高中数学函数大题(含详细解答)

高中函数大题专练
２、对定义在
[0,1]
上，并且同时满足以下两 个条件的函数
f(x)
称为
G
函数。
① 对任意的
x?[0,1]
，总有
f(x)?0
；
② 当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2
?1时，总有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f (x
2
)
成立。
已知函数
g(x)?x
与
h(x )?a?2?1
是定义在
[0,1]
上的函数。
（1）试问函数
g(x)
是否为
G
函数？并说明理由；
（2）若函数
h(x)
是
G
函数，求实数
a
的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程
g(2?1)?h(x)?m
(m?R)
解的个数情况。




x
2x
1
.
2
|x|
（1）若
f(x)?2
，求
x
的值；
3.已知函数
f(x )?2
x
?
（2）若
2
t
f(2t)?mf(t)?0对于
t?[2,3]
恒成立，求实数
m
的取值范围.




?1
?
1?,
x?0;
4.设函数
f(x)
是定义在
R
上的偶函数.若当
x?0
时，
f(x)?
?

x
?
0,
x?0.
?
（1 ）求
f(x)
在
(??,0)
上的解析式.
（2）请你作出函数
f(x)
的大致图像.
（3）当
0?a?b< br>时，若
f(a)?f(b)
，求
ab
的取值范围.
（4）若 关于
x
的方程
f(x)?bf(x)?c?0
有7个不同实数解，求
b,c
满足的条件.



5．已知函数
f(x)?a?
2
b
(x?0)
。
|x|
（1）若函数
f(x)
是
(0,??)
上的增函数，求实数< br>b
的取值范围；
（2）当
b?2
时，若不等式
f(x )?x
在区间
(1,??)
上恒成立，求实数
a
的取值范围；
（3）对于函数
g(x)
若存在区间
[m,n](m?n)
， 使
x?[m,n]
时，函数
g(x)
的值域也是
[m,n]
，
则称
g(x)
是
[m,n]
上的闭函数。若函数
f(x)
是某区间上的闭函数，试探求
a,b
应满足
的条件。

6、设
f(x)?




ax< br>2
?bx
，求满足下列条件的实数
a
的值：至少有一个正实数
b
，使函数
f(x)
的
定义域和值域相同。
7．对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使< br>f(x
0
)?x
0
成立，则称点
(x
0
,x
0
)
为函数的不动点。
（1）已知函数
f(x)?ax?bx?b (a?0)
有不动点（1，1）和（-3，-3）求
a
与
b
的值；
（2）若对于任意实数
b
，函数
f(x)?ax?bx?b(a?0)
总有两个相异的不动点，求
a
的取值
范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数
g(x)
存在（有限的）
n
个不动点，求证：
n
必为奇数。




8．设 函数
f(x)?x?
2
2
1
，(x?0)
的图象为
C
1
、
C
1
关于点A（2，1）的对称的图象为
C
2
，
C
2
对
x
应的函数为
g(x)
.
（1）求函数
y?g(x)
的解析式；
（2）若直线
y?b
与
C
2
只有一个交点，求
b
的值并求出交点的坐标.




9．设定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件：
①对于任意正实数
a
、
b
，都有
f(a?b)?f(a)? f(b)?1
；
②
f(2)?0
；
③当
x?1
时，总有
f(x)?1
.
（1）求
f(1)及f()
的值；
（2）求证：
f(x)在(0,??)
上是减函数.
1
2

10． 已知函数
f(x)
是定义在
?
?2,2
?
上的奇函数，当
x?[?2,0)
时，
f(x) ?tx?
（1）求函数
f(x)
的解析式；
1
3
。 x
（
t
为常数）
2
（2）当
t?[2,6]
时 ，求
f(x)
在
?
?2,0
?
上的最小值，及取得最小值时 的
x
，并猜想
f(x)
在
?
0,2
?
上的 单调递增区间（不必证明）；
（3）当
t?9
时，证明：函数
y?f(x)
的图象上至少有一个点落在直线
y?14
上。




11.记函数
f
?
x
?
?2?
x?7< br>的定义域为
A
，
g
?
x
?
?lg
?
?
2x?b
??
ax?1
?
?
?
b?0, a?R
?
的定义域
x?2
为
B
，
（1）求
A
：
（2）若
A?B
，求
a
、
b
的取值范围





a
x
?1
?
a?0,a?1
?
。 12、设
f
?
x
?
?
1?a
x
?1
（1）求f
?
x
?
的反函数
f
?
x
?
：
?
x
?
在
?
1.??
?
上的单 调性，并加以证明：
（3）令
g
?
x
?
?1?loga
x
，当
?
m,n
?
?
?
1,??< br>??
m?n
?
时，
?
g
?
n
?,g
?
m
?
?
，求
a
的取值范围。
（2）讨论
f
?1
f
?1
?
x
?
在?
m,n
?
上的值域是




13．集合A是由具备下列性质的函数
f(x)
组成的：
(1) 函数
f(x)
的定义域是
[0,??)
；
(2) 函数
f(x)
的值域是
[?2,4)
；
(3) 函数
f(x)
在
[0,??)
上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数
f
1
(x)?x?2(x?0)
，及
f
2
(x)?4?6?()
x
(x?0)
是否属于集合A？并简要说
明理 由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数
f(x)
，不等式
f(x )?f(x?2)?2f(x?1)
，是否
对于任意的
x?0
总成立？若不成 立，为什么？若成立，请证明你的结论．



14、设函数f(x)=a x+bx+1（a,b为实数）,F(x)=
?
2
1
2
?
f (x)(x?0)

?
?f(x)(x?0)

（1）若f(- 1)=0且对任意实数x均有f(x)
?0
成立，求F(x)表达式。
（2）在（1 ）的条件下,当x
?
?
?2,2
?
时,g(x)=f(x)-kx是 单调函数,求实数k的取值范围。
（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为 偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。








15．函数f(x)=
x
(a，b是非零实常数)，满足f(2 )=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
ax?b
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

函数大题专练答案
２、对定义在
[0,1]< br>上，并且同时满足以下两个条件的函数
f(x)
称为
G
函数。
① 对任意的
x?[0,1]
，总有
f(x)?0
；
② 当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2?1
时，总有
2x
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
成立。
已知函数
g(x)?x
与
h(x)?a?2?1
是定义在
[0,1]
上的函数。
（1）试问函数
g(x)
是否为
G
函数？并说明理由；
（2）若函数
h(x)
是
G
函数，求实数
a
的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程
g(2?1)?h(x)?m
(m?R)
解的个数情况。
解：（1） 当
x?
?
0,1
?
时，总有
g(x)?x?0
，满足①，
2
x
当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2
?1< br>时，
g(x
1
?x
2
)?x
1
2
?x
2
2
?2x
1
x
2
?x
1
2
?x
2
2
?g(x
1
)?g(x
2
)，满足
（2）因为h（x）为G函数，由①得，h(0)
?0
,由②得，h (0+0)
?
h(0)+h(0)
所以h(0)=0,即a-1=0,所以a=1；
（3）根据（２）知： a=1，方程为
4
x
?2
x
?m
，
?
0?2
x
?1?1
由
?
得
x?[0,1]

?
0?x?1< br>1
2
1
x
2
令
2?t?[1,2]
，则m?t?t?(t?)?

24
由图形可知：当
m?[0,2]
时，有一解；
当
m?(??,0)?(2,??)
时，方程无解。
７．对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使< br>f(x
0
)?x
0
成立，则称点
(x
0
,x
0
)
为函数的不动点。
（1）已知函数
f(x)?ax?bx?b (a?0)
有不动点（1，1）和（-3，-3）求
a
与
b
的值；
（2）若对于任意实数
b
，函数
f(x)?ax?bx?b(a?0)
总有两个相异的不动点，求
a
的取值
范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数
g(x)
存在（有限的）
n
个不动点，求证：
n
必为奇数。
解：（1）由不动点的定义：
f(x)?x ?0
，∴
ax?(b?1)x?b?0

代入
x?1
知a?1
，又由
x??3
及
a?1
知
b?3
。∴
a?1
，
b?3
。
（2）对任意实数
b
，f(x)?ax?bx?b(a?0)
总有两个相异的不动点，即是对任意的实数
b
，
方程
f(x)?x?0
总有两个相异的实数根。
∴
ax?(b?1)x?b?0
中
??(b?1)?4ab?0
，
即
b?(4a?2)b?1?0
恒成立。故
?
1
?(4a? 2)?4?0
，∴
0?a?1
。
故当
0?a?1
时，对任 意的实数
b
，方程
f(x)
总有两个相异的不动点。 ………...................1’
22
22
2
2
2
2

（3）
g(x)
是R上的奇函数，则
g(0) ?0
，∴（0，0）是函数
g(x)
的不动点。
若
g(x)
有异于（0，0）的不动点
(x
0
,x
0
)
，则
g(x
0
)?x
0
。
又
g(?x
0
)? ?g(x
0
)??x
0
，∴
(?x
0
,?x
0
)
是函数
g(x)
的不动点。
∴
g(x)
的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，
所以有2k
个（
k?N
），加上原点，共有
n?2k?1
个。即
n
必为奇数
８．设函数
f(x)?x?
1
，(x? 0)
的图象为
C
1
、
C
1
关于点A（2，1）的对 称的图象为
C
2
，
C
2
x
对应的函数为
g (x)
. （1）求函数
y?g(x)
的解析式；
（2）若直线y?b
与
C
2
只有一个交点，求
b
的值并求出交点的坐 标.
解．（1）设
p(u,v)
是
y?x?
11
上任意一 点，
?v?u?
①
x
u
设P关于A（2，1）对称的点为
Q(x,y),?
?
代入①得
2?y?4?x?
?
u?x? 4
?
u?4?x

?
?
v?y?2v?2?y
??
11

?y?x? 2?
4?xx?4
?g(x)?x?2?
1
(x?(??,4)?(4,?? ));

x?4
?
y?b
?
2
（2）联立
?
1
?x?(b?6)x?4b?9?0,

y?x?2 ?
?
x?4
?
???(b?6)
2
?4?(4b?9)?b
2
?4b?0?b?0
或
b?4,

（1）当
b?0
时得交点（3，0）； （2）当
b?4
时得交点（5，4）.
9．设定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件：
①对于任意正实数
a
、
b
，都有
f(a?b)?f(a)? f(b)?1
；
②
f(2)?0
；③当
x?1
时，总有
f(x)?1
.
（1）求
f(1)及f()
的值；（2）求证：
f(x)在(0,?? )
上是减函数.
解（1）取a=b=1，则
f(1)?2f(1)?1.故f(1)?1
又
f(1)?f(2?
1
)?f(2)?f(
1
)?1
. 且
f(2)?0
.
22
1
2
得：
f(
1
)?f(1)?f(2)?1?1?1?2

2

（2）设
0?x
1
?x
2
,
则：
f(x
2
)?f(x
1
)?f(
x
2
?x
1
)?f(x1
)?[f(
x
2
)?f(x
1
)?1]
?f (x
1
)

x
1
x
1
?f(
x< br>x
2
)?1
依
0?x
1
?x
2
,可得
2
?1

x
1
x
1
x
2
)?1

x1
再依据当
x?1
时，总有
f(x)?1
成立，可得
f (
即
f(x
2
)?f(x
1
)?0
成立，故
f(x)在(0,??)
上是减函数。
10． 已知函数
f(x)
是定义 在
?
?2,2
?
上的奇函数，当
x?[?2,0)
时，f(x)?tx?
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）当
t?[2,6]
时，求
f(x)
在
?
?2,0
?
上 的最小值，及取得最小值时的
x
，并猜想
f(x)
在
?
0, 2
?
上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当
t?9
时，证明： 函数
y?f(x)
的图象上至少有一个点落在直线
y?14
上。
1
3
。
x
（
t
为常数）
2
11
(? x)
3
??tx?x
3
， ∵函数
f(x)
22
1
3
1
3
是定义在
?
?2,2
?
上的奇函数 ，即
f
?
?x
?
??f
?
x
?
， ∴
?f
?
x
?
??tx?x
，即
f(x)?tx?x
，
22
1
3
又可知
f
?
0
?
?0
，∴函数
f(x)
的解析式为
f(x)?tx?x
，
x?
?
?2,2
?
； < br>2
解：（1）
x?
?
0,2
?
时，
?x?< br>?
?2,0
?
， 则
f(?x)?t(?x)?
（2）f
?
x
?
?x
?
t?
?
?
1
2
?
1
x
?
，∵
t?[2,6]
，
x?
?
?2,0
?
，∴
t?x
2
?0
，
2
?
2
3
∵
?
f
?
x
?
?
2
11
??
2
2
x?t?x
2
?t?x
2
??
3
1
2
?
?
8t
1
2
?
22
?
??x
?
t?x
?
?
，∴
x
2
?t?x
2
，
327
?< br>2
?
2
?
?
??
??
即
x?2
6t26
2t6t
(??
?
?2,0
?
)< br>时，
f
min
??tt
。
,x??
39
33
猜想
f(x)
在
?
0,2
?
上的单调递增区间 为
?
0,
?
?
6t
?
?
。
3< br>?
（3）
t?9
时，任取
?2?x
1
?x
2
?2
，∵
?
1
22
?
f
?
x1
?
?f
?
x
2
?
?
?
x< br>1
?x
2
?
?
t?x
1
?x
1x
2
?x
2
?
?0
，
?
2
?
∴
f
?
x
?
在
?
?2,2
?
上单调递增，即
f
?
x
?
?
?
f
?
?2
?
,f
?
2
?
?
，即
f
?
x
?
?
?
4?2t,2t? 4
?
，
t?9
，∴
??
4?2t??14,2t?4?14
，

∴
14?
?
4?2t,2t?4
?，∴当
t?9
时，函数
y?f(x)
的图象上至少有一个点落在直线y?14
上。
11.记函数
f
?
x
?
?2?
x?7
的定义域为
A
，
g
?
x
?
?lg
?
?
2x?b
??
ax?1
?
?
?
b?0,a?R
?
的定义域
x?2
为
B
，
（1）求
A
：
（2）若
A?B
，求
a
、
b
的取值范围
x?7
??
x?3
?
?0
?
?
?
x?0< br>?
?
?
??,?2
?
?
?
3,??
?
，
x?2
??
x?2
?
b1
（2）
?
2x?b
??
ax?1
?
?0
，由
A?B
，得
a?0
，则
x?orx??
，即
2a
b
?< br>1
0??3
?
?
1
??
b
?
a?< br>??
?
2
B?
?
??,?
?
?
?< br>,??
?
，
?
。
?
?
2
a2
1
????
?
?
?2???0
?
0?b?6
?
a
?
a
x
?1
?
a?0,a?1
?< br>。 12、设
f
?
x
?
?
1?a
x
?1
（1）求
f
?
x
?
的反函数
f
?x
?
：
解：（1）
A?
?
x2?
?< br>?
?
x
?
在
?
1.??
?
上的单调 性，并加以证明：
（3）令
g
?
x
?
?1?log
a
x
，当
?
m,n
?
?
?
1,????
m?n
?
时，
?
g
?
n
?
,g
?
m
?
?
，求
a
的取值范围。
（2）讨论
f
?1
f
?1
?
x
?
在
?
m,n
?
上的值域是
x?1
?
x?1或x??1
?

x?1
x?1x
2
?12
?
x
1
?x
2
?
???0
（2）设
1?x
1
? x
2
，∵
1
x
1
?1x
2
?1
?
x
1
?1
??
x
2
?1
?
解：（ 1）
f
?1
?
x
?
?log
a
?
x
1
?
?f
?1
?
x
2
?
，∴< br>f
?1
?
x
?
在
?
1.??
?上是减函数：
a?1
时，
f
?1
?
x
1
?
?f
?1
?
x
2
?
，∴
f
? 1
?
x
?
在
?
1.??
?
上是增函数。
?1
（3）当
0?a?1
时，∵
f
?
x
?
在
?
1.??
?
上是减函数，
?1
?
x ?1x?1
?
f
?
m
?
?g
?
m
?
∴
?
?1
，由
log
a
?ax
，即< br>ax
2
?
?
a?1
?
x?1?0
， 可知< br>?1?log
a
x
得
x?1
x?1
?
?f
?
n
?
?g
?
n
?
∴
0? a?1
时，
f
?1
?
?
??0
?
?1方程的两个根均大于
1
，即
?
f
?
1
?
?0
?0?a?3?22
，当
a?1
时，∵
f
?
x
?
在
?
1.??
?
上
?
1?a
?
?1
?
2a
?1
?
?
m?1?amn?an?
f
?
m
?
?g
?
n
?
是增 函数，∴
?
?1
。 综上，得
?a??1
（舍去）
?
?
?
?
n?1?amn?am
?
f
?
n< br>?
?g
?
m
?
0?a?3?22
。

13．集合A是由具备下列性质的函数
f(x)
组成的：
(1) 函数
f(x)
的定义域是
[0,??)
；

(2) 函数
f(x)
的值域是
[?2,4)
；
(3) 函数
f(x)
在
[0,??)
上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数
f
1
(x)?x?2(x?0)
，及
f
2
(x)?4?6?()
x
(x?0)
是否属于集合A？并简要说
明理 由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数
f(x)
，不等式
f(x )?f(x?2)?2f(x?1)
，是否
对于任意的
x?0
总成立？若不成 立，为什么？若成立，请证明你的结论．
解：（1）函数
f
1
(x)?1
2
x?2
不属于集合A. 因为
f
1
(x)
的值域是
[?2,??)
,所以函数
f
1
(x)?x?2
不 属于集合A.(或
Q当x?49?0时,f
1
(49)?5?4
，不满足条件 .)
1
f
2
(x)?4?6?()
x
(x?0)
在集合A中, 因为: ① 函数
f
2
(x)
的定义域是
[0,??)
；② 函数
2
f
2
(x)
的值域是
[?2,4)
；③ 函数
f
2
(x)
在
[0,??)
上是增函数．
1
x
1
（2）
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)?6?()(?)?0
，
24
?不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
对于任意的x?0
总成立



14、设函数f(x)=ax+bx+1 （a,b为实数）,F(x)=
?
2
?
f(x)(x?0)

?
?f(x)(x?0)
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)
?0
成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x
?
?
? 2,2
?
时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
（3） （理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
解：（1）
?
f(-1)=0 ∴
b
2
?a?1
由f(x)
?
0恒成立 知△=b
2
-4a=(a+1)
2
-4a=(a-1)
2
?
0 < br>?
(x?1)
?
?(x?1)
2
∴a=1从而f(x)=x+ 2x+1 ∴F(x)=
?
2
(x?0)
(x?0)
2
，
（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+ 1，由于g(x)在
?
?2,2
?
上是单调
2?k2?k
? ?2
或-
?2
，得k
?
-2或k
?
6 ，
22
（3）
?
f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴
f( x)
在
?
0,??
?
上为增函数
函数,知-
对于 F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0， F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，
∴F(x)是奇函数且F(x)在
?0
，
??
?
上为增函数，
?
m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0 。
15．函数f(x)=
x
(a，b是非零实 常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
ax?b
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。
解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程
所以
x
=x的解， ax?b
1
=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解 为0，则b=1，
ax?b

1
。
2
2x
(2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
x?2
2m
取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，又m= –4时，
m?2
2x2(?4?x)
f(x)+f(–4– x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定义域中
?
x?2?4 ?x?2
所以a=
任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
x?2
2
)，设x+2=t，t≠0， 则
x?2
8
16t ?4
22
164444
|AP|
2
=(t+1)
2
+()=t+2t+2–+
2
=(t
2
+
2
)+2(t–) +2=(t–)
2
+2(t–)+10=( t–+1)
2
+9，
t
t
ttttt
t
?1?17?5?17
4
所以当t–+ 1=0时即t=，也就是x=时，|AP|
min
= 3 。
22
t< br>21?mx
16、已知函数
f(x)??log
2
是奇函数（1）求< br>m
的值
x1?x
(3)|AP|
2
=(x+3)
2
+(
17、（2）请讨论它的单调性，并给予证明。
解（1）
?
f (x)
是奇函数，
?f(?x)?f(x)?0
；
21?mx21?mx
；
?log
2
)?(?log
2< br>)?0
，解得：
m?1
，其中
m??1
（舍）
x1? xx1?x
21?x
经验证当
m?1
时，
f(x)??log
2
(x?
?
?1,0
?
?
?
0,1
?< br>)
确是奇函数。
x1?x
即
(?
（2）先研究
f( x)
在（0，1）内的单调性，任取x
1
、x
2
∈（0，1），且设 x
1
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)?
?(
由
1?x
1
2
1?x
2
2
?log
2
??log
2
x
1
1?x
1
x
2
1?x
2
2222
?)?[log
2
(?1)?log
2
(?1)],

x
1
x
2< br>1?x
2
1?x
1
2222
??0,log
2
(?1)?log
2
(?1)?0,
x
1
x
2
1 ?x
2
1?x
1
得
f(x
1
)?f(x
2
)
>0，即
f(x)
在（0，1）内单调递减；
由于
f( x)
是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数
f(x)
在（－1，0）内单调递减。