高中数学章节复习教案-郑州高中数学魏老师
2010年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准(B卷)
说明:
1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档;其他各题的评
阅,请严格按照本
评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答
方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当
划分档次评分,解答题中
第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其
他中间档次。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分)
1.
函数
f(x)?x?5?24?3x
的值域是
[?3,3]
.
解
:易知
f(x)
的定义域是
?
5,8
?
,且
f(x
)
在
?
5,8
?
上是增函数,从而可知
f(x)
的
值域为
[?3,3]
.
2. 已知函数
y?(acosx?3)sinx<
br>的最小值为
?3
,则实数
a
的取值范围是
?
2
3
?a?12
.
2
解:令
sinx
?t
,则原函数化为
g(t)?(?at
2
?a?3)t
,即
g(t)??at
3
?(a?3)t
.
由
?at
3
?(a?3)t??3
,
?at(t?1)?3(t?1)?0
,
2
(t?1)(?at(t?1)?3)?0
及
t?1?0
知
?at(t?1)?3?0
即
a(t?t)??3
(1)
当
t?0,?1
时(1)总成立;
对
0?t?1,0?t?t?2
;
2
2
1
?t
2
?t?0
.
4
3
从而可知
??a?12
.
2
对
?1?t?0,?
3. 双曲线
x?y?1
的右半支与
直线
x?100
围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为
整数的点)的个数是
9800 .
解:由对称性知,只要先考虑
x
轴上方的情况,设
y?k(k
?1,2,?,99)
与双曲线右半支于
A
k
,交
22
1
直线
x?100
于
B
k
,则线
段
A
k
B
k
内部的整点的个数为
99?k
,从而在
x
轴上方区域内部整点的个
数为
?
(99?k)?99?49?4851
.
k?1
99
又
x
轴上有98个整点,所以所求整点的个数为
2?4851?98?9800
.
4. 已知
{
a
n
}
是公差不为
0
的等差数列,
{b
n
}
是等比数列,其中
a
1
?3,b
1
?1,a
2<
br>?b
2
,3a
5
?b
3
,
且存在常数
?
,
?
使得对每一个正整数
n
都有
a
n
?log
?
b
n
?
?
,则
?
?
?
?
3
3?3
.
解:设
{a
n
}
的公差为
d,{b
n
}
的公比为
q
,则
3?d?q,
(1)
3(3?4d)?q
2
, (2)
(1)代入(2)得
9?12d?d
2
?6d?9
,求得
d?6,q?9
.
从而有
3?6(n?1)?log
?
9
n?1
?
?
对一切正整数
n
都成立,
即
6n?3?(n?1)log
?
9?
?
对一切正整数
n
都成立.
从而
log
?
9?6,?3??log
?
9?
?
,
求得
?
?
3
3,
?
?3
,
?
?
?
?
3
3?3
.
5.
函数
f(x)?a
2x
?3a
x
?2(a?0,a?1)
在区间
x?[?1,1]
上的最大值为8,则它在这个区间上
的最小值是
?
1
.
4
x2
解:令
a?y,
则原函
数化为
g(y)?y?3y?2
,
g(y)
在
(?,+?)
上是递增的.
?1
当
0?a?1
时,
y?[a,a]
,
3
2
g(y)
max
?a
?2
?3a
?1
?2?8?a
?1
?2?a?
所以
g(y)
min
?()?3?
当
1
,
2
1
2
2
11
?2??
;
24
a?1
时,
y?[a
?1
,a]
,
2
g(y)
max
?a
2
?3a?2?8
?a?2
,
1
?3?2
?1
?2??
.
41
综上
f(x)
在
x?[?1,1]
上的最小值为
?<
br>.
4
所以
g(y)
min
?2
?2
6.
两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另
一人投掷.
先投掷人的获胜概率是
12
.
17
解:同时投掷两颗骰子点数和大于6的
概率为
217
?
,从而先投掷人的获胜概率为
3612
75757
?
()
2
??
()
4
???
1212121212
7112
.
???
25
1712
1?
144
7. 正三棱柱
A
BC?A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等,
P
是
CC
1
的中点,二面角
B?A
1
P?B
1?
?
,则
sin
?
?
10
. <
br>4
解一:如图,以
AB
所在直线为
x
轴,线段
AB<
br>中点
O
为原点,
OC
所在直线为
y
轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则
B(1,0,0),B
1
(1,0,2)
,A
1
(?1,0,2),P(0,3,1)
,从而,
BA,3,1),B
1
A
1
?(?2,0,0),B
1
P?(?1,3,?1)
.
1
?(?2,0,2),BP?(?1
设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A
1
P
垂直的向量是<
br>m?(x
1
,y
1
,z
1
)
、
n?
(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
?
?
m?BA
1
??2x
1
?2z
1
?0,
?
?
?
m?BP??x
1
?3y
1
?z<
br>1
?0,
?
?
n?B
1
A
1
??2
x
2
?0,
?
?
?
n?B
1
P
??x
2
?3y
2
?z
2
?0,
由此可设
m?(1,0,1),n?(0,1,3)
,
B
1
z
A<
br>1
C
1
P
A
O
C
B
y
??
????
所以
m?n?m?ncos
?
,
即
3?2?2cos
?
?cos
?
?
6
.
4
x
3
所以
sin
?
?
10
.
4
A
1
C<
br>1
解二:如图,
PC?PC
1
,PA
1
?PB
.
设
A
1
B
与
AB
1
交于点
O,
则
E
B
1
OA
1
?OB,OA?OB<
br>1
,A
1
B?AB
1
.
O
P
A
因为 PA?PB
1
,所以
PO?AB
1
,
从而
AB
1
?
平面
PA
1
B
.
C
过
O
在平面
PA
1
B
上作
OE
?A
1
P
,垂足为
E
.
B
连结
B
1
E
,则
?B
1
EO
为二面角
B?A
1
P?B
1
的平面角.
设
AA
1
?2
,则易求得
PB?PA
1
?5,A
1
O?B
1
O?2,PO?3
.
在直角
?PA
1
O
中,
A
1
O?PO?A
1
P?
OE
,
即
2?3?5?OE,?OE?
6
5
.
又
B
1
O?2,?B
1
E?B
2
1O?OE
2
?2?
645
5
?
5
.
sin
?
?sin?B
B
1
O
1
EO?
B
?
2
?
10
.
1
E
45
4
5
8. 方程
x?y?z?2010<
br>满足
x?y?z
的正整数解(
x
,
y
,
z<
br>)的个数是 336675 .
解:首先易知
x?y?z?2010
的正整数解的个数为
C
2
2009
?2009?1004
.
把
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解分为三类:
(1)
x,y,z
均相等的正整数解的个数显然为1;
(2)
x,y,z
中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003;
(3)设
x,y,z
两两均不相等的正整数解为
k
.
易知
1?3?1003?6k?2009?1004
,
4
6k?2009?1004?3?1003?1
?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004
,
k?1003?335?334?335671
.
从而满足
x?y?z
的正整数解的个数为
1?1003?335671?336675
.
二、解答题(本题满分56分) <
br>9.(本小题满分16分)已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d(a?0)
,当
0?x?1
时,
f
?
(x)?
1
,
试求
a
的最大值.
解一:
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c,
?
f
?
(0)?c,
?
13
?
由
?
f
?
()?a?b?c,
得
(4分)
4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a
?2b?c
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
.
(8分)
所以
3a?2f
?
(0)?2f
?
(
1)?4f
?
()
1
2
1
2
?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
?8
,
a?
1
2
8
.
(12分)
3
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x?
4x?x?m
(
m
为常数)满足题设条件,所以
a
最大值为.(16
分)
33
2
解二:
f
?
(x)?3ax?2bx?c
.
设
g(x)?f
?
(x)?1
,则当
0?x?1
时,
0?g(x)?2
.
设
z?2x?1
,则
x?
z?1
,?1?z?1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1<
br>. (4分)
2424
容易知道
当
?1?z?1
时,
0?h(z)?2,0?h(?z)?2
.
(8分)
从而当
?1?z?1
时,
0?
即
0?
h(z)?h(?z)
?2
,
2
3a
2
3a
z??b?c?1?2
,
44
5
3a3a
?b?c?1?0
,<
br>z
2
?2
,
44
8
2
由
0?z?1
知
a?
.
(12分)
3
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x?
4x?x?m
(
m
为常数)满足题设条件,所以
a
最大值为.
33
从而
(16分)
10.(本小题满分20分)已知抛物线
y
2
?6x
上的两个动点
A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2
)
,其中
x
1
?x
2
且
x
1
?x
2
?4
.线段
AB
的垂直平分线与
x
轴交于点
C
,求
?ABC
面积的最大值.
解一:设线段
AB
的中点为
M(x
0
,
y
0
)
,则
x
0
?
x
1
?x
2
y?y
2
?2,y
0
?
1
,
22
k
AB
?
y
2
?y<
br>1
y?y
1
63
.
?
2
2
??
2
x
2
?x
1
y?yy
y
2
y<
br>1
210
?
66
线段
AB
的垂直平分线的方程是
y?y
0
??
y
0
(x?2)
.
(1)
3
易知
x?5,y?0
是(1)的一个解,所以线段
AB<
br>的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点,且点
C
坐标为
(5,0)
.
(5分)
由(1)知直线
AB
的方程为
y?y
0
?
y
3
(x?2)
,即
x?
0
(y?y
0
)?2
. (2)
3
y
0
2
(2)代入
y?6x
得
2
y
2
?2y
0
(y?y
0
)?12
,即
y
2
?2y
0
y?2y
0
?12?0
.(
3)
依题意,
y
1
,y
2
是方程(3)的两个实根,且<
br>y
1
?y
2
,所以
??4y
0<
br>?4(2y
0
?12)??4y
0
?48?0
,
?23?y
0
?23
.
B
222
y
A
AB?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
O
C(5,0)
x
22
6
?(1?(
y
0
2
))(y
1
?y
2)
2
3
2
y
0
?(1
?)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y2
]
9
2
y
0
22
?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))
9
?
2
22
(9?y
0
)(1
2?y
0
)
.
3
定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离
h?CM?
S
?ABC
?
?
2
(5?2)
2
?(0?y
0
)
2?9?y
0
.
(10分)
11
222
AB?h?(9?y
0
)(12?y
0
)?9?y
0
23
11
222
(9?y0
)(24?2y
0
)(9?y
0
)
32<
br>222
?24?2y
0
?9?y
0
11
9?y
0
?()
3
323
?
14
7
.
(15分)
3
22
当且仅当
9?y
0
,即
y0
??5
,
A(
?24?2y
0
6?356?35,5?7),B(,5?7)
或
33
A(
6?356?35
,?
(5?7)),B(,?5?7)
时等号成立.
33
14
7
.
(20分)
3
所以
?ABC
面积的最大值为
解二:同解一,线段<
br>AB
的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点,且点
C<
br>坐标为
(5,0)
.
(5分)
设
x
1
?t
1
,x
2
?t
2
,t
1
?t
2
,t
1
?t
2
?4
,则
2222
S
?ABC
?
1
2
t
1
2
2
t
2
1
2
501
6t
1
1
的绝对值,
(10分)
6t
2
1
222
S
?
ABC
?((56t
1
?6t
1
t
2
?6t
1
t
2
?56t
2
))
2
7
3
(t
1
?t
2
)
2
(t
1
t
2
?5)
2
2
3
?(4?2t
1
t
2
)(t
1
t
2
?5)(t
1
t
2
?5)
2
314
3
?()
,
23
14
7
,
(15分)
S
?ABC
?
3
?
2
当且仅当
(t
1
?t
2
)
2
?t
1
t
2
?5
且
t
1
2
?t
2
?4
,
即
t
1
?
7?5
6
,
t
2
??
7?5
6
,
A(
6?356?35
,5?
7),B(,5?7)
或
33
A(
6?356?35
,?(5?7
)),B(,?5?7)
时等号成立.
33
14
7
.
(20分)
3
所以
?ABC
面积的最大值是
2
a
n
1
11.(本小题满分20分)数列
?
a
n
?
满足
a
1
?,a
n?1
?
2
(n
?
1,2,
?
)
.
3
a
n
?a
n
?1
求证:
1111?
2
n?1
?a
1
?a
2
?
?
?a
n
??
2
n
. (1)
2
3
2
3
2
a
n
111
知
?
2
??1
,
?
2
aa
a
a<
br>n
?a
n
?1
n?1n
n
证明:由
a
n?1
1
a
n?1
?1?
11
(?1)
.
(2)
a
n
a
n
2
a
n?1
a
n
a
所以
??
n
?a
n
,
1?a
n?1
1?a
n
1?a
n
即
a
n
?
a
n
a
?
n?1
.
(5分)
1?a
n
1?a
n?1
从而
a
1
?a
2
???a
n
?
aa
a
a
1
aa
?
2
?
2
?
3
?
?
?
n
?
n?1
1?a
1
1?a
2
1?a
2
1?a
3
1?a
n
1?
a
n?1
?
aa
a
1
1
?
n?1
??
n?1
.
1?a
1
1?a
n?1
21?a
n?1
8
所以(1)等价于
a
11111
?
2
n?1
??
n?1
??
2
n
,
2
3
21?a
n?1
2
3
2
n?1<
br>即
3
1?a
n?1
2
n
??3
.
(3) (10分)
a
n?1
2
由
a
1
a
n
1
1
?
3
及
a
n?1
?
a
2
知
a
2
?
.
n
?a
n
?1
7
当
n?1
时 ,
1?a
2
a
?6
,
3
2
1?1
?6?3<
br>2
1
,
2
即
n?1
时,(3)成立.
设
n?k(k?1)
时,(3)成立,即
3
2
k?1?
1?a
k?1
k
a
?3
2
.
k?1
当
n?k?1
时,由(2)知
1?
a
k?2
1
1?a
k
1?a
k?1
2
a<
br>?(
?1
)?()?3
2
k
;
k?2
a
k?1
a
k?1
a
k?1
又由(
2)及
a
1
1?a
1
?
3
知
n
a
(n?1)
均为整数,
n
从而由
1?a<
br>k?1
2
k
1?a
k?1
2
k
1
a
?3
有
a
?3?1
即
?3
2
k
,
k?1k?1
a
k?1
所以
1?a
k?2
1<
br>1?
kkk?1
a
??
a
k?1
?3
2?3
2
?3
2
,
k?2
a
k?1
a
k?1
即(3)对
n?k?1
也成立.
所以(3)对
n
?1
的正整数都成立,即(1)对
n?1
的正整数都成立.
15分)
20分)
9
(
(