高中数学 函数的值域与最值

函数的值域与最大(小)值
(一)复习指导
函数的值域就是全体 的函数值所构成的集合，是由其对应法则和定义域共同决定的，在多数情况下，一旦
函数的定义域和对应 法则确定，函数的值域也就随之确定了，而函数的最大(小)值一定是值域内最大(小)的一个
函数值， 因此求函数的值域和求函数的最大(小)值在方法上是相通的．

求函数的值域要注意优先考虑定义域，常用的方法有：
y?
（1）观察法：利用已有 的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，例如函数
1
2?x
2
的值域 是
1
{y0?y?}
2
；
（2）反函数法：用函数和它的反函数的 定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形
y?
如
cx?d
(a?0)
ax?b
的函数值域可用此法求值域；
2
F(x)?a [f(x)]?bf(x)?c
类的函数的值域问题，均可用配方法，而（3）配方法：二次函数或可转 化为形如
后一情况要注意
f(x)
的范围；
2
[f(x)]?0,
两个正数的均值不等式
a?b?2ab
在应用时要注意“一正二定三（4）不等式法： 利用基本关系
相等”；
（5）利用函数的单调性求值域：观察函数式特点，联系函数单调性确 定函数的定义域和值域，例如函数
y?ax?b?cx?d(ac?0)
，可看a与c是否同号 ，若同号则可用单调性求值域，若异号才用换元法；在利
用两正数的均值不等式求值域失效（即等号不成 立）的情况下，可采用单调性法求值域，函数
k
y?x?(x?0,k?0)
x?(0 ,k]x?[k,??)
函数递增，想想这是为什么？
x
当时，函数递减，当
另外，还可用数形结合法（函数的图像）、判别式法、换元法（三角换元法）等求值域。
小结：对于二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当
x??
②当a<0时，则当
x??
2
b
时，其最小值
y
min
?
(4ac? b)
；
2a
4a
2
b
时，其最大值
y
m ax
?
(4ac?b)

2a
4a
⑵若定义域为x
?
[a,b],则应首先判定其顶点横坐 标x
0
是否属于区间[a,b]①若
x
0
?
[a,b],则
f(x
0
)
是函数的
最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再 比较
f(a),f(b)
的大小决定函数的最大（小）值②若
x
0
?
[a,b],则[a,b]
是在
f(x)
的单调区间内，只需比较
f (a),f(b)
的大小即可决定函数的最大（小）值
(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论

利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次
式解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经< br>验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简 捷，
同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法

(二)解题方法指导
例1．求下列函数的值域：
(1)f(x)=x
2
－2x－3，x
?
[2，4]
(3)f(x)=sinx－2sinx－3



例2．求下列函数的值域：
(1)
y?



例3．求函数
y?



例4．求
y?x?2?4?x
的值域．





例5．设函数
f(x)?log
2
（1）求函数的定义域；
2
(2)f(x)=x
2
－2x－3，x
?
[－3，4]
1
x
2
?2x
(4)
y?()

2
2x?5
;

x?1
(2)
y?
sinx?2

2sinx?1
sin
?
?1
的值域．
cos
?
?2
x?1
?log
2
(x?1)?log
2
(p ?x)
，
x?1
（2）问
f(x)
是否存在最大值与最小值？如果 存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由







例 题 解 析
例1解：(1)根据f(x)=x
2
－2x－3=(x－1)
2
－4的图像，可知在[2，4]上函数是单调递增的，f(2)≤f (x)≤f(4)，

即－3≤f(x)≤5，所以函数的值域为[－3，5]．
(2)抛物线f(x)=x
2
－2x－3的开口向上，对称轴为x=1，而1∈[－3，4]，所以由图像可知f(1)≤f(x )≤f(－3)，
即－4≤f(x)≤12，所以y∈[－4，12]
(3)令t=sinx ，则问题化为当t∈[－1，1]时，求φ(t)=t
2
－2t－3的值域，根据图像可知函数 φ(t)=t
2
－2t－3在[－
1，1]是单调递减的，φ(1)≤φ(t)≤φ( －1)即－4≤φ(t)≤0，所以函数的值域为[－4，0]．
(4)令u=x
2
－2x，u=x
2
－2x=(x－1)
2
－1≥－1，而
y?()< br>所以在R上是减函数，所以
y?()
1
2
u
1
2?1
?2
，故y∈(0，
2]．
小结：(3)(4)题是双重复合型函 数问题，求值域宜“由里向外”，逐层考虑．二次函数的值域和两个因素密切
相关：一是所给的区间，二 是对称轴的位置．根据所给条件条件，迅速做出草图，是解决这类问题的最佳方法，
关于二次函数求最大 (小)值问题，后面还要专门的研究．
例2解：(1)原函数可化为
y?2?
33
?
，因为
?
0
，所以y≠2，即函数的值域为{y∈R｜y≠ 2}．
x?1
x?1
注：此题也可以反解x，得
x?
ax?b5?y
a
，得到y≠2．一般地，当c≠0时，
y?
的值域为{y∈R｜ y≠}．
y?2
c
?
?a
(2)由
y?
y?2< br>y?21
sinx?2
（y?
反解sinx，得
sinx?
| ?1
解得y≥3或
?
?
因为｜sinx｜≤1，所以得
|
2 y?12
2sinx?1
2y?1
1
1
y???
所以函数的 值域为
[3,??)?(??,?].

3
3
注：此题也可以令t= sinx，通过图像考虑
y?
t?2
在[－1，1]上的单调性，从而求出函数的值域 ．
2t?1
例3解：令m=cosθ，n＝sinθ，则m
2
＋n
2
=1．因此所求函数的值域，就是圆x
2
＋y
2
=1上的动点(x ，y)与定点
(2，1)连线的斜率的变化范围，设经过定点(2，1)且与x
2
＋y
2
=1相切的直线为y－1=k(x－2)，即kx－y＋1－2k=0，
4
4
，由图形可知，
k?0,
分别为圆上的动点
3
3
4
(x，y)与定点(2，1)连线的斜率的最小值，最大值，所以所求的函数的值域为
[0,]?
3
利用相切的条件：圆心到直线的距离等于半径，易得k=0，或
k?
小结：此题用的是数形结合的方法，也可以将
y?
sin(
?
?
?< br>)?
1?2y
y
2
?1
sin
?
?1
变形为sinθ－ycosθ=1－2y，进一步化为
cos
?
?2
，其中 φ为辅助角，根据｜sin(θ－φ)｜≤1解得
y?[0,]?

4
3例4解法1：原函数式两端平方得
y
2
?2?2（x?2)(4?x)(2?x? 4).
显然有y
2
≥2，
又
(x?2)(4?x)?
x? 2?4?x
?1
，当且仅当x－2=4－x即x=3时“=”成立，
2
所以 又有y
2
≤2＋2=4，由2≤y
2
≤4及y＞0，得
y?[2,2 ].

π
解法2：因为2≤x≤4，所以可令x=2＋2cos
2
x ．则函数变为
y?
（0?x?）
2
由于
0?x?
所以

π
2(sinx?cosx)
?2sin(x?).
4
π
,

2
ππ3ππ
?x??,
所以
y?2sin(x?) ?[2,2].

4444

?
x?1< br>?
x?1
?0
?
?
x?1
例5解：（1）由
?
x?1?0
，解得
?
①
x?p
?
?
?
p?x?0
?
当
p?1
时，①不等式解集为
?< br>；
当
p?1
时，①不等式解集为
?
x|1?x?p
?
，
∴
f(x)
的定义域为
(1,p)(p?1)

p?1
2
(p?1)
2
)?]
， （2）原函数即
f(x)?log
2
[(x?1)(p?x)]?log
2
[?(x?
24
p?1
?1
，即
1?p?3
时，函数
f(x)
既无最大值又无最小值；
2
p?1
?p
，即
p?3
时， 函数
f(x)
有最大值
2log
2
(p?1)?2
，但无最 小值 当
1?
2
当