高一数学三角函数与向量公式

两角和公式：
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB- sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
倍角公式：
tan2A=2tanA(1-tan
2
A) cos2a=cos
2
a-sin
2
a=2cos
2
a-1 =1-2sin
2
a
半角公式：
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
和差化积：
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
正弦定理： asinA=bsinB=csinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理： b
2
=a
2
+c
2
-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
弧长公式： l=α*r，α是圆心角的弧度数，r >0 扇形面积公式 s=12*l*r
乘法与因式分：
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b) a
3+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
) a
3
-b
3
=(a-b(a
2
+ab+b
2
)
一元二次方程的解: X
1
=-b+√(b
2
-4ac)2a; X
2
=-b-√(b
2
-4ac)2a
根与系数的关系: X
1
+X
2
=-ba；X
1
*X
2
=ca （韦达定理）
判别式：
b
2
-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b
2
-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b
2
-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根
降幂公式：
sin
2
x=1-cos2x2 cos
2
x=1-cos2x2
万能公式：
Sin2α=2 tanα(1+ tan
2
α)
Cos2α=(1- tan
2
α)(1+ tan
2
α)
Tan2α=2tanα(1- tan
2
α)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα cot（π2＋α）＝－tanα
sin（π2－α）＝cosα cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα cot（π2－α）＝tanα (以上k∈Z)
注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ?cotα＝1 sinα ?cscα＝1 cosα ?secα＝1
商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
两角和差公式:
两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)
tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα?tanβ)
二倍角公式:
二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α－ 1＝1－2sin
2
α
tan2α＝2tanα[1－tan
2
α]
半角公式:
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sin
2
(α2)＝(1－cosα)／2 cos
2
(α2)＝(1＋cosα)／2
tan
2
(α2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)
万能公式:
sinα=2tan(α2)[1+tan
2
(α2)] cosα=[1-tan
2
(α2)][1+tan
2
(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan
2
(α2)]
和差化积公式:
三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)2]?cos[(α－β)2]
sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)2]?sin[(α－β)2]
cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)2]?cos[(α－β)2]
cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)2]?sin[(α－β)2]
积化和差公式:
三角函数的积化和差公式
sinα ?cosβ＝12 [sin(α＋β)＋sin(α－β)]

cosα ?sinβ＝12 [sin(α＋β)－sin(α－β)]
cosα ?cosβ＝12 [cos(α＋β)＋cos(α－β)]
sinα ?sinβ＝－12 [cos(α＋β)－cos(α－β)]
度数 π π π π 2π
0
函数名 6 4 3 2 3
sin
cos
tan
cot








30°




45°




60°








5π
6




π




7π
6




5π
4




0°
1.向量加法:
90° 120° 150° 180° 210° 225°
AB+BC=AC a+b=(x
1
+x
2
，y
1
+y
2
) a+0=0+a=a
运算律：
交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
2.向量减法：
AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
a=(x
1
,y
1
) b=(x
2
,y
2
) 则 a-b=(x
1
-x
2
，y
1
-y
2
).
3.数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣
当λ＞0时，λa与a同方向
当λ＜0时，λa与a反方向
当λ=0时，λa=0，方向任意
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0
『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』
实数λ
向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩
当∣λ ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ
∣倍
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ< br>∣倍

数乘运算律:
结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b ② 如果a≠0且λa=μa，那
么λ=μ
4.向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b 作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉
并规定0≤〈a,b〉≤π
两个向量的数量积是一个数量，记作a?b 若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉
若a、b共线，则a?b=+∣a∣∣b∣
向量的数量积的坐标表示：a?b=x
1
?x
2
+y
1
?y
2

向量数量积运算律
a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律)
向量的数量积的性质
a?a=|a|
2
a⊥b 〈=〉a?b=0