高中数学大题手写-高中数学一轮系统复习教程
2017年全国高中数学联赛模拟试题04
第一试
(时间:8:00-9:20 满分:120)
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.
1. 集合
A={x,y}
与
B={1,log
3
(x+2)}
恰有一个公共元为正数
1+x
,则
AUB=
.
2.若函数
f
?
x
?
?log
a
?
ax?x?
2
?
?
3
?
?
在区间
?
1,2
?
上递增,则
a
的取值范围是___________.
2
?
3.已知
0?
?
?
?
?
4.在单调递增
数列
?
a
n
?
中,已知
a
1
?2
,
a
2
?4
,且
a
2n?1
,
a
2n
,
a
2n?1
成等差数列,
a
2n
,
a
2n?1
,
a
2n?2
成
等比数列,
n?1,2
,3,L
.那么,
a
100
?
_________.
5. 已知点
P(1,2,5)
是空间直角坐标系
O?xyz
内一定
点,过
P
作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于
A,B,C
三点,则所有这样
的四面体
OABC
的体积的最小值为 .
6.在
?ABC
中,角
A,B,C
的对边为
a,b,c
,
a?5
,
b?4
,又知
cos(A?B)?
?
2
,且tan
?
?3tan
?
,则
u?
?
?
?
的最大值为________.
31
,
32
则
?ABC
的面积为 .
7. 已知过两抛物线
C
1
:x?1?(y?1)
2
,C
2
:(y?1)
2
??4x?a?1
的交点的各自的切线互相
垂直,
则实数
a
的值为 .
8.
若整数
a,b
既不互质,又不存在整除关系,则称
a,b
是一个“联盟”数对
;设
A
是集
M?
?
1,2,L,2014
?
的n
元子集,且
A
中任两数皆是“联盟”数对,则
n
的最大值为
.
二、解答题:本大题共3小题,共56分.
2
a
n
?3
9. (本小题满分16分)设数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
n?1
?,n?1
.求证:
2a
n
(1)
当
n?2
时,
a
n
严格单调递减.(2)
当
n?1
时,
|a
n?1
?3|?23
r
2
n
1?r
2
n
,这里
r?
2?3
.
y
2
x
2
2
PQ
10. (本
小题满分20分)设椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与抛物线
x?2py(p?0)
有一个共同的焦点
F
,
ab
为它们的一条公
切线,
P
、
Q
为切点,证明:
PF?QF
.
11. (本小题满分20分)求证:(1)方程
x?x?1?0
恰有一个实根
?
,并且
?
是无理数;
(
2)
?
不是任何整数系数二次方程
ax?bx?c?0(a,b,c?Z,a?0)<
br>的根.
2
3
2017年全国高中数学联赛模拟试题04
加试
(时间:9:40-12:10
满分:180)
一、(本小题满分40分)如图,在锐角
?ABC
中,
AB?AC,D
、
E
分别是边
AB
、
AC
的中点,
?ADE
的外接圆与
?BCE
的外接圆交于点
P
(异于点
E
),
?ADE
的外接圆与
?BCD
的外接圆交于点
Q
(异
于点
D
)。求证:
AP?AQ
.
二、(本小题满分40分)
求所有素数
p
,使得
p
2
?
p-1
k
2
p+1
k=1
三、(本小题满分50分)
2
设
n
是一个正整数,a
1
,a
2
,L,a
n
,b
1
,b<
br>2
,L,b
n
,c
2
,c
3
,L,c
2n
是4
n
-1个正实数,使得
c
i?j
?a
i
b
j
,1?i,j?n
.
令
m?maxc
i,证明:
(
2?i?2n
m?c
2
?c
3
?L
?c
2n
2
a?a?L?a
n
b
1
?b
2
?L?b
n
)?(
12
)()
.
2nnn
四、(本小题满分50分)
n
个棋手参
加象棋比赛,每两个棋手比赛一局.规定胜者得1分,负者得0分,平局各得0.5分.如果
赛后发现任
何m个棋手中都有一个棋手胜了其余
m
-1个棋手,也有一个棋手输给了其余
m
-1个棋手,就称
此赛况具有性质
P
(
m
).对给定的
m
(
m
≥4),求
n
的最小值
f
(
m
),使得对具有性质
P
(
m
)的任何赛况,都
有所有
n<
br>名棋手的得分各不相同.
2017年全国高中数学联赛模拟试题04
第一试参考解答
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.
1. 集合
A={x,y}
与
B={1,log
3
(x+2)}
恰有一个公共元为正数
1+x
,则
AUB=
.
解:由于
1+
x?x
,故
1+x=y
.由
log
3
(x+2)?1
知
x?1
,又因为
1+x>0
,所以
3
1+x
>
e
1+x
>x+2
即
log
3
(x+2)<1+x
故只能是
y=1+x=1
,这样
A={0,1}
,
B={1,log
3
2}
,得
AUB={0,1,log
3
2}
3
?
?
在区间
?
1,2
?
上递
增,则
a
的取值范围是___________.
2
?
??
?
0?a?1,
?
a?1,
??
11
?
1
?
1
?2,?1,
,解:(ⅰ)当
0?a?1
时,只需
?
,解得
?a?
.(ⅱ)当
a?1
时,只需
?
解得<
br>a?1
.
2a2a
84
??
11
??
4a
??0.a??0.
??
?2?2
?
11
?
综上,
a
的取值范围是
?
,
?
U
?
1,??
?<
br>.
?
84
?
2.若函数
f
?
x
?
?log
a
?
ax?x?
2
?
?
3.已知
0?
?
?
?
?
?
2
,且
tan
?
?3tan
?
,则
u?
?
?
?
的最大值为________.
解:因为
0?
?
?
??
所以
tan
?
?
?
?
?
?
?
2
,
tan
?
?3tan
?
,所以
0?
?
?
?
?
?
2
,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
1?tan
?
?<
br>?
?
?
tan
?
?tan
?
.
2
tan
?
?
1?3tan
2
?
2
1
?3t
an
?
tan
?
?
?
3
,
u
的最
大值为.
6
3
4.在单调递增数列
?
a
n?
中,已知
a
1
?2
,
a
2
?4,且
a
2n?1
,
a
2n
,
a
2n?
1
成等差数列,
a
2n
,
a
2n?1
,
a
2n?2
成
等比数列,
n?1,2,3,L
.那么,
a100
?
_________.
解:因为
?
a
n?
单调递增,
a
1
?0
,所以
a
n
?
0
.因为
a
2n?1
,
a
2n
,
a
2n?1
成等差数列,
a
2n
,
a
2n?1
,<
br>a
2n?2
成等
?
a
2n?2
?a
2n?a
2n
?a
2n?2
a
2n?1
?a
2n?
1
?
a
2n?1
?a
2n?1
?2a
2n
a??
比数列,所以
?
.因为,
2n
2
22
?<
br>?
a
2n
?a
2n?2
?a
2n?1
所以<
br>a
2n
?
a
2n?2
?a
2n?2
2
,数列
2
?
a
2n
是等差数列.易得
a
3
?6
,
a
4
?9
,所以
a
4
?a
2
?1
.
?
2
所以
a
2n
?n?1<
br>,
a
2n
?
?
n?1
?
,
a
100
?51?2601
.
5. 已知点
P(1,2,5)<
br>是空间直角坐标系
O?xyz
内一定点,过
P
作一平面与三坐标轴的正
半轴分别交于
A,B,C
三点,则所有这样的四面体
OABC
的体积的最小值
为 .
解:设此平面的方程为
xyz
???1
,
a,b,c?0
分别是该平面在
x,y,z
轴上的截距,又点
P<
br> 在平面
ABC
内,
abc
3
125125
??
,即故
???1
,由于
1????3
,得
V
O
ABC
?abc?45
.当
???
,
?
abcabc
abc27abc6abc3
即
(a,b,c)?(3,6,15)
时,
V
OABC
的最小值为45.
6.在
?ABC
中,角
A,B,C
的对边为
a,b,c
,
a?5
,
b?4
,又知
cos(A?B)?
则
?ABC的面积为 .
31
,
32
aba?ba
?b
得
9?(sinA?sinB)?1?(sinA?sinB)
,
??
?
sinAsinBsinA?sinBsinA?sinB
A?BA?BA?BA?BA?B
A?B
故
18sin
,即
tan
.
cos?2sinco
s?9tan
222222
A?B
1?tan
2
2
,又根据
a?b
知
A?B
,所以
tan
A?B
?
7
,从而 因为
cos(A?B)?
A?B
221
1?tan
2
2
A?B37CA?B7371157
,于是
tan?cot
,<
br>sinC?
,
S?absinC?
.
tan??
27223
824
解法2:在边
AB
内取点
A
1
,使
CA1
?CA?4
,则
?ACB??CA
1
A??ABC?A?B<
br>.由条件及余弦定理得,
1
解法1:由等比定理
CA
1
2?A
1
B
2
?BC
2
9
313
?,
A
1
B?4?5?2?4?5??
,进一步有
cosA??
cos?CA
1
B??
2CA
1
?A
1
B16322
22
1157
93
57
?
9
?
因此
c?AA
1
?A
1
B?2??4??6
,
h<
br>c
?41?
??
?
,所以
S?ch
c
?.
24
4
162
?
16
?
7. 已知过两抛
物线
C
1
:x?1?(y?1)
2
,
C
2
:(y?1)
2
??4x?a?1
的交点的各自的切线互相垂直,则实数
a<
br>的
值为 .
aaaa
?1)
,
?1)
解:联立曲线
C
1
,C
2
的方程,求得交点坐标为<
br>(,1?
由对称性,不妨只考虑交点
A(,1?
5555
处切线是否垂
直:在点
A
局部,
C
1
,C
2
所对应的解析式分别
为
C
1
:y?1?x?1
,
C
2
:y??4x?a
?1?1
.
1(?4x)
?
2
??
对
C
1
求导得
y
?
?
,对
C
2
求导得
y
?
?
,故两条曲线在点
A
处的斜率分别
2x?12?4x
?a?1?4x?a?1
1221
为与
?
,它们垂直当且仅当
???
?1
,解得
a?0
.
aaaa
2?1?1?12?1
55
55
8.若整数
a,b
既不互质,又不存在整除关系,则称
a,b
是
一个“联盟”数对;设
A
是集
M?
?
1,2,L,2014
?
的
2
n
元子集,且
A
中任两数皆是“联盟”数对,则n
的最大值为 .
解:称这种子集
A
为
“联盟子集”;首先,我们可构造一个联盟子集,其中具有
504
个元素.为此,取
A
?
?
2kk?504,505,L,1007
?
, 以下证,
504
就是
n
的最大值.今设
A
是元素个数最多的一个联盟子集,
若
a
j
是集
A
中的最小数,显然
a
j
?1
,如果
a
j
?1007
,则得
2a
j
?2
014
,即
2a
j
?M
,
A?
?
a
1
,a
2
,L,a
n
?
,
显然
2aj
?A
,(因
2a
j
与
a
j
有整除关
系).今在
A
中用
2a
j
替代
a
j
,其它
元素不变,成为子集
A
?
,则
A
?
仍
然是联盟子集
,这是由于对于
A
中异于
a
j
的任一元素
a
i,因
a
j
与
a
i
不互质,故
2a
j<
br>与
a
i
也不互质;再说明
2a
j
与
a
i
没有整除关系:因
a
j
?
a
i
,则
2
a
j
?
a
i
;又若
a
i
2a
j<
br>,设
2a
j
?ka
i
,(显然
k?1,2
,
否则
a
i
,a
j
有整除
关系),则
k?2
,于是
a
i
?a
j
,这与
a
j
的最小性矛
盾!因此
A
?
仍然是联盟子集,并且仍是
n
元集;重复以
上
做法,直至子集中的元素皆大于
1007
为止,于是得到
n
元联盟子集
B?
?
b
1
,b
2
,L,b
n
?
,其中
1007?b
j
?2014
.即
B?
?
1
008,1009,L,2014
?
,因任两个相邻整数必互质,故在这
1007个连续正整数
中至多能取到
504
个互不相邻的数,即
n?504
.又据前面所述的构造可知,
n
的最大值即为
504
.
二、解答题:本大题共3小题,共56分.
2
a
n
?3
9. (本小题满分16分)设数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
n?1
?,n?1
.求证:
2a
n
(1)
当
n?2
时,
a
n
严格单调递减.(2) 当
n?1
时,
|a
n?1
?3|?23
r
2
n
1?r2
n
,这里
r?2?3
.
2
a
n
?
3
解:(1)由
a
1
?1,a
n?1
?,n?1
及
归纳法易得
a
n
?0(n?N
*
)
,且
a
n
均为有理数…………4分
2a
n
2
a
n
?3<
br>当
n?2
时,由均值不等式得,
a
n
?
?1
?3
,又因为
a
n
均为有理数,故当
n?2
时
a<
br>n
?3
2a
n?1
22
a
n
?3
?a
n
?3
从而
a
n?1
?a
n
??a<
br>n
??0(n?2)
,所以当
n?2
时,
a
n
严格单调递减.…………8分
2a
n
2a
n
2
22a
n
?3(a
n
?3)
2
a
n
?3(
a
n
?3)
2
a
n
?3
(2)由
a
n?1
?
得
a
n?1
?3?
,
a
n?1
?3?
…12分
?3??3?
2a
n
2a
n2a
n
2a
n
2a
n
a
n?1
?3<
br>?
a
n
?3
?
a?3
a?3
2
n<
br>?
?
?2?3
, 两式相除得,由此得
n?1
,其中
r?
1
?r
?
?
a
n?1
?3
?
a?3
a
1
?3
a
n?1
?3
?
n
?
解得
a
n?1
?3
2
1?r
2
1?r
n
2
n
,所以
|a
n?1
?3|?23
r
2
n
1?r
2
n
…………16分
y
2
x
2
2
10. (本小题满分20分)设椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与抛物线
x?2py(p?0)
有一个共同的焦点
F
,
PQ
ab
为它们的一条公切线,
P<
br>、
Q
为切点,证明:
PF?QF
.
?
p
?
证:设
P
?
x
1
,y
1
?
在抛
物线上,
Q(x
2
,y
2
)
在椭圆上,焦点
F<
br>?
0,
?
,则抛物线切线方程为
x
1
x?p
?
y?y
1
?
,
?
2
?
y
2yx
2
x
a
2
x
2
b
2
y<
br>2
a
2
b
2
椭圆切线方程为
2
?
2
?1
它们为同一直线,
????y
1
y
2
??a<
br>2
,x
1
x
2
?2b
2
.
①
ab
x
1
?ppy
pp1
2
p
y
1
?y
2
?p?
?
y
1
?y
2
?
?a
2
2
?
2
?
42
?k
FP<
br>?k
FQ
?
② ………… 5分
2
x1
x
2
2b
pk
2
pk
2
,?PQ:
y?kx?,
设公切线
PQ
方程为
y?kx?m
,代入抛物线方程
并由
??0?m??
22
?
x
1
?pk
?
与抛物线切线方程比较可得
?
1
2
………… 10分
y?pk1
?
?2
p
2
k
4
2222
?a2
?k
2
b
2
?p
2
k
4
?
4b
2
k
2
?a
2
?0
,将公切线方程代入椭圆方
程,并令
??0?m?a?kb?
4
p
2
?4b
2
p
2
2222
Q
两曲线有相同焦点,
?c??p?4c?4(a?b)
,代入上式解得k?
………… 15分
2
p
2
1p
2
?4
b
2
p
2
?4b
2
2a
2
a
2<
br>2pa
2
2pa
2
p
?y
1
?p???,<
br>,
y????????
2
2
22222
2p2pp
y
1
p?4b4a?4b?4b2
4a
2
?p
2
2b
2
?y
1
+y
2
?
?
,代入②式,得
?k
FP
?k
FQ
2pp
?PF
?QF
. ………… 20分
3
2
1
2
p2b
2
p???a
2
a
2
?b
2
?b
2?a
2
42p
????1
2b
2
2b
2
11. (本小题满分20分)求证:(1)方程x?x?1?0
恰有一个实根
?
,并且
?
是无理数;
(2)
?
不是任何整数系数二次方程
ax?bx?c?0(a,b,c?Z,a?0
)
的根.
证明:(1)设
f(x)?x?x?1
,则
f'(x)?
3x?1
.
f(x)
在
?
??,?
32
?
?
?
?
3
?
33
?
上单调递增,在上单
?
,
???
???
3
??
33
?
?
3
?
3232
上单调递增,故
f
极大
(x)?f(?
,??
)??1?0,f(x)?f()???1?0
?
极小
?
3
?
33
3333
??
3
再由
f(1)??1?0
,f(2)?5?0
知,方程
x?x?1?0
恰有一个实根
?
??
1,2
?
………… 5分
调递减,在
?
假设
?
?
m
32
,其中
m,n
是互素的正整数,则
m
?n(m?n)
,故
n
2
m
3
于是
n?1
,即
?
?m
是整数,这与
n
?
?
?
1,
2
?
矛盾,由此得
?
是无理数………… 10分
2
23
(2)假设
?
还满足
a
?
?b
?
?
c?0(a,b,c?Z,a?0)
①,则又因为
?
?
?
?1?0<
br>②,①乘以
?
减去②乘
以
a
得
b
?
?(a?c)
?
?a?0
,将其乘以
a
减去①乘以
b
得
a
2
?ac?b
2
222
??
?
?a
2
?bc?0
………… 15分
a
2
由于
?是无理数
a,b,c?Z,
所以
a?ac?b?a?bc?0
,因为a?0
,所以
bc?0
,
b?
c
a
3
a
a
22
代入
a?ac?b?0
得
3
?
?1?0
从而
?
?
这与
?
是无理数矛盾,
cc<
br>c
2
因此
?
不是任何整数系数二次方程
ax?bx?c?0(
a,b,c?Z,a?0)
的根. ………… 20分
2017年全国高中数学联赛模拟试题04
加试参考答案
一、(本小题满分40分)如图,在锐角
?ABC
中,
AB?AC,D
、
E
分别是边
AB
、
AC
的中点,
?ADE
的外接圆与
?BCE
的外接圆交于点
P
(异于点
E
),
?ADE
的外接圆与
?BCD
的外接圆交于点
Q
(异
于点
D
)。求证:
AP?AQ
.
二、(本小题满分40分)
求所有素数
p
,使得
p
解:对
k=1,2,L,
2
?
p-1
k
2p+1
k=1
p-1
,有
k
2p
=k
2
(modp)<
br>(费马小定理),故
2
k
2p+1
+(p-k)
2p+1<
br>?k
2p+1
(2p+1)pk
2p
-k
2p+1
汉
pk
2p
p
2
-1
鹤pk=p?(modp
2
)<
br>.
24
k=1
22
p-1
2
pk
2
(modp
2
)
,
求和可知,
邋
k
k=1p-1
2p+1
当且仅当
24p-1
时,素数
p
满足<
br>p
2
2
?
p-1
k
2p+1
,显然
p?5
.
k=1
当
p?5
时,
p
2
-1
=(p+1)(p-1)
必为3和8的倍数,故
24p
2
-1
.
因此所求素数
p
是一切大于3的素数.
三、(本小题满分50分)
设
n
是一个正整数,
a
1,a
2
,L,a
n
,b
1
,b
2
,L
,b
n
,c
2
,c
3
,L,c
2n
是4<
br>n
-1个正实数,使得
c
i
2
?j
?a<
br>i
b
j
,1?i,j?n
.
m?c
2
?c<
br>3
?L?c
2n
2
a?a?L?a
n
b
1<
br>?b
2
?L?b
n
)?(
12
)()
. <
br>2?i?2n
2nnn
证明:令
X?maxa
i
,Y?max
b
i
,分别用
a
i
'
?a
i
X,b
i
'
?b
i
Y,c
i
'
?c
i
XY
代替
a
i
,b
i
,c
i
,因此我们可
以
令
m?maxc
i
,证明:
(
1?i?n1?i?n假设
X?Y?1
.下面我们证明
m?c
2
?L?c
2n
?a
1
?L?a
n
?b
1
?L?b
n
故
(*)
m?c
2
?L?c
2n
1
a
1
?L?a
n
b
1
?L?b
n
?(?)
由平均不等式即得所需结论.
2n2nn
我们将证明
?r?0,(
*)
中左边大于
r
的项不少于右边,因此对每个
k
,左边第
k
大的项比右边第
k
大的项大.
这就证明了(*).
若
r?1
,则(*)右边没有大于1的项;
若
r?1
,令
A?{1?i?n|a
i
?r},a?|A|,B?{1?i?n|b
i?r},b?|B|,
因为
X?Y?1
,所以
a
和
b<
br>至少是1.又
a
i
?r,b
i
?r
,故
c<
br>i?j
?a
i
b
j
?r.
所以
C?{2?i
?2n|c
i
?r}?A?B?{
?
?
?
|
??A,
?
?B}
.
因为若
A?{i
1
,K,
i
a
},B?{j
1
,K,j
b
},i
1
?L?i
a
,j
1
?L?j
b
,则下面
a?b?1
个数互不相同且属于
A?B
:
i
1
?j
1
,i
1
?j
2
,L,i
1
?j
b
,i<
br>2
?j
b
,L,i
a
?j
b
所以
|
C|?a?b?1
.当然
|C|?1
.所以对某个
k
,
c<
br>k
?r
.所以
M?r
.
所以在(*)中左边至少有
a?b
项大于
k
,而右边只有
a?b
项大于
k
.(
*)得证.
四、(本小题满分50分)
n
个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一
局.规定胜者得1分,负者得0分,平局各得0.5分.如果
赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了
其余
m
-1个棋手,也有一个棋手输给了其余
m
-1个棋手,就称
此
赛况具有性质
P
(
m
).对给定的
m
(
m
≥4),求
n
的最小值
f
(
m
),使得对具有性质
P
(
m
)的任何赛况,都
有所有
n
名棋手的得分各不相同.
证: 先证明两个引理.
引理1 当
n
≥
m
时,如果<
br>n
个棋手的赛况具有性质
P
(
m
),则必有一个棋手全胜.
当
n
=
m
时,命题显然成立.
假设命题对
n成立,则对
n
+1个棋手,从中任取
n
个棋手,由归纳假设,这
n
个棋手中必有一个棋手全
胜,不妨设
A
1
,
A
2
,…,
A
n
中
A
1
全胜.
对另一个棋手
A
n
+1
:
若
A
1
胜
A
n
+1
,则在
n
+1个棋手中,
A
1
全胜;
若
A
1
平
A
n
+1
,
考察棋手
A
1
,
A
2
,…,
A
n
-1
,
A
n
+1
,这
n
个棋手中没有人全胜,不可
能;
若
A
n
+1
胜
A
1
,考察棋手A
1
,
A
3
,
A
4
,…,
A
n
,
A
n
+1
,这
n
个棋手中全胜的只能
是
A
n
+1
,特别地,
A
n
+1
胜
A
3
,
A
4
,…,
A
n
.同理,
A
n
+1
也胜
A
2
,所以在这
n
+1个
棋手中
A
n
+1
全胜.
由归纳原理知,命题对任意
n
≥
m
成立.
类似地可证:
引理2 当
n
≥
m
时,如果
n
个棋手的赛况具有
性质
P
(
m
),则必有一个棋手全败.
回到原题.我们来证明:
当
n
≥2
m
-3时,所有棋手的得分必各不相同.
由引理
1,有一个棋手
A
1
胜了其余
n
-1个棋手,有一个棋手
A
2
胜了除
A
1
外的
n
-2个棋手,……,有一个棋手
A
n
-
m
+1
胜了除
A
1,
A
2
,…,
A
n
-
m
外的
m
-1个棋手.
由引理2,有一个棋手
A
n
负于其余
n<
br>-1个棋手,有一个棋手
A
n
-1
负于除了
A
n外的
n
-2个棋手,……,
有一个棋手
A
n
-
m
+3
负于除
A
n
,
A
n
-1
,
…,
A
n
-
m
+4
外的
n
-
m<
br>+2个棋手,另外还有一棋手为
A
n
-
m
+2
. <
/p>
这样,这
n
个棋手
A
1
,
A
2
,…,
A
n
,编号小的棋手都战胜了编号大的棋手,所以他们的得分为n
-1,
n
-2,…,
1,0,各不相同.
对
n
=2
m
-4,设
n
个棋手水平为:
1,2,…,
m
-3,
m
-2,
m
-2,
m
-1,…,2
m
-5,
其中水平编号小的棋手胜水平编号大的棋手,编号相等的棋
手打平.则对任取
m
个棋手,必有一最小编号为
i
(1≤
i
≤
m
-3),另一最大编号为
j
(
m
-1≤
j≤2
m
-5),从而在这
m
个棋手中编号为
i
的棋手全
胜,编号为
j
的棋手全败,所以这
n
个棋手具有性质
P
(<
br>m
),但其中有两个棋手的得分相同.
综上可知,
f
(
m
)=2
m
-3.
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