高中数学竞赛大纲

高中数学竞赛大纲
【高中数学竞赛应该掌握的内容和知识点(共17大点，101小点，244小小
点)】
1. **(set) 5.1.3不动点法，迭代法 1.1**的阶，**之间的关系。 5.1.4数
学归纳法，递归法 1.2**的分划
1.3子集，子集族
1.4容斥原理 6(不等式(inequality)
6.1解不等式
2. 函数(function) 6.2重要不等式 2.1函数的定义域、值域 6.2.1均值不等
式 2.2函数的性质 6.2.2柯西不等式 2.2.1单调性 6.2.3排序不等式 2.2.2奇
偶性 6.2.4契比雪夫不等式 2.2.3周期性 6.2.5赫尔德不等式 2.2.4凹凸性
6.2.6权方和不等式 2.2.5连续性 6.2.7幂平均不等式 2.2.6可导性 6.2.8琴生
不等式 2.2.7有界性 6.2.9 Schur不等式 2.2.8收敛性 6.2.10嵌入不等式 2.3
初等函数 6.2.11卡尔松不等式 2.3.1一次、二次、三次函数 6.3证明不等式的
常用方法 2.3.2幂函数 6.3.1利用重要不等式 2.3.3双勾函数 6.3.2调整法
2.3.4指数、对数函数 6.3.3归纳法 2.4函数的迭代 6.3.4切线法 2.5函数方程
6.3.5展开法
6.3.6局部法
3. 三角函数(trigonometric function) 6.3.7反证法 3.1三角函数图像与性
质 6.3.8其他 3.2三角函数运算
3.3三角恒等式、不等式、最值 7.解析几何(analytic geometry) 3.4正弦、
余弦定理 7.1直线与二次曲线方程 3.5反三角函数 7.2直线与二次曲线性质 3.6
三角方程 7.3参数方程

7.4极坐标系
4. 向量(vector)
4.1向量的运算 8(立体几何(solid geometry) 4.2向量的坐标表示，数量积
8.1空间中元素位置关系
8.2空间中距离和角的计算
5. 数列(sequence) 8.3棱柱，棱锥，四面体性质 5.1数列通项公式求解 8.4
体积，表面积 5.1.1换元法 8.5球，球面 5.1.2特征根法 8.6三面角
8.7空间向量 10.5偏导数
9.排列，组合，概率(permutations, 11.复数(complex numbers)
combinatorics, probability) 11.1复数概念及基本运算 9.1排列组合的基本公
式 11.2复数的几个形式 9.1.1加法、乘法原理 11.2.1复数的代数形式 9.1.2无
重复的排列组合 11.2.2复数的三角形式 9.1.3可重复的排列组合 11.2.3复数的
指数形式 9.1.4圆排列、项链排列 11.2.4复数的几何形式 9.1.5一类不定方程
非负整数解的个数 11.3复数的几何意义，复平面 9.1.6错位排列数 11.4复数与
三角，复数与方程 9.1.7 Fibonacci数 11.5单位根及应用 9.1.8 Catalan数
9.2计数方法 12.平面几何(plane geometry) 9.2.1映射法 12.1几个重要的
平面几何定理 9.2.2容斥原理 12.1.1梅勒劳斯定理 9.2.3递推法 12.1.2塞瓦定
理 9.2.4折线法 12.1.3托勒密定理 9.2.5算两次法 12.1.4西姆松定理 9.2.6
母函数法 12.1.5斯特瓦尔特定理 9.3证明组合恒等式的方法 12.1.6张角定理
9.3.1 Abel法 12.1.7欧拉定理 9.3.2算子方法 12.1.8九点圆定理 9.3.3组合
模型法 12.2圆幂，根轴 9.3.4归纳与递推方法 12.3三角形的巧合点 9.3.5母函
数法 12.3.1内心 9.3.6组合互逆公式 12.3.2外心
12.3.3重心 9.4二项式定理
9.5概率 12.3.4垂心 9.5.1独立事件概率 12.3.5旁心

12.3.6费马点 9.5.2互逆事件概率
12.4调和点列 9.5.3条件概率
9.5.4全概率公式，贝叶斯公式 12.5圆内接调和四边形 9.5.5现代概率，几
何概率 12.6几何变换
12.6.1平移变换 9.6数学期望
12.6.2旋转变换
10.极限，导数(limits, derivatives) 12.6.3位似变换 10.1极限定义，求
法 12.6.4对称变换(反射变换) 10.2导数定义，求法 12.6.5反演变换 10.3导数
的应用 12.6.6配极变换 10.3.1判断单调性 12.7几何不等式
12.8平面几何常用方法 10.3.2求最值
12.8.1纯几何方法 10.3.3判断凹凸性
10.4洛比达法则 12.8.2三角法
12.8.3解析法 15.13.1.3无穷递降法 12.8.4复数法 15.13.1.4反证法
12.8.5向量法 15.13.1.5不等式估计法 12.8.6面积法 15.13.1.6配方法，因式
分解法
15.13.2重要不定方程
13.多项式(polynomials)15.13.2.1一次不定方程(组)
15.13.2.2勾股方程 13.1多项式恒等定理
13.2多项式的根及应用 15.13.2.3 Pell方程 13.2.1韦达定理 15.14 p进制
进位制，p进制表示
16.组合问题(combinatorics) 13.2.2虚根成对原理
13.3多项式的整除，互质 16.1组合计数问题(参见9.1,9.2) 13.4拉格朗日
插值多项式 16.2组合恒等式，不等式(参见9.3)
16.3存在性问题 13.5差分多项式

16.4组合极值问题 13.6牛顿公式
13.7单位根 16.5操作变换，对策问题 13.8不可约多项式，最简多项式 16.6
组合几何
16.6.1凸包 14.数学归纳法(mathematical induction)
16.6.2覆盖 14.1第一数学归纳法
14.2第二数学归纳法 16.6.3分割
16.6.4整点 14.3螺旋归纳法
16.7图论 14.4跳跃归纳法
14.5反向归纳法 16.7.1图的定义，性质 14.6最小数原理 16.7.2简单图，
连通图
16.7.3完全图，树
16.7.4二部图，k部图 7. 初等数论(elementary number theory)
15.1整数，整除 16.7.5托兰定理 15.2同余 16.7.6染色与拉姆塞问题
16.7.7欧拉与哈密顿问题 15.3素数，合数
15.4算术基本定理 16.7.8有向图，竞赛图 15.5费马小定理，欧拉定理 16.8
组合方法
16.8.1映射法，对应法，枚举法 15.6拉格朗日定理，威尔逊定理
16.8.2算两次法 15.7裴蜀定理
15.8平方数 16.8.3递推法 15.9中国剩余定理 16.8.4抽屉原理
16.8.5极端原理 15.10高斯函数
16.8.6容斥原理 15.11指数，阶，原根
15.12二次剩余理论 16.8.7平均值原理 15.12.1二次剩余定理及性质 16.8.8
介值原理 15.12.2 Legendre符号 16.8.9母函数法 15.12.3 Gauss二次互反律
16.8.10染色方法 15.13不定方程 16.8.11赋值法

16.8.12不变量法 15.13.1不定方程解法
16.8.13反证法 15.13.1.1同余法
15.13.1.2构造法 16.8.14构造法
16.8.15数学归纳法 17.1微积分，泰勒展开
17.2矩阵，行列式 16.8.16调整法
17.3空间解析几何 16.8.17最小数原理
16.8.18组合计数法 17.4连分数
17.5级数，p级数，调和级数，幂级数
17.其他(others) (了解即可，不作要求) 17.6其他
1、平面几何
基本要求:掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积
方法。
几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重
要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平
方
和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等
式。
简单的等周问题。了解下述定理:
在周长一定的,边形的集合中，正,边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲
线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的,边形的集合中，正,边形的周长最
小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动:反射、
平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。

、代数 2
在一试大纲的基础上另外要求的内容:
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求,次迭代，简单的函数方程。
,个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，
欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组
合，简单的组合恒等式。 一元n次方程(多项式)根的个数，根与系数的关系，实
系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，
同余，欧几里
得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定
理，格点及其性
质。
3、立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定
理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 二元一次不等式表示
的区域。
三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
竞赛内容和方式
1、 联赛分第一试和第二试。
2、 第一试的内容不超出现行高中数学教学大纲，其中包括六道选择题、六道
填空题和
三道解答题，难度维持在高考中高档试题的水平，能力要求略有提高。
3、 第二试共有三道题。其中一道平面几何题、一道代数或数论题、一道组合
题。内容
以竞赛大纲为准。
8:00-9:20，一试;
:40-12:10，加试(也就是二试)。9