高中数学函数的基本理论总结苏教版必修一

函数的基本理论总结

[目的]1、将前面学习的知识系统化
2、通过对知识的系统，将方法分成一般特殊加以汇总，从而对解题进行方向指导
[过程]
本部分整体介绍了：函数的定义有关内容及函数的简单性质
一、函数定义有关的内容
1、函数的定义
⑴初中的变化定义：在某变化过程中，有两个变量x和y,如果对于每个x， 有且仅有一个
y与它对应，这样的对应称y是x的函数。其中x叫自变量，y叫做函数值。
⑵高中阶段的集合定义：对于两个非空数集
．．．．
A、B，如果按照某种对应法则f，对于集 合A
中的每个元素，在集合B中有且仅有一个元素与之对应，这样的对应称作A到B的一个函数。
．．．．．．
2，函数的三个要素
⑴定义域：自变量的取值范围集合。
求 法：①已知式子情况下，保持每个式子都有意义的不等式（组）的解集;②应用性问题，
还得考虑实际情 况;③与复合函数有关的问题：f(t)定义域为D
义域D
1

⑵值域：函数值的取值范围集合
?
?
直接法（含有图象）
一般?
?
?
根据函数的单调性
?
?
x的二次式）
?
判别式法（能化成
求法
?

?
?
特殊
?< br>代换法（有时伴随用拼凑）
?
?
反表示法（根据x范围求y范围）
?< br>?
?
g(x)?D不等式
?
求
??????
???? ??
求t?g(x)的值域
f[g(x)]的定
⑶对应法则——表现为函数的不同表示 方法
3，函数的常用表示法
⑴列表法（含有Venn图对应表示）
⑵解析法，注意加注定义域，否则默认为式子有意义的一切值
求法
直接法（又称代入法，包括图象）
?
?
待定系数法
?
?
已知f[g(x)}求f(x)用拼凑或代换法
?
?
x有关的式子时）
?
消去法（f作用下仅有两个与
⑶图象法

要时先化简
?
一般为描点法，注意必
图象的作法
?

根据函数的简单性质画图 象
?
4，映射：将函数定义中的数集推广为一般的集合，就是映射。
⑴f:A→B是 映射，x→y,x叫做y的一个原象，y叫做x的象。对任意x，象唯一；对于B
中的每一元素，未必有 原象，有的话也未必唯一
⑵f:A→B是映射,f(A)={f(x)|x∈A}未必是B,而是B的 子集；正好为B时，此时每个y有
原象，但原象未必唯一，称A到B上的映射（或称A到B的满映射）。 一字之差，意义不同。
．
⑶f:A→B是映射,如果B中每个y,有唯一的x对应，这样的映射称一一映射。
二、函数的有关性质
?
?
?
原始定义
定义法
?< br>?
?
?
?
变形定义
?
一般
?
?解析式观察
?
观察法
?
?
?
?
?
图象 观察法
?
?
?
?
1
?
Af(x)与f(x)，与f (x)
?
?
?
?
f(x)
?
?
1，单调性 判断方法：
?

函数的运算f(x)关于直线x?a及点(a,0)对称的情况
?
?
?
?
?
?
f(x)?g(x)与f(x)、g(x)
?
?
?
特殊
?
?
?
?
复合函数同 增异减
?
?
?
?
?
?
函数其他规律
?关于点(a,0)对称的单调规律
?
?
?
关于直线x?a对称的单调规律
?
?
?
?
?
2，函数的奇偶性：
前提条件是定义域关于原点对称；一般判断方法有：定义法及图象法两种
3，函数的特殊对称性
⑴两个函数y=f(x)与y=g(x)的对称性
①关于x=a轴对称
?
g(x)=f(2a-x);
②关于y=b对称
?
f(x)+g(x)=2b;
③关于点(a,0)中心对称
?
g(x)=-f(2a-x)
⑵一个函数y=f(x)本身的对称性
①关于x=a轴对称
?
f(a+x) =f(a-x)
?
f(x)=f(2a-x);
②关于点(a,0)中心对称
?
f(x)=f(2a-x)
三、相关点法及其步骤
1，定义：一个点随另一个点的变动而变动，这两个点互称相应的相关点
2，相关点法解题的 一般步骤：⑴设所求部分上任意一点为(x,y);⑵用(x,y)表示其相关点
坐标(x
1< br>,y
1
);⑶代入(x
1
,y
1
)满足的关系式，必 要时检验，即为所求的关系式。
课上练习教材复习题思考与运用P94-----19~23

答案：19，{-1，2 }或{1，2}或{-1，-2}或{1，-2}或{1，- 1，-2}或{1，-1，2}或{1，-2，
2}或{-1，2，-2}或{-2，-1，1，2}
20，⑴f(x)=3x-1;⑵f(x)=
21，{-1}或{4}或{4，-1}
22, x+n
23,⑴关于y轴对称；⑵略
作业：教材P93----- 1~6,8,9


3
2
x+1
4