高中数学一般化与特殊化证明-高中数学什么情况下不可导
2009年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设7分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分
标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理
、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分
档次评分,解答题中至少4分为一个档次,不要增加其
他中间档次.
一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)
x
?
99
?
?
f
1. 若函数
f
?
x
?
?
且
f
(n)
?
x
??f
?
,则
fffx
??
?
1
?
?<
br> .
??
?
??
?
2
1?x
n
1
【答案】
10
【解析】
f
?
1
?
?
x
?
?f
?
x
?
?
f
?
2
?
x
1?x
2
,
x
?
x
?
?f
?
?
f
?
x
?
?
?
?
?
x
?
?
x
2
1?2x
2<
br>
……
1?99x
1
故
f
?
99
?
?
1
?
?
.
10
f
?
99
?
.
2. 已知直线<
br>L:x?y?9?0
和圆
M:2x
2
?2y
2
?8x
?8y?1?0
,点
A
在直线
L
上,
B
,
C
为圆
M
上两点,
在
?ABC
中,
?BAC?45
?
,
AB
过圆心
M
,则点
A
横坐标范围为
.
【答案】
?
3,6
?
9?a
?
,
则圆心
M
到直线
AC
的距离
d?AMsin45?
,【解析
】 设
A
?
a,
由直线
AC
与圆
M
相交,
得
d≤
34
.
2
解得
3≤a≤6
.
?
y≥0
?
3. 在坐标平面上有两个区域
M
和
N
,
M
为
?
y≤x
,
N
是随
t变化的区域,它由不等式
t≤x≤t?1
?
y≤2?x
?
所确定
,
t
的取值范围是
0≤t≤1
,则
M
和
N
的公共面积是函数
f
?
t
?
?
.
1
2
【解析】 由题意知
【答案】
?t
2<
br>?t?
f
?
t
?
?S
阴影部分面积
y
?S
?AOB
?S
?OC
?
D
S
?
B
C
11
2
E
?1?t
2
?
?
1?t
?
22
F
B
x
O
D
1
2
??t?t?
2
1111
4. 使不等式
??
??a?2007
对一切正整数
n
都成立的最小正整数
a
的值为
.
n?1n?22n?13
【答案】
2009
1111
【解析】 设
f
?
n
?
?
.显然
f
?
n
?
单调递减,则由
f
?
n
?
的最大值
f
?
1
?
?a?2007
,可
???
n?1n?22n?13
得
a?2009
.
A
x
2
y
2
5. 椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
上任意两点
P
,
Q
,若<
br>OP?OQ
,则乘积
OP?OQ
的最小值为 .
ab
22
2ab
【答案】
22
a?b
【解析】
设
P
?
OPcos
?
,OPsin
?
?
,
?
π
?
π
?
?
??
Q
?
OQcos
?
?
?
?
,OQsin
?
?
?
?
?
.
2
?
2
?
?
??
?
由
P
,
Q
在椭圆上,有
cos
2
?
sin
2
?
??
2
①
2
a
2
b
OP
1
sin
2
?
cos
2
?
??
②
2
a
2
b
2
OQ
1
①+②
得
1111
???
.
22
a
2
b
2
OPOQ
2a
2
b
2
2a
2
b
2
于是当
OP?OQ?
时,
OPOQ
达到最小值
22
.
a
2
?b
2
a?b
6. 若方程
lgk
x?2lg
?
x?1
?
仅有一个实根,那么
k
的取值范围是
.
【答案】
k?0
或
k?4
?
kx?0
?
?
【解析】
?
x?1?0
?
2
kx?x?1
??
?
?
当且仅当
kx?0
x?1?0
x
2
?
?
2?k
?
x?1?0
①
②
③
对③由求根公式得
1
x
1
,
x
2
?
?
k?2?k
2
?4k
?
④
?
2
?
??k
2
?4k≥0?k≤0
或
k≥4
.
(ⅰ)当
k?0
时,由③得
?
x
1
?x
2
?k?2?0
?
xx?1?0
?
12
所以
x
1
,
x
2同为负根.
?
x
1
?1?0
又由④知
?
x?1?0
?
2
所以原方程有一个解
x
1
.
k
?1?1
.
2
?
x
1
?x
2
?k?2?0
(ⅲ)当
k?4
时,由③得
?
xx
?1?0
?
12
(ⅱ)当
k?4
时,原方程有一个解
x?<
br>所以
x
1
,
x
2
同为正根,且
x
1
?x
2
,不合题意,舍去.
综上可得
k?0
或
k?4
为所求.
7. 一个
由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行
仅有一个数,第一行是前
100
个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是
(可以用指数
表示)
【答案】
101?2
98
【解析】 易知:
(ⅰ)该数表共有100行;
(ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为
d
1
?1
,
d
2
?2
,
d
3
?2
2
,…,
d
99
?2
98
(ⅲ)
a
100
为所求.
设第
n
?
n≥2
?
行的第一个数为
a
n
,则
a<
br>n
?a
n?1
?a
n?1
?2
n?2
?2a
n?1
?2
n?2
n?3n?2
?2
?
?
2a
n?2
?2
?
?
?2
n?4n?2n?2
?
?2
2
?
2a?2?2?
2?2
n?3
??
??
?2
3
a
n?3
?
3?2
n?2
……
?2
n?1
a
1
?
?
n?1
?
?2
n?2
?
?
n?1
?
2
n?2
故
a
100
?101?2
98
.
8.
某车站每天
8∶00~9∶00
,
9∶00~10∶00
都恰有一辆客车到站
,但到站的时刻是随机的,且两者到站
的时间是相互独立的,其规律为
8∶10
8∶30
8∶50
到站时刻
9∶10
9∶30
9∶50
11
1
概率
62
3
一旅客
8
.
∶20
到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分)
【答案】
27
【解析】 旅客候车的分布列为
候车时间(分)
概率
10 30
50 70 90
1
2
1
3
11
?
66
11
?
26
11
?
36
候车时间的数学期望为
11111
10??30??50??70??90??27
23361218
二、解答题
x
2
y
2
1. (本小题满分14分)设直线
l:y?kx
?m
(其中
k
,
m
为整数)与椭圆
??1
交于不同
两点
A
,
1612
x
2
y
2
B
,
与双曲线
??1
交于不同两点
C
,
D
,问是否存在直线l
,使得向量
AC?BD?0
,若存在,
412
指出这样的直线
有多少条?若不存在,请说明理由.
?
y?kx?m
?
【解析】
由
?
x
2
y
2
消去
y
化简整理得
??1
?
?
1612
?
3?4k
?
x
2
2
?8kmx?4m
2
?48?0
设
A
?
x
1
,y
1
?
,
B
?
x
2,y
2
?
,则
x
1
?x
2
??
8km
3?4k
2
2
?
1
?
?
8km
?
?4
?
3?4k
2
??
4m
2
?48
?
?0
①
………………………………………………4分
?
y?kx?m
?
由
?
x
2
y
2
消去
y
化简整理得
??1
?
?412
?
3?k
?
x
22
?2kmx?m
2
?12?0
2km
2
3?k
m
2
?12?0
② ………………………………………………8分
设
C
?
x
3<
br>,y
4
?
,
D
?
x
4
,y
4
?
,则
x
3
?x
4
?
?
2?
?
?2km
?
?4
?
3?k
2
??
2
?
因为
AC?BD?0
,所以
?
x
4<
br>?x
2
?
?
?
x
3
?x
1
?
?0
,此时
?
y
4
?y
2
?
?
?
y
3
?y
1
?
?0
.由
x1
?x
2
?x
3
?x
4
得
?
8km2km
.
?
3?4k
2
3?k
2
所以
2km?0
或
?
41
.由上式解得
k?0<
br>或
m?0
.当
k?0
时,由①和②得
?
3?4k2
3?k
2
?23?m?23
.因
m
是整数,所以m
的值为
?3
,
?2
,
?1
,
0,
1
,
2
,
3
.当
m?0
,由①和②
得
?3?k?3
.因
k
是整数,所以
k??1
,<
br>0
,
1
.于是满足条件的直线共有9条.………14分
2. (本小题15分)已知
p
,
q
?
q?0
?<
br>是实数,方程
x
2
?px?q?0
有两个实根
?
,<
br>?
,数列
?
a
n
?
满足
4,
a1
?p
,
a
2
?p
2
?q
,
a
n
?pa
n?1
?qa
n?2
?
n?3,
?
(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式(用?
,
?
表示);
1
(Ⅱ)若
p?1
,
q?
,求
?
a
n
?
的前
n
项和.
4
【解析】 方法一:
(Ⅰ)由韦达定理知
?
?
?
?q?0
,又
?
?
?
?p
,所以
a
n
?px
n?1
?qx
n?2
?
?
?
??
?
a
n?1
?
??
a
n?2
,?
n?3,4,5,
?
整理得
a
n
?
?
a
n?1
?
?
?
a
n?1
?
?
a
n?2
?
2,
令
b
n
?a
n?1
?
?
a
n
,则
b
n?1
?
?
b
n
?
n?1,
?
.所以
?
b
n
?
是公比为
?
的等比数列.
数列
?
b
n
?
的首项为:
b
1
?a
2
?
?
a
1
?p
2
?q?
?
p?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
. 2
2,
所以
b
n
?
?
2
?
?
n?1
?
?
n?1
,即
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,
?
.所以
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,2,
?
.
2,
?
变为①当??p
2
?4q?0
时,
?
?
?
?0
,
a
1
?p?
?
?
?
?2
?
,<
br>a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1?
n?1,
2,
a
n?1
?
?
a
n<
br>?
?
n?1
?
n?1,
?
.整理得,
a1
a
n?1
?
?
n?1
a
n
?
n
2,
?1
,
?
n?1,
?
.所以,数列
?
?
a
n
?
成
n
?
?
??公差为
1
的等差数列,其首项为
?
?
2
?
?<
br>?2
.所以
a
n
?
n
?2?1
?
n?1
?
?n?1
.
于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n<
br>?
?
n?1
?
?
n
;……………………………………
………………………………………5分
②当
??p
2
?4q?0
时
,
?
?
?
,
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?
a
n
?
?
?
?<
br>?
?
?
a
n
?
?
?
?
?<
br>?
n?1
?
?
?
?
?
2,
?
n?1
?
n?1,
?
.
整理得
?
?
n?2
?
n?1
?
2,
a
n
?1
??
?
?
a
n
?
?
,
?n?1,
?
?
??
?
?
??
?
. <
br>?
?
n?1
?
?
2
?
2
?
2
所以,数列
?
a
n
?
.所
?
?
?
?
??
?
成公比为
?
的等比数列,其首项为
a<
br>1
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
n?1
?
2
n?1
以
a
n
??
?
.
?
?
??
?<
br>?
?
n?1
?
?
n?1
于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
.………………………
………………………10分
?
?
?
11
(Ⅱ)若
p?1<
br>,
q?
,则
??p
2
?4q?0
,此时
?<
br>?
?
?
.由第(Ⅰ)步的结果得,数列
?
a
n
?
的通项公
42
?
1
?
n?1
式为
a<
br>n
?
?
n?1
?
??
?
n
,所以,
?
a
n
?
的前
n
项和为
2
?<
br>2
?
234nn?1
s
n
??
2
?
3
??
n?1
?
n
22222
1234nn?1
s
n
?
2
?
3
?
4
???
22222n2
n?1
13n?3
以上两式相减,整理得
s
n
??
n?1
222<
br>n?3
所以
s
n
?3?
n
.……………………………
………………………………………………15分
2
n
方法二:
(Ⅰ)由韦
达定理知
?
?
?
?q?0
,又
?
?
??p
,所以
a
1
?
?
?
?
,
a
2
?
?
2
?
?
2
?
??.
特征方程
?
2
?p
?
?q?0
的两个根为
?
,
?
.
2,
①当
?
?
??0
时,通项
a
n
?
?
A
1
?A2
n
?
?
n
?
n?1,
?
由
a
1
?2
?
,
a
2
?3
?
2得
?
?
?
A
1
?A
2
?
?
?2
?
?
22
?
?
?
A
1
?2A
2
?
?
?3
?
解得
A
1
?A
2
?1
.故
a
n
?
?
1?n
?
?
n
.…………………………………………
…………5分
2,
②当
?
?
?
时,通项
a
n
?A
1
?
n
?A
2
?
n
?<
br>n?1,
?
.由
a
1
?
?
?
?,
a
2
?
?
2
?
?
2
???
得
?
?
A
1
?
?A
2
?
?
?
?
?
?
2222
?
?
A
1
?
?A
2
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
解得
A
1
?
,
A
2
?
.故
?<
br>?
?
?
?
?
?
?
n?1
?
n?1
?
n?1
?
?
n?1
??
a
n
?
.…………………………………………………………10分
?
?
??
?
?
?
??
(Ⅱ)同方法一.
3.
(本小题满分15分)求函数
y?x?27?13?x?x
的最大和最小值.
13
?
.因为 【解析】 函数的定义域为
?
0,
y?x?
x?27?13?x?x?27?13?2x
?
13?x
?
≥27?13
?33?13
当
x?0
时等号成立.故
y
的最小
值为
33?13
.……………………………………………5分
又由柯西不等式得
y
2
?
?
x?x?27?13?x
?
2
1
??
1
≤
?
?1?
?
?<
br>2x?
?
x?27
?
?3
?
13?x
??
?121
3
??
2
所以
y≤11
.
………………………………………………………………………………10分
由柯西不等式等号成立的条
件,得
4x?9
?
13?x
?
?x?27
,解得
x
?9
.故当
x?9
时等号成立.因此
y
的最大值为
11.…………………………………………………………………………………15分
2009年全国高中数学联合竞赛加试
试题参考答案及评分标准(A卷)
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2.如果考生的解答方法和本解答
不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分
档次评分,10分为一个档次,不
要增加其他中间档次.
一、填空(共4小题,每小题50分,共200分)
9. 如图,<
br>M
,
N
分别为锐角三角形
?ABC
(
?A??B)的外接圆
?
上弧
BC
、
AC
的中点.过点
C
作
PC∥MN
交圆
?
于
P
点,
I
为
?ABC
的内心,连接
PI
并延长交圆
?
于
T<
br>.
⑴求证:
MP?MT?NP?NT
;
⑵在弧
AB
(不含点
C
)上任取一点
Q
(
Q≠A
,
T
,
B
),记
?AQC
,
△QCB
的内心分别为
I
1
,
I
2
,
P
N
I
T
A
Q
C
M
B
求证:
Q
,
I
1,
I
2
,
T
四点共圆.
【解析】 ⑴连
NI
,
MI
.由于
PC∥MN
,<
br>P
,
C
,
M
,
N
共圆,故
PCMN
是等腰梯形.因此
NP?MC
,
PM?NC
.
P
N
I
T
A
C
M
B
连
AM
,
CI
,则
AM
与
CI
交于
I
,因为
?MIC??MAC??ACI??MCB??BCI??MCI
,
所以
MC?MI
.同理
NC?NI
.
于是
NP?MI
,
PM?NI
.
故四边形
MPNI
为
平行四边形.因此
S
△PMT
?S
△PNT
(同底,等高). 又
P
,
N
,
T
,
M
四点共圆,故?TNP??PMT?180?
,由三角形面积公式
1
S
△PMT
?PM?MTsin?PMT
2
1
?S
△PNT
?PN?NTsin?PNT
2
1
?PN?NT
Tsin?PM
2
于是
PM?MT?PN?NT
.
⑵因为
?NCI
1
??NCA??ACI
1
??NQC??QCI
1
??CI
1
N
,
P
N
I
I
2
I
1
A
T
Q
C
M
B
N
TMT
所以
NC?NI
1
,同理
MC?MI
2
.由
MP?MT?NP?NT
得.
?
MPNP
由⑴所证
MP?NC
,
NP?MC
,故
NTMT
.
?
NI
1
MI
2
又因
?I
1
NT??QNT??QMT??I
2
MT
,
有
?I
1
NT∽?I
2
MT
.
故
?NTI
1
??MTI
2
,从而
?I
1
QI
2
??NQM??NTM??I
1
TI
2
.
因此
Q
,
I
1
,
I
2
,
T
四点共圆.
10. 求证不等式:
1
?
n
k
?
?1?
?
?
2
?lnn≤
,
n?1
,2
,…
?
2
?
k?1
k?1
?
【解析】
证明:首先证明一个不等式:
x
⑴
?ln(1?x)?x
,
x?0
.
1?x
事实上,令
h(x)?x?ln(1?x)
,
g(x)?ln(1?x)?
x
.
1?x
则对
x?0
,
11x
1
???0
.
h
?
(x)?1??0,
g
?
(x)?
22
1?x(1?x)(1?x)
1?
x
于是
h(x)?h(0)?0
,
g(x)?g(0)?0
.
1
在⑴中取
x?
得
n
1
?
1
?
1
?ln
?
1?
?
?
. ⑵
n?1
?
n
?
n
令
x
n
?
?
k
1
?lnn
,则,
x?
1
2
k?1
2
k?1
n
n1
??
?ln1?
??
n
2
?1
?
n?1
?
n1
?
2
?
n?1n
1
??
2
?0
(n?1)n
1
因此
x
n
?x
n?1
??x
1
?
.
2
又因为
x
n
?x
n?1
?
lnn?(lnn?ln(n?1))?(ln(n?1)?ln(n?2))?
从而
n?1
k
?
1
?
x
n
?
?
2
?
?
ln
?
1?
?
?
k
?
k?1
k?1
k?1
n
?
1
??(ln2?ln1)?ln1?
?
ln
?
1?
?
.
?
k
?
k?1
n?1
n?1
?kn
1?
?
1
?
?
?
k
?ln
?
1
?
?
?
?
2
?
?
?
2
?
?
?
2
?
?
?
k
?
?
n?1
k?1
?
k?1k
?
k?1<
br>?
k?1
n?1n?1
11
≥?
?
??
?
2
(k?1)k(k?1)k
k?1k?1
1
??1???1
.
n
11. 设
k
,
l
是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数
m≥k
,使得
C
k
m
与
l
互素.
n?1
【解析】 证法一:对任意正整数
t<
br>,令
m?k?t?l?(k!)
.我们证明
C
k
l?1
.
m
,
C
k
设
p
是
l
的任一
素因子,只要证明:
p?
m
.
??
若
p?k!
,则由
k!C?
?
(m?k?i)
k
m
i?1
k
k
i?tl(k!
)]
?
?
[(
i?1
k
?
?
i
i?1
?k!modp
?
?1
.
?
?1
k!
,
知
p
?
|
k
!C
k
?
k!C
k<
br>C
k
及
p
?
|k!
,且
p
?
?1
?
m
且
p
m
.从而
p?<
br>m
.
??
证法二:对任意正整数
t
,令<
br>m?k?t?l?(k!)
2
,我们证明
C
k
l?1
.
m
,
C
k
设
p
是
l
的任一素因子,只要证明:
p?
m
.
??
若
p?k!
,则由
k!C?
?
(m?k?i)
k
m
i?1
k
k
i?tl(k
2
!)
]
?
?
[(
i?1
k
?
?
i
i?1
p
?
.
?k!
?
mod
C
k
即
p
不整除上式,故
p?
m
.
k!
.
p
?
?1
|(k!)
2
.故由
若
p|k!
,设
?
≥1
使
p
?
|k!,但
p
?
?1
?
k?1
i?1
k!C?
?
(m?k?i)
k
m
?
?
[(i?tl(k
2
!)
]
i?1
k
k
?
?
i
i?1
?k!modp
?
?1
?
?1
k!
,知
p
?
|
k
!C<
br>k
?
k!C
k
C
k
及
p<
br>?
|k!
,且
p
?
?1
?
m
且p
m
.从而
p?
m
.
12.
在非负数构成的
3?9
数表
x
7
?
x
?
x
11
x
12
x
13
x
14
x
1
x
51
x
611
??
x
22
x
2
3
x
24
x
25
x
2
x
P?
?
x
2162
x
7
?
x<
br>2829
?
xxxxxxxx
?
x
?
337
?
3839
中每行的数互不相同,前6列中每列的三数之和为1,
x17
?x
28
?x
39
?0
,
x
27
,
x
37
,
x
18
,
x
38,
x
19
,
??
x
29
均大于.如果
P
的前三列构成的数表
?
x
11
x
12
x
13
?
??
S?
?
x
21
x
22
x
23
?
?
xxx
?
?
313233
?
?
x
1k
?
??
3
?
满足下面的性质
(O)
:对于数表
P
中的
任意一列
?
x
2k
?
(
k?1
,2,…,9)均存
在某个
i?
?
1,2,
?
x
?
?
3k?
使得
⑶
x
ik
≤u
i
?min
?
x
i1
,x
i2
,x
i3
?
.
求证:
(ⅰ)最小值
u
i
?min
?
x
i1
,x
i2
,x
i3
?
,
i?1
,2,
3一定自数表
S
的不同列.
?
x
1k
*
?
??
(ⅱ)存在数表
P
中唯一的一列
?
x
2k
*
?
,
k
*
≠1
,2,3使得
3?3
数表
?
?
x
?
?
?
3k
*
?
?
x
11
x
12
x
1k
*
?
??
?
S?
?
x
21
x
22
x
2k<
br>*
?
?
?
x
31
x
32
x
?
?
3k
*
??
仍然具有性质
(O)
.
【解析】 (ⅰ)假设最小值
u
i
?min
?
x
i
1
,x
i2
,x
i3
?
,
i?1
,2,3
不是取自数表
S
的不同列.则存在一列不含
任何
u
i
.不妨
设
u
i
≠x
i2
,
i?1
,2,3.由于数表P
中同一行中的任何两个元素都不等,于是
u
i
?x
i2
,
3
?
使得
i?1
,2,3.另一方面,由于数表
S具有性质
(O)
,在⑶中取
k?2
,则存在某个
i
0<
br>?
?
1,2,
x
i
0
2
≤u
i0
.矛盾.
(ⅱ)由抽届原理知
min
?
x
11
,x
12
?
,
min
?
x
21
,x
22
?
,
min
?
x
31
,x
32
?
中至少有两个值取在同一列.不妨设
min
?
x21
,x
22
?
?x
22
,
min
?
x
31
,x
32
?
?x
32
.
由前面的结论知数表
S
的第一列一定含有某个
u
i
,所以只能是x
11
?u
1
.同样,第二列中也必含某
个
u
i
,
i?1
,2.不妨设
x
22
?u
2
.
于是
u
3
?x
33
,即
u
i
是数表
S
中的对角线上数字.
?
x
11
x
12
x13
?
??
S?
?
x
2
1
x
22
x
23
?
?
xxx
?
?
313233
?
9
?
,令集合
记
M?
?
1,2,,
i?1,3
?
.
I?
?
k?M|x
ik
?min
?
x
i1
,x
i2
?
,
显然
I?
?
k?M|x
1k
?x11
,x
3k
?x
32
?
且1,2
3?I.因为
x
18
,
x
38
?1≥x
11
,
x
32
,所以
8?I
.
故
I≠?
.于是存在
k
*
?I
使得
x
2k
*
?max
?
x
2k
|k?I
?
.显然,
k
*
≠1
,2,3.
下面证明
3?3
数表
?
x
11
x
12
x
1k
*
?
??
S
?
?
?
x
21
x
22
x
2k
*
?<
br>
?
?
x
31
x
32
x
?
?
3k
*
??
具有性质
(O)
.
从上面的选法可知
u
i
?
:?minx
i1
,x
i2
,x
ik
*
?min
?
x
i1
,x
i2
?
,
(i?1,3)
.这说明
x
1k
*
?min
?
x11
,x
12
?
≥u
1
,
x
3k*
?min
?
x
31
,x
32
?
≥u
3
.
??
?
?minx
21
,x
22<
br>,x
2k
*
?x
2k
*
.下证
又由
S
满足性质
(O)
.在⑶中取
k?k
*
,推得
x
2k
*
≤u
2
,于是
u
2
对任
意的
k?M
,存在某个
i?1
,2,3使得
u
i
?
≥x
ik
.假若不然,则
x
ik
?min
?
x
i1
,x
i2
?
,
i?1
,3
且x
2k
?x
2k
*
.这与
x
2k
*<
br>的最大性矛盾.因此,数表
S
?
满足性质
(O)
.
下证唯一性.设有
k?M
使得数表
?
x
11
x
1
2
x
1k
?
??
S?
?<
br>x
21
x
22
x
2k
?
?
xxx
?
?
31323k
?
??
具有性质
(O)
,不失一般性,我们假定
x
1
,
u
1
?min
?
x
1
,
?
1?
312
x
x
3
,
u
3
?min
?
x
3
,
?
3
?
312
x
x
x
11
⑷
u
2
?min
?
x
21
,x
22
,x
23
?
?x
22
33
x
32
?x
3
.
1
由于
x
32
?x
31
,
x
22
?x
21
及(ⅰ),有
u
1
?min
?
x
11
,x
12
,x
1k
?
?x
11
.又由(ⅰ)知:
或者
(a)
u
3
?min
?
x
31
,x<
br>32
,x
3k
?
?x
3k
,或者
(b)u<
br>2
?min
?
x
21
,x
22
,x
2k
?
?x
2k
.
如果
(a)
成立,由数表
S
具有性质
(O)
,则
x
?
1
?
u
1
?min
?
x
11
,x
1
,
2k
x,
1
1
⑸
u
2
?m
in
?
x
21
,x
22
,x
2k
?
?x
22
,
u
3
?min
?
x
31
,x
3
,
2
x
k
?
3
?x
k
.
3
3
?
使得<
br>u
i
≥x
ik
*
.由
k
*
?I及⑷和 由数表
S
满足性质
(O)
,则对于
3?M
至少存在一个
i?
?
1,2,
⑹式知,
x
1k
*
?x
11
?u
1
,
x
3k
*
?x
32
?u
3
.于是只能有
x
2k
*
≤u
2
?x
2k
.类似地,由
S
?
满足性
质
(O)
及
?
?x
2k
*
.从而
k
*
?k
.
k?M
可推得
x
2k
≤u
2