历年北京高中数学会考真题-高中数学教材选修2-1
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函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结
函数贯穿整个初中和高中阶段,不但是中考的重要内容,也是高考重要内容,所以参加高考的考生务必重视,酷课网精心为今年考生准备了本章的,希望能给考生带来意想不到的帮助。
一、命题热点
分析近几年的高考试题,可以发现函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点
和思想方法贯穿整个高中数学的
全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,一般以选择题和填
空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基
本初等函数等,以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数
的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.
其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考
考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,
而且常考常新.以基本函数为模型
的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
2012年高考热点主要有:①考查函数的表示法、定义域、
值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与
方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对
实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试
的热点.③考查运用函数的思想来观
察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
二、知识点总结
1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一.
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ;
a?ba
2
?b
2
⑥利用均值不等式
ab?
;
⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);
?
22
⑧利用函数有界
性(
a、sin
?
、cos
?
等);⑨平方法;⑩ 导数法
3.复合函数的有关问题:
(1)复合函数定义域求法:
①
若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤
b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求
f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域.
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为基本函数:内函数
u?g(x)<
br>与外函数
y?f(u)
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性:
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
.
...
⑵
f(x)
是奇函数
?f(?x)??f(x)
;
f
(x)
是偶函数
?f(?x)?f(x)
.
⑶奇函数
f(x)
在0处有定义,则
f(0)?0
⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性
6.函数的单调性:
⑴单调性的定义:
①
f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
;
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
??x
1
,x2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x<
br>1
)?f(x
2
)
;
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?
1
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⑵单调性的判定:①定义法:一般要将式子
f(x
1)?f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
②导
数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性:
(1)周期性的定义:对定义域内的任意,若有
f
?<
br>x?T
?
?f
?
x
?
(其中
T
为
非零常数),则称函数
f(x)
为
周期函数,
T
为它的一个周期。所
有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都
指最小正周期。
(2)三角函数的周期:
①
y?sinx:T?2
?
;②
y?cosx:T?2
?
;③
y?tanx:T?
?
;
④
y?Asin(
?
x?
?
),y?cos(
?
x?
?
):T?
2
?
?
;⑤
y?tan
?x:T?
?
?
(3)与周期有关的结论:
f(x?a)?f(
x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0)?f(x)的周期为2a
8.基本初等函数的图像与性质:
⑴指数函数:
y?a
x
(a?0
,a?1)
;⑵对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
;
?
⑶幂函数:
y?x
(
?
?R)
;⑷正弦函数:
y?sinx
;⑸余弦函数:
y?cosx
;
2
(6)正切函数:
y?tanx
;⑺一元二次函数:
ax?bx?c?0(a≠0);
⑻其它常用函数:正比例函数:
y?kx(k?0)
;反比例函数
:
y?
㈡.
⑴分数指数幂:
a
m
n
k
a
(k?0)
;③函数
y?x?(a?0)
xx
?a;
a
n
m
?
m
n
?
1
am
n
(以上
a?0,m,n?N
,且
n?1
).
?
⑵.①
a
b
?N?log
a
N?b
;
②
log
a
?
MN
?
?log
a
M?lo
g
a
N
;
Mn
?log
a
M?log
a
N
; ④
log
a
m
b
n
?log
a
b
.
Nm
log
m
N
logN
⑶.对数的换底公式:
log<
br>a
N?
.对数恒等式:
a
a
?N
.
log
m
a
③
log
a
9.二次函数:
⑴解析式:①一般式:
f(x)?ax?bx?c
;②顶点式:
f(x)?a(x?h
)?k
,
(h,k)
为顶点;
③零点式:
f(x)?a(x?x<
br>1
)(x?x
2
)
(a≠0).
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
22
?
b4ac?b
2
b
二次函数
y?ax?bx?c
的图象的
对称轴方程是
x??
,顶点坐标是
?
?,
?
2a
4
a
?
2a
2
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?
?
?
。
?
2
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10.函数图象:
⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法
⑵图象变换:
① 平移变换:ⅰ)
y?f(x)?y?f(x?a)
,(a?0)
———左“+”右“-”;
ⅱ)
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)
———上“+”下“-”; <
br>??
y??f(?x)
;ⅱ)
y?f(x)
???
y??f(
x)
; ②
对称变换:ⅰ)
y?f(x)
??
?
x?f(y)
; ⅲ)
y?f(x)
???
y?f(?x)
;
ⅳ)
y?f(x)
???
③ 翻折变换:
ⅰ)
y?f(x)?y?
f(|x|)
———(去左翻右)y轴右不动,右向左翻(
f(x)
在
y左侧图象去掉);
ⅱ)
y?f(x)?y?|f(x)|
———(留上翻下)x
轴上不动,下向上翻(|
f(x)
|在
x
下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明:
(1)证明函数
y?f(x)
图像
的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数
y?f(x)
与
y?g(x)
图象的对称性,即证明
y?f(x)
图象上任意点关于对称中心(对称轴)
的对称点在
y?g(x)
的图象上,反之亦然。
注:①曲线C
1
:f(x,y)=0关于原点(0,0)的对称曲线C
2方程为:f(-x,-y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线x=0
的对称曲线C
2
方程为:f(-x, y)=0;
曲线C
1
:f
(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C
2
方程为:f(x, -y)=0;
曲
线C
1
:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C
2
方程为:f(y,
x)=0
②f(a+x)=f(b-x) (x∈R)
?
y=f(x)图像关于直线
x=
x?0y?x
(0,0)y?0
a?b
对称;
2
特别地:f(a+x)=f(a-x)
(x∈R)
?
y=f(x)图像关于直线x=a对称.
③
y?f(x)的图象关于点
(a,b)
对称
?
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?2b
.
特别地:
y?
f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?
f
?
a?
x
?
??f
?
a?x
?
.
④函数
y?f
(x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a
对称;
函数
y?f(a?x)
与函数
y?f(a?x)
的图象
关于直线
x?0
对称。
12.函数零点的求法:
⑴直接法(求
f(x)?0
的根);⑵图象法;⑶二分法.
(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 ,
则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
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