邢台高中数学家教大学生一对一-简答题高中数学课程的性质
前言:
总有人求助如何学好数学,这个问题很宽泛,并非寥寥数语能够厘清。
有一点很明确,学好数学的必要条件是了解数学。
高中数学可以归结为两个“三位一体”:教学体系的三位一体和知识
结构的三位一体。
知识结构的三位一体:数学思想,数学方法,典型习题。
三要素之间的关系:典型习题归纳数学思想,数学思想指导数学方法,
数学方法解决典型习题。
数学思想举例:数形结合的思想等。
数学方法举例:配方法、反证法、倍差法等。
典型习题举例:恒成立问题、是否存在问题等。
教学体系的三位一体:教、学、练。
老师教什么:数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的
是优秀学生,
深入理解各种思想的是顶尖学生。
学生怎么学:课堂紧跟老师,课下善于提问。
如何做练习:
01,选题:中学数学最大的误区就是题海战术,有的老师不学无术只
会告诉你多做题。多做题没用,多做类型才有用。典型习题,做一顶
百。
02
,做题:一题多解。对于选定的习题,运用尽量多的方法去解决,
然后比较各个方法的优劣,归纳出某类
型题对应的最佳方法。
03,总结:针对错题。大量统计表明,我们在考试中所犯的错误大多
是重复性的。通过总结,避免两次踏入同一条水沟。
由上可知,我讲数学的特点是方法论、重总结。
工欲善其事,必先利其器:各种数学方法就是我们解决难题的利器。
总喊看题就没思路的童鞋,回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。
说不出?有思路才怪!
言归正传,今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法”
(高中数学最重要就是函数,函数之于高中数学好比力学之于高中物
理。
高中数学函数的要点无非:三要素,四变换,五常见,六性质。
三要素中的求值域就是本讲的主题)
方法一:配方法
用于解决二次函数值域问题,考试中几乎不会单独考察配方法(太简
单),但常与其他方法综合使用
。
y=ax
2
+bx+c(a≠0) 经过配方得到
y=a(x-m)
2
+n 的形式,可直接
观察出值域。
方法二:函数性质法
高中阶段函数六性:奇偶性,单调性,周期性,对称性,凸凹性,有
界性(前三为重点)。
巧用函数性质,往往可以大幅简化过程,最常用的性质是单调性(熟
练掌握导数工具)。
方法三:换元法
换元法分为:代数换元与三角换元。前者针对非齐次,后者针对齐次。
(详见例题)
方法四:判别式法
常用于二次分式或无理式求值域。
将y视为系数,整
理为关于x的二次方程。由于方程有解,所以判别
式大于等于零,得到一个关于y的不等式,解之。 <
br>利用判别式法时,要注意自变量的取值范围。判别式法运算往往较为
繁琐,请优先考虑其他方法。
方法五:不等式法
均值不等式:两个正数(可以拓展到N个)的平方平均值 ≥ 代数平
均值 ≥ 几何平均值
≥ 调和平均值。
利用特殊不等式的性质来求值域,要注意等号成立的条件。
方法六:分离常量法
常用于分式求值域,利用多项式除法分离出常数,从而简化问题。
方法七:反函数法
原函数的值域等于反函数的定义域,求原函数值域可以转化为求反函
数定义域问题。
使用本方法的前提是原函数存在反函数。
方法八:函数图象法
基础函数值域易求,经过变换得到的新函数的值域亦可由此得到。
常见的函数图象变换:平移,对称,伸缩,翻折。
方法九:几何意义法(来源于数形结合的思想)
常用的几何意义有距离和斜率。
方法十:综合法
综合使用以上九种方法中的若干种,废话一句,但考题往往需要综合
法解决。
例题不难但很典型且可利用多种方法求解,重点为方法的应用条件与
注意事项。
例1:y=x+
x-1
解法一,代数换元法(题目中包括x的一次及二分之一次,属于非齐
次)
设t=
x-1
(t≥0)
易得x=t
2
+1,则y=t
2
+t+1=(t+)
2
+,易犯错误 y≥
实际上由于t≥0,t不可能取到-,因此y不可能取到(换元后
要注意新变量的取值范围)。
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
正确解法:易得t=0时,y取到最小值1
解法二,函数性质法(单调性)
∵
x-1
∴
x≥1
易知y=x与y=
x-1
均为增函数,则y=x+
x-1
亦为增函数
当x=1时,y取到最小值1
可见性质法简单得多,几乎目测可得结果。
例2:y = x+
1?x
2
解法一,判别式法
移项 y-x=
1?x
2
平方
y
2
-2xy+x
2
=1-x
2
整理
2x
2
-2yx+y
2
-1=0
关于x的方程在区间[-1,1]
上有解,除判别式大于等于零外,还需考
虑其他条件,较为繁琐。
解法二,三角换元(+前后x的最高次均为一次,属于齐次)
设 x=sinθ
则
1?x
2
=cosθ
由于sinθ无符号限
制,而cosθ大于等于零,可以设θ∈[-,]
(换元后要注意新变量的取值范围)
则
y=sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
∵θ∈[-,]
∴θ+π4∈[-,
∴ y∈[-1,
2
]
例3:y = x+
解法一:函数性质法(单调性,奇偶性)
当x>0时,求导 y'=
1-
1
2
x
1
x
?
2
?
2
?
)
4
?
2
?
2
?
4
3
?
]
4
x∈(0,1)时,导数小于零,单调递减。
x∈(1,+∞)时,导数大于零,单调递增。
x=1时,取到最小值2
因此x>0时,y≥2
根据奇函数性质,x<0时,y≤-2
综上y∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
解法二:不等式法
当x>0时,y=x+
1
1
≥ 2
x .
=
2
x
x
根据奇函数性质,x<0时,y≤-2
综上y∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
x
2
?x?1
例4:y=
x
2
?1
解法一:判别式法,不再赘叙
解法二:分离常量法
x=0时,y=1
x≠0时
1
x
2
?x?1
x
y=
=1+
2
=1+
1
x?1
x
2
?1x?
x
1
x
1
2
3
2
∵
x?
∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
∴ y∈[,1)∪(1,]
综上y∈[,]
可见某些形式的二次分式求值域,分离常量法比判别式法简便得多。
1
2
3
2
例5:y=
1?sinx
2?cos
x
解法一:万能公式+判别式法
设tan
x2t
1?t
2
2
=t
sinx=
1?t
2
cosx=
1?t
2
t
2
y=
?2t?1
t
2
?3
下略
解法二:辅助角公式+函数性质法(有界性)
2y+ycosx=1+sinx
sinx-ycosx=2y-1
1?y
2
six(x+θ)=2y-1
six(x+θ)=
2y?1
1?y
2
利用正弦函数的有界性,得到
2y?1
1?y
2
∈[-1,
解得y∈[0,
4
3
]
解法三:几何意义法(斜率)
1]
sinx?(?1)
y=
cosx?
??2
?
该式的几何意义为(cosx,sinx)与(-2,-1)两点连线的斜率
(cosx,sinx)为单位圆上的任意一点,画图。
通过几何方法确定单位圆上的动点与定点(-2,-1)连线斜率的取值范
围,过程略。
完整使用三种方法得到正确答案的童鞋可以自行比较三种方法的繁
简程度。
例6:y=
x?3?x?1
解法一:函数图像法(分类讨论去绝对值,化为分段函数,画草图观
察值域)
解法二:几何意义法(距离)
x?3?x?1
的几何意义为数轴上一个动
点到-3及+1两个定点距离
之和,易得y≥4
例7:y=
x
2
?4?x
2
?2x?10
解法:几何意义法(距离)
y=
?
x?0
?
?
?
2?0
?
?
22
?
x?1
?
?
?
3?0
?
22
上式的几何意义为x轴上的动点(x,0)到两个定点(0,2)与(1,3)
的距离之和
画图:A点为(0,2),B点为(1,3),做出A点关于x轴的对称点A'。
连结A'与B 线段的距离即为y的最小值。
线段与x轴交点的横坐标即为y取最小值时x的取值。
例8:y=
解法一:函数图象法
5?x
3?x
8
5?x
x?3?8
y== -
=
-1+
x+3
3?x
x?3
8
据上式可知所求函数可由函数y=
向左平移3个单位,向下平移1
x
个单位得到。
据图像易得
y∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)
解法二:反函数法
∵ y=
5?x
3?x
∴ xy+3y=5-x
∴
xy+x=5-3y
∴ x=
5?3y
y?1
∴
原函数的反函数为 y=
5?3x
x?1
∵
反函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,
∴ 原函数的值域亦为(-∞,-1)∪(-1,
例9:y=
2
x
?1
2
x
?1
解法一:分离常量法
y=1-
2
2
x
?1
∵
2
x
>0
∴ 2
x
+1>1
∴
2
2
x
?1
∈(0,2)
+∞)
+∞)
∴ y∈(-1,1)
解法二:反函数法
y·2
x
+y=2
x
-1
y+1=(1-y)·2
x
2
x
=
y?1
1?y
原函数的反函数为
y=log
1?x
2
1?x
反函数的定义域为(-1,1)
原函数的值域为(-1,1)
例10:y=sin
3
x+cos
3
x,x∈[0,
3
?
4
]
解法:综合法
提示:换元法+函数性质法(单调性),接下来的过程请童鞋们完成。
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