林成龙高中数学QQ-高中数学到底要不要补课
2019-2020年高中数学竞赛模拟试题五
一、填空题(每小题
7
分,共
56
分)
1
、若<
br>y?log
2016
?
x
2
?ax?65
?
的值域为
R
?
,那么
a
的取值范围是 .
2
、四面体
ABCD
中,
?ABC
是一个正三角形,
AD?BD?2
,
AD?BD
,
AD?CD
,则
D
到面
ABC
的距离为
.
3
、若对于所有的正数
x
,y
,均有
x?y?ax?y
,则实数
a
的最小值是
.
4
、已知
P
是正方形
ABCD
内切圆上的一点,记
?APC?
?
,?BP?D
?
,
tan
2
?
?tan
2
?
?
.
Y
D
C
P
O
X
AB
则
5
、等差数列
2,5,8,
是 .
,2015
与
4,9,14,,2014
的
公共项(具有相同数值的项)的个数
6
、设
x
为锐角,则函数
y?s
inxsin2x
的最大值是 .
7
、若将前九个正整数
1,2,3,4,5,6,7,8,9<
br>分别填写于一张
3?3
方格表的九个格子中,使得
每行三数的和,每列三数的和
皆为质数,你的填法是
二、解答题(共
64
分)
x
2
y
2
8、
(
14
分)如图,
CD
是椭圆
2
?
2
?1
的一条直径,
ab
过椭圆长轴的左顶点
A
作
CD
的平行线,交椭圆于
另一点
N
,交椭圆短轴所在直线于
M
,
证明:
AM?AN?CO?CD
.
Y
N
MO
D
B
X
A
C
9、(
15分)设
x,y,z
为正数,满足:
xy?yz?zx?1
,证明: xyz(x?y)(y?z)(x?z)?(1?x
2
)(1?y
2
)(
1-z
2
)
10、(
20
分)设集合
A?
?
1,2,
对于
A
的任一个
1008
元子集
X
,若存在
x,
y?X
,
,2016
?
,
满足
x?y,xy
,则称
X
为“好集”,求最大的正整数
a
,(
a?A
),使得任一
个含
a
的
1008
元子集皆为“好集”.
2017年高中数学竞赛模拟试卷(5)答案
一、填空题(每小题
7
分,共
56
分)
1
、若<
br>y?log
2016
?
x
2
?ax?65
?
的值域为
R
?
,那么
a
的取值范围是
.答案:
?16?a?16
.
解:由值域
y?R
,
?x?
ax?65?1
,
?x?ax?64?0
?
22
???a
2
?4?64?0
,
?
?16?a?16
.
2<
br>、四面体
ABCD
中,
?ABC
是一个正三角形,
AD?BD
?2
,
AD?BD
,
AD?CD
,则
D
到面
ABC
的距离为
.答案:
解:如图,据题意得,
AB?
23
.
3
AD
2
?BD
2
?22
,
A
C
于是
BC?CA?AB?22
,
CD?
222
AC
2
?AD
2
?2
,
因
BC?BD?CD
,得
BD?CD
,从而以
D
为顶点的三面角是三直三面角,
四面体体积
V?
D
B
3<
br>14
?AB
2
?23
,
AD?S
?BCD
?
,而
S
?ABC
?
4
33
123234
h?S
?ABC
?h
,由
h?
,
3333
若设<
br>D
到面
ABC
的距离为
h
,则
V?
得到h?
23
.
3
若对于所有的正数
x,y
,均有
x?y?ax?y
,则实数
a
的最小值是
.答案:
3
、
2
.
?
y
y
?
x
x
??
??2
, 解
:由
?
?
?
?1
,得
??
?
x?y
??
x?y
?
x?yx?y
????
当
x?y
时
取等号.
22
D
?
,则内切圆上的一点,记
?APC?
?
,?BP?
4
、已知
P
是正方形
ABCD
tan<
br>2
?
?tan
2
?
?
.答案:
8
.
Y
D
P
O
C
X
A
B
解:如图建立直角坐标系,设圆方程为
x?y?r
,
则正
方形顶点坐标为
A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D(?r,r)
, 若点
P
的坐标为
P(rcos
?
,rsin
?
)
,于是直线
222
PA,PB,PC,PD
的斜率分别为
k<
br>PA
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
,
k
PC
?
,
,k<
br>PB
??,k
PD
??
1?cos
?
1?cos?
1?cos
?
1?cos
?
2
?
k?kPA
?
22
所以
tan
?
?
?
PC<
br>?
?4(cos
?
?sin
?
)
,
?1?k
PA
k
PC
?
?
k?k
?
ta
n
2
?
?
?
PDPB
?
?4(cos
?<
br>?sin
?
)
2
,
?
1?k
PB
k
PD
?
由此立得
tan
?
?tan
?
?
8
.
解2:取特例,
P
在坐标轴上,则
?
?
?
, 这时,
tan
?
?cot
?
?
22
2
2
?2?tan
?
,
?tan
2
?
?tan
2
?
?2
2
?2
2
?8
1
,
2015
与
4,9,14,,2014
的公共项(具有相同数值的项)的个数
5
、等差数列
2,5,8,
是
.答案:
134
.
解:将两个数列中的各项都加
1
,则问题等价于
求等差数列
3,6,9,,2016
与等差数列
5,10,15,
的公共项个
数;前者是
M?
?
1,2,3,
,2015
,2016
?<
br>中的全体能被
3
整除的数,
后者是
M
中的全体能被
5
整除的数,故公共项是
M
中的全体能被
15
整除的数,这种数有?
2016
?
?134
个.
??
15
??<
br>6
、设
x
为锐角,则函数
y?sinxsin2x
的最大值是
.答案:
解:由
y?2sinxcosx
,
得
y?4sinxcosx?2(1?cosx)(1?cosx)?2cosx
242222
2
43
.
9
?
(1?cos
2
x)?(1?cos
2
x)?2cos
2
x
?
?
2
?
16
?2
?
?2?
,
?
??
?
3327
??
??
3
3
所以
y?
43
1
2
.当
cosx?
时取得等号. 9
3
7
、若将前九个正整数
1,2,3,4,5,6,7,8,9
分别填写于一张
3?3
方格表的九个格子中,使得
每行三数的和,每列三数的和皆为
质数,你的填法是
解答:(答案有多种)
1
2<
br>8
7
6
4
9
3
5
x
2
y<
br>2
8、(
14
分)如图,
CD
是椭圆
2
?<
br>2
?1
的一条直径,
ab
过椭圆长轴的左顶点
A
作
CD
的平行线,交椭圆于
另一点
N
,交椭圆短轴所在直线于
M
,
证明:
AM?AN?CO?CD
.
证1:椭圆方程为
x?acos
?
,y?bsin
?
, <
br>Y
N
M
O
D
B
X
A
C
点<
br>A,N
的坐标为
A(?a,0),N(acos
?
,bsin
?
)
,则直线
AN
方程为
?
x??a?tcos
?
, ……
3'
?
y?tsin
?
?
代
入椭圆方程得到
(bcos
?
?asin
?
)t?2abtcos<
br>?
?0
,
222222
2ab
2
cos
?
a
?
AN?t?
2
,
AM?(
?
?),……
6'
bcos
2
?
?a
2
sin
2
?
cos
?
2
2a
2
b
2
因此
AM?AN?
2
,……
9'
222bcos
?
?asin
?
又据
AN
∥
CD,则点
C,D
坐标为:
C(?ODcos
?
,?ODsin?
)
,
D(ODcos
?
,ODsin
?
)<
br>,……
12'
a
2
b
2
因为
C,
D
在椭圆上,则
CO?
2
,而,
222
bcos
?
?asin
?
2
2a
2
b
2
CO?CD?
2CO?
2
,
bcos
2
?
?a
2
si
n
2
?
2
因此
AM?AN?CO?CD
.…
…
14'
证2:
易知
CD
的斜率
k
存
在,不妨令
CD:y?kx
,与椭圆方程联系,
解得
?
abka
b
C
?
?,
b
2
?a
2
k
2b
2
?a
2
k
2
?
??
abkab<
br>、D,
??
222
b
2
?a
2
k
2
??
b?ak
?
?
……
3'
?
?CO?
?
1?k
?
ab
222
2
b?ak22
,CD?
4
?
1?k
2
?
a
2<
br>b
2
b?ak
222
,
?CO?CD?
2
?
1?k
2
?
a
2
b
2
b?ak
222
……
6'
AN
方程为:
y?k
?
x?a
?
,?M
?
0,ka
?
.
将
A
N
方程与椭圆方程联立,得
b
2
?a
2
k
2
x
2
?2a
3
k
2
x?k
2
a
2
?a
2
b
2
?0
??
2a
3
k
2
ab
2
?a
3
k
2
?xA
?x
N
??
2
,?x
N
?
2
……
9'
2222
b?akb?ak
2
kab
2
y
N
?
2
,?AM?a1?k
2
……
12'
22
b?ak
?
ab
2
?a
3
k
2
?
4k
2
a
2
b
4
2ab
2
1?k
2
AN?
?
2
?a?
??
2
,
2222
222
2
b?akb?
ak
??
?
b?ak
?
2
?AM?AN?
2a2
b
2
?
1?k
2
?
b
2
?
a
2
k
2
?CO?CD
…
14'
9、(
15
分)设
x,y,z
为正数,
满足:
xy?yz?zx?1
,证明:
xyz(x?y)(y?z)(x?z)?(
1?x
2
)(1?y
2
)(1-z
2
)
证:据条件,即要证
xyz(x+y+z-xyz)?(1?x)(1?y)(1-z)
①
也即
xyz(x+y+z)?1-(x?y?z)?(xy?yz?xz)
22222
222222222
222
22
②
……
3'
将此式各项齐次化,因为
1?(xy?yz?xz)?xy?yz
?xz?2xyz(x?y?z)
……
6'
x
2
?y<
br>2
?z
2
?(x
2
?y
2
?z
2<
br>)(xy?yz?xz)?
x
3
(y?z)?y
3
(x?z)
?z
3
(x?y)?xyz(x?y?z)
代入②,
只要证
xyz(x?y?z)?
2(x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2)?x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y
)?xyz(x?y?z)
即
x
3
(y?z)?y
3
(x?
z)?z
3
(x?y)?2(x
2
y
2
?y
2z
2
?x
2
z
2
)?0
……
12'<
br>
也即
xy(x?y)?yz(y?z)?xz(x?z)?0
。
此为显然,故命题得证.…
15'
证2:由题设得:
222y
?
x?z
?
?1?zx,x
?
y?z
??1?yz,z
?
x?y
?
?1?xy
,
三式相乘,故原不等式等价于证明:
?
1?zx
??
1?yz??
1?xy
?
?
?
1?x
2
??
1
?y
2
??
1?z
2
?
……
3'
上式两边展开并化简得:
x
2
?y
2
?z
2?
?
xy?yz?zx
?
?
x
2
y
2
?y
2
z
2
?z
2
x
2
?
?
x
2
yz?xy
2
z?xyz
2
?
……
6'
配方得:
?
x?y
?
?
?<
br>y?z
?
?
?
z?x
?
22
222
?
?
xy?xz
?
?
?
yz?xy
?
?<
br>?
yz?zx
?
2
222
?x
2
?
y?z
?
?y
2
?
z?x
?
?z
2
?
x?y
?
……
9'
即<
br>1?z
?
2
?
?
x?y
?
?
?1?x
?
?
y?z
?
?
?
1?y
?<
br>?
z?x
?
2
2
2
2
2
?0
?
?
?
……
12'
0?x,y,z?1,?1?x2
?0,1?y
2
?0,1?z
2
?0,
?
?
?
?
显然成立.
……
15'
10、(
20
分)设集合
A?
?1,2,
对于
A
的任一个
1008
元子集
X
,
若存在
x,y?X
,
,2016
?
,
满足
x?y,
xy
,则称
X
为“好集”,求最大的正整数
a
,(
a?A<
br>),使得任一个含
a
的
1008
元子集皆为“好集”.
解:
因任何正整数
n
可以表为
n?2t
形式,其中
?
?N
,
t
为正奇数,于是集合
A
可划分
为以下
1008
个子集:
?
A
j
?mm?2
?
(2j?1),
?
?N,1?m?2016
,
j?1,2,
??
,1008
……
4'
对于集合
A
的任一个
1008
元子集<
br>X
,只要集
X
中含有某一个
A
j
中的至少两个元素<
/p>
x,y,(x?y)
,因
x?2
k
1
(2j?
1),y?2
k
2
(2j?1)
,
k
1
?k
2
,则
xy
;此时
X
为好集;
以下证明正整数
a
的最大值为
671
:
……
8'
若
a?671
时,对于
A
的任一个1008
元子集
X
,如果
X
中含有某个
A
j<
br>中的至少两个元素,
则
X
便是好集;如果
A
j
中的<
br>1008
个集合,每个集合中恰有一个元素在
X
中,那么
A
1
007
也有一个元素在
X
中,
但
A
?
为单元素集
,于是
2013?X
,而
a2013
,
(2013?671?3?3
a)
,这
1007
?
?
2013
说明
X
仍
是好集,
因此
a?671
合于要求. ……
12'
下面说明当
a?672
时,存在含
a
的集
X
不是好集;分
两种情况:
??
(1)
、若
a?1009
,取
1008<
br>元集
X
0
?
?
1009,1010,
因
X<
br>0
中任两个不同元素
x?y
,均有
x
,2016
?<
br>,则
a?X
0
,
y
,故
X
0
不为
好集,这种
a
不合要求.……
15'
,336
?
,
(2)
、若
672?a?1008
,记
X
1
?
?
672?jj?0,1,
X
2
?X
0
?
2(672?j)j?0,1,,336
?
,令
X?X
1
X
2
,则
X?1008
,且
a?
X
1
,
若
X
中存在
x?y,xy
,因
x
?672
,
y?2016
,则
y?3x
;
若
x?
672
,如果
xy,x?y
,只有
y?2x
或者
y?3x<
br>,此时
y
的取值只能是:
y?2?672?1344
,或者
y
?3?672?2016
;由于
1344?2(672?0),2016?2(672?336
)
,这说明,这两个数已被挖去,不在集合
X
中;
……
18'
若
x?672
,假若
xy
,只有y?2x
,这种数
y
也已悉数被挖去,即
y?X
,因此
X
不
是好集,这种
a
也不合要求.
综上所述,
a
的最大值为
671
.
……
20'