高中数学课常用的活动-高中数学极坐标中p的意义
祝君金榜题名
2018 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)
参考答案及评分标准
说明:
1.
评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2.
如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不得增加其他中间档次.
一、(本题满分 40 分)设
n
是正整数,
1
,
2
, ,
n
,
1
,
2
,
,
n
, ,
a
a
正
b
b
实数,满足 , , 1, 2, ,
n
,且
1 2
a
b
b
b
B
≤
n
b
A
B
均为
a
≤
b
a
≤
A
i
=
a
a
i
i
i
1 2
a
n
.
A
(
b
+1)(
b
+1) (
b
+1) ≤
B
+1
证明:
1 2
.
n
(
a
+1)(
a
+1) (
a
+1)
1 2
A
+1
B
b
b
=
K
,则
1 2
n
b
证明:由条件知,
k
=
i
i
b
B
≤ 化为 1,
i
1, 2, ,
n
≥ = .记
n
a
i
A
a
a
1 2
a
n
A
k
k
1 2
k
≤
K
.要证明
n
n
k
a
+ ≤
KA
+
1 1
.
i
i
∏
A
+1
i
=1
①
a
+1
i
对
i
=1, 2,,
n
,由于
1
k
≥ 及0 <
a
≤
A
知,
i
i
k
a
+1 = ?
k
?1 ≤ ?
k
?1 =
k
A
+1
i
i
k
i
k
i
i
.
a
1
a
1
A
1
A
1
i
+
i
i
+
i
+ +
结合
K
≥
k
k
1 2
k
知,为证明①,仅需证明当
A
> 0,
k
≥ 1(
i
= 1, 2,,
n
)
时,有
n
i
∏
n
k
A
+ ≤
1
i
k
k
k
A
+
1
.
1 2
n
②
…………………20
分
0
, ③
A
+1
A
+1
i
=1
对
n
进行归纳.当
n
=1时,结论显然成立.
当
n
=
2时,由
A
> 0,
k
,
k
≥1 可知
1 2
k
A
1
k
A
2
k
k
A
1 2
A
k
1
k
2
2
+1?
≤
+1 ? +1 = ? ( ?1)( ?1)
A
+1
A
+1
A
+1 (
A
+1)
因此
n
= 2时结论成立. …………………30 分
设
n
=
m
时结论成立,则当
n
=
m
+1时,利用归纳假设知,
∏
m
+1
∏
m
i
i
=1
k
A
+1
i
k
A
+1
m
+1
?
k
A
+1
≤
k
k
1 2
k
A
+1?
k
A
+1
m
+1
m
A
+1
A
+1
i
=1
A
+1
1
1
A
+1
A
+1
k
k
1 2
k
+
A
+
≤
m
,
1
2
A
+1
最后一步是在③中用
1
2
m
,
m
1
m
1,
m
1
1
k
1
,
k
2
.
k
k
k
k
+
(注意
k
k
k
≥
k
+
≥ )分别代替
从而
n
=
m
+1时结论成立.
由数学归纳法可知,②对所有正整数
n
成立,故命题得证.
…………………40 分
1
祝君金榜题名
二、(本题满分 40
分)如图,
ABC
为锐角三角形,
AB
AC
,
M
为
BC
边
的中点,点
D
和
E
分别为
ABC
的外接圆
BAC
和
BC
的中点,
F
为
ABC
的内
切圆在
AB
边上的切点,
G
为
AE
与
BC
的交点,
N
在线段
EF
上,满足
NB
AB
.
证明:若
BN
EM
,则
DF
A
FG
.(答题时请将图画在答卷纸上)
D
F
B
C
G
N
M
E
证明:由条件知,
DE
为
记
I
为
ABC
外接圆的直径,
DE
BC
于
M
,
AE
AD
.
ABC
的内心,则
I
在
AE
上,
IF
AB
.
由
NB
AB
可知
NBE
ABE
ABN
(180
ADE
) 90
.
①
…………………10 分
90
ADE
MEI
又根据内心的性质,有
EABABI
EIB
,
EBI
从而
BE
结合
BN
EBC
CBI
EAC
ABI
…………………20
分
EI
.
EM
及①知,
A
NBE
≌
MEI
.
D
F
I
B
C
G
N
M
E
于是
EMI
BNE
90
90
BFE
IFM
90
180
EFI
,故
E
,
F
,
I
,
M
四点共圆.
IEM
AGM
,从而
A
,
F
,
G
,
M
四
…………………30 分
进而可知
再由
AFM
点共圆.
点共圆.从而
DFG
DAG
90 ,即
DF
DAG
DMG
90
知,
A
,
G
,
M
,
D
四点共圆,所以
A
,
F
,
G
,
M
,
D
五
FG
. …………………40
分
2
祝君金榜题名
2
k
?1
三、(本题满分 50 分)设
n
,
k
,
m
是正整数,满足
k
≥ 2 ,且 ≤ < .
n
m
n
k
n
设
A
是{1,2,,
m
}的
n
元子集.证明:区间
0,
中的每个整数均可表示为
1
?
k
a
?
a
′ ,其中
a
,
a
′∈
A
.
证明:用反证法.假设存在整数
x
n
0, ?
k
1
不可表示为
a
?
a
′ ,
a
,
a
′∈
A
.作
,
m
按模
x
的同余类划分成
x
个公差 带余除法
m
=
xq
+
r
,其中0 ≤
r
<
x
.将1, 2,
为
x
的等差数列,其中
r
个等差数列有
q
+1项,
x
?
r
个等差数列有
q
项.由于
A
中没有两数之差为
x
,故
A
不能包含以
x
为公差的等差数列的相邻两项.从而
?
q
1
+
x
, 2
q
,
+1
q
( )
q
2
=
①
2
?
q
+
r
, 2 |
q
,
2
n
=
A
≤
r
+
x
?
r
x
2
这里
α
表示不小于α 的最小整数. …………………20 分
②
由条件,我们有
k
n
>
0,
又
x
n
,故
?
2
k
?1
m
=
.
(
xq
+
r
)
2
k
?1
k
k
1
n
> (
k
?1)
x
.
q
+1
n
≤
x
? .
③
情形一:
q
是奇数.则由①知,
④
2
q
+1
k
k
结合②,④可知,
x
? ≥
n
> (
xq
+
r
) ≥
xq
,从而
q
<
2
k
?1.再由
q
2 2
k
?1
2
k
?1
是奇数可知,
q
≤ 2
k
?3,于是
q
+1
n
≤
x
? ≤
(
k
?1)
x
,
2
与③矛盾.
情形二:
q
是偶数.则由①知,
q
n
≤
x
? +
r
. ⑤
2
q
k
xq
k
?1 (
k
?1)
x
结合②,⑤可知,
x
? +
r
≥
n
> (
xq
+
r
) <
r
<
,从而 ,
2 2
k
?1 2(2
k
?1)
2
k
?1 2
k
?1
故
q
<
2(
k
?1) .再由
q
是偶数可知,
q
≤
2
k
? 4 ,于是
q
n
≤
x
? +
r
≤ (
k
? 2)
x
+
r
< (
k
?1)
x
,
2
与③矛盾.
综上可知,反证法假设不成立,结论获证.
3
…………………50 分
祝君金榜题名
四、(本题满分
50 分)数列{
a
}定义如下:
a
是任意正整数,对整数
n
≥1,
n
1
n
∑
a
+
是与
n
1
i
=1
互素,且不等于
i
a
1
a
的最小正整数.证明:每个正整数均在数
a
的最小正整数.证明:每个正整
a
, ,
n
a
数均在数
列{
a
}中出现.
n
1
a
1
=1或
a
= .下面考虑整数
m
>1,设
m
有
k
个不同素因子,
我 们对
k
归纳证明
m
在{
a
}中出现.记
2
证明:显然
S
=
a
++
a
,
n
≥1.
n
n
1
n
k
= 时,
m
是素数方幂,设
m
=
p
α
,其中α > 0 ,
p
是素数.假设
m
不在{ }
1
a
n
中出现.由于{
a
}各项互不相同,因此存在正整数
N
,当
n
≥
N
时,都有
a
>
p
α
.若
n
n
对某个
n
≥
N
,
p
定义知
n
n
S
,那么
p
α
与
a
a
中无一项是
p
α
,故由数列
S
互素,又
1
, ,
n
a
+
≤
p
α
,但是
a
+
>
p
α
,矛盾!
n
1
n
1
n
n
1
因此对每个
n
≥
N
,都有
p
|
S
.但由
p
|
S
+
及
p
|
S
n
知
p
|
a
n
+1
,从而
a
n
+1
与
S
n
不互素,这与
a
+
的定义矛盾.
n
1
…………………10 分
.假设
m
假设
k
≥ 2 ,且结论对
k
?1成立.设
m
的标准分解为 =
m
p
p
α
1
p
α
k
α
2
1
2
k
不在{ }
a
中出现,于是存在正整数
N
′,当
n
≥
N
′时,都有
a
>
m
.取充分大的正
n
n
?
整数
β
1
,
,使得
β
,
k
1
M
=
p
β
1
p
β
>
k
?1
a
.
max
1
k
?1 ≤ ≤ ′
n
1
n
N
我们证明,对
n
≥
N
′,有
a
+
≠
M
.
n
1
…………………20 分
a
中均
S
互素,又
m
在
1
,
,
n
n
对任意
n
≥
N
′,若
n
p
p
1 2
p
互素,则
m
与
k
a
S
与
未出现,而
a
+
>
m
,这与数列的定义矛盾.因此我们推出:
n
1
对任意
n
≥
N
′,
n
p
p
1 2
p
不互素.
k
(?)
S
与
情形
1.若存在
i
(1≤
i
≤
k
?1) ,使得
p
|
S
,因
(
a
+
,
S
) =1,故
+
,从而
p
i
n
n
1
n
i
a
n
1
a
+
≠
M
(因 |
p
M
).
n
1
i
…………………30 分
情形
2.若对每个
i
(1≤
i
≤
k
?1) ,均有
p
S
.于是
S
,则由 (?) 知必有
n
k
p
i
|
n
p
a
+
,进而
p
S
a
+ ,即
n
n
+1
k
p
S
k
0
n
1
k
n
1
≤
i
≤
k
? ,使得
+
.故由(?)
知,存在
0
(1
0
1)
S
(1≤
i
≤
k
?1),可知
p
0
i
p
|
S
+1
,再由
S
n
+1
=
S
n
+
a
n
+1
及前面的假设
p
i
n
i
n
a
1
i
n
+
a
+
≠
M
.
分
n
1
,故
…………………40
> ,故
M
不在{ }
M
max
a
a
中出现,这
n
n
1≤
i
≤
N
′
因此对
n
≥
N
′+1,均有
a
≠
M
,而
与
n
归纳假设矛盾.因此,若
m
有
k
个不同素因子,则
m
一定在{
a
}中出现.
n
由数学归纳法知,所有正整数均在{
a
}中出现.
n
…………………50 分
4