高中数学奥赛辅导老师-高中数学思想ppt
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2.6 指数与指数函数
一、填空题
1.函数
y
=8-4
x
的定义域是________.
3
解析 由8-4
x
≥0,得2
2
x
≤2
3
,所以2
x
≤3,
x
≤.
2
3
??
-∞,
?
答案
?
2
??
2.函数
y
=4-2
-
x
的值域是________.
解析 由4-2
-
x
≥0,且2
-
x
>0,得0≤
4-2
x
<4,所以
y
∈[0,2).
答案 [0,2)
3.已知
p
:关于
x
的不等式|
x
-1|+|
x
-3|<
m
有解,
q
:
f
(
x
)
=(7-3
m
)
x
为减
函数,则
p
成立是
q
成立的________条件.
7
解析
p
成立,得
m
>|
x
-1+3-
x
|=2;
q
成立,得0<7-
3
m
<1,即2<
m
<.
3
设
?
7?
??
?
A
={
m
|
m
>2},B
=
m
|2<
m
<
?
,则
3
?
??
?
BA
,所以
p
是
q
的必要不充分
的条件.
答案 必要不充分
x
f(x)?3
4.与函数的图象关于直线<
br>y
=
x
对称的曲线C对应的函数为g(
x
),则
g(
1
)
3
的值为______.
解析
依题意得g(
x
)=log
3
x?
所以
g(<
br>1
)?
log
3
1
??1
.
3
3
答案 -1
x
-1
?
3,
x
≤0,
5.定义在R上的函数
f
(
x
)满足
f(
x
)=
?
-
f
?
fx
-
x
-,
x
>0,
则
f
(2
010)=________.
解析 当
x
>0时,
f
(2
010)=
f
(2 009)-
f
(2 008)=
f
(2
008)-
f
(2 007)-
f
(2
008)=-
f
(2 007)=
f
(2
005)-
f
(2 006)=
f
(2 005)-
f
(2
005)+
f
(2 004)=
f
(2
004),所以
f
(
x
)是以
T
=6的周期函数,
1
所以
f
(2
010)=
f
(335×6)=
f
(0)=3
-1
=.
3
1页
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答案
1
3
6.已知函数
f
(
x
),
g
(
x
)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足
f
(
x)-
g
(
x
)=e
x
,
则
g
(0),
g
(2),
g
(3)的大小关系是________.
解析 因为
f
(-
x
)=-
f
(
x
),
g
(-
x
)=
g
(
x
),所以由<
br>f
(-
x
)-
g
(-
x
)=e
-<
br>x
,得
1
-
f
(
x
)-
g
(
x
)=e
-
x
,与
f
(
x
)-
g
(
x
)=e
x
联立,求得
f
(
x
)=(e
x
-e
-
x
),
g
(
x
)=
2
1
-(e
x
+e
-
x
)
,所以
g
(3)<
g
(2)<
g
(0).
2
答案
g
(3)<
g
(2)<
g
(0)
7.已知1+2
x
+4
x
·
a
>0对一切
x
∈(-∞,1]上恒成立,则实数
a
的取值范围
是________. <
br>?
1
?
x
?
1
?
x
?
1<
br>?
x
?
1
?
x
解析 由题意,得
a
>-
??
-
??
对
x
≤1恒成立,因为
f
(
x
)=-
??
-
??
?
4
??
2
??
4
??
2
?
33
是(-∞,1]上的增函
数,所以当
x
=1时,
f
(
x
)
max
=
f
(1)=-,所以
a
>-.
44
?
3
?
答案
?
-,+∞
?
?
4
?
x
?
2,
x
<0
8.设函
数
f
(
x
)=
?
?
gx
,
x>0
,若
f
(
x
)是奇函数,则
g
(2)的值是________.
1
解析 因为
f
(
x
)
是奇函数,所以
g
(2)=
f
(2)=-
f
(-2)=-2
=-.
4
-2
1
答案 -
4
?
log
x
,
x
>0,
9.已知函数
f
(
x
)=<
br>?
?
1
?
?
,
x
≤0,
?
?
?
3
?
3
x
那么不等式
f
(
x
)≥1的解集为________.
?
1
?
x
解析 若
x
>0,则由log
3
x
≥1,得
x
≥3.若
x
≤0,则由
??
≥1,得
x
≤0.
?
3
?
综上,得
x
≤0或
x
≥3.
答案 (-∞,0]∪[3,+∞)
10.若2
|
x
+1|-|<
br>x
-1|
≥22,则
x
取值范围是________.
2页
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解析 由2
|
x
+1|-|
x
-1|
33
≥22=2,得|
x
+1|-|
x
-1|≥,
22
?
x
<-1,
于是由
?
3
-
x
-1+
x
-1≥
2
?
?
x
≥1,
或
?
3
x
+1-
x
+1
≥,
2
?
?
3
?
,+∞
?
答案
?
?
4
?
?
-1≤
x
<1,
或
?
3
x
+1+
x
-1≥
2?
3
解得
x
≥.
4
11.已知
函数
f
(
x
)=9
x
-
m
·3
x
+
m
+1对
x
∈(0,+∞)的图象恒在
x
轴上方
,则
m
的取值范围是________.
22
t
+1
t
+1
解析 设
t
=3
x
>1问题转化为
m
<,
t
∈(1,+∞),即
m
比函数
y
=,
t
-1
t
-1
t
2
+12
t
∈(1,+∞)的最小值还小,又
y
==
t
-1
++2≥2
t
-1
t
-1
+2=2+22,所以
m
<2+22.
答案 (-∞,2+22)
12.对于函数
f
(
x
)=e
x
-e
-
x
(
x
∈R),有下列
结论:
t
-
2
t
-1
①
f
(
x
)的值域是R;②
f
(
x
)是R上的增函数;③对任意
x<
br>∈R,有
f
(-
x
)+
f
(
x
)<
br>=0成立;④若方程|
f
(
x
)|=
a
有两个相异实
根,则
a
≥0,其中所有正确的命题
序号是________.
解析 因为
e>1,
x
∈R,所以
f
(
x
)是奇函数且在(-∞,+∞
)上单调递增,所
以①②③均正确.
设
y
=|
f
(
x
)|=|e
x
-e
-
x
|,
y
=a
,画出其图象可知,当
a
>0时,它们有两个相
异交点,所以④不正确
.
答案 ①②③
13.设函数
f
(
x
)在其定义域(-
∞,+∞)上的取值恒不为0,且对任意实数
x
,
y
满足
f
(
xy
)=[
f
(
x
)]
y
,
f
??
>1.若
a
>
b
>
c
且
a<
br>,
b
,
c
成等差数列,则
f
(
a
)
+
f
(
c
)与2
f
(
b
)的大小关系是_
_______.
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?
1
?
?
2
?
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