1990年全国高中数学联赛试题及解答6

1990年全国高中数学联赛
第一试
(10月14日上午8∶00—10∶00)
一．选择题(本题满分30分，每小题5分)
1．设α∈(，),则(cos?)
cos?
，(sin?)
cos?
，(cos?)
sin?
的大小顺序是
42
A．(cos?)
c os?
<(sin?)
cos?
<(cos?)
sin?

B．(cos?)
cos?
<(cos?)
sin?
<(sin?)
cos?

C．(sin?)
cos?
<(cos ?)
cos?
<(cos?)
sin?

D．(cos?)
sin?
<(cos?)
cos?
<(sin?)
cos?

2．设f(x) 是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)=x+4 B． f(x)=2-x C． f(x)=3－|x+1| D． f(x)=2+|x+1|
3．设双曲线的左右焦点是F
1
、F
2
，左右顶点是M、N，若△P F
1
F
2
的顶点P在双曲线上，则△PF
1
F
2< br>的内切圆与边F
1
F
2
的切点位置是( )
A．在线段MN内部 B．在线段F
1
M内部或在线段NF
2
内部
C．点M或点N D．不能确定的
11
4．点集{(x，y)|lg(x
3
+错误!未指定书 签。y
3
+)=lgx+lgy}中元素个数为( )
39
A．0 B．1 C．2 D．多于2
5．设非零复数x、y满足
A．2
－
1989
??
x
2
+xy+y
2
=0，则代数式
?
x
?
1 990
+
?
y
?
1990
的值是( )
?
x+y
??
x+y
?

B．－1 C．1 D．以上答案都不对
x
2
y
2
6． 已知椭圆
2
+
2
=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足 |y|>1的点的集合用阴影表示是下面图
ab
中的( )
y
(2, 1)
y
(2,1)
y
(2,1)
y
(2,1)
x< br>O
(5，0)
x
O
(2,-1)
O
x
(5， 0)
x
O
(2,-1)
A.
B.
C.
D.

二．填空题(本题满分30分，每小题5分)
11
1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则的最小值是 ．
n
+
1+a1+b
n
2．设A(2，0)为平面上一定点，P (sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段
A P扫过的面积是 ．
3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有( x
2
+y
2
+z
2
)
2
≤n(x
4
+y
4
+z
4
)成立，则n的最小值是 ．
4 ．对任意正整数n，连结原点O与点A
n
(n，n+3)，用f(n)表示线段OA
n
上的整点个数(不计端点)，试求
f(1)+f(2)+…+f(1990)．
5．设n=1990，则

1 12
1
2
2
C
4
3
6
994
1998
995
C
199 0
= ．
n
n
(1－3C
n
+3
n
－3C
n
+…+3C
n
－3
2

6 ．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排
列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．
三．(本题满分20分)
2ab
π
已知a，b均为正整数，且a>b，si nθ=
22
，(其中0<θ<)，A
n
=(a
2
+b
2
)
n
sinnθ．求证：对于一切自然数
a+b2
n，A
n
均为整数．














四．n
2
个正数排成n行n列

a
11
a
12
a
13
a
14
……a
1n
a
21
a
22
a
23
a
24
……a
2n
a
31
a
32
a
33
a
34
……a
3n

a
41
a
42
a
43
a
44
……a
4n

……………………………………
a
n1
a
n2
a
n3
a
n4
……a
nn

13
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且 所有公比相等．已知a
24
=1，a
42
=，a
43
=，< br>816
求a
11
+a
22
+……+a
nn
．
















2 12

五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放
入这个棱锥的最大球的半径．

M



C
D


A
B
3 12

第二试
(10月14日上午10∶30—12∶30)
一．(本题满分35分)
四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形 ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆
圆心分别是O
1
、O
2
、 O
3
、O
4
．求证OP、O
1
O
3
、O< br>2
O
4
三直线共点．


D

O
C

3



O
4


P

O
2


O


A
O
1



F
B































4 12

二．(本题满分35分)
设 E={1，2，3，……，200}，
G={a
1
，a
2
，……，a
100
}
?
?
E．
且G具有下列两条性质：
⑴ 对任何1≤i a
i
+a
j
≠201；
⑵
Σ
a=10080．
i
100
i=1
试证明：G中的奇数 的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．




































5 12

三．(本题满分35分)
某市有 n所中学，第i所中学派出C
i
名代表(1≤C
i
≤39，1≤i≤n)来到 体育馆观看球赛，全部学生总数
为
Σ
C=1990．看台上每一横排有199个座位， 要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安
i
n
i=1
排多少 横排才能够保证全部学生都能坐下．
6 12

1990年全国高中数学联赛(解答)
第一试
一．选择题(本题满分30分，每小题5分)
1．设α∈(，),则(cos?)
c os?
，(sin?)
cos?
，(cos?)
sin?
的大小顺序 是
42
A．(cos?)
cos?
<(sin?)
cos?
<(cos?)
sin?

B．(cos?)
cos?
<(cos?)
sin?
<(sin?)
cos?

C．(sin?)
cos?
<(cos ?)
cos?
<(cos?)
sin?

D．(cos?)
sin?
<(cos?)
cos?
<(sin?)
cos?

(1990年全国高中数学联赛)
解：α∈(，)?042
∴ (cos?)
cos?
<(sin?)
cos?
；(cos?)
sin?
<(cos?)
cos?
；选D．
2 ．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当 x∈[－
2,0]时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)=x+4 B． f(x)=2-x C． f(x)=3－|x+1| D． f(x)=2+|x+1|
解 设x∈[－2,－1],则x+4∈[2,3],于是f(x+4)=x+4，但f(x)= f(x+4)=x+4 (x∈[－2,－1])，
又设x∈[－1,0)，则－x∈(0,1],故f(－x)=－x+2，由f(x)= f(－x)=－x+2 (x∈[－1，0).
?
3－(－x－1)=x+4 (x∈[－2，－1])，
f(x)=3－|x+1|=
?
故选C．
?
3－(x+1)=－x+2 (x∈(－1，0))．
??
??< br>3．设双曲线的左右焦点是F
1
、F
2
，左右顶点是M、N，若△PF
1
F
2
的顶点P在双曲线上，则△PF
1
F
2的内切圆与边F
1
F
2
的切点位置是( )
y
A．在线段MN内部 B．在线段F
1
M内部或在线段NF
2
内部
P
C．点M或点N D．不能确定的
F
I
解：设内切圆在三边上 切点分别为D、E、F，当P在右支上时，PF
1
－PF
2
=2a．
E
D
F
1
M
O
N
F
2
x
但PF
1
－PF
2
=F
1
D－F
2
D= 2a，即D与N重合，当P在左支上时，D与M重合．故
选C．
11
4．点集{(x ，y)|lg(x
3
+错误!未指定书签。y
3
+)=lgx+lgy}中元 素个数为( )
39
A．0 B．1 C．2 D．多于2
1111
解：x
3
+y
3
+=xy>0．但x
3
+y
3
+≥3
3939
3 9
x= ，y= 时成立．故选B．
33
5．设非零复数x、y满足
A．2
－
1989
3
1111
x
3
·y
3
· =xy错误!未指定书 签。，等号当且仅当x
3
=y
3
=时，即
3939
33x
2
+xy+y
2
=0，则代数式
?
x
?1990
+
?
y
?
1990
的值是( )
?
x+y
??
x+y
?

B．－1 C．1 D．以上答案都不对
x
解：=ω或ω
2
，其 中ω=cos120°+isin120°．1+ω+ω
2
=0．且ω
3
=1 ．
y
x
ω
1990
1
1990
x
2ω
2
1990
1
若=ω，则得()+()=－1．若=ω，则得()+(
2
)
1990
=－1．选B．
2
y1+ω
ω+1
y1+ω
ω
+1
x
2
y
2
6．已知椭圆< br>2
+
2
=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1 的点的集合用阴影表示是下面图
ab
中的( )
7 12

y
(2,1)
y
(2,1)
y
(2,1)
y
(2,1)
x
O
(5，0)
x
O
(2,-1)
O
x
(5，0)
x
O
(2,-1)
A.
B.
C.
D.

411415415
解：
2
+
2
=1，由a
2
>b
2
，故得
2
<1<
2
+
2
=
2
，12
+
2
=1?< br>2
<1，a
2
>5．故选C．
abbbbbaba
二．填空题(本题满分30分，每小题5分)
11
1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则的最小值是 ．
n
+
1+a1+b
n
a+b
2
111+a< br>n
+1+b
n
nn
解：ab≤()=1，从而ab≤1，故 + = ≥1．等号当且仅当a=b=1时成立．即
21+a
n
1+b
n
1+ a
n
+b
n
+a
n
b
n
所求最小值=1．
2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点 ，则当t由15°变到45°时，线段
AP扫过的面积是 ．
y< br>解：点P在单位圆上，sin(2t－60°)=cos(150°－2t)，cos(2t－60°)= sin(150°－
1313
2t).当t由15°变到45°时，点P沿单位圆从(－，)运 动到(,)．线段AP扫
2222
1
过的面积=扇形面积=
π．
6
O
x
3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x
2
+y
2
+z
2
)
2
≤n(x
4
+y
4
+z
4
)成立，
则n的最小值是 ．
解：( x
2
+y
2
+z
2
)
2
=x
4< br>+y
4
+z
4
+2x
2
y
2
+2y
2
z
2
+2z
2
x
2
≤x
4+y
4
+z
4
+(x
4
+y
4
)+( y
4
+z
4
)+(z
4
+x
4
)=3(x
4
+y
4
+z
4
)．等号当且仅当
x=y=z时成 立．故n=3．
4．对任意正整数n，连结原点O与点A
n
(n，n+3)，用f( n)表示线段OA
n
上的整点个数(不计端点)，试求
f(1)+f(2)+…+f( 1990)．
n+3
解 线段OA
n
的方程为y=x(0≤x≤n)，故f(n)等于该线段内的格点数．
n
k+1
若n=3k(k∈N
+
)，则得y=x (0≤x≤n)(k∈N*)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，此时f(n)=2； < br>k
若n=3k±1(k∈N
+
)时，则由于n与n+3互质，故OA
n
内没有格点，此时f(n)=0．
1990
∴ f(1)+f(2)+…+f(1990)=2[]=1326．
3
5．设n=1990，则

1
2
2
C
4
3
6
994
1998
995
C
1990
= ．
n
n
(1－3C
n
+3
n
－3C
n
+… +3C
n
－3
2
1313131
解：取(－+i)
1990
展开的实部即为此式．而(－+i)
1990
=－+i．故原式=－．
22 22222
6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排
列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．
解：每个女孩与其 后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一
个位子，其余7组在8 +9－1个位子中选择7个位子，得C
8+9
－
1
=C
16
种选法．
8 12
7
7

7个女孩可任意换位，25个男 孩也可任意换位，故共得C
16
?7!?25!种排列方法．
三．(本题满分20分)
2ab
π
已知a，b均为正整数，且a>b，si nθ=
22
，(其中0<θ<)，A
n
=(a
2
+b
2
)
n
sinnθ．求证：对于一切自然数
a+b2
n，A
n
均为整数．
a
2
－b
2
2ab
证明：由si nθ=
22
，得cosθ=
22
．记A
n
=(a
2
+b
2
)
n
cosnθ．
a+ba+b
当a、b均为正整数时，A
1
=2ab 、B
1
=a
2
－b
2
均为整数．
A
2< br>=4ab(a
2
－b
2
)，B
2
=2(a
2
－b
2
)
2
－(a
2
+b
2
)< br>2
也为整数．
若A
k
=(a
2
+b
2)
k
sinkθ、B
k
=(a
2
+b
2
)
k
coskθ均为整数，
则A
k+1
=(a
2
+b
2
)
k
+1
sin(k+1)θ=(a
2
+ b
2
)
k
+1
sinkθcosθ+(a
2
+b< br>2
)coskθsinθ=A
k
?B
1
+A
1
B
k
为整数．
B
k+1
=(a
2
+b< br>2
)
k
+1
cos(k+1)θ=(a
2
+b
2
)
k
+1
coskθcosθ－(a
2
+b
2
)
k
+1
sinkθsinθ=B
k
B
1
－A
k
A
1
为整数．
由数学归纳原理知对于一切n∈N
*
，A
n
、B
n
为整数．

四．n
2
个正数排成n行n列

a
11
a
12
a
13
a
14
……a
1n
a
21
a
22
a
23
a
24
……a
2n
a
31
a
32
a
33
a
34
……a
3n

a
41
a
42
a
43
a
44
……a
4n

……………………………………
a
n1
a
n2
a
n3
a
n4
……a
nn

13
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且 所有公比相等．已知a
24
=1，a
42
=，a
43
=，
816
求a
11
+a
22
+……+a
nn
．(1990年全国高中数学联赛)
分析 由a
42
、a
43
或求 a
44
，由a
24
，a
44
可求公比．
解 设第一行等差数列的公差为d，各列的公比为q．
1
∴ a
44
=2a
43
－a
42
=．
4
由a
44
=a
24
?q
2
，得，
1
q=.
2
∴ a
12
=a
42
?q
3
=1．
a
14
－a
12
1
∴ d= = ，
2
4－2
1
∴ a
1k
=a
12
+(k－2)d=k(k=1，2，3，…，n)
2
11
k
－
1
1
k
－
∴ a
kk
=a
1k
q
k
1
=k·()=()·k．
222
令S
n
= a
11
+a
22
+…+a
nn
．
k－1
11k1n
则 S－S=－=+－
2
k=1
2
k
k=2
2
k
2
k=2
2
k< br>2
n
+1
－
7





Σ
nn+1
Σ
Σ
n
111nn+2
= + －
n
－
n
+1
=1－
n
+1
.
22222
n+2
∴ S=2－
n
．
2
9 12

五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△A MD的面积为1，试求能够放
入这个棱锥的最大球的半径．
M
解：取AD、BC中点 E、F，则ME⊥AD，AB⊥MA，AB⊥AD，?AB
⊥平面MAD，
R
∴ 平面MAD⊥平面ABC． ∴ ME⊥平面ABC．
O
H
C
Q
D
∴ 平面MEF⊥平面ABC．
F
EP
∵ EF∥AB，故EF⊥平面MAD，∴ 平面MEF⊥平面MAD．
A
B
∵ BC⊥EF，BC⊥ME，∴ BC⊥平面MEF，
∴平面MEF⊥平面MBC．
2
设AB=a，则ME= ，MF=
a
42
a
2
+
2
．a+≥22，
aa
4
a
2
+
2
≥2．
a
取△MEF的内切圆圆心O，作OP⊥E F、OQ⊥ME，OR⊥MF，由于平面MEF与平面MAD、ABC、
MBC均垂直，则OP、OQ、 OR分别与平面ABC、MAD、MBC垂直．从而以此内切圆半径为半径的球与平
面MAD、ABC、 MBC都相切， 设此球的半径为r，则
12
∴ r=(a+－
2a
4a
2
+
2
)≤
a
2
2
a++
a
4
a
2
+
2
a
≤
12
=2－1 ．等号当且仅当a=，即a=2时成立．
a
2+1
作QH⊥MA，由于OQ∥AB， 故OQ∥平面MAB，故球心O与平面MAB的距离=QH，
当AB=2，ME=2，MA=
10
，MQ=2－(2－1)=1．
2
2
1·
2
QHAEMQ·AE5
∵ △MQH∽△MAE，∴=，QH===>2－1．
MQMAMA
10
5
2
即O与平面MAB的距离>r，同理O与平面MCD的距离>r．故球O是放入此棱锥的最大球．
∴ 所求的最大球半径=2－1．


10 12

第二试
(10月14日上午10∶30—12∶30)
一．(本题满分35分)
四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形 ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆
圆心分别是O
1
、O
2
、 O
3
、O
4
．求证OP、O
1
O
3
、O< br>2
O
4
三直线共点．
证明 ∵O为⊿ABC的外心，∴ OA=OB．
∵ O
1
为⊿PAB的外心，∴O
1
A=O
1
B．
E
1
∴ OO
1
⊥AB．
D
作⊿PCD的外接圆 ⊙O
3
，延长PO
3
与所作圆交于点E，并与AB交
O
3< br>2
C
于点F，连DE，则?1=?2=?3，?EPD=?BPF，
∴ ?PFB=?EDP=90?．
O
4
P
∴ PO
3
⊥AB，即OO
1
∥PO
3
．
O
2
同理，OO
3
∥PO
1
．即OO
1
PO
3
是平行四边形．
O
∴ O
1
O
3
与PO互相平 分，即O
1
O
3
过PO的中点．
同理，O
2
O
4
过PO中点．
O
1
3
A
∴ OP、O
1
O
3
、O
2
O
4
三直线共点．
F
B

二．(本题满分35分)
设 E={1，2，3，……，200}，
G={a
1
，a
2
，……，a
100
}
?
?
E．
且G具有下列两条性质：
⑴ 对任何1≤i a
i
+a
j
≠201；
⑵
Σ
a=10080．
i
100
i=1
试证明：G中的奇数 的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．
证明：⑴取100个集合：{a
i
，b
i
}：a
i
=i，b
i
=201－i(i=1 ，2，…，100)，于是每个集合中至多能取出1
个数．于是至多可以选出00个数．现要求选出10 0个数，故每个集合恰选出1个数．
把这100个集合分成两类：① {4k+1，200－4k}；② {4k－1，202－4k}．每类都有50个集合．
设第①类选出m个奇数，50－m个偶数，第②类中选出n个奇数，50－n个偶数．
于是1?m+0?(50－m)+(－1)?n+2?(50－n)≡10080≡0(mod 4)．即m－3n≡0(mod 4)，即m+n≡0(mod 4)
∴ G中的奇数的个数是4的倍数．
⑵ 设选出的100个数为x
1
，x
2，…，x
100
，于是未选出的100个数为201－x
1
，201－x
2
，…，201－x
100
．
故x
1
+x
2
+…+x
100
=10080．
∴ x
1
2
+x
2
2
+…+x
1002
+(201－x
1
)
2
+(201－x
2
)
2
+…+(201－x
100
)
2

=2(x1
2
+x
2
2
+…+x
100
2
)－ 2×201×(x
1
+x
2
+…+x
100
)+100×2 01
2

=2(x
1
2
+x
2
2
+…+x
100
2
)－2×201×10080+100×201
2

=1
2
+2
2
+3
2
+…+200
2．
1
∴ x
1
2
+x
2
2
+…+x
100
2
=[(1
2
+2
2
+3
2
+…+200
2
)+2×201×10080－100×201
2
]
2
11
=[×200×201×401+201×20160－20100×201]
26
1
=×[100×67×401+201×60]=1349380．为定值．
2
三．(本题满分35分)
11 12

某市有n所中学 ，第i所中学派出C
i
名代表(1≤C
i
≤39，1≤i≤n)来到体育馆观 看球赛，全部学生总数
为
Σ
C=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一 学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安
i
n
i=1
排多少横排才能 够保证全部学生都能坐下．
解：首先，199>39×5，故每排至少可坐5所学校的学生．
1990=199×10，故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学生只要坐在10 排
就够了．
现让这些学生先按学校顺序入坐，从第一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另 一个学校的学生接
下去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行．这样一个空位都不留，则坐 10排，这些学生就
全部坐完．这时，有些学校的学生可能分坐在两行，让这些学校的学生全部从原坐处 起来，坐到第11、12
排去．由于，这种情况只可能在第一行末尾与第二行开头、第二行末尾与第三行 开头、……第九行末尾与
第十行开头这9处发生，故需要调整的学校不超过10所，于是第11、12行 至多各坐5所学校的学生，就
可全部坐完．这说明12行保证够坐．
其次证明，11行不能保 证就此学生按条件全部入坐：199=6×33+1．1990=34×58+18．
取59所学校， 其中58所学校34人，1所学校18人．则对前58所学校的学生，每排只能坐5所学校
而不能坐6所 学校．故11排只能坐其中55所学校的学生．即11排不够坐．
综上可知，最少要安排12横排才能保证全部学生都能坐下．

12 12