高中数学导数知识点归纳总结及例题

导 数
考试内容：
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的
最大值和最小值． 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意
义．（3）掌握函数， y=c(c 为常数 )、y=xn(n ∈ N+)的导数公式， 会求多项式函数的导数． （ 4）
理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大
值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（
和最小值．
5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值
§14. 导 数 知识要点
导数的概念 导数的几何意义、 物理意义
常见函数的导数

导
数

导数的运算
导数的运算法则
函数的单调性
导数的应用 函数的极值
函数的最值
1. 导数（导函数的简称） 的定义：设
x
0
是函数
y
有 增 量

y
x

f (x)
定义域的一点， 如果自变量 x 在
x
0
处
y f (x
0
x) f (x
0
)
； 比 值
x
之间的平均变化率；如果极限
x ， 则 函 数 值 y 也 引 起 相应的 增 量
) (
0
) 称为函数
y
x f x

x)
(
0
f x

y
x
到
x
0
f (x)
在点

0
lim
x 0
x
x

f ( x

0
lim
x 0
x
f

(x

)

0
存在， 则称函数
y
或


'
f (x)
在点
x
0
处可导， 并把这个极限叫做


y
f
'
x
'
x
f (x)
在
x
0
处的导数， 记作
(
0
)
y |
x x
0
lim
x
x 0
x
，即
f (
0
)
=
'

y

f ( x

0
lim
x 0

x)
x
f

(

x

)

0
.
注：① x是增量，我们也称为 “改变量 ”，因为
'
x 可正，可负，但不为零.
B
. ②以知函数
y f (x)
定义域为 A ， y
x
f ( ) 的定义域为 B ，则 A 与 B 关系为
A
2. 函数 y f (x) 在点
x
0
处连续与点
x
0
处可导的关系：
⑴函数
y f ( x)
在点
x
0
处连续是 y f (x) 在点
x
0
处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果
y f (x)
在点

x
处可导，那么
y f (x)
点
x
0
处连续.
0
事实上，令
x x
0
x
，则
x x
0
相当于 x 0 .
1

于是
lim
x x
0
( )
f x
lim
x 0
(
f x
0
)
x
lim [ ( (
0
)
0
)
f x x f x
x 0
(
0
)]
f x

f (x
0
x) f ( x )
0
f (x
0
x) f (x )
0 '

).
lim [
x
x 0
x f (x )]
0
lim
x
x 0
lim
x 0
lim f (x )
0
x 0
f (x
0
) 0 f (x
0
) f (x
0

⑵如果
y f ( x)
点

x
处连续，那么
y
0
f ( x)
在点
x
0
处可导，是不成立的 .
0
处不可导，因为 例：
f (x) | x |
在点
x
0

y
0
处连续，但在点
x
0
y

x
| x |

，当 x ＞0 时，
x
；当 x ＜0 时， y
1
x x
1，故

lim
x 0
y
不存在 .
x
.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数
y
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .
3. 导数的几何意义：
函数
y f ( x)
在点
x
0
处的导数的几何意义就是曲线
也 就 是说 ， 曲线
y

f ( x)
在点
( x
0
, f (x))
处的切线的斜率，
'
f ( x)
在 点 P
(x
0
, f ( x))
处 的切线 的斜 率 是
f
x
(
0
)
， 切线 方程 为

y

y
0
'
(
0
f x)(x x
).
4. 求导数的四则运算法则：
' ' ' '
1
(x)
' ' '
(u v) u v
y
f (x) ... f (x)
n
2
y f (x) f (x) ... f (x)
n
1 2
f
'
'
'
( )
' ' ' '
( uv)
'
vu v u
' '
cv c v cv cv
（ c为常数）
u
v

vu
2
v u
( v
v
0 )
注：① u, v 必须是可导函数 .
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；
'
x f
'
u
'
x
'
'
'
5. 复合函数的求导法则： f
x
( ( )) ( ) ( ) 或 y
x
.
y
u
u
x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形
6. 函数单调性：
'
⑴函数单调性的判定方法： 设函数
y f (x)
在某个区间内可导， 如果
f ( )
＞0，则
y
x
f (x)
为
增函数；如果
f
'
(x)
＜0，则
y
⑵常数的判定方法；
f (x)
为减函数 .

如果函数
y f (x)
在区间 I 内恒有
f
( )
=0，则
y
'
f ( x)
为常数 .
x
y 2x
3
在
( , )
上并不是 注：①
f (x) 0
是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如
都有
f (x) 0
，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样
f (x) 0
是 f（x）递减的充分非必
要条件 .
②一般地， 如果 f
（
x
）
在某区间内有限个点处为零， 在其余各点均为正（或负），那么 f（x）
在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的 .
7. 极值的判别方法： （极值是在
x
0
附近所有的点，
2
都有
f (x)
＜
f ( x
0
)
，则
f (x
0
)
是函数
f ( x)

的极大值，极小值同理）
当函数
f (x)
在点
x
0
处连续时，
'
x x
①如果在
x
0
附近的左侧
f ( )
＞0，右侧
f ( )
＜0，那么
f ( x
0
)
是极大值；
'
'
x x
②如果在
x
0
附近的左侧
f ( )
＜0，右侧
f ( )
＞0，那么
f ( x
0
)
是极小值 .
'
也就是说
x
0
是极值点的充分条件是
可导的点也可能是函数的极值点
②
x
0
点两侧导数异号，而不是
x
①
f ( )
=0 . 此外，函数不
'

. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确
. 定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）
x
注①： 若点
x
0
是可导函数
f (x)
的极值点，则
( )
f
'
=0. 但反过来不一定成立 . 对于可导函
. 数，其一点
x
0
是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零
例如：函数

y
②例如：函数
y
3 '
f (x) x ， x 0 使
f (x)
=0，但 x 0不是极值点 .
f (x) | x |
，在点 x 0 处不可导，但点 x 0是函数的极小值点 .
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进
行比较 .注：函数的极值点一定有意义
9. 几种常见的函数导数：
'
.
C
'
（ C 为常数）
0
(sin x) cos x
'

(arcsin x)


1
I.
2
1 x

' n 1
'

(arccos x)


( )
x
n
1

2
nx

1
（ n R ）
(cos x)
'
1
'
sin x
e
log
a

x
'


(arc cot x)
1
x

'

(arctan
x)
II. (ln x)
'
(log
a
x)
x

1

2
x 1


x
'
e
x

x
) ln
x

1

2
x 1
'
(e )
III. 求导的常见方法：

①常用结论：
(ln | x

'
|)
(a a a
( x a )( x a )...( x a )
1 2 n
1

.②形如
y (x a
1
)(x a
2
)...( x a
n
)
或
y
x
两
( x b )( x b )...( x b )
1 2 n
边同取自然对数，可转化求代数和形式
③无理函数或形如

y
求导可得

'
x
.

x
取自然对数之后可变形为
'

y

x
x
这类函数，如
y ln y x ln x
，对两边
y
y
1

ln x x
x

'
y

y ln x y

x
x
x
x x


ln
.
导数中的切线问题

例题 1：已知切点，求曲线的切线方程
3

3
曲线

y x
（
3
2
1
x 在点 (1， 1) 处的切线方程为
）
例题 2：已知斜率，求曲线的切线方程

与直线 2x y 4 0 的平行的抛物线

y
2
x 的切线方程是（ ）
注意：此题所给的曲线是抛物线， 故也可利用
代入

y

2
x ，得
x
2
法加以解决， 即设切线方程为 y 2x b ，
1 ，故选Ｄ．
2 0
x b ，又因为 0 ，得 b
例题 3：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

3
2
求过曲线

y x x 上的点 (1，1) 的切线方程．
例题 4：已知过曲线外一点，求切线方程

求过点 (2，0) 且与曲线 y 1

x
相切的直线方程．

练习题： 已知函数

y
3
x
3
x，过点 A (0，16) 作曲线 y f (x) 的切线，求此切线方程．
看看几个高考题
4

10.（2009 全国卷Ⅱ）曲线

y

x
在点

1,1
处的切线方程为

2x 1
11.（2010 江西卷）设函数

2
f (x) g(x) x
，曲线

y g( x)
在点
(1, g (1))
处的切线方程为
y 2x 1
，则曲线
y f (x)
在点
(1, f (1))
处切线的斜率为
x
12.（2009 宁夏海南卷） 曲线
y xe 2x 1
在点 （0,1）处的切线方程为
4（. 2009 浙江）（本题满分 15 分）已知函数

3 2
f (x) x (1 a)x a(a 2)x b
(a, b R)
．
（I）若函数
f (x)
的图象过原点，且在原点处的切线斜率是
3
，求
a,b
的值；
5.（2009 北京）（本小题共 14 分）

设函数

3
f (x) x 3ax b(a 0)
.
（Ⅰ）若曲线
y f (x)
在点
(2, f ( x))
处与直线
y 8
相切，求
a,b
的值；
.1 函数的单调性和导数
1．利用导数的符号来判断函数单调性 :
一般地，设函数
y f (x)
在某个区间可导，

如果在这个区间内

f
'
x
，则
y f (x)
为这个区间内的 ；

(
'
) 0
( ) 0

如果在这个区间内

f
'
x
，则
y f (x)
为这个区间内的 。

(
'
) 0
( ) 0
2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数 f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式 f (x)＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式 f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
【例题讲解】
5
。

a) 求证：

3
1
y x
在
( ,0)
上是增函数。
3 2
－6x
b) 确定函数 f (x)=2x +7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
3
－9x
2
+24 x (2) y=3x－x
3
(1) y=x
２．已知函数
f (x) xln x
，则（ ）
A．在
(0, )
上递增 B．在
(0, )
上递减

C．在

1
0,
上递增 D．在

1
0,
上递减
e e
3
x
2
３．函数

f (x) x 3 5
的单调递增区间是

_____________．
函数图象及其导函数图象
6
.

13. 函数
y
图，记
y


3

f (x)
在定义域
其图象如
( ,3)
内可导，
2
f (x)
的导函数为

y f

(x)
，则不等
f x
的解集为 _____________

式


( ) 0

( ) 0


y f (x)
3

，导函数
14. 函数
f (x)
的定义域为开区间
( ,3)
2

3

内的图象如图所示，则函数

f (x)
在
( ,3)
2
的单调增区间是 _____________
f (x)
y
15.


如图为函数

3 2
f (x) ax bx cx d
的图象，

f '(x)
为函数

-
o
3 3

x
f (x)
的导函数，则不等式
x f '( x) 0
的解集为 _____ _
2
16.

若函数
f (x) x
（ ）
bx c
的图象的顶点在第四象限，则其导函数
f '(x )
的图象是
17.
f (x)
的图象过原点且它的导函数
条直线，则
y f (x)
图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B ．第二象限
函数
y f '(x )
的图象是如图所示的一
y f ( x)
C ．第三象限 D ．第四象限
18. (2007 年广东佛山 )设
f (x)
是函数
f (x)
的导函数 ,
y f (x)
的图
y
象如右图所示，则
y f (x)
的图象最有可能的是（
y
y
y
）
y
O 1 2 x

2
O 1
A
2 x O 1 2
B
x O 1
C
x
D

O
1 2 x
19. 设函数 f (x)在定义域内可导， y=f (x)的图象如下左图所示，则导函数
为( )
y=f (x)的图象可能
7

20. （安微省合肥市 2010 年高三第二次教学质量检测文科） 函数
y
所示，则
y
f (x)
的图像如下右图
）
f (x)
的图像可能是 （
y 9.

(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科
知函数 f( x) 的导函数

f( x) 的图象可能是 (
2
) 已
f ( x) ax
)
bx c
的图象如右图，则
o
x
6. （2010 年浙江省宁波市高三“十校”联考文科） 如右图所示是某一
容 器的三视图， 现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度
h
随时间

t
正 视图 侧 视图
变化的可能图象是（ ）
h h h h
俯 视图
O
(A)
t
(B)
O t
(C)
O t O
(D)
t
'
7. (2008 广州二模文、理 )已知二次函数
象大致形状是（ ）
f x
的图象如图 1 所示 , 则其导函数
f x
的图

8

21. （2009 湖南卷文）若函数
y
在区间
[a,b]
上的图象可能是
y y
f ( x)
的 导．函．数． 在 区 间
[a, b]
上是增函数， 则函数
y
(
y
y
)
f (x)
o
a
b
A
．
x
o
a
B
．
x
o
a
C
．
x
o
b
a
D
．
x
b b
22.
（福建卷 11）如果函数
y
函数
y
f (x)
的图象如右图，那么导
)
f (x)
的图象可能是
(
23. （ 2008 年福 建 卷 12) 已 知 函 数 y=f(x),y=g(x)
y=f(x),y=g(x) 的图象可能是
的 导 函数 的图象 如下图 ，那 么
（ ）
24. (2008 珠海一模文、理 )设
f '( x)
是函数
f ( x)
的导函数，将
y
像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
f ( x)
和
y f '(x)
的图
9

A．
25.
( 湖南省株洲市
B．
2008 届高三第二次质检
C．
) 已知函数
）
D．
y
y
函数

f (x)
的导函数
y f ( x)
的图像如下， 则（
函数
f (x)
有 1 个极大值点， 1 个极小值点
f (x)
有

2 个极大值点， 2 个极小值点
3 个极大值点， 1 个极小值点
函数

f (x)
有


函数
f (x)
有 1 个极大值点， 3 个极小值点

x
1
x
2
x
3
O x
4


x
26. (2008 珠海质检理 ) 函数
f (x)
的定义域为
(a, b)
，其导函数
f (x)在(a,b)
内的图象如图所示，则函
数
f (x)
在区间
(a,b)
内极小值点的个数是（
(A). 1 (B). 2

(C). 3
）
(D). 4
27. 【湛江市 ·文】 函数
1
2
f (x) ln x x
的图象大致是
2
y
y y y
O
x
O
O
x
x

A
．
B
．
2
x
O
D
．
C
．
28. 【珠海· 文】如图是二次函数
象，则函数
g (x)
f (x) x bx a
的部分图
（ ）
ln x f (x)
的零点所在的区间是
1 1
A.
( , )
4 2
C.
(1,2 )
1
B.
( ,1)
2
D.
( 2,3)
29. 定义在 R 上的函数
f ( x)
满足
f (4) 1
．
f (x)
为
f (x)
的导函
y
数，已知函数
y

f (x)
的图象如右图所示 .若两正数
a, b
满足

O
（ ）


b 2
的取值范围是
f (2a b) 1
，则
x

a 2

10

1 1
A．
( , )


B．
(
1
, ) 3,


C．
1
( , 3)

D ．
( , 3)
3 2
2
bx cx
在点

x
处取得极大值
5
，
0
的图象经过点
(1,0)
，
(2,0)
，如图所
.
11
2
3 2
30. 已知函数

f ( x) ax
其导函数
y

f '(x)
示. 求：
（Ⅰ）
x
的值；
0
（Ⅱ）
a,b, c
的值