如何界定数形结合在高中数学-尖子生学案高中数学必修五
函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
(1)对于函数
y?f(x)
,我们把方程
f(x)?0
的实数根叫做函数
y?f(
x)
的零点。
(2)方程
f(x)?0
有实根
?
函数y?f(x)
的图像与x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点。
因此判断
一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程
f(x)?0
是否有实数根
,有几个实数根。函数零点的
求法:解方程
f(x)?0
,所得实数根就是
f
(x)
的零点
(3)变号零点与不变号零点
①若函数
f(x)
在
零点
x
0
左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数
f(x)
的变号
零点。
②若函数
f(x)
在零点
x
0
左右两侧的函数值同
号,则称该零点为函数
f(x)
的不变号零点。
③若函数
f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图像是一条连续的曲线,则
f(a)f(b)
?0
是
f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
(1)零点存在性定理:如果函数
y?
f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的曲线,并且有
f(a)?f
(b)?0
,
那么,函数
y?f(x)
在区间
?
a,b?
内有零点,即存在
x
0
?(a,b)
,使得
f(x<
br>0
)?0
,这个
x
0
也就是方程
f(x)?0
的根。
(2)函数
y?f(x)
零点个数(或方程
f(x)?0
实数根的个数)确定方法
①
代数法:函数
y?f(x)
的零点
?
f(x)?0
的根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
y?
联系起来,并利用函数的性质找
出零点。
(3)零点个数确定
??0?
y?f(x)
有2个零点
?
f(x)?0
有两个不等实根;
f(x)
的图象
??0?<
br>y?f(x)
有1个零点
?
f(x)?0
有两个相等实根;
??0?
y?f(x)
无零点
?
f(x)?0
无实根;对于二次函数
在区间
?
a,b
?
上的零点个数,要结合图像进
行确定.
1、 二分法
(1)二分法的定义:对于在区间
[a,b]
上连续不断且<
br>f(a)?f(b)?0
的函数
y?f(x)
,通过不断地把函数
y?
f(x)
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫
做二分法;
(2)用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间
[a,b]
,验证
f(a)?f(b)?0
,给定精确度
?
;
②求区间
(a,b)
的中点
c
;
③计算
f(c)
;
(ⅰ)若
f(c)?0
,则
c
就是函数的零点;
(ⅱ)
若
f(a)?f(c)?0
,则令
b?c
(此时零点
x
0<
br>?(a,c)
);
(ⅲ) 若
f(c)?f(b)?0
,则令
a?c
(此时零点
x
0
?(c,b)
);
④判断是否达
到精确度
?
,即
a?b?
?
,则得到零点近似值为
a
(或
b
);否则重复②至④步.
【经典例题】
1.函数
f(x)=2+x?2
在区间
(0,1)
内的零点个数是
( )
A、0 B、1
C、2 D、3
x3
2.函数
f(x)=2
x
+3x的零点所在的一个区间是 ( )
A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1)
D、(1,2)
3
.若函数
f(x)?
a
x
?x?a
(
a?0
且
a?1
)
有两个零点,则实数
a
的取值范围是 .
4.设函数f(x)
(x?R)
满足f(
?x)=f(x),f(x)=f(2
?
x),且当
x?[0,1]
时,f(
x)=x
3
.又函数g(x)= |xcos
(
?
x)
|,
则函数h(x)=g(x)-f(x)在
[?
13
,]
上的零点个数
为 ( )
22
A、5 B、6
C、7 D、8
5.函数
f(x)?xcosx
在区间[0,4]上的零点个数为 (
)
A、4 B、5
6.函数
f(x)?
C、6 D、7
2
x?cosx
在
[0,??)
内 ( )
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点
D、有无穷多个零点
?
?
a,a-b≤1,
7.对实数a和b,定义运算“
?”:a?b=
?
设函数f(x)=(x
2
-2)?(x
?
?
b,a-b>1.
-x
2
),x∈R,若函数y=f(x)-c
的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c
的取值范围是 ( )
3
?
3
???
A、(-∞,-2]∪
?
-1,
2
?<
br>
B、(-∞,-2]∪
?
-1,-
4
?
????
1
??
13
??
1
????
???????
C、
-1,
4
∪
4
,+∞
D、
-1,-
4
∪
4
,+∞
?
????
????
8.已知函数
f(x)
=
log
a
x?x?b(a
>0,且a?1).
当2<a<3<b<4时,函数
f(x)
的零点
x
0
?(n,n?1),n?N
*
,则n=
.
9.求下列函数的零点:
(1)
f(x)?x
3
?2x
2
?x?2
;
(2)
f(x)?x?
.
10.判断函数y=x
3
-x-1在区间
[1,]内有无零点,如果有,求出一个近似
零点(精确度.
【课堂练习】
1、在
下列区间中,函数
f(x)?e
x
?4x?3
的零点所在的区间为 (
)
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
13
(,)
24
1
4
1
4
11
42
4
x
2
、若
x
0
是方程
lgx?x?2
的解,则
x
0属于区间 ( )
A、
(0,1)
B、
(1,1.25)
C、
(1.25,1.75)
D、
(1.75,2)
3、下列函数中能用二分法求零点的是 (
)
4、函数f
?
x
?
=2+3x的零点所在的一个区间是
( )
x
A.(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1)
D、(1,2)
5、设函数f
?
x
?
=4sin(2x+1)-x
,则在下列区间中函数f
?
x
?
不存在零点的是 ( )
A、[-4,-2] B、[-2,0]
C、[0,2] D、[2,4]
6、函数
f
?
x<
br>?
=
x
-
cosx
在[0,
??
﹚内
( )
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点
D、有无穷多个零点
7、若函数
f(x)
的零点与
g(x)?4
x
?2x?2
的零点之差的绝对值不超过,则
f(x)
可以是( )
A、
f(x)?4x?1
B、
f(x)?(x?1)
2
C、
f(x)?e
x
?1
D、
1
f(x)?ln(x?)
2
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A、
f(x)?x
3
?8
B、
f(x)?lnx?3
C、
f(x)?x
2
?22x?2
D、
f(x)??x
2
?4x?1
9、函数f(x)=log
2
x+2x-1的零点必落在区间 ( )
A、
?
,
?
10、
lgx?<
br>?
11
?
?
84
?
B、
?
,
?
?
11
?
?
42
?
C、
?
,1
?
?
1
?
?
2
?
D、(1,2)
1
?0
有解的区域是 ( )
x
A、
(0,1]
B、
(1,10]
C、
(10,100]
D、
(100,??)
11、在下列区间中,函数
f(x)?e
x
?4x?3
的零点所在的区间为
( )
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
(,)
12、函数
f(
x)?
?
x?log
2
x
的零点所在区间为( )
A、
[0,
1
4
1
4
11
42
1324
1
]
8
x
B、
[
11
,]
84
x
C、
[
11
,]
42
D、
[
1
,1]
2
13、设
f
?
x
?
?3?3x?8
,用二分法求方程
3?3x?8
?0在x?
?
1,2
?
内近似解的过程中得
f
?
1
?
?0,f
?
1.5
?
?0,f
?
1.2
5
?
?0,
则方程的根落在区间( )
A、
(1,1.25)
B、
(1.25,1.5)
C、
(1.5,2)
D、不能确定
14、设函数
f(x)?4sin(2x?1)?x
,则在下列区间中
函数
f(x)
不存在零点的是( )
.
A、
?
?4,?2
?
B、
?
?2,0
?
C、
?
0,2
?
D、
?
2,4
?
?
x
2
?2x?3,x
?0
15、函数
f(x)?
?
, 零点个数为( )A、3
B、2 C、1 D、0
?
?2?lnx,x?0
32
16、若函数
f(x)?x?x?2x?2
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考
数据如下:
f (1) = -2
f = -
f =
f =
f = -
f = -
那么方程
x
3
?x2
?2x?2?0
的一个近似根(精确到)为 ( )
A、
B、1.3 C、 D、
17、方程
2
?x
?x
2
?3
的实数解的个数为
.
22
18、已知函数
f(x)?x?(a?1)x?a?2
的一个零点比
1大,一个零点比1小,求实数
a
的取值范围。
2
f(x)?4x?x2
?x
3
在区间
[?1,1]
上零点的个数,并说明理由。
3
20 、求函数
f(x)?x
3
?2x
2
?3x
?6
的一个正数零点(精确度.
19、判断函数
【课后作业】
1、下列函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是
( )
2、设
f(x)?3
x
?x
2
,则在下列区
间中,使函数
f(x)
有零点的区间是
( )
A、[0,1] B、[1,2]
C、[-2,-1] D、
[-1,0]
3、已知
f(x)
唯一的零点在区间
(1,3)
、
(1,4)
、
(1,5)
内
,那么下面命题错误的 ( )
A、函数
f(x)
在
(1,2)<
br>或
?
2,3
?
内有零点
B、函数
f(x)
在
(3,5)
内无零点
C、函数
f(x)
在
(2,5)
内有零点
D、函数
f(x)
在
(2,4)
内不一定有零点
4、若函数
f(x)?x?3x?a
有3个不同的零点,则实数
a
的取值范围是
A、
3
( )
?
?2,2
?
B、
?
?2,2
?
C、
?
??,?1
?
D、
?
1,??
?
5、函数
f(x)?x?lnx
的零点所在的区间为 ( )
A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2)
D、(1,e)
6、求函数
f(x)?2x?3x?1
零点的个数为 (
)
A、
1
B、
2
C、
3
D、
4
7、如果二次函
数
y?x?x?m?3
有两个不同的零点,则
m
的取值范围是
( )
A、
(
2
3
11111111
,??)
B、
(??,)
C、
(??,)
D、
(,??)
4242
8、方程
lgx?x?0
根的个数为 ( )
A、无穷多 B、
3
C、
1
D、
0
9、用二分法求方程
f(x)?0
在(1,2)内近似解的
过程中得
f(1)?0,f(1.5)?0,f(1.25)?0
f(1)<0,则方程的根在
区间 ( )
A、, B、(1,
C、,2) D、不能确定
1
10、设函数f(x)=
3
x-lnx(x>0),则y=f(x)
( )
?
1
??
1
?
A、在区间
?e
,1
?
,(1,e)内均有零点 B、在区间
?e
,1
?
,(1,
????
e)内均无零点
?
1
??
1
?
C、在区间
?
e
,1
?内有零点,在区间(1,e)内无零点 D、在区间
?
e
,1
?
内
????
无零点,在区间(1,e)内有零点
11、设函数
f(x)?
lnx?x
2
?1(x?0)
,则函数
y?f(x)
(
)
A、在区间(0,1),(1,2)内均有零点
B、在区间(0,1)内有零点,在
1
2
区间(1,2)内无零点
C、在区间(0,1),(1,2)内均无零点
D、在区间(0,1)内无零点,在
区间(1,2)内有零点
12、用二分法研究函数
f(x)?x
3
?3x?1
的零点时,第一次经计算
f(0)?0,f(0
.5)?0
,可得其中一个零
点
x
0
?
,
第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )
A、(0,),
f(0.25)
B、(0,1),
f(0.25)
C、(,1),
f(0.75)
D、(0,),
f(0.125)
13、函数
f(x)?2<
br>x
?x
3
?2
在区间(0,1)内的零点个数是 ( )
A、0 B、1 C、2
D、3
14、(已知函数
f(x)?log
a
x?x?b(a?0,且a?
1).
当
2?a?3?4
是,函数
f(x)
的零
点
x
0
?(n,n?1),n?N
*
,
则n=
.
15、用二分法求函数
y?f(x)
在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)
·f(4)<0,给
2+4
定精确度ε=,取区间(2,4)的中点x
1
=<
br>2
=3,计算得f(2)·f(x
1
)<0,则
此时零点x
0
∈________.
16、已知函数 f(x)=
{
2
x
-1,x>0,-x
2
-2x,x≤0,
若函数 g(x)=
f(x)
-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.
17、函数
f(x)?x?5x?6
的零点组成的集合是 . 18、用“二分法”求方程
x?2x?5?0
在区间
[2,3]
内的实根
,取区间中点为
x
0
?2.5
,那么下一个有
根的区间是
19、函数
3
2
f(x)?lnx?x?2
的零点个数为
.
20、证明方程6-3x=2
x
在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这
个实数
解(精确度.
函数与方程
【考纲说明】
2、
了解函数的零点与方程根的联系,能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
3、
能够根据具体函数的图像,用二分法求出相应方程的近似解。
【知识梳理】
1、函数零点的定义
(1)对于函数
y?f(x)
,我们把方程
f
(x)?0
的实数根叫做函数
y?f(x)
的零点。
(2)
方程
f(x)?0
有实根
?
函数
y?f(x)
的图像与x轴
有交点
?
函数
y?f(x)
有零点。因此判断
一个函数是否有零点,
有几个零点,就是判断方程
f(x)?0
是否有实数根,有几个实数根。函数零点的
求
法:解方程
f(x)?0
,所得实数根就是
f(x)
的零点
(3)变号零点与不变号零点
①若函数
f(x)
在零点
x
0
左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数
f(x)
的变号零点。
②若函
数
f(x)
在零点
x
0
左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数<
br>f(x)
的不变号零点。
③若函数
f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图像是一条连续的曲线,则
f(a)f(b)?0
是
f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点的
充分不必要条件。
2、函数零点的判定
(1)零点存在性定理:如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的曲线,并且有
f(a)?f(b)?0
,<
br>那么,函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点
,即存在
x
0
?(a,b)
,使得
f(x
0
)?0
,这个
x
0
也就是方程
f(x)?0
的根。
(2
)函数
y?f(x)
零点个数(或方程
f(x)?0
实数根的个数)确定方法
①
代数法:函数
y?f(x)
的零点
?
f(x)?0
的根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
y?
联系起来,并利用函数的性质找
出零点。
(3)零点个数确定
??0?
y?f(x)
有2个零点
?
f(x)?0
有两个不等实根;
f(x)
的图象
??0?<
br>y?f(x)
有1个零点
?
f(x)?0
有两个相等实根;
??0?
y?f(x)
无零点
?
f(x)?0
无实根;对于二次函数
在区间
?
a,b
?
上的零点个数,要结合图像进
行确定.
4、 二分法
(1)二分法的定义:对于在区间
[a,b]
上连续不断且<
br>f(a)?f(b)?0
的函数
y?f(x)
,通过不断地把函数
y?
f(x)
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫
做二分法;
(2)用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间
[a,
b]
,验证
f(a)?f(b)?0
,给定精确度
?
;
②求区间
(a,b)
的中点
c
;
③计算
f(c)
;
(ⅰ)若
f(c)?0
,则
c
就是函数的零点;
(ⅱ) 若
f(a)?f(c)?0
,则令
b?c
(
此时零点
x
0
?(a,c)
);
(ⅲ) 若
f(c)?f
(b)?0
,则令
a?c
(此时零点
x
0
?(c,b));
④判断是否达到精确度
?
,即
a?b?
?
,则得
到零点近似值为
a
(或
b
);否则重复②至④步.
【经典例题】
【例1】
函数
f(x)=2+x?2
在区间
(0,1)
内的零点个数是 (
)
A、0 B、1 C、2
D、3
【答案】B
【解析】解法1:因为
x3
f(0)=1+0?2=?
1
,
f(1)=2+2
3
?2=8
,即
f(0)?f(1)
<0
且函数
f(x)
在
(0,1)
内连续不断,故
f(x)
在
(0,1)
内的零点个数是1.
解法2:设
y
1
=2
,
y
2
=2?x
,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示
:可知B正确.
x
3
【例2】 函数
f(x)=2
x
+3x的零点所在的一个区间是 ( )
A、(-2,-1) B、(-1,0)
C、(0,1)
D、(1,2)
【答案】B
5
【解析】∵
f(-1)=2
-
1
+3×(-1)=-
2
<0,
f(0)=2
0
+0=1>0,
∴ f(-1) f(0)<0.
∴ f(x)=2
x
+3x的零点所在的一个区间为(-1,0).
【例
3
】若函数
f(x)?
a
x
?x?a
(
a?0
且
a?1
)
有两个零点,则实数
a
的取值
范围是
.
【答案】
(1,??)
【解析】?
函数
f(x)
=
a
x
?x?a
(
a?0
且
a?1
)
有两个零点,
?
方程
a
x
?x?a?0
有两个不相
x
等的实数根,即两个函数
y?a
与
y?x?a
的图像有两个不同的交点,当
0?a?1
时,两个函
数的图像有且仅有一个交点,不合题意;当
a?1
时,两个函数的图像有两个交点,满足题意<
br>.
【例4】设函数f(x)
(x?R)
满足f(
?x
)=f
(x),f(x)=f(2
?
x),且当
x?[0,1]
时,f(x)=x<
br>3
.又函数g(x)=
|xcos
(
?
x)
|,则
函数h(x)=g(x)-f(x)在
[?
13
,]
上的零点个数为
( )
22
A、5 B、6
C、7 D、8
【答案】B
【解析】因为当
x?[0,1]
时,f(x)=x
3
. 所以当
x?[1,2]
时
,
(2?x)?[0,1]
,
f(x)?f(2?x)?(2?x)
, 当
x?[0,]
时,
g(x)?xcos(
?
x)
;当
x?[,]
时,
g(x)??xcos(
?
x)
,注意到函
数f(x)、 g(x)
3
1
2
13
22
13
22
1113
除了0、1这两个零点之外,分别在区间
[?,0]、[0,]、[,1]、
[1,]
上各有一个零点,共有6个零点,
2222
都是偶函数,且f(0)=
g(0), f(1)= g(1),
g()?g()?0
,作出函数f(x)、
g(x)的大致图象,函数h(x)
故选B
【例5】函数
f(x)?xcosx
在区间[0,4]上的零点个数为 (
)
A、4 B、5
【答案】C
C、6
D、7
2
π
【解析】:f(x)=0,则x=0或cosx
2
=0
,x
2
=kπ+
,k∈Z,又x∈[0,4],k=0,1,2,3,4,所以共有6个解.选C.
2
【例6】函数
f(x)?x?cosx
在
[0,??)
内
( )
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点
D、有无穷多个零点
【答案】B
【解析】解法一:数形结合法,令
f(x)?x?
cosx
?0
,则
x?cosx
,设函数
y?x
和
y?cosx
,
x?cosx
它们在
[0,??)
的图像如图所示,
显然两函数的图像的交点有且只有一个,所以函数
f(x)?
在
[0,??)
内有且仅有一个零点;
解法二:在
x?[
?
2
,??)
上
,
x?1
,
cosx?1
,所以
f(x)?x?cosx
?
0
;
1
2x
?sinx?0
,所以函数
f(x)?x?c
osx
是增函数,又因为
f(0)??1
,在
x?(0,
?
2
]
,
f
?
(x)?
f()?
2
???0
,所以
f(x)?x?cosx
在
x?[0,]
上有且只有
一个零点.
2
2
?
?
?
a,a-b≤1,
【例7
】对实数a和b,定义运算“?”:a?b=
?
设函数f(x)=(x
2
?<
br>?
b,a-b>1.
-2)?(x-x
2
),x∈R,若函
数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则
实数c的取值范围是 ( )
3
?
3
???
???
A、(-∞,-2]∪
-1,
2
B、(-∞,-2]∪
-1,-
4
?
????
1
??
13
??
1
????
C、
?
-1,
4
?
∪
?
4
,+∞
?
D、
?
-1,-
4
?
∪
?
4
,+∞
?
????????
【答案】B
【解析】f(x)=<
br>?
x
2
-2,x
2
-2-
(
x-x
2
)
≤1,
?
22
?
x-x
,x-2-
(
x-x
2
)
>1
=
3
2
?<
br>?
x
-2,-1≤x≤
2
,
?
3
2
?
x-x
,x<-1,或x>
?
2
,
则f
(
x
)
的图象如图
∵ y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,
∴ y=f(x)与y=c的图象恰有两个公共点,
3
由图象知c≤-2,或-1
.
【例8】已知函数f(x)
=
log
a
x?x?b(a>0,且a?1).
当2<
a<3<b<4时,函数
f(x)
的零点
x
0
?(n,n?1),n?N
*
,则n=
.
【答案】5
【解析】方程
log
a
x?x?b(a>0,且a
?1)
=0的根为
x
0
,即函数
y?log
a
x(
2?a?3)
的图象与函数
y?x?b(3?b?4)
的交点横坐标为
x0
,且
x
0
?(n,n?1),n?N
*
,结合图象,
因为当
x?a(2?a?3)
时,
y?1
,此时对应直线上
y?1<
br>的点的横坐标
x?1?b?(4,5)
;当
y?2
时, 对数函数y?log
a
x(2?a?3)
的图象上点的横坐标
x?(4,9),直线
y?x?b(3?b?4)
的图象上点的横坐标
x?(5,6)
,
故所求的
n?5
.
【例9】求下列函数的零点:
(1)
f(x)?x
3
?2x
2
?x?2
;
(2)
f(x)?x?
.
【答案】(1)2,1,-1.(2)2,-2.
4
x
【解析】(1)由
x
3
?2x
2
?x
?2?0,
故函数的零点是2,1,-1.
4x
2
?4
?0,
(2)
由x??0,得
xx
故函数的零点是2,-2.
【例10】
判断函数y=x
3
-x-1在区间[1,]内有无零点,如果有,求出一个
近似零点(
精确度.
【答案】 5
【解析】 因为f(1)=-1<0,f=>0,且
函数y=x
3
-x-1的图象是连续的
曲线,所以它在区间[1,]内有零点,用二分
法逐次计算,列表如下:
区间
(1,
,
,
5,
中点值
5
75
中点函数近似
值
-
-
由于|- 5|= 5<,
所以函数的一个近似零点为 5.
【课堂练习】
1、在下列区间中,函数
f(x)?e
x
?4x?3
的零点所在的区间为 ( )
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
13
(,)
24
1
4
1
4
11
42
2、若
x
0
是方程
lgx?x?2
的解,则
x
0
属于区间
( )
A、
(0,1)
B、
(1,1.25)
C、
(1.25,1.75)
D、
(1.75,2)
3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
4、函数f
?
x
?
=2+3x的零点所在的一个区间是 (
)
x
A.(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
5、设函数f
?
x
?
=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中
函数f
?
x
?
不存在零点的是 ( )
A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2]
D、[2,4]
6、函数
f
?
x
?
=
x
-
cosx
在[0,
??
﹚内 ( )
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7、若函数
f(x)
的零点与
g(x)?4
x
?2x?2<
br>的零点之差的绝对值不超过,则
f(x)
可以是( )
A、
f(x)?4x?1
B、
f(x)?(x?1)
2
C、
f(x)?e
x
?1
D、
1
f(x)?ln(x?)
2
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A、
f(x)?x
3
?8
B、
f(x)?lnx?3
C、
f(x)?x
2
?22x?2
D、
f(x)??x
2
?4x?1
9、函数f(x)=log
2
x+2x-1的零点必落在区间 ( )
A、
?
,
?
10、
lgx?
?
11
?
?
84
?
B、
?
,
?
?
11
?
?
42
?
C、
?
,1
?
?
1
?
?
2
?
D、(1,2)
1
?0
有解的区域是 ( )
x
A、
(0,1]
B、
(1,10]
C、
(10,100]
D、
(100,??)
11、在下列区间中,函数
f(x)?e
x
?4x?3
的零点所在的区间为
( )
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
(,)
12、函数
f(
x)?
?
x?log
2
x
的零点所在区间为( )
A、
[0,
1
4
1
4
11
42
1324
1
]
8
x
B、
[
11
,]
84
x
C、
[
11
,]
42
D、
[
1
,1]
2
13、设
f
?
x
?
?3?3x?8
,用二分法求方程
3?3x?8
?0在x?
?
1,2
?
内近似解的过程中得
f
?
1
?
?0,f
?
1.5
?
?0,f
?
1.2
5
?
?0,
则方程的根落在区间( )
A、
(1,1.25)
B、
(1.25,1.5)
C、
(1.5,2)
D、不能确定
14、设函数
f(x)?4sin(2x?1)?x
,则在下列区间中
函数
f(x)
不存在零点的是( )
.
A、
?
?4,?2
?
B、
?
?2,0
?
C、
?
0,2
?
D、
?
2,4
?
?
x
2
?2x?3,x
?0
15、函数
f(x)?
?
, 零点个数为( )A、3
B、2 C、1 D、0
?
?2?lnx,x?0
32
16、若函数
f(x)?x?x?2x?2
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考
数据如下:
f (1) = -2
f = -
f =
f =
f = -
f = -
那么方程
x
3
?x2
?2x?2?0
的一个近似根(精确到)为 ( )
A、
B、1.3 C、 D、
17、方程
2
?x
?x
2
?3
的实数解的个数为
.
22
18、已知函数
f(x)?x?(a?1)x?a?2
的一个零点比
1大,一个零点比1小,求实数
a
的取值范围。
2
f(x)?4x?x2
?x
3
在区间
[?1,1]
上零点的个数,并说明理由。
3
20 、求函数
f(x)?x
3
?2x
2
?3x
?6
的一个正数零点(精确度.
19、判断函数
【课后作业】
1、下列函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是
( )
2、设
f(x)?3
x
?x
2
,则在下列区间中,使函数<
br>f(x)
有零点的区间是
( )
A、[0,1]
B、[1,2] C、[-2,-1] D、
[-1,0] <
br>3、已知
f(x)
唯一的零点在区间
(1,3)
、
(1,4)
、
(1,5)
内,那么下面命题错误的 ( )
A、函数
f(x)
在
(1,2)
或
?
2,3
?
内有零点
B、函数
f(x)
在
(3,5)
内无零点
C、函数
f(x)
在
(2,5)
内有零点
D、函数
f(x)
在
(2,4)
内不一定有零点
4、若函数
f(x)?x?3x?a
有3个不同的零点,则实数
a
的取值范围是
A、
3
( )
?
?2,2
?
B、
?
?2,2
?
C、
?
??,?1
?
D、
?
1,??
?
5、函数
f(x)?x?lnx
的零点所在的区间为 ( )
A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2)
D、(1,e)
6、求函数
f(x)?2x?3x?1
零点的个数为 (
)
A、
1
B、
2
C、
3
D、
4
7、如果二次函
数
y?x?x?m?3
有两个不同的零点,则
m
的取值范围是
( )
A、
(
2
3
11111111
,??)
B、
(??,)
C、
(??,)
D、
(,??)
4242
8、方程
lgx?x?0
根的个数为 ( )
A、无穷多 B、
3
C、
1
D、
0
9、用二分法求方程
f(x)?0
在(1,2)内近似解的
过程中得
f(1)?0,f(1.5)?0,f(1.25)?0
f(1)<0,则方程的根在
区间 ( )
A、, B、(1,
C、,2) D、不能确定
1
10、设函数f(x)=
3
x-lnx(x>0),则y=f(x)
( )
?
1
??
1
?
????
,(1,
,1,1
A、在区间
e
,(1,e)内均有零点
B、在区间
e
????
e)内均无零点
?
1
??
1
?
???
C、在区间
e
,1
内有零点,在区间(1,e)
内无零点 D、在区间
e
,1
?
内
????
无零点,在区间(1,e)内有零点
11、设函数
f(x)?lnx?x
2
?1(x?0)
,则函数
y?f(x)
( )
A、在区间(0,1),(1,2)内均有零点
B、在区间(0,1)内有零点,在
区间(1,2)内无零点
C、在区间(0,1),(1,2)内均无零点
D、在区间(0,1)内无零点,在
区间(1,2)内有零点
12、用二分法研究函数
1
2
f(x)?x
3
?3x?1
的零点时,第一次经计算
f(0)?0,f(0.5)?0
,可得其中一个零
点
x
0
?
, 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )
A、(0,),
f(0.25)
B、(0,1),
f(0.25)
C、(,1),
f(0.75)
D、(0,),
f(0.125)
13、函数
f(x)?2<
br>x
?x
3
?2
在区间(0,1)内的零点个数是 ( )
A、0 B、1 C、2
D、3
14、(已知函数
f(x)?log
a
x?x?b(a?0,且a?
1).
当
2?a?3?4
是,函数
f(x)
的零
点
x
0
?(n,n?1),n?N
*
,
则n=
.
15、用二分法求函数
y?f(x)
在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)
·f(4)<0,给
2+4
定精确度ε=,取区间(2,4)的中点x
1
=<
br>2
=3,计算得f(2)·f(x
1
)<0,则
此时零点x
0
∈________.
16、已知函数 f(x)=
{
2
x
-1,x>0,-x
2
-2x,x≤0,
若函数 g(x)=
f(x)
-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.
17、函数
f(x)?x?5x?6
的零点组成的集合是 .
18、用“二分法”求方程
x
根的区间是
19、函数
f(x)?lnx?x?2
的零点个数为 .
32
?2x?5?0
在区间
[2,3]
内的实根,取区间中点为
x
0
?2.5
,那么下一个有
20、证明方程6-3x=2
x
在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数
解(精确度.
函数与方程【参考答案】
【课堂练习】
1-16、CDCBA BACCB
CCBABC
17、2
18、解:设方程
x?(a?1)x?a?2?0
的两根分别为
x
1
,x
2
(x
1
?x
2<
br>)
,
22
则
(x
1
?1)(x2
?1)?0
,所以
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)?1?0
由韦达定理得
a?2?(a?1)?1?0
,
即
a?a?2?0
,所以
?2?a?1
19、解:因为<
br>所以
2
2
f
?
?1
?
??4?1?
27213
???0
,
f
?
1
?
?4?1???0
3333
f
?
x
?
在区间
[?1,1]
上有零点
2
'2
91
??
又
f
?
x
?
?4?2x?2x??2
?
x?
?
22<
br>??
当
?1?x?1
时,
0?f
'
?
x?
?
9
2
所以在
[?1,1]
上单调递增函
数,所以
f
?
x
?
在
[?1,1]
上有且只有一个
零点。
20、解 由于
f(1)??6?0,f(2)?4?0
,
可取区间
(1,2)作为计算的初始区间,
用二分法逐次计算,列表如下:
区间
(1,2)
,2)
,
,
5,
中点
5
75
中点函数值
-
4
- 7
- 8
- 7
由于|- 5|= 5<,
所以可将
5作为函数零点的近似值.
【课后作业】
1-13、BDCAB CCDAD AAB
14、2
15、(2,3)
16、 (0,1)
17、
{2,3}
18、
[2,2.5)
19、2
20、证明 设函数f(x)=2
x
+3x-6,
∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,
又∵f(x)是增函数,所以函
数f(x)=2
x
+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零
点,
则方程6-3x=2
x
在区间[1,2]内有唯一一个实数解.
设该解为x
0
,则x
0
∈[1,2],
取x
1
=,f=>0,f(1)·f<0,
∴x
0
∈(1,,
取x
2
=,f=>0,
f(1)·f<0,∴x
0
∈(1,,
取x
3
=,f=-<0,
f·f<0,∴x
0
∈,,
取x
4
= 5,f 5)=-<0,
f 5)·f<0,
∴x
0
∈ 5,.
∵|- 5|= 5<,
∴
5可以作为这个方程的实数解.
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