高中数学做题的技巧-北师大高中数学选修1-2课本答案
高中数学竞赛标准教材 函数
一、基础知识
定义1 映射,
对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素x,在B
中都有唯一一个元素与之对
应,则称f: A→B为一个映射。
定义2 单射,若f: A→B是一个映射且对任意x,
y∈A, x
?
y, 都有f(x)
?
f(y)则称之为单射。
定义3 满射,若f: A→B是映射且对任意y∈B,都有一个x∈A使得f(x)=y,则称f:
A→B
是A到B上的满射。
定义4 一一映射,若f: A→B既是单射又是满射,则叫做
一一映射,只有一一映射存在逆
映射,即从B到A由相反的对应法则f
-1
构成的映射
,记作f
-1
: A→B。
定义5 函数,映射f:
A→B中,若A,B都是非空数集,则这个映射为函数。A称为它的定
义域,若x∈A, y∈B,且f
(x)=y(即x对应B中的y),则y叫做x的象,x叫y的原象。集
合{f(x)|x∈A}叫函数
的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义
的未知数的取值范围,如函数y=
3
x
-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义6 反函数,若函数f:
A→B(通常记作y=f(x))是一一映射,则它的逆映射f
-1
:
A→B
叫原函数的反函数,通常写作y=f
-1
(x). 这里求反函数的过程是:在
解析式y=f(x)中反解x得
x=f
-1
(y),然后将x, y互换得y=f-1
(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数
y=
11的反函数是y=1-(x
?
0).
1?xx
定理1
互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2
在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。
定义7 函数的性质。
(1)单调性:设函数f(x)在区间I上满足对任意的x
1
,
x
2
∈I并且x
1
< x
2
,总有f(x
1
)
)(f(x
-
)>f(x
2
)),则称f(
x)在区间I上是增(减)函数,区间I称为单调增(减)区间。
(2)奇偶性:设函数y=f(x)
的定义域为D,且D是关于原点对称的数集,若对于任意的x∈D,
都有f(-x)=-f(x),则称
f(x)是奇函数;若对任意的x∈D,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。
奇函数的
图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
(3)周期性:对于函数f(x),如果存在一个不
为零的常数T,使得当x取定义域内每一个数
时,f(x+T)=f(x)总成立,则称f(x)为周期
函数,T称为这个函数的周期,如果周期中存在最小
的正数T
0
,则这个正数叫做函数
f(x)的最小正周期。
定义8 如果实数a记作闭区间[a,b],集合{x|a
定义9 函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象,
其中D为f(x)的定义
域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a
,b>0);(1)向右平移
a个单位得到y=f(x-a)的图象;(2)向左平移a个单位得到y=
f(x+a)的图象;(3)向下平移b
个单位得到y=f(x)-b的图象;(4)与函数y=f(-
x)的图象关于y轴对称;(5)与函数y=-f(-x)
-1
的图象关于原点成中心对称;(
6)与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称;(7)与函数y=-f(x)
的图象关于x轴对称
。
定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如y=
∞,2)上是减函数,y=
1
, u=2-x在(-
2?x
11
在(
0,+∞)上是减函数,所以y=在(-∞,2)上是增函数。
u2?x
注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。
二、方法与例题
1.数形结合法。
1
y
例1
求方程|x-1|=的正根的个数.
1
x
1
x
【解】 分别画出y=|x-1|和y=
1
的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个正根。
x
x
4
?x
2
?1
的最大值。
222
例2
求函数f(x)=
x?3x?6x?13?
222
42
【解】
f(x)=
(x?2)?(x?3)?(x?1)?(x?0)
,记点P(x, x
-
2
),A(3,2),B
(0,1),则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。
等
号成立。
所以f(x)
max
=
10.
2.函数性质的应用。
2
?
?
(x?1)?1997(x?1)??1
例3 设x,
y∈R,且满足
?
,求x+y.
3
?
?
(y?1)?1997(y?1)?1
因为|PA
|-|PA|≤|AB|=
3
2
?(2?1)
2
?10
,当
且仅当P为AB延长线与抛物线y=x
2
的交点时
【解】 设f(t)=t
3
+1997t,先证f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若af(b)-f
(a)=b
3
-a
3
+1997(b-a)=(b-a)(b
2+ba+a
2
+1997)>0,所以f(t)递增。
由题设f(x-1)=-1=f(1-y),所以x-1=1-y,所以x+y=2.
例4
奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又f(1-a)+f(1-a
2
)<0,求
a的取值范围。
【解】 因为f(x) 是奇函数,所以f(1-a
2
)=-f(
a
2
-1),由题设f(1-a)
-1)。
又f(x)
在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a2
-1<1,解得0例5 设f(x)是定义在(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,
用I
k
表示区间(2k-1, 2k+1],
2
已知当x∈I
0时,f(x)=x,求f(x)在I
k
上的解析式。
【解】
设x∈I
k
,则2k-1
2
.
又因为f(x)是以2为周期的函数,
所以当x∈I
k
时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)
2
.
例6 解方程:(3x-1)(
9x
2
?6x?5?1
)+(2x
-3)(
4x
2
?12x?13
+1)=0.
【解】
令m=3x-1, n=2x-3,方程化为
m(
m
2
?4
+1)
+n(
n
2
?4
+1)=0. ①
若m=0,则由①得n=0,但m, n不同时为0,所以m
?
0,
n
?
0.
ⅰ)若m>0,则由①得n<0,设f(t)=t(
t
2
?4
+1),则f(t)在(0,+∞)上是增函数。又f(m)=f(-n),
4<
br>.
5
4
ⅱ)若m<0,且n>0。同理有m+n=0,x=,但与m<0矛盾。
5
4
综上,方程有唯一实数解x=
.
5
所以m=-n,所以3x-1+2x-3=0,所以x=
3.配方法。
例7 求函数y=x+
2x?1
的值域。
1
[2x+1+2
2x?1
+1]-1
2
111
=(
2x?1
+1)-1≥-1=-.
222
111
当x=-时,y取最小值-,所以函数值域是[-,+∞)。
222
【解】 y=x+
2x?1
=
4.换元法。
例8
求函数y=(
1?x
+
1?x
+2)(
1?x
2
+
1),x∈[0,1]的值域。
【解】令
1?x
+
1?x
=u,因
为x∈[0,1],所以2≤u
2
=2+2
1?x
2
≤4,所以2
≤u≤2,
u
2
2?2
u?2u?2
2
所以
≤≤2,1≤≤2,所以y=,u∈[
2
+2,8]。
2
2
22
所以该函数值域为[2+
2
,8]。
5.判别式法。
x
2
?3x?4
例9
求函数y=
2
的值域。
x?3x?4
【解】由函数解析式得(y-1)x<
br>2
+3(y+1)x+4y-4=0. ①
当y
?
1时,①式是关于x的方程有实根。
所以△=9(y+1)
2
-16(y-1)
2
≥0,解得
1
≤y≤1.
7
又当y=1时,存在x=0使解析式成立,
所以函数值域为[
1
,7]。
7
6.关于反函数。
例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若f(x)在(-∞,+
∞)上递增,求证:
y=f
-1
(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。
【证明】设x
1
,
且y
1
=f
-1
(x
1
), y
2
=f<
br>-1
(x
2
),则x
1
=f(y
1
), x
2
=f(y
2
),若y
1
≥y
2
,则因为
f(x)在(-∞,+
∞)上递增,所以x
1
≥x
2
与假设矛盾,
所以y
1
。
即y=f
-1
(x)在(-∞,+ ∞)递增。
4x?1
,解方程:f(x)=f
-1
(x).
3x?2
21
【解】
首先f(x)定义域为(-∞,-)∪[-,+∞);其次,设x
1
, x
2
是定义域内变量,且
34
5(x
2
?x
1
)
24x
2
?14x
1
?1
x
1
?
3
3x
2
?23x
1
?
2(3x
2
?2)(3x
1
?2)
21
所以f(x)在(-
∞,-)上递增,同理f(x)在[-,+∞)上递增。
34
1
在方程f(x)=f
-1
(x)中,记f(x)=f
-1
(x)=y,则y≥0,又由f
-1
(x)=y得f(y)=x,所以x≥0,所以x,y∈[-,
4
例11
设函数f(x)=
4
+∞).
若x
?
y,设x
即f(x)=x,化简得3x
5
+2x
4
-4x-1=0,
即(x-1)(3x
4
+5x
3
+5x
2
+5x+1)=
0,
因为x≥0,所以3x
4
+5x
3
+5x
2
+5x+1>0,所以x=1.
三、基础训练题
1.已知X={-1,
0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2},映射f:X→Y满足:对任意的x∈X,它在Y中的
象
f(x)使得x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个。
2.给定A={1,
2,3},B={-1,0,1}和映射f:X→Y,若f为单射,则f有_______个;若f
为满
射,则f有_______个;满足f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。
3.若
直线y=k(x-2)与函数y=x
2
+2x图象相交于点(-1,-1),则图象与直线一共
有_______个
交点。
4.函数y=f(x)的值域为[
,
5.已知f
(x)=
34
],则函数g(x)=f(x)+
1?2f(x)
的值域为__
_____。
89
1
,则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。
x?1
6.已知f(x)=|x+a|,当x≥3时f(x)为增函数,则a的取值范围是__
_____。
7.设y=f(x)在定义域(
8.若函数y=
?
(x)存在
反函数y=
?
-1
(x),则y=
?
-1
(x)的图象与y
=-
?
(-x)的图象关于直线
_______对称。
1
,2)内
是增函数,则y=f(x
2
-1)的单调递减区间为_______。
2
1
11
?
x?1
?
?
=1-
?
2
,则f()
=_______。
x
x
x
?
x
?
10.
函数y=
x?1?x?1
, x∈(1, +∞)的反函数是_______。
9.
函数f(x)满足
f
?
11.求下列函数的值域:(1)y=
x?2?
(3)y=x+2
x?1
; (4) y=
x?1
;
(2)y=
x?
1
x
?x?
1
?1
;
x
x?1
.
2
x?2
12.
已知
y?f(x)
定义在R上,对任意x∈R, f(x)=f(x+2),且f(x)是偶函
数,又当x∈[2,3]
时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题
1.已知a∈
?
?
?
1
?<
br>,0
?
, f(x)定义域是(0,1],则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+
f(x)的定义域为_______。
?
2
?
2.设0≤a<1时,f(x
)=(a-1)x
2
-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。
3.映射f: {a, b, c, d}→{1,2,3}满足10
4.设函数y=f(x)(x∈R)
的值域为R,且为增函数,若方程f(x)=x解集为P,f[f(x)]=x解集为Q,
则P,Q的关
系为:P_______Q(填=、
?
、
?
)。
?
?5.下列函数是否为奇函数:(1)f(x)=(x-1)
1?x
;(2)g(x)=|2
x+1|-|2x-1| (3)
1?x
(4)y=
x?1?x?1.
?
(x)=
x
2
?1?1?x
2
;
6.
设函数y=f(x)(x∈R且x
?
0),对任意非零实数x
1
, x
2
满足f(x
1
x
2
)=f(x
1
)+f(x<
br>2
),又f(x)在(0,
+∞)是增函数,则不等式f(x)+f(x-
1<
br>)≤0的解集为_______。
2
?
x
7.函数f(x)=
?
?
?x
x?P
x?M
,其中P,M为R的两个非空子集,又规定
f(P)={y|y=f(x), x∈P},
f(M)={y|y=f(x),
x∈M},给出如下判断:①若P∩M=
?
,则f(P)
∩f(M)=
?
;②若P∩M
?
?
,
则f(P)
∩f(M)
?
?
;③若P∪M=R, 则f(P)
∪f(M)=R;④若P∪M
?
R,则f(P) ∪f(M)
?
R.
其
中正确的判断是_______。
8.函数y=f(x+1)的反函数是y=f
-
1
(x+1),并且f(1)=3997,则f(1998)= _______。
9.已知
y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当x∈[0,3]时是一次函数,当x∈[3,6]时是
p>
二次函数,又f(6)=2,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3。求f(x)的
解析式。
10.设a>0,函数f(x)定义域为R,且f(x+a)=
1
?
2
f(x)?[f(x)]
2
,求证:f(x)为周期函数。
1
1.设关于x的方程2x
2
-tx-2=0的两根为α,β(α<β),已知函数f(x)=<
br>4x?t
(,1)求f(α)、
2
x?1
f(β);(2)求证:f(
x)在[α,β]上是增函数;(3)对任意正数x
1
, x
2
,求证:?
x
1
?
?x
2
?
?
f
?<
br>?
x?x
?
?
?
2
?
1
?
?
x
1
?
?x
2
?
?
f
?
?
x?x
?
?
<2|α-β|.
2
?
1
?
五、联赛一试水平训练题
1.奇函数
f(x)存在函数f
-1
(x),若把y=f(x)的图象向上平移3个单位,然后向右平移2
个单位
后,再关于直线y=-x对称,得到的曲线所对应的函数是________.
1
??
1
?
?
是________(奇偶性).
x
?
a?1
2
?
?
1?x
??
1?x?
3.若
F
?
则下列等式中正确的有________.①F(-2-x
)=-2-F(x);②F(-x)=
F
??
=x,
?
;
1?x1?x
????
2.若a>0,a
?
1,F(x)是奇函数,则G(x
)=F(x)
?
③F(x
-1
)=F(x);④F(F(x))=-x. <
br>4.设函数f:R→R满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)
-f(y)-x+2,则
f(x)=________.
5.已知f(x)是定义在R上的函
数,f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1)
≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)= ________.
6. 函数f(x)=
1
2
x?2x?3
xx
7.
函数f(x)=的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非)。
?
1?2
x
2
8.
函数y=x+
x
2
?3x?2
的值域为________.
9.设f(x)=
?
的单调递增区间是________.
?
1<
br>?
x?1
x?[1,2]
x?
?
2,3
?
,
对任意的a∈R,记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,
3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]},试求V(a)的最小值。
?
1?x
2
?y
?
2
10.解方程组:
?
1?y?z. (在实数范围内)
?
1?z
2
?x
?
11.设k∈N
+
,
f: N
+
→N
+
满足:(1)f(x)严格递增;(2)对任意n∈N+
, 有f[f(n)]=kn,求证:
对任意n∈N
+
,
都有
2kk?1
n≤f(n)≤
n.
k?12
?
1
?
?
;
x
??
六、联赛二试水平训练题
1.求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足:(1)对任意x≠0, f(x)=x·f
?
(2)对所有的x≠-y且xy≠0,有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.设f(x)对一切x>0有定义,且满足:(ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意x>0,
f(x)f
?
f(x)?
?
?
1
?
?=1,试求f(1).
x
?
3.
f:[0,1]→R满足:(1)任意x∈[0, 1], f(x)≥0;(2)f(1)=1;(3)当x,
y, x+y∈[0, 1]时,f(x)+f(y)
≤f(x+y),试求最小常数c,对满足(1)
,(2),(3)的函数f(x)都有f(x)≤cx.
4. 试求f(x,y)=6
(x
2
+y
2
)(x+y)-4(x
2
+xy+y
2
)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。
5.对给定的正数p,q∈(0,
1),有p+q>1≥p
2
+q
2
,试求f(x)=(1-x)
在[
1-q,p]上的最大值。
p
2
?x
2
+
xq
2
?(1?x)
2
?
x
?
6.已知f: (0,1)→R且f
(x)=
?
p?1
?
q
?
当x∈
?
x?Q
.
p
x?,(p,q)?1,0?p?q
q
?
78
?
,
?
时,试求f(x)的最大值。
8
?
9
?
7.函数f(x)定义在整数集上,且满足f(n)=
?
(n?1000)
?
8.函数y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。(1)求证:
2
方程f(x)=x恰有一个解;(2)试给出一个具有上述性质的函数。
9.设Q
+
是正有理数的集合,试构造一个函数f: Q
+
→Q+
,满足这样的条件:f(xf(y))=
y∈Q
+
.
?
n?3
?
f[f(n?5)]
(n?1000)
,求f(100)的值。
f(x)
,?
x,
y
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-
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