高中数学导数部分复习专题及详解

专题一
导数及其应用


§导数及其运算
一、知识导学
1.瞬时变化率：设函数
y?f(x)
在
x
0
附近有定义，当自变量在
x?x
0
附近改变量为< br>?x
时，函数值相应地
改变
?y?f(x
0
??x)?f(x )
，如果当
?x
趋近于0时，平均变化率
?y
f(x
0??x)?f(x
0
)
趋近于一个
?
?x?x
常数c（ 也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c
称为函 数
f(x)
在点
x
0
的瞬时变化率。
2.导数：当
?x
趋近于零时，
f(x
0
??x)?f(x
0
)
趋近于常数c。可用符号“
?
”记作：当
?x?0
时，
?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
f(x
0
??x) ?f(x
0
)
?c
或记作
lim
。函数在
x
0
的
?c
，符号“
?
”读作“趋近于”
?x?0
?x
?x
瞬时变化率，通常称作
f(x)
在
x?x
0
处的导数，并记作
f
?
(x
0
)
。
3.导函数： 如果
f(x)
在开区间
(a,b)
内每一点
x
都是可导的， 则称
f(x)
在区间
(a,b)
可导。这样，对开区
间
(a ,b)
内每个值
x
，都对应一个确定的导数
f
?
(x)。于是，在区间
(a,b)
内，
f
?
(x)
构成一个新 的函数，
我们把这个函数称为函数
y?f(x)
的导函数。记为
f
?
(x)
或
y
?
（或
y
?
。
x）
4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设
f(x)
，g(x)
是可导的，则
。
(f(x)?g(x))
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数 的导数的和（或差）
2）函数积的求导法则：设
f(x)
，
g(x)
是可导的，则
[f(x)g(x)]
?
?f
?
(x)g(x)?f( x)g
?
(x)
即，两个
函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个 函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。
3）函数的商的求导法则：设
f(x)
，
g(x)
是可导的，
g(x)?0
，则
?
?
f(x )
?
g(x)f
?
(x)?f(x)g
?
(x)
?
?
g(x)
?
g
2
(x)
??
?
5.复合函数的导数:设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
?
x
?
?
(x)
,函数
y?f(u)< br>在点
x
的对应点
u
处有导

?
?f?
(u)
,则复合函数
y?f[
?
(x)]
在点
x
处有导数,且
y
???
数
y
u
x
?y
u
?u
x
.
6.几种常见函数的导数：
?
?nx（ x）
(1)
C
?
?0(C为常数)
(2)nn?1
(n?Q)
(3)
(sinx)
?
?cosx
(4)
(cosx)
?
??sinx
(5)
(lnx)
?< br>?
x
1
1
(6)
(log< br>a
x)
?
?log
a
e
x
x
xxx
(7)
(e)
?
?e
(8)
(a)
?
?alna
二、疑难知识导析
1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
??
2.运用复合函数的求导法则y
?
x
?y
u
?u
x
,应注意以下几点
（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.
(2) 要分清每 一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，
如
(c os2x)
?
??sin2x
实际上应是
?2sin2x
。
(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如
y?
1
选成
4
(1?3x)
y?
1
4
，
u?v,v?1 ?w,w?3x
计算起来就复杂了。
u
3.导数的几何意义与物理意义
导数的 几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的
几何意义 与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。
4.
f
?< br>(x
0
)与f
?
(x)的关系
f
?
(x0
)
表示
f(x)在x?x
0
处的导数，即
f
?
(x
0
)
是函数在某一点的导数；
f
?
(x)< br>表示函数
f(x)
在某给
定区间
(a,b)
内的导函数，此时
f
?
(x)
是在
(a,b)
上
x
的函数， 即
f
?
(x)
是在
(a,b)
内任一点的导数。
5 .导数与连续的关系
若函数
y?f(x)
在
x
0
处可导，则 此函数在点
x
0
处连续，但逆命题不成立，即函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续，未必在
x
0
点可导，也就是说，连续性是函数 具有可导性的必要条件，而不是充
分条件。
6.可以利用导数求曲线的切线方程
由于函 数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，表示曲线在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切线的斜率，因
此，曲线
y? f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线方 程可如下求得：

（1）求出函数
y?f(x)
在点
x?x0
处的导数，即曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f( x
0
))
处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切 线方程为：
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x0
)
，如果曲线
（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为
x ?x
0
.
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x0
))
的切线平行于
y
轴
三、经典例题导讲
[例1]已 知
y?(1?cos2x)
,则
y
?
?
.
2
错因：复合函数求导数计算不熟练,其
2x
与
x
系数不一样也是一个复合的 过程,有的同学忽视了,导致错解
为:
y
?
??2sin2x(1?cos2 x)
.
2
????
正解：设
y?u
,
u?1?co s2x
,则
y
?
x
?y
u
u
x
? 2u(1?cos2x)?2u?(?sin2x)?(2x)
?2u?(?sin2x)?2??4s in2x(1?cos2x)
?
y
?
??4sin2x(1?cos2x)< br>.
?
1
2
(x?1)(x?1)
?
?
2[例2]已知函数
f(x)?
?
判断f(x)在x=1处是否可导？
1< br>?
(x?1)(x?1)
?
?
2
11
[(1??x)
2
?1]?(1
2
?1)
2
错解：
?lim
2
?1,?f
?
(1)?1
。
?x?0
?x
11
[(1??x)
2
?1]?(1
2
?1)
?y
2< br>解：
lim
?
?lim
?
2
?1
?x?0< br>?x
?x?0
?x
分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是 否可导 .
∴ f(x)在x=1处不可导.
?
注：
?x?0
，指
?x
逐渐减小趋近于0；
?x?0
，指
?x
逐渐增大趋近于 0。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即
lim
－
?
?x ?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
＋
，△x→0 ，包括△x→0，与△x
?x
→0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时， 要验证其左、右极限是否存在且相等，
如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.< br>2
[例3]求
y?2x?3
在点
P(1,5)
和
Q( 2,9)
处的切线方程。
错因：直接将
P
，
Q
看作曲线上的 点用导数求解。

分析：点
P
在函数的曲线上，因此过点
P的切线的斜率就是
y
?
在
x?1
处的函数值；
点
Q
不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．
解：
?y?2x
2
?3,?y
?
?4x.?y
?
x?1
?4
即过点
P
的切线的斜率为4，故切线为：
y?4x?1
．
设过点
Q
的切线的切点为
T(x
0
,y
0
)，则切线的斜率为
4x
0
，又
k
PQ
?
y0
?9
，
x
0
?2
2x?6
故
0?4x
0
，
?2x
0
2
?8x
0
?6 ?0.?x
0
?1,3
。
x
0
?2
即切线
QT
的斜率为4或12，从而过点
Q
的切线为：
2
y?4x?1,y ?12x?15
点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设 出切点坐标．
[例4]求证：函数
y?x?
1
图象上的各点处切线的斜率小于 1，并求出其斜率为0的切线方程.
x
1
分析： 由导数的几何意义知，要证函数y?x?
的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函
x
数的函数值都小 于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.
解：（1）
y?x?
111
,?y
?
?1?
2
?1
，即对函数
y?x?
定义域内的任一
x
，其导数值都小于
1
，于是
x
x
x
由导数的几何意义可知，函数
y?x?
（2）令
1?
1< br>图象上各点处切线的斜率都小于1.
x
1
1
?0
，得，当时，
y?1??2
；当
x??1
时，
y??2
，
x?1
x??1
2
1
x
?
曲线
y?x?
1
的斜率为0的切线有两条，其切点分别为
(1,2)
与
(?1,?2)
，切 线方程分别为
y?2
或
x
y??2
。
点评：在已知曲线 < br>y?f(x)
切线斜率为
k
的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点 的横坐标就
是
y?f(x)
的导数值为
k
时的解，即方程
f
?
(x)?k
的解，将方程
f
?
(x)?k
的解代 入
y?f(x)
就可得切
点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是 方程
f
?
(x)?k
有多少个相异实根，则所求的
切线就有多少条.

3
[例5]已知
a?0
，函数
f(x)?x?a，
x?
?
0,??
?
，设
x
1
?0< br>，记曲线
y?f(x)
在点
M(x
1
,f(x
1))
处
的切线为
l
.
（1）求
l
的方程；
（2）设
l
与
x
轴交点为
(x
2
,0)
，求证：
1
a
3
； ①
x
2
?
②若
x
1
?
11
a
3
，则
a
3
?x
2
?x
1
分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方 程 .
?y(x??x)
3
?a?x
3
?a
?lim解：（1）
f(x)?lim
?x?0
?x
?x?0
?x

3x
2
?x?3x(?x)
2
?(?x)
3
?l im
?x?0
?x
?x?0
?lim[3x
2
?3x?x? (?x)
2
]?3x
2
2
?f
?
(x
1< br>)?3x
1
?
切线
l
的方程为
y?f(x
1
)?f
?
(x
1
)(x?x
1
)
即
y?(x
1
?a)?3x
1
(x?x
1
)
.32
（2）①依题意，切线方程中令y=0得，
②由①知
x
2
?x
1
?
x
1
?a
3x
1
2
3< br>，
?x
2
?x
1
??
x
1
?a3x
1
2
3
2
[例6]求抛物线
y?x
上的点到直线
x?y?2?0
的最短距离.

2
分析：可设
P(x,x)
为抛物线上任意一点，则可把点
P
到直线的距离表示为自变量
x
的函数，然后求函数
最小值即可，另 外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线
x?y?2?0
的 距离即为本题所求.
2
解：根据题意可知，与直线 x－y－2=0平行的抛物线y=x的切 线对应的切点到直线x－y－2=0的距离最短，
设切点坐标为（），那么
y
'
|
x?x
0
?2x|
x?x
0
?2x
0
?1
,∴
x
0
?
1
2
11
??2|
72
11
?
∴ 切点坐标为
(,)
，切点到直线x－y－2=0的 距离
d?
24
，
8
24
2
|
∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为
72
.
8
§2、导数的应用
一、 知识导学
1.可导函数的极值
（1）极值的概念
设函数
f(x)
在点
x
0
附近有定义，且若对
x
0
附近的所有的点都有
f(x)?f(x
0
)
（或
f(x)?f(x
0
)
），则称
f(x
0
)
为函数的一个极大（小）值，称
x
0< br>为极大（小）值点.
（2）求可导函数
f(x)
极值的步骤:
①求导数
f
?
(x)
。求方程
f
?
(x)?0
的根 .
②求方程
f(x)?0
的根.

③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
的根的左右的符号，如果在根的左侧 附近为正，右侧附近为负，那么函
数
y?f(x)
在这个根处取得极大值；如果在根的 右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数
y?f(x)
在
这个根处取得极小值.
2.函数的最大值和最小值
（1）设
y?f(x)
是定义在区间
?
a,b
?
上的函数，
y?f(x)
在
(a,b)
内有导数 ，求函数
y?f(x)
在
?
a,b
?
上
的最大值与 最小值，可分两步进行.
①求
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值.
②将
y?f(x)
在各极值点的极值与
f(a)
、
f(b)
比较，其中最 大的一个为最大值，最小的一个为最小

值.
（2）若函数
f(x)< br>在
?
a,b
?
上单调增加，则
f(a)
为函数的最小 值，
f(b)
为函数的最大值；若函数
f(x)
在
?
a,b
?
上单调递减，则
f(a)
为函数的最大值，
f(b)
为函 数的最小值.
二、疑难知识导析
1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数f
?
(x)
取值为0的点称为函数
f(x)
的驻点可导函数的< br>极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数
y?|x|
在点
x? 0
处有极小值
f(0)
=0，可是这
里的
f
?
(0 )
根本不存在，所以点
x?0
不是
f(x)
的驻点.
(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数
f(x)?x
的导数
f
?
(x)?3x
，在
点
x?0
处有f
?
(0)?0
，即点
x?0
是
f(x)?x
的驻点，但从
f(x)
在
?
??,??
?
上为增函数可知， 点
x?0
3
32
不是
f(x)
的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区
间的 增减情况一目了然.
(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建 立函数关系式，并确定其定
义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数 ，它在自己的定义域内必然可
导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果 定义域是闭区间，那么只要函数
在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处）， 然后通过对函数求导，发现定义域
内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（ 小）值。知道这一点是非常重要的，
因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在 端点处的值，以及同函数在极值点处
的值进行比较等步骤.
2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系
极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整 体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）
值不一定是最大（小）值，最大（小）值也 不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间
(a,b)
内只有一
个极值，那么极大 值就是最大值，极小值就是最小值.
三、经典例题导讲
[例1]已知曲线
S:y? ?
2
2
3
x?x
2
?4x
及点
P(0,0 )
，求过点
P
的曲线
S
的切线方程.
3
x?0< br>?
过点
P
的切线斜率
k?y
?
错解：
y?
??2x?2x?4
，
?
过点
P
的曲线
S< br>的切线方程为
y?4x
.
?4
，
错因：曲线在某点处的切线 斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，
点
P
凑 巧在曲线
S
上，求过点
P
的切线方程，却并非说切点就是点
P
，上述解法对求过点
P
的切线方程和
求曲线在点
P
处的切线方程， 认识不到位，发生了混淆.
正解：设过点
P
的切线与曲线
S
切于点
Q(x
0
,y
0
)
，则过点
P
的曲线S
的切线斜率
k?y
?
x?x
0
??2x
0
?2x
0
?4
，又
k
PQ
?
2
y
y
0
2
，
??2x
0
?2x
0
? 4?
0
。①
?
点
Q
在曲线
S
上，
x
x
0
0

2
3
2
2
?y
0
??x
0
?x
0
?4x
0
.
② ，②代入①得
?2x
0
?2x
0
?4?
3
化简，得
?
2
32
x
0
?x
0
?4x
0< br>3

x
0
4
3
3
2
x
0< br>?x
0
?0
，
?x
0
?0
或
x0
?
.若
x
0
?0
，则
k?4
，过点
P
的切线方程为
y?4x
；
3
4
33535
若
x
0
?
，则
k?
，过点
P
的切线方程 为
y?x.
?
过点
P
的曲线
S
的切线方程为
y?4x
或
488
35
y?x.

8
[例2]已 知函数
f(x)?ax?3x?x?1
在
R
上是减函数，求
a
的取值范围.
错解：
f
?
(x)?3ax?6x?1,
?
f(x)
在
R
上是减函数，
?f
?
(x)?0
在
R
上恒成立，
2
32
?3ax
2
?6x?1?0
对一切
x?R
恒成立，
???0
，即
36?12a?0，
?a??3
.
正解:
f
?
(x)?3ax?
6x?1
，
?f(x)
在
R
上是减函数，
?
f< br>?
(x)
?0
在
R
上恒成立，
???0
且< br>a?0
，
即
36?12a?0
且
a?0
，
? a??3
.
[例3]当
x?0
，证明不等式
证明：
f( x)?ln(x?1)?
2
x
?ln(1?x)?x
.
1?xx
x
，
g(x)?ln(x?1)?x
，则
f
?
(x)?
，当
x?0
时。
?f(x)
在
?
0,? ?
?
2
1?x
(1?x)
x?x
?g(x)
，当< br>x?0
时，
g
?
(x)?0
，
?0
，又g
?
(x)?
1?x1?x
x
?g(x)?g(0)
， 在
?
0,??
?
内是减函数，即
ln(1?x)?x?0
， 因此，当
x?0
时，不等式
?ln(1?x)?x
1?x
?f(x) ?f(0)
，内是增函数，即
ln(1?x)?
成立.
点评：由题意构造出 两个函数
f(x)?ln(x?1)?
x
，
g(x)?ln(x?1)?x< br>.利用导数求函数的单调区间，
1?x
从而导出
f(x)?f(0)
及
g(x)?g(0)
是解决本题的关键.
[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20 km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在
铁路BC之间某处D修建一 个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公
路运费之比为3:5, 那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
解 ： 设BD之间的距离为
x
km,则|AD|=
x
2
?20
2
,|CD|=
100?x
.如果公路运费为
a
元km,那么铁路运费
为
3 a
元km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费
y
5
x
2
?400
,(
0?x?100
).对该式求导,得为:
y?3a
(100?x)
+
a
5

?3a
ax
a(5x?3x
2
?400)
22
+=,令
y
?< br>?0
,即得25
x
=9(
x
?400
),解之得 < br>y
?
=
5
5x
2
?400
x
2?400
x
1
=15,
x
2
=-15(不符合实际意义 ,舍去).且
x
1
=15是函数
y
在定义域内的唯一驻点,所以x
1
=15是函数
y
的极小值点,而且也是函数
y
的最 小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最
省.
点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有
一般 方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.
一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理
函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓
宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
[例5]函数
f(x)?3x?3 ax?1,g(x)?f(x)?ax?5
，其中
f(x)
是
f(x)
的导函数.（1）对满足－1≤
a
≤1的一切
a
的值，都有
g(x )
＜0，求实数
x
的取值范围；
（2）设
a
＝－
m
，当实数
m
在什么范围内变化时，函数
y
＝
f(x)的图象与直线
y
＝3只有一个公共点.
解：（1）由题意
g
?
x
?
?3x?ax?3a?5

2
2
3''
令
?
?
x
?
?
?
3?x
?
a?3x?5
，
?1?a?1
2
对
?1?a?1
，恒有
g
?
x
?
?0
，即
?
?
a
?
?0

??
3x
2
?x?2?0
?
?
?
1
?< br>?0
∴
?
即
?
2

?
?1?0
??
?
?
3x?x?8?0
?
解得
?
故< br>x?
?
?
（2）
f
'
2
?x?1

3
?
2
?
,1
?
时，对满足－1≤
a≤1的一切
a
的值，都有
g
?
x
?
?0
.
?
3
?
?
x
?
?3x
2
? 3m
2

3
①当
m?0
时，
f
?
x
?
?x?1
的图象与直线
y?3
只有一个公共点
②当
m?0
时，列表：
x

?
??,m
?

?

?m

0

极大
?
?m,m
?

?

]

m

0

极小
?
m,??
?

?

f
'
?
x
?

f
?
x
?

Z

Z