高中数学空间向量解题技巧-河南高中数学水平测试试题及答案
函数的极值与最值
[题型分析·高考展望] 本部分内容为导数在研究函数中的一个重
要应用,在高考中也是重点
考查的内容,多在解答题中的某一问中考查,要求熟练掌握函数极值与极值点
的概念及判断
方法,极值和最值的关系.
常考题型精析
题型一
利用导数求函数的极值
例1
(江西)已知函数f(x)=(x
2
+bx+b)·1-2x(b∈R).
(1)当b=4时,求f(x)的极值;
1
(2)若f(x)在区间(0,)上单调递增,求b的取值范围.
3
点评 (1)导函数的零点并
不一定就是函数的极值点,所以在求出导函数的零点后一定要注意
分析这个零点是不是函数的极值点.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内一定不是单调
函数,即在某
区间上的单调函数没有极值.
ax
变式训练1
(安徽)已知函数f(x)=(a>0,r>0).
?x+r?
2
(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;
a
(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.
r
题型二 利用导数求函数最值
例2 已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,曲线y=f(
x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若
2
x=时,y=f(x)有极值.
3
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
点评 (1)求解函数的最值时,要先求函数y=f(x)在[a,b]内
所有使f′(x)=0的点,再计算函
数y=f(x)在区间内所有使f′(x)=0的点和区间端点处
的函数值,最后比较即得.
(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.
变式训练2 (安徽)设函数f(x)=x
2
-ax+b.
ππ
-,
?
内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
(1)讨论函数f(sin x)在
?
?
22
?
ππ
-,<
br>?
上的最大值D; (2)记f
0
(x)=x
2
-a
0
x+b
0
,求函数|f(sin x)-f
0
(sin x)|在
?
?
22
?
a
2
(3)在(2)中,取a
0
=b
0
=0,求z=b-满足D≤1时的最大值.
4
高考题型精练
1.(深圳模拟)设a∈R,若函数y=e
x
+ax,x∈R有大于零的极值点,则(
)
A.a<-1
1
C.a>-
e
B.a>-1
1
D.a<-
e
2.已知函数y=x
3
-3x+c的图象
与x轴恰有两个公共点,则c等于( )
A.-2或2
C.-1或1
B.-9或3
D.-3或1
3.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e
x
-1)(x-1)
k
(k=1,2),则( )
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
x
?
?
1-x<
br>-kx
2
,x≤0,
4.(烟台模拟)若函数f(x)=
?
?
?
ln x,x>0
有且只有两个不同的零点,则实数k的取值范围是(
)
A.(-4,0)
C.(-4,0]
B.(-∞,0]
D.(-∞,0)
5.已知a为常数,函数f(x)=x(ln x-ax)有两
个极值点x
1
,x
2
(x
1
),则
( )
1
A.f(x
1
)>0,f(x
2
)>-
2
1
B.f(x
1
)<0,f(x
2
)<-
2
1
C.f(x
1
)>0,f(x
2
)<-
2
1
D.f(x
1
)<0,f(x
2
)>- 2
6.已知函数f(x)=x
3
+2bx
2
+cx+1有两个极
值点x
1
,x
2
,且x
1
∈[-2,-1],x
2
∈[1,2],则
f(-1)的取值范围是( )
3
A.[-,3]
2
C.[3,12]
3
B.[,6]
2
3
D.[-,12]
2
7.函数f(x)=x
3
-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是________.
8.已知函数f(x
)=x
3
+3ax
2
+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a
的取值范围是________.
9.若函数f(x)=(1-x
2
)(x
2
+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是________.
1
10.已知函数f(x)=+ln x,求函数f(x)的极值和单调区间.
x
11.(安徽
)设函数f(x)=1+(1+a)x-x
2
-x
3
,其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.
12.(课标全国Ⅱ)设函数f(x)=e
mx
+x
2
-mx.
(1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;
(2)若对于任意x
1
,x
2
∈[-1,1],都有|f(x
1)-f(x
2
)|≤e-1,求m的取值范围.
答案精析
函数的极值与最值
常考题型精析
1
例1 解 (1)函数f(x)的定义域为(-∞,).
2
-5x?x+2?
当b=4时,f′(x)=,
1-2x
由f′(x)=0得x=-2或x=0.
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
1
当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
2
故f(x)当x=-2时取得极小值f(-2)=0,
在当x=0时取得极大值f(0)=4.
-x[5x+?3b-2?]
(2)f′(x)=,
1-2x
-x
1
因为当x∈(0,)时,<0,
3
1-2x
1
依题意当x∈(0,)时,有5x+(3b-2)≤0,
3
5
从而+(3b-2)≤0.
3
1
所以b的取值范围为(-∞,].
9
变式训练1 解
(1)由题意知x≠-r,
所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).
f(x)=
axax
=,
?x+r?
2
x
2+2rx+r
2
a?x
2
+2rx+r
2
?-ax?2
x+2r?
f′(x)=
?x
2
+2rx+r
2
?
2
=
a?r-x??x+r?
.
?x+r?
4
所以当x<-r或x>r时,f′(x)<0,
当-r
因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);
f(x)的单调递增区间为(-r,r).
(2)由(1)可知f′(r)=
0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.因此,x=r是f(x)
的极大值
点,所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)=
例2 解
(1)由f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,
得f′(x)=3x
2
+2ax+b.
当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0.①
2
?
2
当x=时,y=f(x)有极值,则f′
?
?
3
?
=0,
3
可得4a+3b+4=0.②
由①②,解得a=2,b=-4.
由于切点的横坐标为x=1,所以f(1)=4.
所以1+a+b+c=4,所以c=5.
(2)由(1),可得f(x)=x
3
+2x
2
-4x+5,
所以f′(x)=3x
2
+4x-4.
2
令f′(x)=0,解得x
1
=-2,x
2
=.
3
当x变化时,f′(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示:
x
f′(x)
f(x)
-3
8
(-3,-2)
+
↗
-2
0
13
2
(-2,)
3
-
↘
2
3
0
95
27
2
(,1)
3
+
↗
1
4
ara400
===100,无极小值.
?2r?
2
4r4
95
所以y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为.
27
变式训练2 解 (1)f(sin x)=sin
2
x-asin
x+b
ππ
=sin x(sin x-a)+b,-
ππ
[f(sin x)]′=(2sin x-a)cos x,-
ππ
因为-
22
①a≤-2,b∈R时,函数f(sin x)单调递增,无极值.
②a≥2,b∈R时,函数f(sin x)单调递减,无极值.
ππ
-,
?
内存在唯一的x
0
,
③对于-2?
?
22
?
使得2sin
x
0
=a.
π
-
时,函数f(sin
x)单调递减;
2
x1
点,故若函数有两个零
点,当且仅当x<0,=kx
2
无根即可,即=kx在区间(-∞,
x-1x-11
0)上无解,数形结合如图所示,易知当k≤0时,直线y=kx与函数y=在(-∞,0)上无
x-1
交点,故选B.]
5.D [f′(x)=ln
x+1-2ax(x>0),
ln x+1ln
x+1
令f′(x)=0得2a=,设φ(x)=,
xx
-ln
x
知φ′(x)=
2
,φ(x)草图如图,
x
1
0,
?
. ∴f(x)的两个极值点0
<1,x<
br>2
>1,且2a∈(0,1),∴a∈
?
?
2
?
由f
(x)草图可知f(x)在区间(0,x
1
)上单调递减,在(x
1
,x2
)上单调递增.
又f(0)=0,f(1)=-a,
1
-,0
?
. f(x
2
)≥f(1)且-a∈
?
?
2
?
1
∴f(x
1
)<0,f(x
2<
br>)>-.]
2
6.C [方法一
由于f′(x)=3x
2
+4bx+c,
据题意方程3x
2
+4b
x+c=0有两个根x
1
,x
2
,
且x
1
∈[-2,-1],x
2
∈[1,2],
令g(x)=3x
2
+4bx+c,
?
?
g?-1?=3
-4b+c≤0,
结合二次函数图象可得只需
?
g?1?=3+4b+c≤0,
?
?
g?2?=12+8b+c≥0,
g?-2?=12-8b+c≥0,
此即为关于点(b,c)的线性约束条件,作出其对应平面区域,f(-1)=2b-c,问
题转化为在上
述线性约束条件下确定目标函数f(-1)=2b-c的最值问题,由线性规划易知3≤f
(-1)≤12,
故选C.
方法二 方程3x
2
+4bx+c=0有两个根
x
1
,x
2
,且x
1
∈[-2,-1],x
2∈[1,2]的条件也可以通
过二分法处理,即只需g(-2)g(-1)≤0,g
(2)g(1)≤0即可,利用同样的方法也可解答.]
7.0解析
∵f′(x)=3x
2
-3a,令f′(x)=0,
可得a=x
2
.又∵x∈(0,1),∴08.
a>2或a<-1
解析 f′(x)=3x
2
+6ax+3(a+2),
令3x
2
+6ax+3(a+2)=0,即x
2
+2ax+a+2=0.
因为函数f(x)既有极大值又有极小值,
所以方程x
2
+2ax+a+2=0有两个不相等的实根,
即Δ=4a
2
-4a-8>0,
解得a>2或a<-1.
9.
16
解析 依题意,f(x-2)为偶函数,
f(x-2)=(-x
2
+
4x-3)[x
2
+(a-4)x+4-2a+b],
其中x
3
的系数为8-a=0,故a=8,
x的系数为28+4b-11a=0,故b=15,
令f′(x)=0,得x
3
+6x
2
+7x-2=0,
由对称轴为x=-2可知,
将该式分解为(x+2)(x
2
+4x-1)=0,
可知其在5-2和-5-2处取到最大值,最大值为16.
11
x-1
10.解
因为f′(x)=-
2
+=
2
,
xxx
令f′(x)=0,得x=1,又f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
f′(x)
f(x)
所以x=1时,f(x)的极小值为1.
f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
11.解
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=1+a-2x-3x
2
.
令f′(x)=0,
-1-4+3a-1+4+3a
得x
1
=,x
2
=,x
1
,
33
所以f′(x)=-3(x-x
1
)(x-x
2
).
(0,1)
-
↘
1
0
极小值
(1,+∞)
+
↗
当x
或x>x
2
时,f′(x)<0;
当x
1
时,f′(x)>0.
故f(x)在(
-∞,
-1-4+3a-1+4+3a-1-4+3a
)和(,+∞)内单调递减,在(,333
-1+4+3a
)内单调递增.
3
(2)因为a>0,所以x
1
<0,x
2
>0.
①当a≥4时,x
2
≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值;
②当0
2
<1,由(1)知,f(x)在[0,x
2
]上单调递增,在[x
2,1]上单调递减,
-1+4+3a
所以f(x)在x=x
2
=处取得最大值.
3
又f(0)=1,f(1)=a,所以
当0当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;
当112.(1)证明
f′(x)=m(e
mx
-1)+2x.
若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,e<
br>mx
-1≤0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e
mx
-1≥0,f
′(x)
>0.
若m<0,则当x∈(-∞,0)时,e
mx
-1>0,f
′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e
mx
-1<0,f′(x)
>0.
所以,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)解 由(1)
知,对任意的m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0
处取得最小值.所以对于任意x
1
,x
2
∈[-1,1],|f(x
1
)-f(x
2
)|≤e-1的充要条件是
?
f?1?-f?0?≤
e-1,
?
?
?
f?-1?-f?0?≤e-1,
?m
?
?
e-m≤e-1,
即
?
-
m
①
?
e+m≤e-1.
?
设函数g(t)=e
t
-t-e+1,则g′(t)=e
t
-1.
当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0.
故g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)单调递增.
又g(1)=0,g(-1)=e
1
+2-e<0,
故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.
当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;
当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e
m
-m>e-1;
-
当m<-1时,g(-m)>0,即e
m
+m>e-1.
综上,m的取值范围是[-1,1].
-
高中数学必修2第四章测试题及答案-新颖背景下的高中数学题
高中数学微积分公式-高中数学学业能力总结
高中数学书必修4北师大版-提高高中数学成绩好的方法
2016高中数学会考试卷-高中数学适合比赛讲的论题
高中数学教材答案湘教版1-1-高中数学选修4-8pdf
高中数学必修一第一章测试题及答案-高中数学一题多解导数
人教a版高中数学必修四1.5教案-高中数学立体几何初步定理
高中数学一年级主要内容-高中数学概率问题教案
-
上一篇:高中数学必修一 函数的应用举例
下一篇:高中数学-基本初等函数