．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 (1)B (2)1.437 5 解析：(1)从图像上可以看出B中的函数值在零点
两侧都小于0，所以不能用二分法求函数的零点．
(2)由于
f
(1.25)·
f
(1.5)＜0，所以近似解位于区 间[1.25,1.5]，又
f
(1.375)·
f
(1.5)
1. 375＋1.5
＜0，所以近似解位于区间[1.375,1.5]，因此下一次计算应取
m< br>＝＝1.437 5.
2
迁移与应用 (1)B (2)A 解析：(2)由于
f
(－2)＝(－2)＋5＝－3＜0，
f
(1)＝1＋5
＝6＞0，f
(－2)·
f
(1)＜0，所以初始区间可取[－2,1]．
－
x
活动与探究2 思路分析：先确定
f
(
x
)＝lg
x
－2＋1的零点所在的大致区间，再用
二分法求解．
－
x
解：令
f
(
x
)＝lg
x
－2＋1，函数
f
(
x
)的定义域为(0，＋∞)． < br>因为函数
f
(
x
)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以
f
(
x
)至多有一个零点．
又因为
f
(1)＝0.5＞ 0，
f
(0.1)≈－0.933＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一实数解．
使用二分法求解，如下表：
次数

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

左端点

0.1

0.1

0.325

0.437 5

0.493 75

左端点函数值

－0.933 033

－0.933 033

－0.286 415

－0.097 435

－0.016 670

右端点

1

0.55

0.55

0.55

0.55

右端点函数值
0.5
0.057 343
0.057 343
0.057 343
0.057 343
33
至此，得到区间[0.493 75,0.55]，其长度0.55－0.493 75＝0.056 25＜0.1，由于要
求的精度 为0.1，则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解，不妨取0.5作为方程的近
似解．
迁移与应用解：用二分法逐次计算，列表如下：
次数

第1次

第2次

左端点

1

1.25

左端点函数值

－1

－0.296 875

右端点

1.5

1.5

右端点函数值
0.875
0.875

第3次

第4次

1.25

1.312 5

－0.296 875

－0.051 514

1.375

1.375

0.224 609
0.224 609
由于区间[1.312 5,1.375]的长度1.375－1.312 5＝0.062 5＜0.1，所以当精度为0.1
时，该区间内的每一个数都是函数的近似零点，不妨取1.3作为函数
f
(
x
)在[1,1.5]内的近
似零点．
【当堂检测】
1．C 2．B
1＋23
3．取区间[1,2]的中点
c
＝＝.
22
4．[2,2.5] 解析：令
f
(
x
)＝
x
－2
x
－5，
f
(2)＝－1＜0，
f
(2.5) ＝2.5－10＞0，所以
有根区间是[2,2.5]．
5．2.53 解析：由于区间[2.531 25,2.539 062 5]的长度为2.539 062 5－2.531 25
＝0.007 812 5＜0.01，所以精度为0.01时，方程的一个正的近似解是2.53.
§2 实际问题的函数建模
课前预习导学
【预习导引】
1．函数
2．性质 整体特征 函数表达式 实验 数据 拟合
3．(1)方法 知识
预习交流 提示：(1) 直线模型：一次函数模型
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)，其图像增长特点是直
线式上升(
x
的系数
k
＞0)，通过 图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型
y
＝
kx
(
k
＞
0)．
33
k
x
x
(3)指数函数模型：
y
＝
a
·
b
＋
c
(
b
＞0，且b
≠1，
a
≠0)，其增长特点是随着自变量的增
大，函数值增大的速度 越来越快(底数
b
＞1，
a
＞0)，常形象地称为指数爆炸．
(4 )对数函数模型：
y
＝
m
log
a
x
＋
n
(
a
＞0，
a
≠1，
m
≠0)，其增长特点是随着 自变量的增
大，函数值增大越来越慢(底数
a
＞1，
m
＞0)． < br>n
2
(5)幂函数模型：
y
＝
a
·
x
＋
b
(
a
≠0)，其中最常见的是二次函数模型：
y
＝< br>ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)，其特点是随着 自变量的增大，函数值先减小后增大(
a
＞0)．
(2)反比例函数模型：
y
＝(
k
＞0)型，其增长特点是
y
随
x
的增大而 减小．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分
析变量
x
的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)利用总收益＝设备租金收入－未租出设备费用列出函数
关系式；
(2)转化为求相应二次函数的最大值．
x
－270
解：(1)设每套设备 实际月租金为
x
元(
x
≥270元)，则未租出的设备为套，未租
1 0
?
x
－270
×20
?
元；租出的设备为
?40－
x
－270
?
套，月租金总额为出的设备费用为
???< br>10
?
?
10
???
??
40－
x
－270
?
x
?
元．
???
10
?
?? ??
x
－270
?
x
－270
?
所以
y< br>＝
?
40－
x
－×20
10
?
10
??

＝－0.1
x
＋65
x
＋540.
22
(2)由(1)得
y
＝－0.1
x
＋65
x
＋ 540＝－0.1(
x
－325)＋11 102.5.所以当
x
＝325时，
y
取最大值为11 102.5，
即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元．
1 000 －
x
迁移与应用解：(1)由题意知，当实际接待量为
x
人时，空闲率为.故
y
关于
x
1 000
1 000－
x
的函数关系式 为
y
＝
kx
·(
k
＞0)，函数的定义域为0＜
x
＜1 000.
1 000
111 000－
x
(2)∵当
k
＝时，
y
＝
x
·
10101 000
1
2
＝(－
x
＋1 000
x
)
10 000
1
2
＝[－(
x
－500)＋250 000]
10 000
1
2
＝－(
x
－500)＋25，
10 000
∴当
x
＝500时，
y
max
＝25.
∴4月份游客日增加量的最大值为25人．
活动与探究2 思路分析：(1)由于在
t
∈[0,1]，
t
∈(1，＋∞)上的函数模型已知，只
须用待定系数法求 出相应的
k
和
a
的值，即可用分段函数写出
y
＝
f
(
t
)．
(2)令
f
(
t
)≥0.25 ，解出
t
的范围，进而确定治疗疾病的有效时间．
解：(1)由函数图像可知，当< br>t
∈[0,1]时，函数的解析式为
y
＝
kt
(
k< br>≠0)，
将
M
(1,4)代入得
k
＝4，所以
y< br>＝4
t
.
?
1
?
t
－
a
又当
t
∈(1，＋∞)时，函数的解析式为
y
＝
??
， < br>?
2
?
?
1
?
t
－3
将点(3,1 )代入得
a
＝3.所以
y
＝
??
.
?
2
?
4
t
，0≤
t
≤1，
?
?
综上 ，
y
＝
f
(
t
)＝
?
?
1
?
t
－3
??
，
t
>1.
?
?
?
2
?
2


1
(2)当0≤
t
≤1时，由
f
(
t
)＝4
t
≥0.25，得≤
t< br>≤1；
16
?
1
?
t
－3
当
t< br>＞1时，由
f
(
t
)＝
??
≥0.25，得1＜t
≤5，
?
2
?
1
因此≤
t
≤5.
16
179
所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝(个)小时．
1616
迁移与应用解：(1)每月产量为
x
台，
则总成本为20 000＋100
x
，从而
1
?
?
－
x
2
＋300
x
－20 000，0≤
x
≤400，
f
(
x
)＝
?
2
?
?
60 000－100
x
，
x
>400.


1
2
(2)当0≤
x
≤400时，
f
(
x
)＝－(< br>x
－300)＋25 000，
2
所以当
x
＝300时，有最大值25 000；

当
x
＞400时，
f
(
x
)＝60 000－100
x
是减少的，
f
(
x
)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000，
所以当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．
活动与探究3 思路分析：本题属于降低率问题，可建立指数函数模型解决．
50－40
解：(1)由题意知，每经过一年该放射性元素衰减的百分率为＝20%，
50
所以
y
＝50(1－20%)，即
y
＝50×0.8(
x
≥0)．
x
(2)由题意知50×0.8＝25，
x
即0.8＝0.5.
x
则lg 0.8＝lg 0.5，
所以
x
lg 0.8＝lg 0.5，
lg 0.5－lg 2－0.301 0
即
x
＝＝≈≈3.1.
lg 0.83lg 2－10.903 0－1
故约经过3.1年，这种放射性元素的质量变为原来的一半．
迁移与应用解：(1)设刚开始水中杂质含量为1，
第1次过滤后，
y
＝1－20%；
2
第2次过滤后，
y
＝(1－20%)(1－20%)＝(1－20%)；
23
第3次过滤后，
y
＝(1－20%)(1－20%)＝(1－20%)；
……
x
第
x
次过滤后，
y
＝(1－20%).
xx
所以
y
＝(1－20%)＝0.8(
x
≥1，
x
∈N)．
x
(2)由(1)得0.8＜5%，
lg 0.05－lg 20lg 2＋1
所以
x
＞log
0.8
0.05＝＝＝≈13.4.
lg 0.83lg 2－11－3lg 2
故至少需要过滤14次．
活动与探究4 思路分析：(1)将
x
＝8 100代入函数关系式即可；(2)静止即游速为零；
( 3)由鲑鱼
A
的游速大于鲑鱼
B
的游速，可列出不等式，解该不等式即可．
11
解：(1)将
x
＝8 100代入函数关系式，得
y
＝ log
3
81＝×4＝2，所以一条鲑鱼的耗氧
22
量是8 100个单位时，它的游速是2 ms.
1
xx
(2)令
y
＝0， 得log
3
＝0，即＝1，则
x
＝100，
2100100
所以一条鲑鱼静止时耗氧量为100个单位．
1
x
A
1
x
B
(3)由
y
A
＞
y
B< br>，得log
3
＞log
3
，即log
3
x
A
＞log
3
x
B
，
21002100
则
x
A
＞
x
B
，所以鲑鱼
A
的耗氧量较大．
迁移与应用解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度
v
＝0，
可得0＝5log
2
，解得
Q
＝10，
10
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量
Q
＝80代入所给公式，得
80
v
＝5l og
2
＝5log
2
8＝15(ms)，
10
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 ms.
【当堂检测】
1．A 解析：由图像是一条射线知其所对应的函数模型是一次函数模型．
xx
Q

2．D
3．B 解析：散点图如图所示：

由散点图可知，此函数图像不是直线，排除A；此函数图像是上升的，是增函数，排除
C，D， 故选B.
50
4．A 解析：设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的
q
%，则(
q
%)＝0.95，∴
q
%＝
0.95
，
即
x
年后湖水量为
y
＝
0.95
·
m
.
x
?
1
x
2
x
?
5．解析：由题意知面积
S
＝(3＋
x
)
?
2－
?
＝－＋＋6，
222
?
2
?
1
2
1
当
x
＝－＝时，面积
S
最大．
?
1
?
2
2×
?
－
?
?
2
?

x
50
1
50