高中数学——函数的周期性

高中数学——函数的周期性
一、知识回顾
1．
周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值
时，都有f(x＋T)＝f(x )，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．
最小正周期：如果 在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数就叫做f(x)的最小正周期 ．

3．关于函数周期性常用的结论
(1)若满足
f(x＋a)＝－f?
x
?
，则
f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a＝－]f(x＋a＝) f
?
x
?
，所
以
2a
是函数的一个周期(
a?0
)；
(2)若满足
f(x＋a)＝
1
1
2a)＝f [(x＋a)＋a]＝
，则
f(x＋
＝
f(x)
，所以
f (x)
f(x?a)
2a
是函数的一个周期(
a?0
)；
(3)若函数满足
f(x?a)＝-
1
，同理可得
2a
是函数的一个 周期(
a?0
).
f(x)
（4）如果
y?f(x)
是 R上的周期函数，且一个周期为T，那么
f(x?nT)?f(x)(n?Z)
．
（5）函数图像关于
x?a,x?b
轴对称
?T?2(a?b)
．
（6）函数图像关于
?
a,0
?
,
?
b,0
?
中心对称
?T?2(a?b)
．
（7）函数图像关于
x?a< br>轴对称，关于
?
b,0
?
中心对称
?T?4(a?b)
．
二、方法规律技巧
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx＋φ)，用公式
2π
T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f (x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以
|ω|
周期T＝2a .换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周 期
T＝2a．

2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便 可证明函数是周期函数，且周期为T，函
数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
3．根据 函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，
要注意结论：若T是函 数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

4.关于奇偶性、单调性、周 期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的
问题转化为已知区间上的问题，体现了转 化思想．
三、例题讲解：
1、设定义在
R
上的函数
f
?
x
?
满足
f
．
_f
?
99_
?
?______
2、已知f（x）是R上的奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f （2）成立，若f（﹣1）=
﹣2，则f（2013）等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2013
3、定义在R上的函数的图象关于点< br>?
?
?
x
?
?f
?
x?2
?
?201
，
2
若
f
?
1
?
?2
，则
?
3
?
,0
?
成中心对称，且对任意的实数x都有f( x)＝－
?
4
?
f
?
x?
?
?
3
?
?
，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2013 )＝( )
2
?
A．0 B．－2
C．1 D．－4
4、已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为2，且当－1 2
.若直线y＝－
x＋a与曲线y＝f(x)恰有2个交点，则实数a的所有可能取值构成的集 合为( )
35
或2k＋，k∈Z}
44
13
B．{a|a＝2k－或2k＋，k∈Z}
44
5
C．{a|a＝2k＋1或2k＋，k∈Z}
4
A．{a|a＝2k＋
D．{a|a＝2k＋1，k∈Z}
?
a x?1,?1?x?0
?
5、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1] 上，f(x)＝
?
bx?2
，
,0?x?1
?
?
x ?a
其中a，b∈R.若f
?





?
1
??
3
?
?
＝f
??
，则a＋3b的 值为________．
2
???
2
?

四、新题变式探究
【变式一】已知定义在R上的函数
f
?
x
?
满足条件；①对任意的
x?R
，都有
f
?
x?4
?
?f
?
x
?
；②对任意的
x
1
,x< br>2
?
?
0,2
?
且x
1
?x
2，都有f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
；③函数
f
?
x?2
?
的图象关于y轴对称.则下列结 论正确的是( )
A.
f
?
7
?
?f
?< br>6.5
?
?f
?
4.5
?
B.
f< br>?
7
?
?f
?
4.5
?
?f
?6.5
?

C.
f
?
4.5
?
?f< br>?
6.5
?
?f
?
7
?
D.
f
?
4.5
?
?f
?
7
?
?f
?
6.5
?

【变式二】设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函 数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域
为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上 的值域为 .
【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值 问题是解
题关键．
五、易错试题常警惕
k－2
x
易错典例1：若 函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
1＋k·2
x
易错典例2：定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若
将方程f (x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为
A．0 B．1 C．3 D．5
( )
【变式】设
f
?
x
?< br>是连续的偶函数，且当
x?0
时，
f
?
x
?
是单调函数，则满足
f(x)?f(
x?3
)
的所有
x
之和 为
x?4
( )
A．－3 B．3 C．－8 D．8
练习：A基础测试
1.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】设函数
f?
x
?
是定义在
R
上的偶函数，当
x?0
时，
f
?
x
?
?2?1
.若
f
?
a< br>?
?3
，则实数
a
的值为 .
x2.
【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数

①< br>y?xcosx
②
y?sin
2
x
③
y?x
2
?x
④
y?e
x
?e
?x
，其中是奇函数的是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④
3.
【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知
y?f(x)
是定义在
R
上的偶函数，且在
[0,??)
上 单调递增，则满足
f(m)?f(1)
的实数
m
的范
围是 ．
4.
【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】
f(x )?tanx?sinx?1
，
若
f(b)?2
，则
f(?b)?< br> （ ）
A. 0 B. 3 C. -1 D. -2
5.
【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知偶函数
f (x)
对任意
x?R
均满足
f(2?x)?f(2?x)
，且当?2?x?0
时，
f(x)?log
3
(1?x)
，则
f(2014)
的
值是 .
B能力提升训练
1. 【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数
y?f(x)
是周期为2的周< br>期函数，且当
x?[?1,1]
时，
f(x)?2
|x|
?1
，则函数
F(x)?f(x)?|lgx|
的零点个数是
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2.
【山西省 忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定义
在R上的奇函数
y?f(x)
满足
f(3)?0
，且不等式
f(x)??xf
?< br>(x)
在
(0,??)
上恒成立，
则函数
g(x)
=
xf(x)?lgx?1
的零点的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3.
【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】奇函数
f
?
x
?
满足对任意
x?R
都有
f
?
x?2
?
??f
?
x
?
成立，且
f
?
1
?
?8
，则
f(2012)?f(2013)?f(2014)
的值为
（ ）
A． 2 B． 4 C． 6
4.
【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理 试题】已知函数
f(x)
是定义在
D． 8

(??,??)
上的奇函数，若对于任意的实数
x?0
，都有
f(x?2)?f(x)
，且当
x?
?
0,2
?
时，
f(x)?log
2
(x?1)
，则
f(?2011)?f(2012)
的值为 （ ）
A
.
?1

B.

?2

C.

2

D.
1

5．
【2014届山东省日照市高三校际联考】已函数f
?
x
?
是定义在
?
?1,1
?
上的 奇函数,在
[0,1]
上时
f
?
x
?
?2?ln< br>?
x?1
?
?1

x
（Ⅰ）求函数
f
?
x
?
的解析式;
（Ⅱ）解不等式
f(2x?1)?f(1?x
2
)?0
．
C思维扩展训练
1. 【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已知
y? f(x)
是定义在R上周期为4的
奇函数，且
0?x?2
时，
f(x )?x
2
?2x
则
10?x?12
时，
f(x)
= _________________
2.
【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数 学（理）】已知函数f(x)是定义在R上的偶函
数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)． 当0≤x≤1时，f(x)＝x
2
.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)
的图像在[ 0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )
1111
A．0 B．0或－ C．－或－ D．0或－
2424
3.
定义在
R
上的奇函数
f(x)
，满足
f(x?3)?f(x)
，
f(2)?0
，则函数
y?f(x)
在区间
?
0,6< br>?
内
零点个数的情况为（ ）
A．
2
个 B．
4
个 C．
6
个 D．至少
6
个
4.
已知定义在R上的函数
y?f(x)
对任意的
x
都满足
f(x?1)??f(x)
，当
?1≤x＜1 时，

f(x)?x
3
，若函数
g(x)?f(x)?log
a
x
至少6个零点，则
a
的取值范围是 ．
5.
【2014届上海市青浦区高三上学期末】定义在R上的奇函数
f(x)有最小正周期4，且
2
x

x?
?
0,2
?< br>时，
f(x)?
x
4?1
（1）判断并证明
f(x)
在
?
0,2
?
上的单调性，并求
f(x)
在
??2,2
?
上的解析式；
（2）当
?
为何值时，关于
x
的方程
f(x)?
?
在
?
2,6
?
上有 实数解？