教师考编初中数学高中数学-高中数学理科选修1 2
-------------------------------------------
------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------
-------------------------------------------
高中函数解析式的八种方法
在高中数学学习中,会遇到求函数解析式的一类题,这里是指已知
求
f(x)
或
f[g(x)]
或
g[f(x)]
,
g(x)
,或已知
f(x)
或
g(x)
,求
f[g(x)]
或
g[f(x)]
等复合函数的解析式,这些问题是学生在学习
中感到棘手的
问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢?回答是肯定的。这类题在现行的高中数
学教科书中几
乎没有,但在一些二类教材如《目标测试》等书中有很多类似题,它与课本上的函数这一内
容关系密切,
并且具有一定的规律性,故就有一些有效的解题方法,根据本人的教学心得整理如下:
一、定义法:
例1:设
解:
?
f(x?1)?x
2
?3x?2
,
求
f(x)
.
f(x?1)?x
2
?3x?2?[(x?1)?1
]
2
?3[(x?1)?1]?2
=
(x?1)
2
?5(x
?1)?6
?f(x)?x
2
?5x?6
例2:设f[f(x)]?
f[f(x)]?
x?1
,求
f(x)
. <
br>x?2
x?1x?1
??
x?2x?1?1
1
1?
1
1?x
?f(x)?
1
1?x
解:设
?
1111
f(x?)?x
2
?
2
,g(x?)?x
3
?
3
,求
f[g(x)]
.
xx
xx
111<
br>22
?f(x)?x
2
?2
解:
?f(x?)?x?
2
?(x?)?2
xx
x
111
3
1
3
又
?g(x?)?x?
3
?(x?)?3(x?)?g(x)?x
3
?3x
xxx
x
例3:设
信达
-------------------------------------------------
------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------
-------------------------------------
故
f[g(x)]?(x
3
?3x)
2
?2?x
6
?6x
4
?9x
2
?2
例4:设
f(cosx)?cos17x,求f(sinx)
.
解:
f(sinx)?f[cos(
?
?x)]?cos17(
?
22
?x)
?cos(8
?
?
?
?17x)?cos(
?
22
?17x)?sin17x
.
二、待定系数法:
例5:
已知
f(x?2)?2x
2
?9x?13
,求
f(x)
.
解:显然,
f(x)
是一个一元二次函数。设
f(x)?ax
2?bx?c(a?0)
则
f(x?2)?a(x?2)
2
?b
(x?2)?c?ax
2
?(b?4a)x?(4a?2b?c)
又
f(x?2)?2x
2
?9x?13
?
a?2
?
a
比较系数得:
?
?
b?4a??9
解得:?
?2
?
b??1
?f(x)?2x
2
?x?3
?
?
4a?2b?c?13
?
?
c?3
三、换
元(或代换)法:
例6:已知
f(
1?xx
2
?11
x<
br>)?
x
2
?
x
,
求
f(x)
. <
br>解:设
1?x1
1?x
x
?t,
则
x?
t?
1
则
f(t)?f(
x
)?
x
2
?1
x<
br>2
?
111
x
?1?
x
2
?
x
?1?
1
?
1
?1?(t?1)
2
?(t?
1)?t
2
?t?1
?f(x)?x
2
?x?
(
1
1
1
2
t?1
)
t?1
例7:设
f(c
osx?1)?cos
2
x
,求
f(x)
.
解:令
t?cosx?1,?cosx?t?1
?1?cosx?1,??2?cosx?1?0即?2?t
?0
?f(t)?(t?1)
2
,(?2?t?0)即f(x)?(x?1
)
2
,x?[?2,0]
信达
又
---
--------------------------------------------------
--------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------------
---------------------------------
例8:若
f(x)?f(
x?1
)?1?x
(1)
xx?1
?1
x?1x?1
x?1
)?f(
x
)?1?<
br>在(1)式中以代替
x
得
f(
x?1
xx
x
x
x?112x?1
即
f(
(2)
)?f(?)?xx?1x
11x?2
又以
?
代替(1)式中的
x
得:
f(?
(3)
)?f(x)?
x?1x?1x?1
x?22x?1
x
3
?x
2
?1
(1)?(3)?(2)得:2f(x)?1?x?
??
x?1xx(x?1)
x
3
?x
2
?1
?f(
x)?
2x(x?1)
1
f(x)满足af(x)?bf()?cx(其中
a,b,c均不为0
,
且a??b)
,求
f(x)
。
x<
br>1111
解:
af(x)?bf()?cx
(1)用来代替
x
,得
af()?bf(x)?c?
(2)
xxxx
例9:设
由acx
2
?bc
a?(1)?b?(2)得:(a?b)f(x)?
?a
??b
x
22
acx
2
?bc
?f(x)?
2
(a?b
2
)x
四、反函数法:
例10:已知
解:设
t
f(a
x?1
)?x
2
?2
,求
f(x)
.
?a
x?1
?0
,则
x
?1?log
a
t
即
x?log
a
t?1
f(t)?(log
a
t?1)
2
?2?log
2
at?2log
a
t?3
代入已知等式中,得:
?f(x)?log2
a
x?2log
a
x?3
五、特殊值法:
例11:设
f(x)
是定义在N上的函数,满足
f(1)?1
,对于任意正
整数
x,y
,均有
f(x)?f(y)?f(x?y)?xy
,求
f
(x)
.
解:由
设
f(1)?1
,
f(x)?f(y)?
f(x?y)?xy
y?1
得:
f(x)?1?f(x?1)?x
信达
--------------------------------
-----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起
点-------------------------------------------------
----
即:
f(x?1)?f(x)?x?1
,t?1
代替,然后各式相加 在上式中,
x
分别用
1,2,3,?
可得:
111
(t?2)(t?1)?1?t
2
?t
222
11
?f(x)?x
2
?x(x?N
?
)
22
f(t)?
六、累差法:
例12:若
求
f(1)
?lg
1
x?1
,且当
x?2时,满足f(x?1)?f(x)?lga,(
a?0,x?N?)
,
a
f(x)
.
解:
?f(x)?f
(x?1)?lga
x?1
(a?0,x?N
?
)
递推得:
f(x?1)?f(x?2)?lga
x?2
f(x?2)?f(x?3)?lga
x?3
……………………………………
f(3)?f(2)?lga
2
f(2)?f(1)?lga
以上
(x?1)
个等式两边分别相加,得:
f(x)?f(1)?lga?
lga
2
???lga
x?2
?lga
x?1
?f(1)?lga
1?2???(x?2)?(x?1)
1
?l
g?lga
a
x(x?1)
2
?lga
x(x?1)
?1<
br>2
?[
x(x?1)
?1]lga
2
七、归纳法:
例13:已知
解:
?
f(x?1)?2?
f(1)?a,
1
f(x),(x?N?)且f(1)?a
,求
f(
x)
.
2
111
f(2)?2?f(1)?2?a?4?2?a
222
信达
-------------------------
------------------------------------------奋斗没有终点任何
时候都是一个起点------------------------------------------
-----------
f(3)?2?
1
2
f(2)?2?
1
2
(2?
1
2
a)?4?2
0
?
1
2
2
a
f(4)?2?
1
f(3)?2?
1
(3?
1
a)?4?2
?1
1
2
24
?
2
3
a
f(5)?2?
11111
2
f(4)?2?
2
(3
2
?
8
a)?4?2<
br>?2
?
2
4
a
………………………………,依此类推,得
f(x)?4?2
3?x
?
1
2
x?1
a
再用数学归纳法证明之。
八、微积分法:
例14:设
f
?
(sin
2
x)?cos
2
x,f(1)?2
,求
f(x
)
.
解:
?f
?
(sin
2
x)?cos
2
x?1?sin
2
x
?f
?
(x)?1?x(|x|?
1)
因
f(x)?
?
f
?
(x)d?
?
(1?x)dx?x?
1
2
2
x?c
?f(1)?2?1?
1
?c??c?
3
2
2
2
?f(x)?
x?
1
2
3
2
x?
2
(|x|?1)
A、
f(x?T)??f(x)
f(x?T)?
11
f(x)
或f(x?
T)??
f(x)
信达
此
B、
高中数学外接球知识大全-高中数学必修二点斜式
高中数学椭圆结论-高中数学线上教学反思
高中数学教研活动个人总结-高中数学公式大全书
高中数学求导分数-人教版高中数学异面直线所成角
高中数学最好用的app-全国高中数学竞赛预赛山西省
好的高中数学书-高中数学必修一题优
高中数学常用公式及结论大全-高中数学教学工作总结和反思
人教版高中数学4-5目录-高中数学选修1-2课后题答案解析
-
上一篇:高中数学复合函数知识点
下一篇:高中数学--函数定义域,值域解题方法纳