2013年全国高中数学联赛一试试题及解答

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1．设集合
A={2,0, 1,3}
，集合
B={x|-x?A,2
为____________．
u uuruuur
2．在平面直角坐标系
xOy
中，点
A、B
在抛物线
y=4x
上，满足
OA?OB
2
x
2
?A}
．则集合
B
中所有元素的和
-4
，
F
是
抛物线的 焦点. 则
S
?OFA
?S
?OFB
_____________.
3．在
?ABC
中，已知
sinA=10sinBsinC,cosA=10 cosBcosC
，则
tanA
的值为______.
4．已知正三棱锥< br>P-ABC
底面边长为
1
，高为
2
，则其内切球半径为___ _____.
5．设
a,b
为实数，函数
f(x)=ax+b
满 足：对任意
x?[0,1]
，有
f(x)?1
. 则
ab
的最
大值为_____________.
6．从
1,2 ,L,20
中任取
5
个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为________ __.
7．若实数
x,y
满足
x-4y=2x-y
，则
x
的取值范围是____________.
8．已知数列
{a
n
}
共有
9
项，其中
a
1
=a
9
=1，且对每个
i?{1,2,L,8}
，均有
禳
a
i+1
镲
?
睚
2,1,
镲
a
i
镲
铪
1
，则这样的数列的个数为__________.
2
二、解答题：本大题共3小题 ，共56分，解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
9．（本题满分16分）给定正 数
{
x
n
}
满足
S
n
?2S
n- 1
,n
明：存在常数
C>0
，使得
这里
S
n
=x
1
+L+x
n
. 证
2,3,L
，
x
n
匙C2
n
,n=1,2,L
.
x
2
y
2
10．（本题满分20分）在平面直角坐标系
xO y
中，椭圆的方程为
2
+
2
=1(a>b>0)
，
ab
A
1
、A
2
分别为椭圆的左、右顶点，
F
1< br>、F
2
分别为椭圆的左、右焦点，
P
为椭圆上不同于
A
1
和
A
2
的任意一点. 若平面中两个点
Q、R
满足QA
1
^PA
1
,QA
2
^PA
2
, RF
1
^PF
1
,RF
2
^PF
2
，试< br>确定线段
QR
的长度与
b
的大小关系，并给出证明.
11 ．（本题满分20分）求所有的正实数对
(a,b)
，使得函数
f(x)=ax
2
+b
满足：对任意
实数
x,y
，有
f(xy)+f(x+y)?f(x)f(y)
.