高中数学教师春期教学工作总结-浙江金华高中数学教材版本
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1函数解析式的特殊求法
例1 已知f(x)是一次函数,
且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式
)?x?2x
,求f(x) 例2 若
f(x?1
例3 已知
f(x?1)?x?2x
,求
f(x?1)
例4已知:函数
y?x
2
?x与y?g(x)
的图象关于
点
(?2,3)
对称,求
g(x)
的解析式
例5 已知f(x)满足
2f(x)?f(
1
)?3x
,求
f(x)
x
2函数值域的特殊求法
2
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。 例1. 求函数
1?x?x
2
y?
1?x
2
的值域。 例2.
求函数
例3求函数y=(x+1)(x+2)的值域
e
x
?1
y?
x
例4.
求函数
e?1
的值域。
例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数?
(x?3)(x?5)
y
2
?x?5
①
y
1
?
x?3
②
y
1
?x?1x?1
y
2
?(x?1)(x?1)
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③
f
1
(x)?(2x?5)
2
f
2
(x)?2x?5
2若函数
f(x)
的图象经过
(0,?1)
,那么
f(x?4)
的反函数图象
经过点
(A)
(4,?1)
(B)
(?1,?4)
(C)
(?4,?1)
(D)
(1,?4)
<
br>例3
已知函数
f(x)
对任意的
a、b?R
满足:
f
(a?b)?f(a)?f(b)?6,
当a?0时,f(a)?6
;
f(?2)?12
。
(1)求:
f(2)
的值;
(2)求证:
f(x)
是
R
上的减函数;
(3)若
f(k?2)?f(2k)?3
,求实数
k
的取值范围。
例4已知
A?{(x,y)|x?n,y?an?b,n?
Z},
B?{(x,y)|x?m,y?3m
2
?15,m?
Z},
C?{(x,
y)|x
2
?y
2
≤
14}
,
(1)
AI
B??
,(2)
(a,b)?C
同时成立.
证明题
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问是否存在实数
a,b
,使得
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1.已知二
次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
对于
x
1
、<
br>x
2
?
R,且
x
1
<
x
2
时
1
f(x
1
)?f(x
2
)
,求证:方程f(x)
=
[f(x
1
)?f(x
2
)]
有不
等实根,且必有一根属于区间(
x
1
,
x
2
).
2
答案
1解:设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x?1
?
?
k<
br>2
?4
?
k??2
?
k?2
1
则
?
或
?
?
?
b??
b?1
(k?1)
b??1
?
?
?
3
?
1
∴
f(x)?2x
?
或
f(x)??2x?1
3
2换元法:已知复合函数
f
[g(x)]
的表达式时,还可以用换元法求
f(x)
的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。解法一(换元法):令t=
x?1
则x=t
2?1, t≥1代入原式有
f(t)?(t?1)
2
?2(t?1)?t
2
?1
∴
f(x)?x
2
?1
(x≥1)
解法二(定义法):
x?2x?(x?1)
2
?1
∴
f(x?1)?(x?1)
2
?1
x?1
≥1
∴
f(x)?x
2
?1
(x≥1)
4代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
解:设
M(x,y)
为
y?g(x)
上任一点,且
M
?
(x
?
,y
?
)
为
M(x,y)
关于点
(?2,3)
的对称点
?
x
?
?x
?
2
??2
?
y
?
?y
?
x
?
??x?4
?
?3
?
?
2
?
则,解得:
?
y?6?y
,
?
点
M
?
(x
?
,y
?
)
在
y?g(x)
上
?y
?
?x
?
2
?x
?
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?
x
?
??x?4<
br>?
?
把
?
y?6?y
代入得:
2
y??x?7x?6
整理得
2
?
g(x)??x?7x?6
例5构造方程组法:若已知
的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通
过解方程组求得函数解析式。
∵已知
2f(x)?f(
1
)?3x
①,
x
将①中x换成
1
得
2f(
1
)?f(x)?3
②,
x
xx
x
①×2-②得
3f(x)?6x?
3
∴
f(x)?2x?
1
.
x
值域求法
2
例1
解:将函数配方得:
y?(x?1)?4
∵
x?[?1,2]
由二次函数的性质可知:当x=1时,
y
min
?4
,当
x
??1
时,
y
max
?8
故函数的值域是:[4,8]
2. 判别式法例2. 解:原函数化为关于x的一元二次方程
(y?1)x
2
?(y?1)x?0
(1)当
y?1
时,
x?R
??(?1)
2
?4(y?1)(y?1)?0
13
?y?
2
解得:
2
?
13
?
?
13
?
1?
?
,
?
,
??
(
2)当y=1时,
x?0
,而
?
22
?
故函数的值域为?
22
?
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例3求函数y=(x+1)(x+2)的值域。
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
解:显然函数y=(x+1)(x+2)的反函数为:x=(1-2y)(y-1),其定义域为y
≠1的实数,故函数y
的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
点评:利用反函数法求原函数
的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维
的思想,是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数y=(10x+10-x)(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y
∣y<-1或y>1}
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
y?
1
e
x
?1
e
x
?
y?
x
y?1
例4.
求函数
e?1
的值域。解:由原函数式可得:
x
∵
e?0
y?1
?0
y?1
∴
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解得:
?1?y?1
故所求函数的值域为
(?1,1)
例1
(定义域不同)(定义域不同) (定义域、值域都不同)
例3解:
(1)
f(a?b)?f(a)?f(b)?6,
令
a?b?0
,得
f(0)?6
令
a?2,b??2
,得
f(2)?0
(2)证明:设
x
1
,x
2
是
R
上的任意
两个实数,且
x
1
?x
2
,即
x
2
?x<
br>1
?0
,
从而有
f(x
2
?x
1
)?6
,
则
f(x
2
)?f(x
1
)?f[(x
2
?x
1
)?x
1
]?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?f(x
1
)?6?f(x
1
)
?f(x
2
?x
1
)?6?0
∴
f(x
2
)?f(x
1
)
即
f(x)
是
R
上的减
函数
(3)
f(a?b)?f(a)?f(b)?6,
令
a?1,b?1
,得
f(1)?3
∵
f(k?2)?f(2k)?3
∴
f(k?2)?3?f(2k)
,又
f(1)?3
,
f(2)?0
即有
f(k?2)?f(1)?f(2k)?f(2)
∴
f(k?2)?f(1)?6?f(2k)?f(2)?6
∴
f[(k?2)?1]?f[(2k)?2]
又∵
f(x)
是
R
上的减函数
∴
(k?2)?1?(2k)?2
即
k??3
(A)∴实数
k
的取值范围是
k??3
例4分析:假设存
在
a,b
使得(1)成立,得到
a
与
b
的关系后与x
2
?y
2
≤
14
联立,然后讨论联立的
不等式组. 解:假设存在实数
a,b
,使得
AIB??
,
(a,b)?C<
br>同时成立,则集合
A?{(x,y)|x?n,y?an?b,n?
Z}与集合
B?{(x,y)|x?m,y?3m
2
?15,m?
Z}分别对应集合
A<
br>1
?{(x,y)|y?ax?b,x?
Z}与
B
1
?{(x
,y)|y?3x
2
?15,x?
Z},
A
1
与
B
1
对应的直线
y?ax?b
与抛物线
?
y?ax?b
2
y?3x
2
?15
至少有一个公共点,所以方程组
?
3
x?15?ax?b
必有解. 有解,即方程
2
?
y?3x?15
因
此
??a
2
?12(15?b)
≥
0??a
2
≤<
br>12b?180
,①
又∵
a
2
?b
2
≤
14
②
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由①②相加,
b
2
得≤
12b?36
,即
(b?6)
2
≤
0
.∴
b?6
.
将
b?6
代入①得
a
2
≥
108
, 再将
b?6
代入②得
a
2
≤
108
,因此a??63
,
将
a??63
,
b?6
代入方程
3x
2
?15?ax?b
得
3x
2
?63x?9?0,
解得
x??3?
Z.
所以不存在实数
a,b
,使得(1),(2)同时成立.
证明题1
1
1解:设F(
x
)=
f(x)
-
[f
(x
1
)?f(x
2
)]
,
2
1
则方程
f(x)
=
[f(x
1
)?f(x
2
)]
①
2
与方程 F(
x
)=0 ②
等价
11
∵F(
x
1
)=
f(x
1
)<
br>-
[f(x
1
)?f(x
2
)]
=
[f(x
1
)?f(x
2
)]
22
11
F(
x
2
)=
f(x
2
)
-
[f(x<
br>1
)?f(x
2
)]
=
[?f(x
1
)?f
(x
2
)]
22
1
∴ F(
x
1
)·F(
x
2
)=-
[f(x
1
)?f(x<
br>2
)]
2
,又
f(x
1
)?f(x
2
)
4
∴F(
x
1
)·F(
x
2
)<0
故方程
②必有一根在区间(
x
1
,
x
2
)内.由于抛物线y=F(
x
)在
x
轴上、下方均有分布,所以此抛
物线与
x
轴相交于两个不同的交点,即方程②有两个不等的实根,从而方程①有两个不等的实根,且
必有一根属于
区间(
x
1
,
x
2
).
1
点
评:本题由于方程是
f(x)
=
[f(x
1
)?f(x
2<
br>)]
,其中因为有
f(x)
表达式,所以解题中有的学生不理
2
解函数图像与方程的根的联系,误认为证明
f(x)
的图像与
x
轴相交于两
个不同的点,从而证题中着眼
1
于证
f(x
1
)f(x
2<
br>)
<0,使本题没法解决. 本题中将问题转化为F(
x
)=
f(x)
-
[f(x
1
)?f(x
2
)]
的图
2<
br>像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
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