2017年新版高中数学-高中数学2-1椭圆电子课本
高中数学竞赛试题
一、选择题:(本大题共10个小题;每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中, 有
且只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶
函数,若
f(x)?g(x)?x?9x?12
,
则
f(x)?g(x)?
( )
A.
?x?9x?12
2.有四个函数:
①
y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③
y=
sinx?cosx
④
y?
其中在
(0,
A.①
3.方程
x?x?1?x
?
2
2
2
B.
x?9x?12
2
C.
?x?9x?12
D.
x?9x?12
22
sinx
cosx
?
2
)
上为单调增函数的是 ( )
B.②
x
2
?1
C.①和③ D.②和④
?(x<
br>2
?1)
?
x
的解集为A(其中π为无理数,π=3.141?,x为
实数),
则A中所有元素的平方和等于 ( )
A.0 B.1
2
C.2
2
D.4
4.已知点P(x,y)满足
(x?
4cos
?
)?(y?4sin
?
)?4(
?
?R)
,则点P(x,y)所在区域的面
积为 ( )
A.36π B.32π
C.20π D.16π
5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子
里球的个数不少于盒子的编号数,这样的装法种数为 ( )
A.9 B.12 C.15 D.18
6.已知数列{
a
n
}为
等差数列,且S
5
=28,S
10
=36,则S
15
等于
( )
A.80
7.已知曲线C:
y?
B.40 C.24
D.-48
?x
2
?2x
与直线
l:x?y?m?0
有两
个交点,则m的取值范围是
( )
A.
(?2?1,2)
B.
(?2,2?1)
C.
[0,2?1)
1
D.
(0,2?1)
8.过正方体ABCD—
A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线BD
1
的截面面积为S,S
max
和S
min
分别为S的最大值
和最小值,则
S
max
的值为 ( )
S
min
B.A.
3
2
0.5
6
2
C.
23
3
D.
26
3
9.设
x?0.82
A.x
3
7
,则x、y、z的大小关系为 (
)
B.y
C.z
x?2(a?3)x?b?9?0
中,a、b分别是投掷骰子所得的数字,
则该二次方程有两个正根的概率P= ( )
A.
1
18
B.
1
9
C.
1
6
D.
13
18
二、填空题(本大题共4个小题,每小题8分,共32分)
x
2
y
2
11.设P是椭圆
??1
上异于长轴端点的任意一点,F
1<
br>、F
2
分别是其左、右焦点,O为
169
中心,则
|PF<
br>1
|?|PF
2
|?|OP|?
___________.
12.已知△ABC中,
AB?a,AC?b
,试用
a
、
b
的向量运算式子表示△ABC的面积,即
S
△ABC
=____________________.
13.从3名
男生和n名女生中,任选3人参加比赛,已知3人中至少有1名女生的概率为
则n=_________
_.
14.有10名乒乓球选手进行单循环赛,比赛结果显示,没有和局,且任意5人中既有1人
胜其余4人,又有1人负其余4人,则恰好胜了两场的人数为____________个.
三、解答题(本大题共5个小题,15-17题每小题12分,18题、19题每小题16分,共68
分)
15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”,若
f(f(x))?x
,则称x为f(x)
的“稳定点”,函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即
2
2
34
,
35
A?{x|f(x)?
x
},
B?{x|f[f(x)]?x}
.
(1).
求证:A
?
B
(2).若
f(x)?ax?1(a?R,x?R)
,且
A?B?
?
,求实数a的取值范围.
16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组,各组每天生产上衣或裤子的能力如下表,现在上
衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套),问在7天内,这4个组最多能生产
多少套?
组
上衣(件)
裤子(条)
A
8
10
B
9
12
3
2
C
7
11
D
6
7
17.设数列
{a
n
}
满足条件:a
1
?1,a
2
?2
,且
a
n?2
?
a
n?1
?a
n
(n?1,2,3,?
)
求证:对于任何正整数n,都有
n
a
n?1
?1?
1
8.在周长为定值的△ABC中,已知|AB|=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为
(
1).建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N
两点,求
|BM|?|BN|
的最小值的集合.
4
1
n
a
n
7
.
25
19.已知三棱锥O-
ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,P是底面△ABC内的任一点,
OP与三侧面所成的角分别为α、β、
?
.
求证:
5
?
2
?
?
?
?
?
?
?3arcsin
3
3
高中数学竞赛试题参考答案
一、选择题:
ADCBC CCCBA
二、填空题:
11. 25
12.
1
(|a|?|b|)
2
?(a?b)
2
13. 4 14. 1
2
三、解答题:
15.证明(1).若A=φ,则A
?
B 显然成立;
若A≠φ,设t∈A,则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而
A
?
B.
解 (2):A中元素是方程f(x)=x
即
ax?1?x
的实根.
由 A≠φ,知 a=0 或
?
22
2
?
a?0
?
??1?4a?0
3
即
a??
422
1
4
B中元素是方程
a(ax?1)?1?x
即
ax?2ax?x?a?1?0
的实根
由A
?
B,知上方程左边含有一个因式
ax?x?1
,即方程可化为
(ax?x?1)(ax?ax?a?1)?0
因此,要A=B,即要方程
ax?ax?a?1?0
①
要么没有实根,要么实根是方程
ax?x?1?0
②的根.
若①没有实根,则
?
2
?a?4a(1?a)?0
,由此解得
a?
22
22
222
2
22
2
3
4
若①有实根且①的实根是②的实根,则由②有
ax?ax?a
,代入①有
2ax+1=0.
1113
,再代入②得
??1?0,
由此解得
a?
.
2a4a2a4
13
故 a的取值范围是
[?,]
44
8976
16.解:A、B、C、D四个组每天生产
上衣与裤子的数量比分别是:
,,,
,
1012117
6897
且
???
①
7101211
由此解得
x??
只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣,生产裤子效率最高的组做裤子,才能使做的
套数最多.
6
由①知D组做上衣效率最高,C组做裤子
效率最高,于是,设A组做x天上衣,其余(7-x)
天做裤子;B组做y天上衣,其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣,C组做7天裤子.
则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y
(件);生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)
依题意,有
42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y),即
y?9?
令 μ=
42+8x+9y=42+8x+9(
9?
6x
.
7
6x2
)=123+
x
77
因为
0≤x≤7,所以,当x=7时,此时y=3,
μ取得最大值,即
μ
max
=125.
因此,安排A、D组都做7天上衣,C组做7天裤子,B组做3天上衣,4天裤子,这样
做的套数最多,为125套.
17.证明:令
a
0
?1
,则有
a
k?1
?a
k
?a
k?1
,且
1<
br>?
n
a
k
a
?
?
k?1
于是 <
br>n?
?
k?1
a
k?1
k?1
a
k?1n
a
k
a
?
k?1
(k
?
1,2,<
br>?
)
a
k?1
a
k?1
由算术-
几何平均值不等式,可得
1?
n
a
a
a
a
a1
a
2
????
n
+
n
0
?
1
???
n?1
a
2
a
3
a
n
?1
a
2
a
3
a
n?1
注意到
a
0
?a
1
?1
,可知
1?
1
n
a
n?1
?
1
n
a
n
a
n?
1
,即
n
a
n?1
?1?
1
n
a
n
18.解:(1) 以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设
|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,所以焦距
2c=|AB|=6.
因为
|CA|
2
?|CB|
2<
br>?6
2
(|CA|?|CB|)
2
?2|CA||CB|?362a<
br>2
?18
cosC????1
2|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|
又
|CA|?|CB|?
(
18
2a
2
187
)?a
2
,所以
cosC?1?
2
,由题意得
1?
2
?,a
2
?25
.
2
a
25
a
此时,|PA|=|PB|,P点坐标为
P(0,±4).
x
2
y
2
??1(y?0)
所以C点的轨迹方程为
2516
(2) 不妨设A点坐标为A(-3,0),M(x1
,y
1
),N(x
2
,y
2
).当直线MN
的倾斜角不为90时,
7
0
1k
2
2
3
2
9k
2
设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简,得
(?)x?kx?(?1)?0
2516816
150k
2
225k
2
?400
显然有 △≥0, 所以
x
1
?x
2
??
,x
1
x2
?
22
16?25k16?25k
而由椭圆第二定义可得
339
|BM|?|BN|?(5?x
1
)(5?x
2
)?25?3
(x
1
?x
2
)?x
1
x
2
5525144
450k81k?144531k?144531
531
?25
???25??25??
16
25
16?25k
2
16?25k2
16?25k
2
k
2
?
25
222
k
2
?
14416144
?
53125531
取最小值,显
然. 只要考虑 的最小值,即考虑
1?
1616
k
2
?k
2
?
2525
k
2
?
当k=0时,
|BM|?|B
N|
取最小值16.
当直线MN的倾斜角为90时,x
1
=x
2
=-3,得
|BM|?|BN|?(
0
34
2
)?16
5<
br>x
2
y
2
??1(y?0)
,故
k?0
,这
样的M、N不存在,即
|BM|?|BN|
的最小 但
2516
值的集合为空集.
19.证明:由 题意可得
sin
?
?sin
?
?sin
?
?1
,且α、β、
?
?(0,
所以
sin
?
?1?sin
??sin
?
?
222
222
?
2
)
1
(cos2
?
?cos2
?
)?cos(
??
?
)cos(
?
?
?
)
2
222
因为
cos(
?
?
?
)?co
s(
?
?
?
)
,所以
sin
?
?cos
(
?
?
?
)?sin[
当
?
?
?
?
当
?
?
?
?
?
2
?(
?
?
?
)]
?
2
时,
?
?
?<
br>?
?
?
时,
?
?
?
2
.
?
2
?
2
?(
?
?
?
)
,同样有
?
?
?
?
?
?
?
2
故
?
?
?
?
?
?
?
2
8
另一方面,不妨设
?
?
?
?
?
,则
sin
?
?
33
,sin
?
?
33
令
sin
?
1
?
2
33
,sin
?
1
?1?()
2
?
sin
2
?
,
33
22
则
sin
?
1
?sin
?
?sin
?
1
?1
sin
2
?
?cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos(
?
1
?
?
1
)cos(
?
1
?
?
1
)
因为 ?
1
?
?
1
?
?
?
?
,所以
cos(
?
1
?
?
1
)?cos(
??
?
)
所以
cos(
?
?
?)?cos(
?
1
?
?
1
)
所以
?
?
?
?
?
1
?
?
1
如果运用调整法,只要α、β、
?
不全相等,总可通过调整,使
?
1
?
?
1
?
?
1
增大.
所以,当α=β=
?
=
arcsin
33
时,α+β+
?
取最大值
3
arcsin
.
33
3
3
综上可知,
?
2
?
?
?
?
?
?
?3arcsin
9
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