高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练
函数及其表示
考点一 求定义域的几种情况
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题
考点二 映射个数公式
Card(A)=m,card(B)=n, m,n
?
方法技巧清单
方法一 函数定义域的求法
2．（2009江西 卷理）函数
N
?
,则从A到B的映射个数为
n
m
。简单说成 “前指后底”。
y?
ln(x?1)
?x?3x?4
2
的定义域为 ( )
A．
(?4,?1)
B．
(?4,1)
C．
(?1,1)
D．
(?1,1]

?
x?1?0
?
x??1
解析 由
?
???1?x?1
.故选C
?
2
?4?x?1
?
?x?3x?4?0
?
5.求下列函数的定义域。①y=
x?2?x?2
.②y=
?
x?1
?
x?x
2
.③y=
x ?1?1?x

6.已知函数f(x)的定义域为
方法二 函数概念的考察
1.
?
1,5
?
，求函数F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。
下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y=
5
x
5
和
y?
x
2
B.y=ln
e
x
和
y?
e
lnx

C .
y?
?
x?1
??
x?3
?
和y?
?< br>x?3
?
D.
y?
0
和y?
1x
0
?
x?1
?
x
?
2
定义域为?
?1,0.1,2
?
，则其值域为

2．函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个数为
A. 0个B. 1个 C. 0个或1个 D. 不能确定
3．已知函数y=
x
2
方法三 分段函数的考察
ⅰ求分段函数的定义域和值域
2x+2 x
?
1求函数f(x)=
?
?1,0
?

x
?
?
1
x

2
?
0,2
?
的定义域和值域
3 x
?
?
2,??
?

1 9

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练
2（2010天津文数）设函数
g(x)?x?2(x?R)
，
2
(x)?x?4,x?g(x),
f(x)?{
g
g(x)?x,x?g(x).
则
f(x)
的值域是
（A）
9
?
9
?
?
9
?
?,0? (1,??)
（B）
[0,??)
（C）
[?,??)
（D）
?,0?(2,??)

?
?< br>4
?
4
?
?
?
4
?
?
?< br>x
2
?2,x??1或x?2
?
x
2
?2?(x?4 ),x?x
2
?2
?
?
，
f(x)
?
f( x)
?
2
2
2
?
?
?
x?2?x,?1? x?2

?
x?2?x,x?x?2
【解析】依题意知
ⅱ求分段函数函数值
3．（2010湖北文数）3.已知函数
?
log
3
x,x?0
1< br>，则
f(f())?

f(x)?
?
x
9
?
2,x?0
C.-4 D-A.4 B.
1

4
1
4

【解析】根据分段函数可得
f()?log
3
ⅲ解分段函数不等式
4.（2009天津卷文）设函数
1
9
1
11
??2
，则< br>f(f())?f(?2)?2
?2
?
，所以B正确.
9
9 4
?
x
2
?4x?6,x?0
则不等式
f(x)?f(1)
的解集是（ ）
f(x)?
?
?
x?6,x?0
A.< br>(?3,1)?(3,??)
B.
(?3,1)?(2,??)
C.
(?1,1)?(3,??)
D.
(??,?3)?(1,3)

答案 A解析 由已知，函数先增后减再增当
x
解得
x
?0
，
f(x)?2f(1)?3
令f(x)?3,

?1,x?3
。当
x?0
，
x?6? 3,x??3
故
f(x)?f(1)?3
，解得
?3?x?1或x?3

5．（2009天津卷理）已知函数
?
x
2
?4x,
f(x)?
?
2
?
4x?x,x?0
x?0
若
f(2?a
2
)?f(a),
则实数< br>a

的取值范围是
解析：由题知
A
(??,?1)?(2,??)
B
(?1,2)
C
(?2,1)
D
(??,?2)?(1,??)

f(x )
在
R
上是增函数，由题得
2
?a
2
?a
，解得
?2?a?1
，故选择C。
6.（2009北京理）若函数
?
1
,x?0
?
1
?
x
则不等式
|f(x)|?
的解集为____________.
f(x)?
?
3
?
(
1
)
x
,x?0
?
?< br>3
?
x?0
?
x?0
?
x?0
1
?
1
?
?
解析 （1）由
|f(x)|??
?
1< br>.（2）由
??3?x?0
|f(x)|??
?
?
1
?
x
1
?
?
?
1
?
x
1
?0?x?1
.
1
3
?
?
3
?
???
?
?
3
?
?
3
x3
33
?
?
??
?
??
∴不等式
|f(x)|?
1< br>的解集为
?
x|?3?x?1
?
，∴应填
?
?3,1
?
.
3
?
log
2
x,x?0,
?7。（2010天津理数）若函数f(x)=
?
log(?x),x?0
,若f( a)>f(-a),则实数a的取值范围是
1
?
?
2
2 9

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
?
a?0
?
a?0
a?0a<0
??
??
??
f(a)?f(?a )?
?
loga?loga
或
?
log(?a)?log(?a)< br>?
?
或
?
1
?a?1或-1?a?0

1< br>2112
?a
a?
??
??
?
2
?
2
?2
?
a
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对 数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上
时，不等号的方向不要写错。
ⅳ解分段函数方程
?
3
x
,x?1,
8．（2009北京 文）已知函数
f(x)?
?
若
f(x)?2
，则
x?
.
?
?x,x?1,
解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求
x
的值. 属于基础知识、基本运算的考查. < br>?
x?1
?
x?1
由
?
无解，故应填
log
3
2
.
?x?log
3
2
，
?
x
?x?2?x??2
3?2
?
?
方法四 求函数的解析式
1． 求下列函数的解析式
① 已知
1
??
f
?
x?
?
?
x
??
x
3
?
1
x3
,
求f
(
x
).

②
?
2
?
已知f
?
?
1
?
?
lg
x， 求f
(
x
).

?
x
?
③ 已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
④ 已知f(x)满足
2f
?
x
?
?
?
1
?< br>f
??
?
3
x
.
求f(x).
?
x
?
方法五 函数图像的考察
e
x
?e
?x
1. (2009山东卷理)函数
y?
x
e?e
?x
的图像大致为 ( ).

y
1
O
1

x
1
y
y
y
1
O









1
O
1
x
O
1
x
1
x

D
A
B
C
解析 函数有意义,需使
e
x
?e
?x
?
0
,其定义域为
?
x|x?0
?
,排除
e
x
?e< br>?x
e
2x
?12
??1?
C,D,又因为
y?x
,所以当
?x2x2x
e?ee?1e?1
x?0
时函数为减 函数,故选A.
3 9

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练 < br>2.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车 、乙车的速度曲线分别为
v
甲
和v
乙
（如图2所示）．那么对于图中 给定的
t
0
和t
1
，下列判断中一定正确的是 （ ）
A. 在
t
1
时刻，甲车在乙车前面 B.
C. 在
t
0
时刻，两车的位置相同 D.
t
1
时刻后，甲车在乙车后面
t
0
时刻后，乙车在甲车前面
解析 由图像可知，曲线
v
甲
比
v
乙
在0～
t
0
、0～
t
1
与
x
轴所围成图形面积大，
则在
t
0
、
t
1
时刻，甲车均在乙车前面，选A.
3.（2009江西卷文）如图所示，一质点
P(x,y)
在
xOy
平面上沿曲线运动，
速度大小不变，其在
x
轴上的投影点
Q(x,0)的运动速度
V
y
P(x,y)
?V(t)
的图象
O
Q(x,0)
x
大致为 ( )
V(t)
V

(t)

V(t)
V(t)
A B C D



O
t
O
t
O
t
O
t
解析 由图 可知，当质点
P(x,y)
在两个封闭曲线上运动时，投影点
Q(x,0)
的 速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故
A
错误；质点
P(x,y)
在终 点的速度是由大到小接近0，故
D
错误；质点
P(x,y)
在开始时沿直线运 动，故投影点
Q(x,0)
的速
度为常数，因此
C
是错误的，故选< br>B
.
4（2010山东理数）(11)函数
y
=2
x

-
x
的图像大致是
2

【解析】因为当x=2或4时，2
x

-
x
=0，所以排除B、C；当x=-2时，2
x

-x
=
5（2010安徽文数）设
abc?0
,二次函数
221
?4<0
，故排除D，所以选A。
4
f(x)?ax
2
?bx?c
的图像可能是

4 9

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练
【解析】当
a
（C）（D）两图中
c?0
，故
b?
0,
??0
时，
b
、
c
同号，
【方法技巧】根据二次函数图像 开口向上或向下，分
a
纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
方法六 映射概念的考察
1． 设

2集合M=
?0
或
a?0< br>两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的
b
?
0
， 选项（D）符合
2a
f
:
x?
x
2
是集合A到集 合B的映射，如果B=
?
1,2
?
，则A∩B=（ ）
A.
?
B.
?
1
?
C.
?
或
?
2
?
D.
?
或
?
1
?

?
a,b,c
?< br>，N=
?
?1,0.1
?
映射f:
M?N
满足f(a )+(b)+f(c)=0,那么映射f:
M?N
的个数是（ ）
D. 7 A.4 B.5 C. 6
3集合M=
?
a,b,c
?
到集合N=
?
?1,0.1
?
一共有 个不同的映射。
方法七函数值域和最值的求法
1．利用二次函数在有限区间上的范围求值域 求函数y=
2．分离常数法 求函数y=
x
2
?
6
x?
5
的值域
3x?1
的值域
x?2
41?x
的值域 3．换元法 求函数y=
x?
4．数形结合法 求函数y=
x?1?x?4
的值域
2
x
?x?2
2
5．判别式法 求函数y=
x
2
?x?1
的值域
方法八 函数奇偶性和周期性的考察
1.（2009全国卷Ⅰ理）函数
A.
C.
f( x)
的定义域为R，若
f(x?1)
与
f(x?1)
都是奇函数，则 ( )
f(x)
是偶函数 B.
f(x)
是奇函数
f(x)?f(x?2)
D.
f(x?3)
是奇函数
答案 D解析
Q
?
< br>f(x?1)
与
f(x?1)
都是奇函数，
?f(?x?1)??f( x?1),f(?x?1)??f(x?1)
，
关于点函数
f(x)(1,0)，及点
(?1,0)
对称，函数
f(x)
是周期
T?2[1?( ?1)]?4
的周期函
数.
?f(?x?1?4)??f(x?1?4)
，< br>f(?x?3)??f(x?3)
，即
f(x?3)
是奇函数。故选D
2.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
则f（2009）的值为
答案
,



C
,

?
log
2
(1?x),x?0
，
?
?
f(x?1)?f(x?2),x?0

解

析




,
( )
由已知得
,
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
f(?1)?log
2
2?1
f(0)?0f(1)?f(0)? f(?1)??1
5 9
f(2)?f(1)?f(0)??1

高 中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练
f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,
f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1
,
f(5)?f(4)?f (3)?1
,
f(6)?f(5)?f(4)?0
,所以函数f(x)的值以6为周期 重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.
3.（2009江西卷文）已知函数
f(x)
是
(??,??)
上的偶函数，若对于
x?0
，都 有
f(x?2）?f(x)
，且当
x?[0,2)
时，

f(x)?log
2
(x?1）
，则
f(?2008)?f(200 9)
的值为
A．
?2
B．
?1
C．
1
D．
2

答案 C解析
2f(?2008)?f(2009)?f(0)?f(1)?log
1
2
?log
2
?1
,故选C.
方法九 函数奇偶性和对称性考察
2?x
的图像 （ ）
2?x
（A） 关于原点对称 （B）关于主线
y??x
对称（C） 关于
y
轴对称 （D）关于直线
y?x
对称
1.（2009全国卷Ⅱ文）函数
y?log
2
答案 A解析 由于定义 域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。
2．（2010重庆理数）(5) 函数
4
x
?1
f
?x
?
?
x
的图象
2
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
解析：
4
?x
?11?4
x
f(?x)???f
(
x
)

?f(x)
是偶函数，图像关于y轴对称
?xx
22
方法十 函数奇偶性和单调性的考察
1.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数
A.
C.
f(x)，满足
f(x?4)??f(x)
,且在区间[0,2]上是增函数,则
f(?25)?f(11)?f(80)
B.
f(80)?f(11)?f(?25)

f(11)?f(80)?f(?25)
D.
f(?25)?f(80)?f(11)

f(x)
满足
f(x?4 )??f(x)
,所以
f(x?8)?f(x)
,所以函数是以
,
8 为周期的周期函数, 则答案 D解析 因为
f(?25)?f(?1)
,
f( 80)?f(0)
,
f(11)?f(3)
,又因为
,
f(x)在R上是奇函数，
而由
f(0)?0
,得
得
f(80)?f( 0)?0f(?25)?f(?1)??f(1)
,又因为
f(x?4)??f(x)
f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1)
f(x)
在区间[0,2] 上是增函数,所以
f(1)?f(0)?0
,所以
?f(1)?0
,即
f(?25)?f(80)?f(11)
,故选D.
2.（2009全国卷Ⅱ文）设
a
y
P(x,y)
（ ）
?lge,b?(lge)
2
,c?lge,
则
（A）
a?b?c
（B）
a?c?b
（C）
c?a?b
（D）
c?b?a

答案 B解析 本 题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=
O
Q(x,0)
x< br>1
2
lge, 作商比较知c>b,选B。
6 9

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练
3.（2009辽宁卷文）已知偶函数

1
f(x)
在 区间
?
0,??)
单调增加，则满足
f(2x?1)
＜
f( )
的x 取值范围是
3
( )

1
2
1
21212
，） B.［，） C.（，） D.［，）
3
3
3
32323
111
2
答A解： 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性 得|2x－1|＜ 解得＜x＜
333
3
（A）（
4.（2009陕西卷文 ）定义在R上的偶函数

f(x)
满足：对任意的
x
1
,x
2
?[0,??)(x
1
?x
2
)
，有
f (x
2
)?f(x
1
)
?0
.则 ( )
x
2
?x
1
(A)
C.
f(3)?f(?2)?f(1)
B.
f(1)?f(?2)?f(3)

f(?2)?f(1)?f(3)
D.
f(3)?f(1)?f(?2)

?x
1
)(f(x
2
)?f(x
1
))?0
等价，于
f(x
2
)? f(x
1
)
?0
则
f(x)
在
x
1
,x
2
?(??,0](x
1
?x
2
)
x
2
?x
1
答案 A 解析 由
(x
2
上单调递增, 又
f(x)
是偶函数,故
f(x)
在
x
1
,x
2
?(0,??](x
1
?x
2
)
单调递减.且满足
n?N
*
时,
f(?2)?f(2)
,
3>2?1?0
,得
f(3)?f(?2)?f(1)
,故选A.
5.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数
则当
n?N
时,有( )
(A)
*
f(x)
满足：对任意的
x
1
,x< br>2
?(??,0](x
1
?x
2
)
，有
(x
2
?x
1
)(f(x
2
)?f(x
1
)) ?0
.
f(?n)?f(n?1)?f(n?1)
B.
f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

f(n?1)?f(?n)?f(n?1)
D.
f(n?1)?f(n?1)?f(?n)

解析：x
1
,x< br>2
?(??,0](x
1
?x
2
)?(x
2
?x
1
)(f(x
2
)?f(x
1
))?0
?x< br>2
?x
1
时，f(x
2
)?f(x
1
)?f (x)在(??,0]为增函数
f(x)为偶函数?f(x)在(0，??]为减函数
而n+1 >n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)?f(n?1)C. C.
答案 C



6.（2009江苏卷）已 知
a?
5?1
x
，函数
f(x)?a
，若实数
m< br>、
n
满足
f(m)?f(n)
，则
m
、
n< br>的大小关系为 .
2
解析
a?
5?1
?(0,1)
，函数
f(x)?a
x
在R上递减。由
f(m)?f( n)
得：m2
232
3
5
2
5
2< br>5
7．（2010安徽文数）（7）设
a?（）,b?（），c?（）
，则a， b，c的大小关系是
555
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
7.A【解析】
y?x
2
5
在
x
2
?0
时是增函数，所以
a?c
，
y ?()
x
在
x?0
时是减函数，所以
c?b
。
5
f(x)
是定义在实数集
R
上的不恒为零的偶函数，且对任意实数
x
都有
xf(x?1)?(1?x)f(x)
，
7 9
方法十一抽象函数的解法
1.（2009四川卷理）已知函数

高中数 学函数及其表示典型经典例题精讲精练
5
f(f())
的值是( )
2
15
A.0 B. C.1 D.
22
则
答 A解：令
x??1
，则
?
1
f(
1
)?
1
f(?1
)?
1
f(
1
)?f(
1
)?0
； 令
2222222
2
得

则
f(0)?0
由
xf(x?1)?(1?x)f(x)
x?0
，
f(x?1)?
x?1f
(
x
)
，所以
5
f()?
x
253
2
f(
3
)?
5
f(
3
)?5
?
2
f(
1
)?0?f(f(
5
))?f( 0)?0
，故选择A。
3
2323
1
22
22
2 .(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数
间
f(x)
，满足
f(x? 4)??f(x)
,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区
?< br>?8,8
?
上有四个不同的根
x
1
,x
2
, x
3
,x
4
,则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?_________.

f(x?4)??f(x)
,所以
f(x?4)?f(?x)
,所以, 由
f(x)
为奇函数,所答案 -8解析 因为定义在R上的奇函数，满足
以函 数图象关于直线
x
又因为
?2
对称且
f(0)?0
,由f(x?4)??f(x)
知
f(x?8)?f(x)
,所以函数是以8为周期的 周期函数,
f(x)=m(m>0)在区间
f(x)
在区间[0,2]上是增函数,所 以
f(x)
在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程
x
1,x
2
,x
3
,x
4
,不妨设
?
?8 ,8
?
上有四
所以
个不同的根
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
由对称性知
x
1
?x
2
??12
x
3
?x
4
?4
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
??12?4??8









方法十二 对数函数的考察
3（2010全国卷1文数）(7)已知函数
(A)
(1,??)
(B)
[1,??)
(C)
y
f(x)=m (m>0)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x
f(x)?|lgx|
.若
a?b
且，
f(a)?f(b)
，则
a?b
的取值范围是
(2,??)
(D)
[2,??)

C【命题意图】做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均 值不等式求得a+b=
a?
1
?2
,从而错选D,【解析1】因为 f(a) =f(b),
a
所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或
b?
1
11
，所以a+b=
a?
又0 f(a)?
a
?
由“对勾”函数的性
a
a
a
质知函 数
f(a)
在
a?
(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1 =2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0?
0?a ?1
?
0?x?1
??
f
(
a
)=
f(
b
)得：
?
1?b
，利用线性规划得：
?
1 ?y
，化为求
z?x?y
的取值范围问题，
?
ab?1
?< br>xy?1
??
8 9

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练
z?x?y?y??x?z
，
y?

4（2010全国卷1理数）（ 10）已知函数
f
(
x
)=|lg
x
|.若0f
(
a
)=
f
(
b
),则a+2b的取值 范围是
(A)
(2
11
?y
?
??
2
? ?1?
过点
?
1,1
?
时z最小为2,∴(C)
(2,??)

xx
2,??)
(B)
[22,??)
(C)
(3,??)
(D)
[3,??)


方法十三函数创新题的解法
1.(200 9浙江理）对于正实数
?
，记
M
?
为满足下述条件的函数
f (x)

构成的集合：

?x
1
,x
2
?R

且
x
2?x
1
，有
?
?
(x
2
?x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?
?
(x
2
?x
1
)
．下列结论中正确的是
A．若
B．若
( )
f(x)?M
?
1
，
g(x)?M
?
2
，则
f(x)?g(x)?M
?
1?
?
2

f( x)?M
?
1
，
g(x)?M
?
2
，且
g (x)?0
，则
f(x)
?M
?
1

g(x)?
2
C．若
D．若
f(x)?M
?
1
，
g(x)?M
?
2
，则
f(x)?g(x)?M
?
1?< br>?
2

f(x)?M
?
1
，
g(x)?M< br>?
2
，且
?
1
?
?
2
，则
f(x)?g(x)?M
?
1?
?
2

答案 C 解析 对于
?
?
(x
2
?x
1
)?f(x
2)?f(x
1
)?
?
(x
2
?x
1
)
，即有
?
?
?
f(x
2
)?f(x
1)
?
?
x
2
?x
1
，令
f(x
2
)?f(x
1
)
?k
，有
?
?
?k?
?
，不妨设
f(x)?M
?
1
，
g(x)?M?
2
，即有
?
?
1
?k
f
?
?
1
,?
?
2
?k
g
?
?
2，因
x
2
?x
1
此有
?
?
1
?
?
2
?k
f
?k
g
?
?
1?
?
2
，因此有
f(x)?g(x)?M
?
1?
?
2
．
2.（2009福建卷理）函数
f(x)?ax?bx?c(a? 0)
的图象关于直线
x??
b
对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，
2a

c，m，n，p，关于x的方程
m

A.
( )
?
f(x)
?
2
?nf(x)?p?0
的解集都不可能是
?
1,2
?
B
?
1,4
?
C
?
1,2,3,4
?
D
?
1,4,16,64
?

(x)]
2
?nf(x )?P?0
中
m,n,p
分别赋值求出
f(x)
代入
f(x )?0
求出检验即得.
答案 D解析 对方程
m[f
9 9