高中数学教师试讲视频百度文库-高中数学空间几何与位置关系
一、函数的概念与表示
1、映射:设A、B是两个集合,如果按照某种
映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的
元素和它对应,则这样的对应(包括集
合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:
A→B。注意点:判断一个对
应是映射的方法:可多对一,不可一对多,都有象,象唯一.
2、函数:如果A,B都是非空
的数集,那么A到B的映射f:A
?
B就叫做A到B的函数,记作
y?f(x)
,其中
x?A,y?B
.原像的集合A叫做函数
y?f(x)
的定义域.由
所有象f(x)构成的集合叫做
y?f(x)
的值域,显
然值域是集合B的子集.
构成函数概念的三要素: ①定义域(x的取值范围)②对应法则(f)③值域(y的取值范围)
两个函数是同一个函数的条件:定义域和对应关系完全一致.
二、函数的定义域、解析式与值域
1、求函数定义域的主要依据:
(1)整式的定义域是全体实数;
(2)分式的分母不为零;
(3)偶次方根的被开方数大于等于零;
(4)零取零次方没有意义(零指数幂的底数不为0);
(5)对数函数的真数必须大于零;
(6)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
(7)若函数
y?f(x
)
是一个多项式,需要求出各单项式的定义域,然后取各部分结果的交集;
(8)复合函数的定义域:
若已知
f(x)
的定义域
[a,
b]
,求复合函数
f(g(x))
的定义域,相当于求使
g(x)?[a,b
]
时
x
的取值范围;
若已知复合函数
f(g(x))
的定义域,求
f(x)
的定义域,相当于求
g(x)
的值域.
2求函数值域的方法
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;
②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合
y?ax?b?cx?d
的形式;
③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分子或分母为二次且
x
∈R的分式;
此种类型不拘泥于判别式法,如
y?
bbx
的形式
可直接用不等式性质;可先化简再用均
y?
22
a?kax?mx?n
ax<
br>2
?m
?
x?n
?
x
2
?m
?x?n
?
值不等式;
y?
通常用判别式法;
y?
可用判别式法或均值不等式;
2
mx?n
x?mx?n
④分离常数:适合分
子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥图象法:1.二次函数必画草图求其值域;在给定区间上求最值有两类:
闭区间
?
a,b
?
上的最值;
求区间动(定),对称轴定(动)的最值问题;
注意“两看”:一看开口,二看对称轴与给定区间的位置关系.
2
-1
-
1
.
2.注意
y?ax?<
br>b
bb
(a?0,b?0)
型函数的图像在单调性中的应用:增区间为
(??,?]
,
[,??)
,减区间
x
aa
为
[?
bb
,0)
,
(0,]
;
aa
⑦利用对号函数:
y?x?
1
(如右图);
x
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域.主要是含绝对值函数
三.函数的奇偶性
1.定义: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意
x
∈A,都有
f(?x
)?f(x)
,则称y=f(x)为偶函数.
如果对于任意
x∈A,都有
f(?x)??f(x)
,则称y=f(x)为奇函数.
2.性质:
①y=f(x)是偶函数
?
y=f(x)的图象关于
y
轴对称,
y=f(x)是奇函数
?
y=f(x)的图象关于原点对称;
②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0;
③奇±奇=奇 偶±偶=偶
奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D
1
,D
2
,D
1
∩D
2
要关于原点对称]
3.奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系;
4,复合函数的奇偶性:“内偶则偶,内奇同外”
四、函数的单调性
作用:比较大小,解不等式,求最值.
1、函数单调性的定义:如果对于定义域I内的某个区
间D上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f
?
x2
??
f(x
1
)?f
?
x
2
??<
br>,那么就称函数
f(x)
在区间D上是增函数(减函数),区间D叫
y?f(x
)
的单
调区间. 图像特点:增函数:从左到右上升(y随x的增大而增大或减小而减小);
减函数:从左到右下降(y随x的增大而减小或减小而增大);
f(x
1
)?f(x
2
)
2.判断单调性方法:①定义法
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数;
x
1
?x
2
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b?
上是减函数.
x
1
?x
2
②观察法:根据特殊函数图像特点;
③掌握规
律:对于两个单调函数
f(x)
和
g(x)
,若它们的定义域分别为
I
和
J
,且
I?J??
:
(i)当
f(x)
和
g(x)
具有相同的增减性时,
①<
br>F
1
(x)?f(x)?g(x)
的增减性与
f(x)
,g(x)
相同,
②
F
2
(x)?f(x)?g(x)
、
F
3
(x)?f(x)?g(x)
、
F
4
(x)
?
.
f(x)
(g(x)?0)
的增减性不能确定;
g(x)
(ii)当
f(x)
和
g(
x)
具有相异的增减性时,我们假设
f(x)
为增函数,
g(x)
为
减函数,那么:
①
F
1
(x)?f(x)?g(x)
的增减性不能确定;
②
F
3
(x)?f(x)?g(x)
、
F
4
(x)
?
f(x)g(x)
(g(x)?0)
为增函数;
F
5
(x
)?(f(x)?0)
为减函数.
g(x)f(x)
3.奇偶函数的单调性
奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同,偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 <
br>4.复合函数单调性的确定(同增异减):
y?f
?
g
?
x<
br>?
?
是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则
y?f?
g
?
x
?
?
在M上是减函数;若f(x)与g(x)
的单调性相同,则
y?f
?
g
?
x
?
?
在
M上是增函数.
五、函数的对称性
函数
y?f(x)
的图象的对称性(自身)
1.函数
y?f(x)的图象关于直
x?
a?b
对称
?f(a?x)?f(b?x)
?
f(a?b?x)?f(x)
2
特殊的有:①函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)
?f(2a?x
)?f(x)
.
②函数
y?f(x)
的图象关于
y
轴对称
(奇函数)
?f(?x)?f(x)
;
③函数
y?f(x?a)
是
偶函数
?f(x)
关于
x?a
对称;
2.函数
y?f(x
)
的图象关于点
(a,b)
对称
?
特殊的有:
① 函
数
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?
f(x)?
2b?f(2a?x)
?
f(a?x)?f(a?x)?2b
.
f(x)??f(2a?x)
?f(x)?f(2a?x)?0
;
② 函数
y?f(x)
的图象关于原点对称(奇函数)
?f(?x)??f(x)
;
③ 函数
y?f(x?a)
是奇函数
?f(x)
关于点
?<
br>a,0
?
对称.
④
若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称.
两个函数图象的对称性:
①函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称;
②函数
y?f(mx?a)
与函数y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
2m
特殊地:
y?f(x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称;
③函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称的解析式为
y?f(2a?x)
;
④函数
y?
f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称的解析式为
y??f(2a?x);
.
⑤函数
y?f(x)
与
a?x?f(a?y)
的图像关于直线
x?y?a
成轴对称
函数
y?f(x)
与
x?a?f(y?a)
的图像关于直线
x-y?a
成
轴对称
函数
y?f(x)
的图像与x = f
(y)的图像关于直线
x?y
成轴对称.
六.函数的周期性:
1.定义
若
f(x?T)?f(x)(T?0)?
f(x)
是周期函数,T是它的一个周期.
说明:nT也是
f(x)
的周期。推广:若
f(x?a)?f(x?b),则
f(x)
是周期函数,
b?a
是它的一个周期
结论1:如
果
f(x?a)?f(x?b)
(
a?b
),那么
f(x)
是周期函数,其中一个周期
T?a?b
结论2:如果
f(x?a)??f(
x?b)
(
a?b
),那么
f(x)
是周期函数,其中一个周期T?2a?b
结论3:如果定义在
R
上的函数
f(x)
有两条对称轴
x?a
、
x?b
对称,那么
f(x)
是周期
函数,其中一个周
期
T?2a?b
结论4:如果偶函数
f(x)<
br>的图像关于直线
x?a
(
a?0
)对称,那么
f(x)
是周期函数,其中一个周期
T?2a
结论5:如果奇函数
f(x)
的图像关于直线
x?a
(
a?0
)对称,那么
f(x)
是
周期函数,其中一个周期
T?4a
结论6:如果函数同时关于两点
?
a,c
?
、
?
b,c
?
(
a?b
)成中
心对称,那么
f(x)
是周期函数,其中一个周期
T?2a?b
结
论7:如果奇函数
f(x)
关于点
?
a,c
?
(
a
?0
)成中心对称,那么
f(x)
是周期函数,其中一个周期
T?2a
结论8:如果函数
f(x)
的图像关于点
?
a,c
?<
br>(
a?0
)成中心对称,且关于直线
x?b
(
a?b
)成轴对称,
那么
f(x)
是周期函数,其中一个周期
T?4a?b
结论9:如果
f(x?p)?
结论10:如果
f(x?
11
或
f(x?p)??
,那么
f(x)
是周期函数,其中一个周期
T?
2p
f(x)
f(x)
p1?f(x)p1?f(x)
)?
或
f(x?)?
,那么
f(x)
是周期函数,其中一个周期
T?2
p
21?f(x)21?f(x)
结论11:如果
f(x?p)??f(x
)
,那么
f(x)
是周期函数,其中一个周期
T?2p
七、反函数
1.只有单调的函数才有反函数;反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域;
2、求反函数的步骤 (1)解 (2)换 (3)写定义域。
3、关于反函数的性质
-1
(1)y=f(x)和y=f(x)的图象关于直线y=x对称;
-1
(2)y=f(x)和y=f(x)具有相同的单调性;
-1-1
(3
)已知y=f(x),求f(a),可利用f(x)=a,从中求出x,即是f(a);
-1
(4)f[f(x)]=x;
--1
(5)若点
(a,b)在y=f(x)的图象上,则 (b,a)在y=f(x)的图象上;
--1
(6)y=f(x)的图象与其反函数y=f(x)的图象的交点一定在直线y=x上;
八.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
.
一般式:
y?ax?bx?c?0(a?0)
;
2
b
2
4ac?b
2
)?(a?0)
; 顶点式:
y?a(x?
2a4a
零点式:
y?a(x?x
1
)(x?
x
2
)(a?0)
2
2
1.二次函数f(x)=ax+b
x+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴
x?
?b
,顶点坐标
(?b
,
4ac?b
)
2a
2a4a
a?0
,开口向上,
a?0
,开口向下
2.二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)的根为二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)
y?0
的
x
的取值
.
2
2
韦达定理:
x
1
?x
2
??2
bc
,x
1
?x
2
?
aa
3.一元二次不等式
ax?bx?c?0(?0)
的解集(a>0)
二次函数
Y=ax+bx+c (a>0)
2
△情况
△=b-4ac
22
一元二次不等式解集
ax+bx+c>0 (a>0) ax+bx+c<0 (a>0)
2
△>0
图
象
与
解
?
xx?x或x?x
?
12
?
xx
1
?x?x
2
?
△=0
?
xx?x
?
0
?
△<0 R
?
九、指数式与对数式
1.幂的有关概念
?n
(1)零指数幂
a?1(a?0)
;
(2)负整数指数幂
a?
0
1
a?0,n?N
?
?
n
?
a
(3)正分数指数幂
a?
m
n
n<
br>a
m
?
a?0,m,n?N
?
,n?1
?
;
.
(4)负分数指数幂
a
m
?<
br>n
?
1
a
m
n
?
1
n
a<
br>m
?
a?0,m,n?N,n?1
?
?
(5)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2.有理数指数幂的性质
?
1
?
a
r
a
s
?a
r?s
?
a
?0,r,s?Q
?
?
2
?
?
a
r?
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
?<
br>3
??
ab
?
?a
r
b
r
?
a?0,b?0,r?Q
?
s
r
3.根式 根式的性质:
当
n
是奇数,则
n
a
n
?a
;当
n
是偶数,则
n
a
n
?a?
?
4.对数
?
a
?
?a
a?0
a?0
b
(
1)对数的概念:如果
a?N(a?0,a?1)
,那么b叫做以a为底N的对数,记
b?log
a
N(a?0,a?1)
(2)对数的性质:①零与负数没有对数 ②
log
a
1?0
③
log
a
a?1
(3)对数的运算性质
①
log
a
MN?log
a
M?log
a
N
②
对数换底公式:
log
a
N?
log
m
N
(N?0,a?0且a?1,m?0且m?1)
log
m
a
n
对数的降幂公式:
log
a
mN?
(4)三个常用结论:①
a
log
a
x
n
log
a
N(N?0,a?0且a?1)
m
?x
;②log
a
a
x
?x
;③
log
a
b?
log
b
a?1
.
十、指数函数与对数函数
x
1、
指数函数y=a与对数函数y=log
a
x (a>0 , a≠1)互为反函数
名称
一般形式
定义域
值域
过定点
x
指数函数
y=a (a>0且a≠1)
(-∞,+ ∞)
(0,+ ∞)
(0,1)
x
对数函数
y=log
a
x (a>0 , a≠1)
(0,+ ∞)
(-∞,+ ∞)
(1,0)
指数函数y=a与对数函数y=log
a
x (a>0 ,
a≠1)图象关于y=x对称
图象
a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
0<a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数
y>1 ? y<1?
a>1,在(0,+ ∞)上为增函数
0<a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数
y>0? y<0?
单调性
值分布
指数函数图像分布
规律:
a?1
时,
a
越大函数图像在y轴右侧越靠近y轴;
0?a?1
时,
a
越小函数图像在y轴左侧越靠近y轴;
对数函数
图像分布规律:
a?1
时,
a
越大函数图像在x轴上方越靠近x轴;
.
0?a?1
时,
a
越小函数图像在x轴下方越靠近x轴;
2. 比较两个幂值的大小,是一类
易错题,解决这类问题,首先要分清底
数相同还是指数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性;
指数相同,可以利用指数函数的底数与图象
关系(对数式比较大小同理)
3.研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制
4.指数函数
与对数函数中的绝大部分?问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单
调性是
解决问题的重要途径
幂函数:一般地,形如
y?x(n?R)
的函数称为幂函数,其中n为常数.
图像及性质:
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原
因:
1?1
);所有的幂函数在第四象限没有图像.
(2)n>0时,幂函
数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从
左往右看,函数图象逐渐上升).特别地,
当
n?1
时,图像下凸,当
0?n?1
时,图像上凸;
(3)n<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
在第一象限内,当
x<
br>向原点靠近时,图象在
y
轴的右方无限逼近
y
轴正
半轴,当<
br>x
慢慢地变大时,图象在
x
轴上方并无限逼近
x
轴的正半轴.
十一.函数的图象变换1、平移变换:(左+ 右- ,上+ 下- )即
?0
,右移;h?0,左移
y?f(x)?
h
??????y?f(x?h)
x<
br>n
y?f(x)???????y?f(x)?k
2、对称变换:(对称谁,谁不变,对
称原点都要变)
x轴
y?f(x)???y??f(x)
y轴
y?f(x)
???y?f(?x)
k?0,下移;k?0,上移
y?f(x)?
原点<
br>???y??f(?x)
y?x
y?f(x)????y?f
?1
(x
)
y轴右边不变,左边为右边部分的对称图
y?f(x)????????????
y?f(x)
x轴上方图,将x轴下方图上翻
y?f(x)?
保留
?????
?????y?f(x)
十二.函数的其他性质
1.函数的单调性通常也可以以下列形式表达
:
f(x
1
)?f(x
2
)f(x
1
)?f(x<
br>2
)
?0
单调递增;
?0
单调递减
x1
?x
2
x
1
?x
2
2.函数的奇偶性也可以
通过下面方法证明:
f(x)?f(?x)?0
奇函数;
f(x)?f(?x)?0
偶函数
.
3.函数的凸凹性:
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
凹函数(图象“下凹”,如:指数函数)
)?
22
x?xf(x
1
)?f(x
2
)
凸函数(图象“上凸”,如:对数函数)
f(
12
)?
22
f(<
br>十三.函数的应用
:
二次函数与二次方程的关系:
设一元二次方程
a
x?bx?c?0(a?0)
的两个不等根为
x
1
,x
2
,
且
x
1
?x
2
,相应的二次函数
2
y?ax2
?bx?c(a?0)
.方程的根即为二次函数图像与x轴的交点,他们的分步情况如下
:
分布情况 函数图像
两个负根
y
x
二次函数法 二次方程法
x
1
?x
2
?0
?
??0
?
b
?
?0
?
?2a
?
?
?
f(0)?0
?
?
??0
?
?
b
?
??0
?
a
?
c
?0
?
?
a
y
两个正根
0?x
1
?x
2
x
?
??0
?
b
?
?0
?
?2a
?
?
?
f(0)?0
?
?
??0
?
?
b
?
??0
?
a
?
c?0
?
?
a
一正根,一负根
x
1
?0?x
2
两根都小于k
y
?
??0
?
?
f(0)?0
???0
?
b
?
?k
?
?
2a
?
?
?
f(k)?0
?
??0
?
b
?<
br>?k
?
?
?
2a
?
?
f(k)?
0
?
??0
?
?
c
?0
?
?<
br>a
x
1
?x
2
?k
y
k
x
两根都大于k
k?x
1
?x
2
k
y
x
一个大于k,一个小于k
x
1
?k?x
2
k
x
?
??0
?
f(k)?0
?
.
y
两根都在(m,n)内
m?x
1
?x
2
?n
m
n x
?
??0
?
b
?
?n
?
m??
2a
?
?
?
f(m)?0,f(n)?0
两根只有一个在(m,n)
内
y
f(m)f(n)?0
m
y
n
x
1
?m?x
2
?n
一根在(m,n)内,
令一根在(p,q)内
f(m)?0,f(n)?0
m
n pq
f(p)?0,f(q)?0
函数零点问题:
对于函
数
y?f(x)
,把使
f(x)?0
的实数
x
叫做函数y?f(x)
的零点.
零点存在性定理:如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)?f(b)?0
,那么
函
数
y?f(x)
在区间(a,b)内有零点,即存在
c?(a,b)
使
f(c)?0
,这个c也就是方程
f(x)?0
的根.
(1)利用函数图像解决函数零点问题(转化为函数交点问题);
(2)利用零点性质求参数取值范围.
导数及其应用:
一.
利
用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题,解决该类问题必须熟记导数公式,明
确
导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率,切点既在切线上又在曲线上.
注意:1.“过某点的切线
”中的某点可以不在曲线上,而“在某点的切线”中的某点一定在这条曲线上;过某
点的切线条数可能是
不止一条,但在某点的切线条数必定唯一.
2.曲线的切线与这条曲线的公共点可能不唯一,只是在
切点的邻近区域才是唯一的,当曲线是二次曲线时,公
共点只有一个;当曲线为其他曲线时,公共点可能
有多个,如曲线
y?x
在点(1,1)处的切线与该曲线有两个
公共点(1,1),(
-2,-8)
二.利用导数求函数单调区间、极值、最值
利用导数研究函数的单调性和极、
最值问题已成为高考考查的热点.解决该类问题要明确:极值点一定是导数
为零的点,但导数为零的点不
一定是极值点,导函数的变号零点才是函数的极值点(例如
y?x(x?0
是导数
为零
的点但不是极值点;求单调区间时要注意函数定义域;求最值时需要把极值和端点值逐一求出,比较即可.
核心考点:
1.含参函数的单调性(区间)与极值、最值
思路提示:第一步,求函
数定义域;第二步,求导函数;第三步,以导函数的零点存在性进行讨论;第四步,
当导函数存在多个零
点时,讨论他们的大小关系及与区间的位置关系;第五步,判断导函数符号,从而得出函
.
3
3
数的单调性;第六步,综合上述讨论下结论.
2.含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间,求参数范围
思路提示:①已知
函数
f(x)
在区间上单调递增或单调递减,转化为
f
?
(x)?0
或
f
?
(x)?0
恒成立;先分析导
函数图像形式和特点,
如一次函数最值落在端点,开口向上抛物线最大值落在端点,考口向下抛物线最小值落
在端点等; ②已知区间上函数不单调,转化为在区间上存在极值(即导函数在区间上存在变号零点),可利用分离变量法
求解参变量范围;或者利用补集思想;
③已知函数在区间上存在单调增或减区间,转化为导函数在区间上大于或小于零有解.
3.方程解(函数零点)的个数问题
思路提示:研究函数
f(x)
的零点问
题常常与研究对应方程
f(x)?0
的实根问题相互转化
已知含参函数
f(
x)
存在零点求参数范围问题一般对
f(x)?0
进行参变分离,得到
a?g
(x)
的形式,则所求a
的范围就是
g(x)
的值域;
当研究函数
f(x)
零点个数问题时,要借助数形结合.
4.不等式恒成立与存在性问题
思路提示:1.在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的
取值范围,一般转化为函数的最值或值域问题,可
采用“分离常数”或“直接移项构造辅助函数”。 <
br>(1)若函数
f(x)
在区间D上存在最小值
f(x)
min
和最大值
f(x)
max
,则:
①不等式
f(x)?a
在
区间D上恒成立
?
f
(
x
)
min
?a
;
②不等式
f(x)?a
在区间D上恒成立
?
f
(
x
)
min
?a
;
③不等式
f(x)?b
在区间D
上恒成立
?
f
(
x
)
max
?b
; ④不等式
f(x)?b
在区间D上恒成立
?
f
(
x)
max
?b
;
(2)若函数
f(x)
在区间D上不存在最大(小)值,且值域为(m,n),则:
①不等式
f(x)?a
(或
f(x)?a
)在区间D上恒成立
?
m?a
②不等式
f(x)?b
(或
f(x)?b)在区间D上恒成立
?
n?b
思路提示2:
(1)若函数<
br>f(x)
在区间D上存在最小值
f(x)
min
和最大值
f(
x)
max
,则对不等式有解问题有以下结论:
①不等式
a?f(x)在区间D上有解
?
a?f(x)
max
;
②不等式
a
?f(x)
在区间D上有解
?
a?f(x)
max
;
③不
等式
a?f(x)
在区间D上有解
?
a?f(x)
min
;
④不等式
a?f(x)
在区间D上有解
?
a?f(x)
mi
n
;
(2)若函数
f(x)
在区间D上不存在最大(小)值,且值域为(m
,n),则对不等式有解问题有以下结论:
①不等式
a?f(x)
(或
a?
f(x)
)在区间D上有解
?
a?n
②不等式
b?f(x
)
(或
b?f(x)
)在区间D上恒成立
?
b?m
.
思路提示3:
对于任意的
x
1
?[a,b]
,总存在
x
2
?[m,n]
,使
f
(x
1
)?g(x
2
)?f(x
1
)
min
?g(x
2
)
min
对于任意的
x
1
?[a,b]
,总存在
x
2
?[m,n]
,使
f(x
1
)?g(x
2
)?f(x
1
)
max
?g(x
2
)
max
对于任意的
x
1
?[a,b
]
,
x
2
?[m,n]
,使
f(x
1
)?
g(x
2
)?f(x
1
)
min
?g(x
2
)
max
对于存在
x
1
?[a,b]
,任意的
x
2
?[m,n]
,使
f(x
1
)?g(x
2
)?f(x
1
)
min
?g(x
2
)
min
5.利用导数证明不等式
思路提示:
构造辅助函数,把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式
构造辅助函数的一般方法及解题程序如下:
(1)移项,使不等式的一端为0,另一端即为所作的辅助函数;
(2)求导函数,并验证函数在指定区间上的单调性;
(3)求出区间端点的函数值(或最值),作比较即可.
.