克莱因公式人教版小学数学全部概念和公式

人教版小学数学全部概念和公式
一、 基础知识复习
一）整数、小数、分数、负数 概念：
（一）整数
1 】 整数的意义 ： 自然数和0都是整数。
2 】 自然数： 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2， 3……叫做自然数。 一
个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 没有最大的自然数， 自然数的个数是无限的。
3】 计数单位： 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每
相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4 】 数位： 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 有个位、十位、
百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位。
5】 数的整除： 整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b
整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做
a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍
数，7是35的约数（因数）。
小学各年级课件教案习题汇总一年级 二年级 三年级 四年级 五年级整除常识：
※ 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。

※ 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
※ 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被 3
整除。
※ 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，
但是能被9整除的数一定能被3整除。
※ 一个数的末 两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256
都能被 4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
※ 一个数的末三位数能被8（或1 25）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、
5000、12344都 能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
７】 偶数、奇数、质数、合数：
自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数
※ 能被2整除的数叫做偶数。 0也是偶数。
※ 不能被2整除的数叫做奇数。
※ 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．100 以内的质数有：2、3、5、7、
11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73 、79、83、89、97。 ※
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
※ 一个数的约数（因数）的个数是有限的，其中最小的因数是1， 最大的因数是它本身。例如：
10的因 数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。
※ 一个数的倍数的个数是无 限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中
最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
※ 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然 数按其约数的个数
的不同分类，可分为质数、合数和1。
※ 每个合数都可以写成几个 质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数
的质因数，例如15=3×5，3和 5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出
来，叫做分解质因数。 例如把28分解质因数：28=2×2×7
8】 最大公约数和最小公倍数：
※ 几个 数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，
例如12的约数 有1、2、3、4、6、12； 18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是
12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
※ 公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： １）1和任
何自然数互质。 ２）相邻的两个自然数互质。 ３）两个不同的质数互质。 ４）当合数不是
质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 ５）两个合数的公约数只有1时，这两个 合数互质，
如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
※ 如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。 如果两个数是互质
数，它们的最大公约数就是1。
※ 几个数公有的倍数，叫做这几 个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，
如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… 3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……
其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。
※ 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数，
那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍
数的个数是无限的。
（三）分数：
1 】 分数的意义： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
※ 分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
※ 单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2 】 分数的分类： ※ 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
※ 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
※ 带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3 】 约分和通分：
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 分子分母是互质数的
分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
４】 百分数： 表示一个数是另一个数的百分之几的数也叫做百分率 或百分比。百分数通常
用来表示。百分号是表示百分数的符号。
(四) 负数
1】 负数的定义： 负数是正数的相反数。在实际生活中，我们经常用正数和负数来表示意义相反
的两个量。
2】 负数的作用： 1、负数是在人为规定正方向的前提下出现的。 2、负数常用来表示和正数意
义相反的量。 3、在选择用正数还是负数表示时，首先看是否规定了正方向。 4、一般含有褒义
的量用正数表示，含有贬义的量则用负数表示。
3】 负数的特征：
※ 任何正数前加上负号“－”标记（即相当于减号）。都等于负数。
※ 负数比零小，正数都比零大。
※ 零既不是正数，也不是负数。它是正数和负数的分界。
※ 在数轴上,从左到右的顺序就是数从小到大的顺序.
※ 在数轴线上，负数都在0的左侧.
4】 例题：请问上升7米和向东运动9米可记为 +7米和-9米吗？ 是具有相反意义的量吗？ 参
考答案： 不可以记为+7米和-9米。 说明： 具有相反意义的量必须满足两个条件：（1）它
们必须是同一属性的量；（2）它们的意义相反。上升 和下降；向东运动和向西运动才是相反意义
的量，因为上升和向东运动不是具有相反意义的量，所以不可 以记为+7米和-9米。
五方法
（一）数的读法和写法 ：
1】. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个
零 。
2】. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位
上写0。
3】. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4】. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照 整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数
部分顺次写出每一个数位上的数字。
5】. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来
读。
6】. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
7】. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来
读。
8】. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
9】. 负数的读法：先读”负”,后面读出正数即可.
10】. 负数的写法：正数前加上 “－”标记（即相当于减号）。
（四）数的整除
1】. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2】. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几 个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有
公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是 这几个数的的最大公约数 。
3】. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中 的部分数）的公约数去除，一直除
到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积 就是这几个数的最小公倍数。
4】. 成为互质关系的两个数： 1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是
质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
（五） 约分和通分 ：
※ 约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母； 通常要除到得出最简分数
为止。
※ 通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把 各分数化成用这个最小公倍
数作分母的分数。 性质和规律 1】 商不变的规律： 在除法里，被除数和除数同时扩大或者
同时缩小相同的倍数 (零除外），商不变。 即a÷b=(a×c)÷(b×c)=(a÷c)÷(b÷c) (c≠0) 2】
小数的性质： 在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 3】 小数点位置的移动引起小
数大小的变化：
※. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动 两位，原来的数就扩大100倍；
小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……
※. 小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动 两位，原来的数就缩小100倍；
小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍……
※. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0补足位。
4】 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
5】 分数与除法的关系
※. 被除数÷除数= 被除数除数
※. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
※. 被除数相当于分子，除数相当于分母。
数的四则运算 运算的意义
1】加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫
做和。加数是部分数，和是总数。
2】减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部
分 数。 ※ 加法和减法互为逆运算。
3】 乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 ※ 在乘法里，相同的加数和相同加数
的个数都叫做因数。相同加数 的和叫做积。 ※ 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任
何数相乘都的任何数。
4 】除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知
的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 ※ 乘法和除法互为逆运算。
※ 在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任 何一个数除以0，均得不到一
个确定的商。
5】小数加减法要注意： （1）小数点对齐，也是把数位对齐。 （2）从最低位算起。 （3）得
数的末尾有0，一般要把0去掉。
6】．一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙
数的倒数。
（二） 四则运算式子各部分的关系：
（1）一个加数+另一个加数=和
一个加数=和－另一个加数
被减数－减数=差 被减数=差+减数 减数=被减数－差
（2）一个因数×另一个因数=积 一个因数=积÷另一个因数 被除数÷除数=商 被
除数=商×除数 除数=被除数÷商 被除数－除数×商=0
（3）被除数=商×除数+余数 除数=（被除数－余数）÷商 余数=被除数－商×除
数
（三）运算定律
1】. 加法交换律： 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。
2】. 加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，
再和第一个数相加它们的和 不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。
3】. 乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
4】. 乘法结合律： 三 个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，
再和第一个数相乘，它们的积 不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。
5】. 乘法分配律： 两个数的和与一个数相乘 ，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相
加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。
6】. 减法的性质： 从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，
即a- b-c=a-(b+c) 。
7】．除法性质： ※ 一个数连续除以几个数，可以除以后几个数的积，也可以先 除以第一个
除数，再除以第二个除数。 即a÷b÷c=a÷(b×c)
（四）运算法则
1】. 整数加法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进
一。
2】. 整数减法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位< br>退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。
3】. 整数乘法计算法则： 先用一个 因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用
因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对 齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
4】. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不
够除，就多 看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补
“0”占位。每次 除得的余数要小于除数。
5】. 小数乘法法则： 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看 因数中共有几位小数，就从积的
右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。
6】. 除数是整数的小数除法计算法则： 先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的< br>小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。
7】. 除数是小数的除法计算法则： 先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右< br>移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8】. 同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
9】. 异分母分数加减法计算方法: 先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 ※
根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的且分母相同的分数，叫做通分。 通
分方法：求出原来几个分数的分母的最小公倍数
10】. 带分数加减法的计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11】. 分数乘法的计算法则: 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分
数乘分数，用分子相乘的积作分子，分 母相乘的积作分母。
12】. 分数除法的计算法则: 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
13】.四则运算法则：加法、减法、乘法和除法统称四则运算。算 式里有括号，要先算括号里面的。
在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算，有乘、除
法和加、减法，要先算乘、除法。
（五） 代数初步知识
1】 用字母表示数的意义：用字母表示数，可以把数量关系简明的 表达出来，同时也可以表示运
算的结果。 例如：路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系： s=vt
v=st t=sv
2】 注意事项： ※ 数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不 写，数
字要写在字母的前面。 例：ａ×ｂ＝ａ.ｂ＝ａｂ ※ 当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不
写。 例：1×ａ＝ａ ※ 在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字 母
表示。 ※ 用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果 式子中有加号或者
减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。
3】 将数值代入式子求值： * 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于
几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。 * 同一个式
子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。
用字母表示几何形体的公式： 平面图形的周长、面积计算公式表 图形名 周长公式（ｃ） 面积
公式（ｓ） 备注 长方形 ｃ＝2（ａ+ｂ） ｓ＝ａｂ ａ代表长， ｂ代表宽。
正方形 ｃ＝4ａ ｓ＝ａ×ａ＝ａ2 ａ代表边长
平行四边形 ｓ＝ａｈ ａ代表底， ｈ代表高。
梯形 ｓ＝（ａ+ｂ）ｈ÷?? ａ代表上底， ｂ代表下底； ｈ代表高。
三角形 ｓ＝ａｈ÷?? ａ代表底， ｈ代表高。
圆 C=πd C=2πr S =πr2 r表示半径 d表示直径 c表示周长， π表示圆周率 扇形
S =πr2÷?????? 同上
立体图形的表面积、体积计算公式表 形体 表面积公式（S表） 体积公式（V） 长方体 ｓ
＝2（ａｂ+ａｈ+ｂｈ） V＝ａｂｈ ａ代表长；ｂ代表宽；ｈ代表高
正方体 S=6a2 V=a3 ａ代表棱长
圆柱体 S侧=ch S表=S侧+2×S底 V=Sh 高用h表示，底面周长用c表示
圆锥体 ??＝ｓｈ÷?? 高用h表示
（六） 比和比例
一．比的意义和性质
1】 比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。 写作A ：B “：”是比号，读作“比”。比
号前面的数叫做比的前 项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2】 比的性质
※ 比的前项相当于分子，后项相当于分母，比的后项不能是零。
※ 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
※ 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，
※ 比的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
3】 比例尺： 比例尺是表示图上距离比实地距离缩小或扩大的程度。
※ 比例尺= 图上距离：实际距离 或 图上距离实际距离 =比例尺
※ 比例尺有三种表示方法: 数字式，线段式，和文字式。
（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如地图 上1厘米代表实地距离500
千米， 可写成：1∶50,000,000 或写成：150,000,000。
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
（3） 文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相
当于地面距离 500千米，或五千万分之一。 0 30米 60米 90
米 ?? ? ?
※ 特别注意： ? 图上距离做前项，实际距离做后项。 ? 图上距离和实际距离单位统一再化简。 ?
比例尺是一个比，不应带计量单位。 ? 为了计算简便，通常把比例尺写成前项(后项）为1的比。
例如“
※ 求比例尺的方法是：
（1）写出图上距离和实际距离的比；
（2）统一这个比的单位，去掉单位后化简成前项是1的比。
※比与分数、除法的关系 项 目 符号 比a：b＝c 分数 a b =c 除法a÷b＝c a 前项 分子
被除数 符号 比号 分数线 除号 b 后项 分母 除数 c 比值 分数值 商 性质 前项和后项同
时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变 分数的基本性质 商不变的基本性质
4】按比例分配： 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来 进行分配。这种
分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 二 比例的意义
和性质
（1） 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。 两
端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 ??：??=??：?? 也可写为 ?? ?? =?? ?? 其
中??与??为外项，??与??为内项
（2）比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
a×d＝b×c （
（3）解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就 可以求出这个数比例中的另
外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
（4）正比例和反比例
※ 成正比例的量： 两种相关联的量，一种量变化， 另一种量也随着变化，如果这两种量中
相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比 例的量，他们的关系叫做正比
例关系。 用字母表示 ： x y=k (一定）
※ 成反比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果 这两种量中相
对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 用
字母表示 ： x×y=k (一定)
※ 判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是否相等。
二 比例的意义和性质
（1） 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。 两
端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 ??：??=??：?? 也可写为 ?? ?? =?? ?? 其
中??与??为外项，??与??为内项
（2）比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
a×d＝b×c
（3）解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项， 就可以求出这个数比例中的
另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
（4）正比例和反比例
※ 成正比例的量： 两种相关联的量，一种量变化， 另一种量也随着变化，如果这两种量中
相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比 例的量，他们的关系叫做正比
例关系。 用字母表示 ： x y=k (一定） ※ 成反比例的量 两种相关联的
量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这 两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就
叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示 ： x×y=k (一定)
※ 判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是否相等。
二）图形 ○ 常○用○单○位：
1】 长度单位（进率是10）：
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米
※ 1米=10分米=100厘米=1000毫米； ※ 1公里＝1千米
* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)
2】 面积单位（进率是100）：
1平方千米=100公顷=1000000平方米； 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分
米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 ※ 1平方米=100平方分米=10000
平方厘米=1000000平方毫米；
1平方分米=100平方厘米=10000平方毫米； 1亩＝平方米。
3】 体积单位（进率是1000）： 1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1
立方厘米＝1000立方毫米
※ 1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米 ※ 1方=1立方米
线：
1射线：有一个端点，可以向一端无限延伸；没有长度．
直线：有0个端点，可以向两端无限延伸；没有长度． 线段：有两个端点， 有一定长度； 弧
线：圆上A、B两点间的部分叫做弧。
2 ※从一点出发可以画无数条射线； ※经过一点可以画无数条直线； ※经过两点只能画一条直
线。 ※两点之间，线段最短．
3】 ※ 在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 ※ 如
果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中 一条直线叫做另一条直线的垂线，这两
条直线的交点叫做垂足。
4】 ※ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行。 ※ 如果两条直线
都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行。
5】 ※ 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 ※ 平
行线之间的距离处处相等。
※ 过直线外一点只能画一条已知直线的垂线；过直线外一点只能画一条已知直线的平行线。
○ 角
1】、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这一点是角的 顶点，这两条射线是角的边 。
角通常用符号“∠”来表示。
2】、量角的大小，要用量角器。 角的计量单位是“ 度”，用符号“°”表示。把半圆分成180
等份，每一份所对的角的大小是1度，记作：1°。
3】、角的大小与角的两边画出的长短没有关系，角的大小要看 两边叉开的大小，叉开得越大，角
越大。
4】、我们学过的角有：锐角、直角、钝角、平角、周角。 锐角小于90度； 直角等于90度； 钝
角大于90度而小于180度； 平角等于180度； 周角等于360度。 1平角=2直角； 1
周角=2平角=4直角
○ 面○积 ○体○积 ○容○积○周○长；
1】面积；就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表 面积。（面积用字
母S表示）
2】体积；就是物体所占空间的大小。（体积用字母V表示）
3】容积；一个容器所能容纳物体体积的多少叫做该容器的容积。（容积用V表示）
4】 周长：图形一周的长度，就是图形的周长。周长的长度因此亦 相等于图形所有边的和。(一般
用字母C表示）
○操○作○知○识
1、 画一个角的步骤如下：
⑴画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
⑵在量角器所取刻度线的地方点一个点；
⑶以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。
2、 垂线的画法：
1）过直线上一点画这条直线的垂线。
2）过直 线外一点画这条直线的垂线。
3、 画平行线的步骤是：
⑴ 固定三角板，沿一条直角边先画一条直线；
⑵ 用直尺紧靠三角板的另一条直线边，固定直尺然后平移三角板；
⑶ 再沿一条直角边画出另一条直线
平面图形 ○ 三○角○形
※ 在 同一平面上，由三条线段组成的（每相邻两条线段的端点相连）内角和为180°的封闭图
形叫做三角形 。
※ 三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。
三角形分类：
(1）按角度分；
a】.锐角三角形：三个角都小于90度。
b】.直角三角形：一个角是直角．
c】.钝角三角形：其中一个角必须大于90度。
（2）按边分；
※不等边三角形：三条边都不相等．
※等腰三角形：二条边相等；两个底角相等；有一条对称轴。
※等边三角形：三条边相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
⊿】 三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直 线画垂线，顶点到垂足之间
的线段叫做三角形的高，简称为高。
※ 三角形的高是一条线段。
※ 由于三角形有三条边，所以三角形有三条高。
※ 锐角三角形的高都在三角形的内部；钝角三角形的高中有两条在三角形的外部；直角三角形
的高中有两条恰好是三角形的两条直角边。
⊿】 三角形的面积=底×高÷2 公式 S= a×h÷2 （底是a 高是h）
三角形性质：
1】．三角形的两边的和一定大于第三边。
2】．三角形内角和等于180度
3】．一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。
4】．等底等高的三角形面积相等。
5】．三角形具有稳定性。
6】：※ 用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 ※ 用两个完全一样的直角三角
形可以拼成一个长方形。
※ 用两个完全一样的直角等腰三角形可以拼成一个正方形。
a b h ※ 用三个完全一样的三角形可以拼成一个梯形。
○ 平○行○四○边○形
※ 在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
性质： ※ 两组对边分别平行的四边形。
※ 相对的边平行且相等。
※ 对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。
※ 平行四边形容易变形。 平行四边形的面积公式： S =ah底×高（ “h”表示高，
“a”表示底，“S”面积）
○长○方○形
性质： ※ 有四条边 ，对边平行且相等 ．
※ 四个角都是直角 ※ 有2条对称轴
※ 长方形是特殊的平行四边形
※ 长方形有无数条高
※ 长方形相邻的两条边互相垂直
※ 水平的那一边为长，垂直的那一边为宽
长方形面积公式： S =ab 长×宽 （“S” 表示面积，“a”表示长，“b”表示宽） 长方形
周长公式： C=2(a+b) （ C 代表周长 ）
○正○方○形
性质： ※ 四条边平行且相等，
※ 四个角都是直角的四边形。
※ 有4条对称轴。 正方形是特殊的长方形．
※ 相邻的两条边互相垂直
正方形面积公式： S=a2 （“S” 表示面积，“a”表示边长）
正方形周长公式：C=4a （ C 代表周长 ）
○ 梯○形
梯形：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。
※ 平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底；
※ 不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
※ 一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，
※ 两腰相等的梯形叫等腰梯形
梯形的面积公式： （上底+下底）×高÷2 用字母表示：S=（a+b）×h÷2 ※ 变形1：h=2s
÷（a+b） ※ 变形2：a=2s÷h-b ※ 变形3：b=2s÷h-a
梯形的周长公式： 上底+下底+腰+腰 用字母表示：a+b+c+d
○ 圆
※ 圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨
迹叫做圆。
※ 平面上的一种曲线图形。
※ 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
※ 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。
※ 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。
※ 把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。
性质： ※ 在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
※ 同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
※ 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
※ 圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。 ?
圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示， 面积用s表示，圆周率。用字母π表示。 圆
所占平面的大小叫做圆的面积。
圆的面积 计算公式： S =πr2
圆的周长 ：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 圆的周长计算公式 ：C=πd C=2πr
○ 扇○形
※ 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
※ 圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。
※ 顶点在圆心的角叫做圆心角。
※ 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
※ 扇形有一条对称轴。 扇形面积公式： s=nπr2360 环形
※ 由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
环形面积公式： s=π(R2-r2）
轴对称图形 ※ 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图 形能够完全重合，这个图形就是
轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
※ 等腰三角形有2条对称轴 ※ 等边三角形有3条对称轴。
※ 长方形有2条对称轴。 ※ 正方形有4条对称轴，
※ 等腰梯形有一条对称轴， ※ 圆有无数条对称轴。 ※ 扇形有一条对称轴。
※ 环形有无数条对称轴。
立体图形
○ 长○方○体
由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫长方体.
长方体的每一个矩形都叫做长方体的面，面与面相交的线叫做 长方体的棱，三条棱相交的点叫长
方体的顶点，相交于一个顶点较长的棱叫做长，较短的棱叫做宽，垂直于底面的棱叫做高。 长方
体的特征：
1】长方体有6个面,每个面都是长方形,至少有两个相对的两个面完全 相同。特殊情况时有两个面是
正方形，其他四个面都是长方形，并且完全相同。
2】 长方体有12条棱，相对的棱长度相等。可分为三组，每一组有4条棱。还可分为四组，每一组
有3条棱 。
3】长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。
4】长方体相邻的两条棱互相（相互）垂直。
长方体的表面积：
长方体的长、宽、高分别表示为a、b、c，它的表面积用S表示 S = 2ab + 2bc+ 2ca= 2 ( ab + bc + ca)
长方体的体积： 长方体的体积=长×宽×高 设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它
的体积V：V = abc=Sh 长方体的展开图：
○ 正○方○体
正方体的定义 侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”、“正六面体”。
正方体的特征： 〔1〕】有6个面，每个面完全相同。 〔2〕】有8个顶点。 〔3〕】有12
条棱，每条棱长度相等。 （4）】相邻的两条棱互相（相互）垂直。 （5）】正方体是特殊的长
方体。
正方体的表面积：（正方体的棱长为a，它的表面积为S） ※ 因为6个面全部相等，所以正方
体的 表面积=一个面的面积×6=棱长×棱长×6
正方体表面积公式：S=6×a×a 正方体的体积：
※ 正方体的体积=棱长×棱长×棱长； 正方体体积公式： V=a×a×a 正方体体积的固定
概念： ※ 棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米。 棱长是1分米的正方体，体积是
1立方分米。
圆○柱○体
定义： 以一个圆为底面，上或下移动一定的距离，所经过的空间叫做圆柱体。
性质： 1】.圆柱的两个圆面叫底面，周围的面叫侧面，一个圆柱体是由两个底面和一个侧面组成
的。
2】.圆柱体的两个底面是完全相同的两个圆面。两个底面之间的距离是圆柱体的高。
3】.圆柱体的侧面是一个曲面，圆柱体的侧面的展开图是一个长方形或正方形。
4】.等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍
5】.圆柱体可以用一个平行四边形围成 计算公式 ： ?圆柱的底面积 S=πr2 ? 圆柱的侧面积=
底面周长x高， 即： S侧面积=Ch=2πrh ?
底面周长 C=2πr=πd ?
圆柱的表面积=侧面积+底面积x2 即：S表面积=2πr2+Ch=2πr（r+h) ?圆柱的体积=底面积x高
即 V=S底面积×h=πr2×h= (π×r×r)h
○ 圆○锥
圆锥的认识： ※ 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
※ 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
※ 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆 锥的顶点上
面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
※ 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
计算公式： 圆锥体的体积=底面积×高×13 v= sh3 (圆锥的体积是等底等高圆柱体的三
分之一) 我们见到钢管和圆木堆成梯形的形状，我们学用下面方法求总根数 ： 根数＝
（顶层根数+底层根数）×层数÷2
三) 统计与概率 一
统计表 * 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫
做统计表。
组成部分 1】 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表
日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
2】种类： * 单式统计表：只含有一个项目的统计表。
*复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的
百分比的统计表。
3】制作步骤： ○ 1搜集数据 ○ 2整理数据： 要根据制表的目的和统计的内容，对数据
进行分类。 ○ 3设计草表： 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横
栏、竖栏各需几格，每格长度。 ○ 4正式制表： 把核对过的数据填入表中，并根据制表要
求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。
二 统计图
* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
1】分类
○ 1条形统计图：通常有纵向统计图 和 横向统计图 两种。 用一 个单位长度表示一定的数量，
根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列 起来。 ※ 优
点：很容易看出各种数量的多少。
※ 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
※ 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；
※ 复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色 区别开，并在制图日期下
面注明图例。
※ 条形统计图中，一定要看清楚一格是表示多少个单位（数量）。
※ 制作条形统计图的一般步骤: （1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 （2）
在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。 （3）在与水平射线垂直的深线
上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 （4）按照数据的大小画出长短不同的直
条，并注明数量。
○ 2折线统计图： 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用
线段顺次连接起来。
※ 优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增 减变化的情况。 ※ 注
意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同 时间之间的距离要根据年份或月份
的间隔来确定。
※
○ 3扇形统计图： 用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
※ 优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
※ 制扇形统计图的一般步骤： （1）先算出各部分数量占总量的百分之几。 （2）再算出表
示各部分数量的扇形的圆心角度数。 （3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的
度数，在圆里画出各个扇形。 （4）在 每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，
并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。
※ 各种统计图的特点：条形统计图 用直条的长短表示数量的多少 便于对数量的多少直接进行比
较 折线统计图 用不同位置的点表示数量的多少，并用折线的上升或下降来表示数量的增减变化
情况 便于反映数量发展变化的趋势 扇形统计图 以一个圆的面积表示事物的总体，以相应
的扇形面积表示各有关部分占总体的百分数 便于呈现总体与其各部分之间的关系
※①绘制统计图时，要能清楚地表示出数量增减变化的情况， 可以选用（ ）统计图。 ②
要制出能反映三个或三个以上项目以及关系的统计表， 应制成（ ）统计表。 ③为了给
病人描绘体温变化情况应选择（ ）统计图。
四） 位置与方向
1、口诀要牢记：上北下南，左西右东。
2、东与西相对，南与北相对。 （东北对西南 ，东南对西北）
3、地图通常是按上北下南，左西右东绘制的。东→南→西→北，是按顺时针方向转。
4、判断一个地方在什么方向，先要找到一个为中心点 ，在进行判断。确定了一个点，除了知道方
向，还要知道距离。
5、判断方向我们一 般使用：指南针和借助身边的事物。我国早在两千多年就发明了指四方向的—
—司南。 ??? 在方格纸上用数对确定物体的位置： 先找出数对表示的是第几列，第几行，然
后在列数与行数相交处描点。表示为：（列数，行数） ??? 竖为列；横为行。列在前，行在后。
五） 时间： （一） 年 月 日
2】 1、3、5、7、8、10、12 这 7 个月是31天，称为大月。
3】 4、 6、9、11这 4 个月是30天，称为小月。
4】 平年2月28天，闰年2月29天。平年全年365天，闰年全年 366天。 平年与闰年大月、小
月天数是相同的，只有二月，闰年比平年多一天。（平8闰9）
判断平年 闰年的方法：一般年份除以4，整百年份（比如2000年或2100年）除以400，整除
的就是闰年 ，否则是平年
4】 季度: 一年分四季度，每3个月为1季， 一、二、三月是 第一季度(平年有90
天，闰年有91天），四、五、六月是 第二季度（有91天）， 七、八、九月是 第三季
度（92天）， 十、十一、十二月是 第四季度（有92天）。
4】 公历年份是4的倍数一般都是闰年，但公历年份是整百数的， 必须是400的倍数才是闰年。
如1900年不是闰年而是平年。
6】 推算星期几的方法： 例：已知今天星期三，再过50天星期 几？ 解：因为一个星期是七
天， 那么由50÷7=7（星期）??1（天），知道50天里有7个星期多一天，所以第50天是星期四。
24计时法
1】 普通计时法又叫12时计时法：就是把一天分成两个12时表示，在 表示的时间前必须加上大
概的时间段词语（如凌晨、早上、上午、下午、晚上）
2】 24时计时法：就是把一天分成24时表示，在表示的时间前可以加或可以不加表示的大概时
间段得词语 。
3】 普通计时法转换成24时计时法时，超过下午1时的时刻用24时 计时法表示就是把原来的
时刻加上12。 比如：午3日→3+12=15时 反过来要把24时
计时法表示的时刻表示成普通计时法的时刻， 超过13时的时刻就减12，并加上下午，晚上等字
在时刻前面。 比如：16时等于16-12=下午4时。 4】 计算经过时间，就是用结束时刻减
开始时刻。
二 统计图
（一）意义 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。 （二）
分类 1 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的
直条，然后把这些 直线按照一定的顺序排列起来。
优点：很容易看出各种数量的多少。 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。 取
一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定； 复式条形统计图中表示不同项目的直
条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。
制作条形统计图的一般步骤: （1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 （2）在
水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。 （3）在与水平射线垂直的 深线
上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，
并注明数量。
2 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线
段顺次连接起来。 优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的
情况。 注意：折线统计 图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根
据年份或月份的间隔来确定。
制作折线统计图的一般步骤: （1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 （2）在
水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。 （3）在与水平射线垂直的深线
上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 （4）按照数据的大小描出各点，再用线
段顺次连接起来，并注明数量。
3扇形统计图 用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。 优点：
很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
制扇形统计图的一般步骤： （1）先算出各部分数量占总量的百分之几。 （2）再算出表示
各部分数量的扇形的圆心角度数。 （3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的
度数，在圆里画出各个扇形。 （4）在每 个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，
并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。
? 三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率 、出油率达不到100%，
完成率、增长了（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）
三纳税
1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部 分缴纳给国
家。
2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发 展经济、科技、教育、
文化和国防安全等事业。
3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。
4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 × 税率
*（四）利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家
建设 ，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。
3、本金：存入银行的钱叫做本金。
4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
5、利率：利息与本金的比值叫做利率。
6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：
税后利息=利息- 利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）
百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）
*小数的末尾添上一个零或减去一个零，小数的大小不变。
*小数点的末尾添上一个零或减去一个零，小数的大小不变。