高中函数解法

解：
意思是凡被f作用的对象都在
的定义域是，
中，由此可得

所以函数
评析：这类问题的一般形式是：已知函数
的定义域是

f(x)的定义域是A，求函数
的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类

问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且
，据此求x的取值范围。例2 和例1形式上正相反。
二、求值问题

例3. 已知定义域为
①
f(9)的值。
解：取，得
f(x)，同时满足下列条件：
，求f(3)，

的函数
；②

因为
又取
得
，所以

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取
便把已知条件< br>题的常用技巧。
三、值域问题
，这样
与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问

例4. 设函 数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，
成立，且存在，使得
，求函数
总< br> 的值域。

解：令，得
或
，即有
。

< br>若，则
均成立，这与存在实数
，对任意

故，必有
成立矛 盾，
。
，使得

由于
立，因此，对任意
对任意均成
，有

下面来证明，对任意
设存在

，使得，则

这与上面已证的矛盾，因此，对任意

所以
评析：在处理抽 象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要
手段。
四、解析式问题

例5. 设对满足
析式。
解：在
中x，得：
满足
中以
x，函数
求f(x)的解代换其
的所有实数
，

再在(1)中以代换x，得

化简得：
评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实 现由两个变量
向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失” ，进而保
留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题

例6. 设f(x)定义于实数集上，当
增函数。
x、y，有
在R上为
时，
，且对于任意实数
，求证：

证明：在中取，得

若
所以
，令
，即有
，则
矛盾 ，与

当
而
时，

；当
时，

所以
又当
所以对任意，恒有

时，

设，则
所以
所以在R上为增函数。
评析：一般地，抽象 函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分
解与组合都应尽量与已知 式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题

例7. 已知函数
f(x)的奇偶性。
对任意不等于零的实数
都有

，试判断函数

解：取得：，所以

又取得：，所以

再取则，即

因为
七、对称性问题
为非零函数，所以
为偶函数。

例8. 已知函数满足
，求的值。

解：已知式即在对 称关系式
，所以函数
关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。
中取
的图象

所以
将上式中的x用代换，得

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b 均为常数，函
数对一切实数x都满足
，则函数
于点（a，b）成中心对称图形。
八、网络综合问题
例9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有
且当x>0时，0（1）判断f(x)的单调性；
，
的图象关

（2）设
取值范围。
，
a的

，若

，试确定

解：（1）在
得，因为

令，中，
，所以
。

在
因为当
所以当
时，
时
中 ，令

而
所以

又当x=0时 ，
设
，所以，综上可知，对于任意
，则
，均有。

所以
所以在R上为减函数。
（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以

即有
又

，根据函数的单调性，有

由，所以直线与圆
面无公共点。因此有
，解得。
评析：（1 ）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。
这是 解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维
都有助于 问题的思考和解决。
抽象函数专题练习
抽象函数专题复习

1. 已知函数
y
＝
f
(
x
)(
x
∈R，
x
≠0)对任意的非零实数
x
1
，
x
2
， 恒有
f
(
x
1
x
2
)＝
f
(x
1
)+
f
(
x
2
),
试判断
f
(
x
)的奇偶性。
2 已知定义在[—2，2]上的偶函数，
f
(
x
)在区间[0，2]上单调递减，若
f
(1—
m
)<
f
(
m
),求实数
m
的
取值范围
3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) ＝—f(x)，求f(1998)的值。
1
??
4. 设函数f（x）对任意
x
1
,x
2< br>?
?
0,
?
都有f（
x
1
?x
2< br>)
＝f（
x
1
)?f(x
2
)
，
?
2
?
已知f（1）＝2，求f（
2
),f(
4< br>);

5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]＝1+
f（x），f（1）＝1997，求f（2001）的值。
6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x—y）＝2f（x）f（y）且f（0）
≠0.
（1）求证f（0）＝1；
（2）求证：y＝f（x）为偶函数.
7. 已知定义 在
R
上的偶函数y＝f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y＝f(2— x)的递
增区间还是递减区间？
8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b， 当a+b≠0，都有
f(a)?f(b)
＞0
a?b
11
（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2） .若f（k
?3
x
)?f(3
x
?9
x
?2)＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。
9.已知函数
f(x)
是定义在（—∞，3]上的减函数，已知
f(a
2
?sinx)?f(a?1?cos
2
x)
对
x?R
恒成立，
求实数
a
的取值 范围。
10．已知函数
f(x),
当
x,y?R
时，恒有
f(x?y)?f(x)?f(y)
.
(1)求证:
f(x)
是奇函数;
(2)若
f(?3)?a,试用a表示f(24)
.

11.已知
f(x)
是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的
a,b?R,
都满足 :
f(a?b)?af(b)?bf(a)
.
(1)求
f(0),f(1)
的值;
(2)判断
f(x)
的奇偶性,并证明你的结论;
f(2
?n)
(3)若
f(2)?2
,
u
n
?(n?N
*
)
,求数列{
u
n
}的前
n
项和
s
n
.
n
12.已知定义域为R的函数
f(x)
满足
f( f(x)?x
2
?x))?f(x)?x
2
?x
.
(1)若
f(2)?3,求f(1);又f(0)?a,求f(a);

(2)设有且仅有一个实数
x
0
,使得
f(x
0
)?x
0
,求函数
f(x)
的解析表达式.
111
13. 已知函数
f(x)
的定义域为R,对任意实数
m,n
都有
f(m?n )?f(m)?f(n)?
,且
f()?0
,当
x?
2
22
时,
f(x)
>0.
(1)求
f(1)
;
( 2)求和
f(1)?f(2)?f(3)?...?f(n)
(n?N
*
)< br>;
14.已知函数
f(x)
的定义域为R,对任意实数
m,n
都有
f(m?n)?f(m)?f(n)
,且当
x?0
时,
0?f (x)?1
.
(1)证明:
f(0)?1,且x?0时,f(x)>1
;
(2)证明:
f(x)
在R上单调递减;
(3)设A＝
{(x, y)f(x
2
)?f(y
2
)?f(1)}
,B＝{
(x, y)f(ax?y?2)?1,a?R
},若
AIB
＝
?
,试确定< br>a
的取
值范围
15. 已知函数
f
（
x
） 对任意实数
x
，
y
，均有
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
）， 且当
x
＞0时，
f
（
x
）＞0，
f
（－1 ）＝－2，求
f
（
x
）在区间[－2，1]上的值域。
16. 已 知函数
f
（
x
）对任意
（
x
）＞2，
f< br>（3）＝5，求不等式
，满足条件
f
（
x
）＋
f（
y
）＝2 +
f
（
x
＋
y
），且 当
x
＞0时，
f
的解。

17、设函数的定义域为全 体R，当x<0时，
，且对任意的实数x，y∈R，有

成立，数列
，且
是R上的减函数；
满足
n∈N
*
） （
（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求数列
（Ⅲ）若不等式
最大值．
的通项公式；
对一切n∈N
*
均成立，求k的

18、设函数
且对任意
满足，
，都有
.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若数列
（
列
满足：

, 求数），且
的通项；

（Ⅲ）求证：
19、若数列
中

满足
为常数，则称数列
其

为等方差数列.已知等方差数列满足
.

（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前
项和
答案：
1. 解：令
x
＝ —1，
x
＝
x
，得
f
(—
x
)＝
f
(—1)+
f
(
x
) ……①为了求
f
(—1)的值，令
x
＝1，
121
则
f
(—1)＝
f
(1)+
f
(—1),即
f
(1)＝0,再令
x
＝
x
＝—1得
f
(1)＝
f
(—1)+
f
(—1)＝2
f
(—1)
x
2
＝—1，
12
∴
f
(—1)＝0代入①式得
f
(—
x
)＝
f
(
x
),可得
f
(
x
)是一个偶函数。
2. 分析：根据函数的定义域，—
m，m
∈[—2,2]，但是1—
m
和
m
分别在[—2，0]和[0，2]的哪个区
间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意 到偶函数，则
f
(
x
)有性质
f（
—
x
)＝
f
(
x
)＝
f
( |
x
| )，
就可避免一场大规模讨论。
解：∵
f
(
x
)是偶函数，
f
(1—
m
)<
f
(
m
) 可得
f(1?m )?f(m)
，∴
f
(
x
)在[0，2]上是单调递减的，
于是
?
1?m?m
?
?
0?1?m?2
?
?0?m?2
，即
?
1?2m?m
2
?m
2
?< br>?
?2?1?m?2
?
?2?m?2
?
化简得—1≤
m
<
1
。
2
3. 解：因为f(x+3) ＝—f(x)，所以f(x+6)＝f((x+3)+3) ＝—f(x+3)＝f(x)，故6是函数f(x) 的一

个周期。又f(x)是奇函数，且在
x
＝0处有定义，所以f(x )＝0从而f(1998)＝f(6×333)＝f(0)＝0。
4. 解：由f（＝f（，知 f（x）＝f（
xx
≥0，x
?
?
0,1
?
x
1
?x
2
)
x
1
)?f(x
2)
x,x?
?
0,
1
?
)?f()
12

11111
2
， f（1）＝2，
?f(1)?f(?)?f()?f()?[f()]
22222

1
同理可得
1
1
4
2
f()?2
?f( )?2.
4
2
?
?
2
?
?
22
1
5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由 条
件得f（x）≠1，故
f（x+2）＝
1?f(x)
f（x+4）＝1?f(x)
1?
1?f(x)
,
. 所以f（x+8）＝1
1?f(x)
??
1?f(x)
f(x)
1?
1?f (x)
.
1
??f(x)
f(x?4)
所以f（x）是以8为周期的周期函数，
从而f（2001）＝f（1）＝1997 < br>说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x＝y＝0即可得。
（2）问题中令x＝0即得f（y）+f（— y）＝2f（0）f（y），
且f（0）＝1.所以f（y）+f（—y）＝2f（y），因此y＝f（x）为偶函数.
说明：这类问题应抓住f（x）与f（—x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。

7. 解：由y＝f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y＝f(x)在（－6，－2）上递减 。令u＝2—x，
则当x∈(4,8)时，u是减函数且u∈(—6,—2)，而f(u)在（－6，－ 2）上递减，故y＝f(2—x)在（4，
8）上递增。所以（4，8）是y＝f(2—x)的单调递增 区间。

8. 解：（1）.因为a＞b，所以a—b＞0，由题意得
f(a)? f(?b)
＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b） ＝
－f（b）， f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）
（2）.由（1）知f（ x）在R上是单调递增函数，又f
(k?3
x
)
＋f
(3
x
?9
x
?2)
＜0，得f
(k?3
x
)
＜
f
(9
x
?3
x
?2)
，故
k?3
x
＜
9
x
?3
x
?2
，所以k＜
令t＝


2
3?
x
?1
3
x
a?b< br>1
,所以k＜t+
2
，而t+
2
≥2
2
，即 k＜2
?1
3?[,3]
t
3
t
x
2
－1
9.解：
f(a
2
?sinx)?f(a?1?cos
2
x )
等价于
?

?
?
a
2
?sinx?3
?
a
2
?3?sinx
?
a
2
?3??1
??
?
22
a?1?cosx?3?a?2??cosx?
???< br>a?2?0
?
a
2
?sinx?a?1?cos
2
x
?
a
2
?a?1?cos
2
x?sinx
?
5
??
?
a
2
?a?1?
?4

?
?
?2?a?2
?
1?10
?
??2?a?
?a?2
2
?
?
a?
1?10
或a?
1?10< br>?
?22


10.（1）证明：令
y??x
，得< br>f(x?x)?f(x)?f(?x)
?
f(x)?f(?x)?f(0)

令
x?y?0
，则
f(0)?2f(0)
?f0?0

??
∴
f(x)?f(?x)?0f(?x)??f(x)
∴
f(x)
是奇函数。
（2）∵
f(24)?f(3)?f(21)?2f (3)?f(18)?...?8f(3)

又∵
f(?3)?a?f(3)??a
?
f(24)??8a

11.（1）解：令
a?b?0
，则
f(0)?0

令
a?b?1
，则
f(1)?2f(1)?f(1)?0

（2）证明：令
a?b??1
，则
f(1)?2f(?1)
，∵
f( 1)?0
，∴
f(?1)?0

令
a?x,b??1
，则
f(?x)?xf(?1)?f(x)??f(x)

∴
f(x)
是奇函数。
（3）当
ab?0
时，
f(a?b)f(b)f(a)
，令
f(x)
，则
g(a?b) ?g(a)?g(b)

??
g(x)?
abba
x
故
g(a
n
)?ng(a)
，所以
f(a
n
)?a
n
?g(a
n
)?na
n
g(a)?na
n?1< br>f(a)

∴
f(2
?n
)
?
1
?
u
n
??
??
n
?
2
?
n?1< br>1
?f()
2

∵
1
?
1
?1
f(2)?2,f(1)?f(2?)?2f
??
?f
?
2< br>?
?0
2
?
2
?
2
n?1
∴
?
1
?

11
，故
11
????
f??
??f(2)??
u
n
?
?
?
?
?
??
?
n?N?
?
242
??
?
2??
2
?
∴
n

1
?
?
1< br>?
?
?
?
1?
??
?
n
2
?
?
?
2
?
?
?
?
1
?
s
n
??
??
?1
?
n?N?
?
1
?
2
?
1?
2
12.解：(1)∵对任意
x?R
，函数
f(x)
满足
f(f(x)?x
2
?x))?f(x)?x< br>2
?x
，且
f(2)?2

∴
f(f(2)?2
2
?2)?f(2)?2
2
?2,则f(1)?1

∵
f(0)?a
，∴
f(f(0)?0
2
?0)?f(0) ?0
2
?0
＝
a?0
2
?0
?
f(a)＝ a
(2) ∵对任意
x?R
，函数
f(x)
满足
f(f( x)?x
2
?x))?f(x)?x
2
?x
,有且仅有一个实数x
,使得
0
f(x
0
)?x
0

∴对任意
x?R
，有
f(x)?x
2
?x?x
< br>0
上式中，令
x?x
，则
f(x)?x
2
?x?x< br>
0
0000
∵
f(x)?x
，故
x?x
2
?0
?
x?0或x?1

0000
00
若
x?0
，则
f(x)?x
2
?x?0
，则
f(x)?x2
?x
，但方程
x
2
?x?x
有两个不相同的实根与题 设茅盾，
0
故
x?0

0
若
x?1
，则< br>f(x)?x
2
?x?1
，则
f(x)?x
2
?x? 1
，此时方程
x
2
?x?1?x?(x?1)
2
?0
有两个相等的
0
实根，即有且仅有一个实数
x
,使得
f(x)?x

000
∴
f(x)?x
2
?x?1x?R

??
13.（1）解：令
1
，则
11111

f(?)?2f()?
?f(1)?m?n?
2222
22
（2）∵
1111
f(1)?,f(n?1)?f(1)?f(n)???f(n)??f( n)?1
2222
∴
f(n?1)?f(n)?1

∴数列
f(n)
是以
1
为首项,1为公差的等差数列,故
??
2
f(1)?f(2)?f(3)?...?f(n)
＝
nn(n?1)
＝
n
2

?
?
22
2
(3)任取
x,x?R,且x?x
,则
1212
11
＝
f(x
2
)? f(x
1
)?f[(x
2
?x
1
)?x
1
]?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?f(x
1< br>)??f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?
2 2

1
f(x
2
?x
1
?)?0
2
∴
f(x)?f(x)

12

∴函数
f(x)
是R上的单调增函数.
14、. (1)证明:令
m?0,n?1
,则
f(0?1)?f(0)?f(1)
< br>∵当
x?0
时,
0?f(x)?1
,故
f(1)?0
,∴
f(0)?1
,∵当
x?0
时,
0?f(x)?1

∴当
x?0
时,
?x?0
,则
f(0)1
f(? x?x)?f(?x)?f(x)?f(x)???1
f(?x)f(?x)
(2)证明: 任取
x,x?R,且x?x
,则
1212
f(x
2
)?f (x
1
)?f[(x
2
?x
1
)?x
1
] ?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?f(x
1)?f(x
1
)?[f(x
2
?x
1
)?1]f(x< br>1
)

∵
x?x?0
,∴0<
0?f(x?x)?1
,故
f(x?x)?1
<0,又∵
f(x)?0,

212 1211
∴
[f(x?x)?1]f(x)?0
,故
f(x)?f(x)
21112
∴函数
f(x)
是R上的单调减函数.
(3) ∵
A?(x,y)f(x
2
)?f(y
2
)?f(1)?(x,y) f(x
2
?y
2
)?f(1)
????

由（2） 知，
f(x)
是R上的减函数，∴
x
2
?y
2
?1

∵B＝{
(x,y)f(ax?y?2)?1,a?R
}＝
??
x,y
?
ax?y?2?0,a?R
?

又∵
AIB?
?
，
∴方程组
?
2
无解， 即直线
ax?y?2?0与单位圆x
2
?y
2
?1
的内部无 公共点
x?y
2
?1
?
?
ax?y?2?0
∴< br>2
a?1
2
?1
?
a
2
?3??
3 ?a?3
，故
a
的取值范围是—
3?a?3

15、 解： 设
∵
∴
在条件中，令
y
＝－
x
，则
，∵当
，
，即
，∴，
，∴
f
（
x
）为增函数。
，再令
x
＝
y
＝0，则
f
（0）＝2
f
（0），∴
f
（0）＝0，
故
f
（－
x
）＝
f
（
x
），
f
（
x
）为奇 函数，
∴
f
（1）＝－
f
（－1）＝2，又
f
（－2）＝2
f
（－1）＝－4，
∴
f
（
x
）的值域为［－4，2］。

16、. 解：设， ∵当，∴，则

即，∴
f
∵
＝3。∴，∴
17、设函数
，
（
x
）为单调增函数。
， 又∵
f
（3）＝5，∴
f
（1）
， 即，解得不等式的解为－1 <
a
< 3。
的定义域为全体R，当x<0时，
，且对任意的实数x，y∈ R，有

成立，数列
，且
是R上的减函数；
满足
n∈N
*
） （
（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求数列
（Ⅲ）若不等式
最大值．
的通项公式；
对一切n∈N
*
均成立，求k的

解析：（Ⅰ）令，得
，

，所以由题意知
，故．

时，，

当
，进而得．

且
．
设
，则，

即
上的减函数．
（Ⅱ）由
所以
，所以
得
．
是R


，

因为是R上的减函数，所以
即

，进而
，
，

所以
所以
所以

．
分
是以1为首项，2为公差的等差数列．
，

………………9

（Ⅲ）由
知
设
对一切n∈N
*
均成立．
对一切n∈N
*
均成立．
，

知
又
且
．

故为关于n的单调增函数，
．

所以，k的最大值为

分
……………
…14