高中数学常见的恒成立问题的一般解法

精心整理
高中数学常见的恒成立问题的一般解法
摘要：本文针对高中数学的 恒成立问题，通过分析恒成立问题在解题过程中的
几种类型和解题的常用方法进行分类，并通过实例进行 说明，比较系统的展现了高
中数学中恒成立问题的一般解法，帮助学生对恒成立问题有了系统、详细的认 识。
关键词：恒成立问题；解法；函数；不等式
我们在高中数学教学中，经常遇到一些恒成 立问题，我们反复讲解，大多数学
生也束手无策，不知道从哪里下手，找不到问题的突破口，因而感觉十 分困难，主
要是缺乏系统归类。高中数学中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、
图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综
合解题能力，在培养 思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为
历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过 程中大致可分为以下几种类型：①函数
型；②不等式型；③方程型。而这三种类型又不是独立出现的，有 时会把两者融合
在一起。对于这三种类型的题解决的方法常有：①函数性质法；②分离参数法；③
数形结合法。
一、 函数性质法
函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、 周期性等，而对于恒成
立问题经常用到函数的单调性。下面根据函数类型对利用函数性质法来解恒成立问
题做一个说明。
（一）一次函数型
对于一次函数y=f(x)=kx+b(k≠0 ),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图
象（直线）或一次函数的单调性 （当k>0时，y=f(x)在[m,n]内为增函数，当k<0时，
y=f(x)在[m,n]内为减 函数）可得
精心整理

精心整理
?
k?0
?k?0
或ⅱ）
?
即一次函数y=f(x)=kx+b(k≠0)在[m,n]的最 小值大于
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
f(m)?0< br>0。若k不知道正负，上面两种情况亦可合并定成
?
，这样可以回避讨论k的
f (n)?0
?
ⅰ）
?
正负。
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有
?
?
f(m)?0

?
f(n)?0
例1、 对于满足|a|
?
2的所有实数a,求使不 等式x
2
+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范
围。
分析：在不等式中 出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变
量，另一个作为常数。若将a视作自变量 ，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a
的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不 等式可化为(x-1)a+x
2
-2x+1>0,设f(a)=(x-1)a+x
2< br>-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大
于0
2
?
x?3或x ?1
?
f(?2)?0
?
?
x?4x?3?0
∴
?
即
?
2
解得
?

?
?
f(2)? 0
?
x?1或x??1
?
x?1?0
∴x<-1或x>3.
（二）二次函数型
根据二次函数的定义域不同，二次函数分为两种类型①若二次函数
y=ax
2
+bx+c=0(a≠0，x
?
R)大于0恒成立，则有
?
?
a?0

?
??0
②若是二次函数在指定区间上的恒成 立问题，则可以利用韦达定理以及根与系数的
分布知识求解。
例2、 设f(x)=x
2
-2ax+2,当x
?
[-1,+
?
)时，都有f(x)
?
a恒成立，求a的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)
?
a恒成立 ，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左
边二次函数在区间[-1,+
?
)时恒大 于0的问题。
解：设F(x)=f(x)-a=x
2
-2ax+2-a.
精心整理

精心整理
①当
?
=4（a-1)(a+ 2)<0时，即-2?
[-1,+
?
)，F(x)?
0恒成立；
②当
?
=4（a-1)(a+2)
?
0时由图可得：
?< br>?
??0
?
(a?1)(a?2)?0
?
?

?
F(?1)?0
即
?
a?3?0
?
a??1,
?
?2a
?
???1,
?
?2
y
-1 o
x
得-3
?
a
?
-2;
综上可得a的取值范围为[-3，1]。
（三）高次函数型
对于函数f(x)=a x
n
+bx
n-1
+…+m=0(a≠0，n≥3)在给定区间上大于0（或 小于0）恒
成立问题，则利用求导的方法求出函数的最值，只需函数的最小值大于0（或最大值
小于0）即可。
例3、 设函数f(x)=x
3
+ax
2
–a2
x+m(a>0)，若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x
∈[-2,2 ]上恒成立，求实数m的取值范围。
解：∵f
ˊ
(x)=3x
2
+ 2ax–a
2
=3(x-)(x+a)又a>0
∴当x<-a或x>时，f
ˊ
(x)>0
当-aˊ
(x)<0
∴函数的单调递增区间为(
??
，-a)，（，
??
）单调递减区间为(-a,)
当a∈[3,6],∈[1,2],-a≤-3
又x∈[-2,2],∴f(x)
max
=max{f(-2),f(2)}
而f(-2)=-8+4a+2a
2
+m，f(2)=8+4a-2a
2
+ m,
∴f(-2)-f(2)=-16+4a
2
>0，∴f(x)
max< br>=f(-2)=-8+4a+2a
2
+m
要使不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立，
只需f(x)
max
=f(-2)=-8+4a+2a
2
+m≤1
精心整理
a
3
a
3
a
3
a
3< br>a
3
a
3

精心整理
即m≤9-4a-2a
2
在a∈[3,6]上恒成立
∵9-4a-2a
2
在a∈[3,6]的最小值为-87，∴m≤-87
说 明：此题不光涉及到高次函数的恒成立，还涉及到二次函数的恒成立，并且
都用到利用最值法来解，所以 在解题时注意恰当的使用最值法。
对于复合型的函数，我们可以把它化为常见的函数类型来解。
例4、 关于x的方程9
x
+(4+a)3
x
+4=0恒有解，求a的范围。
分析：题目中出现了3
x
及9
x
，故可通过换元转化成二次函数型求解。
解法1（利用韦达定理）：
设3
x
=t,则t>0.则原方程有解即方程t
2
+(4+a)t+4=0有正根。
?
??0
?
(4?a )
2
?16?0
?
a?0或a??8
?
?
?
x
1
?x
2
??(4?a)?0
即
?

?
?
?
a??4
?
a??4
?
x?x?4?0?
12
解得a
?
-8.
解法2（利用根与系数的分布知识）：
即要求t
2
+(4+a)t=0有正根。设f(x)=t
2
+(4+ a)t+4.
1
0
.
?
=0,即（4+a）
2
- 16=0,∴a=0或a=-8.
a=0时，f(x)=(t+2)
2
=0,得t=-2<0，不合题意；
a =-8时，f(x)=(t-2)
2
=0,得t=2>0,符合题
2
0
.
?
>0,即a<-8或a>0时，
4?a
?0
，∵f(0)= 4>0,故只需对称轴
?
2
意。∴a=-8.
y
4
o
x
即a<-4.
∴a<-8
综合可得a
?
-8.
另外，我们来看一下利用函数的奇偶性、周期性等性质怎样来解恒成立问题。
若函数f(x) 是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
精心整理

精心整理
例5、 若f(x)=sin(x+
?
)+cos(x-
?
)为偶函数，求
?
的值。
分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。
解：由题得：f(-x)=f(x)对一切x
?
R恒成立，
?
si n(-x+
?
)+cos(-x-
?
)=sin(x+
?
) +cos(x-
?
)
即sin(x+
?
)+sin(x-
?
)=cos(x+
?
)-cos(x-
?
)
2sinx·cos
?
=-2sinx·sin
?
∴sinx(sin
?
+cos
?
)=0
∵ 对一切x
?
R恒成立，∴sin
?
+cos
?
=0
．．．
∴
?
=k
?
?
.（k
?
Z）
4
?
二、 分离参数法
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的 范围已知，另一个变量的范
围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则 可将
恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例6、 已知当x
?
R时，?不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。
例7、 分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x
?
R），另一
变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。
解：原不等式可化为4sinx+cos2x<-a+5
要使上式恒成立，只需-a+5大于 4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求
f(x)=4sinx+cos2x的最值问题 。
∵f(x)=4sinx+cos2x=-2sin
2
x+4sinx+1=-2 (sinx-1)
2
+3
?
3,
∴-a+5>3即a<2
注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin
2
x,故若把 sinx换元成t，
则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型，利用二次函数在指定区间上的恒成立
问题来解（解略）。
实际上例4也可以用分离参数法来解。
解法3：
设 3
x
=t,则t>0.则原方程可化为t
2
+(4+a)t+4=0，
?t
2
?4
即4+a=恒成立
t
t
2
?444
?t??2t?
=4 又∵t>0，由均值 不等式可得
ttt
?t
2
?4
∴≤-4，即4+a≤-4,∴a≤- 8
t
三、 数形结合法
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数
精心整理

精心整理
的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空 题这种方法更
显方便、快捷。
例6、当x
?
(1,2)时，不等式(x-1 )
2
a
x恒成立，求a的取值范围。
分析：若将不等号两 边分别设成两个函数，则左边为
y
1
=(x-1)
y
2
二 次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图
y
2
=log
a
x
象，故可以通过图象求解。
解：设y
1
=(x-1)
2
,y
2
=log
a
x,则y
1
的图
1
抛物线，要使对一切x
?
(1,2),y
1
2
恒成y的图象在y
o 2
x
12
的图象的下方。显然a>1,
当 x=2时y
2
的函数值大于或等于y
1
的函
∴log
a2≥1,而a>1,故1?
2.
参考文献：
【1】《数学教学与研究》2010,34期
【2】王双双《恒成立问题的求解策略》
【3】《高考教练》
作者简介：
李文：中学二级教师，本科，研究方向为中学数学教学。

精心整理
象为 右图所示的
立，即在x
?
(1,2)，
并且必须也只需
数值。