高中数学函数的基本性质及其例题讲解

函数的基本性质
单调性与最大（小）值：
1.增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：
①定义增函数：设函数y=f(x)的定义 域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任
意两个自变量x
1
，x
2< br>，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing
function）
②定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具
有 （严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。
2
例1．判断函数
y?
在区间[2，6] 上的单调性
x?1



巩固练习：
1.求证f(x)＝x＋的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。



2.证明：函数
f(x)?1?



1
x
1
在
(??,0)
上是增函数.
x
最大小值
一.函数最大（小）值的概念：
①定义最大值：设函数y=f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都
有f(x)≤M；存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）。
②定义最小值：设函数y =f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都
有f(x) ≥M；存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）。
1．例题讲解：
2
例1．求函数
y?
在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
x?1



例2．求函数
y?x?1?x
的最大值




巩固练习：
1. 求
y?|x?1|?|x?2|
的最小值。

2．求函数
y?2x?x?1
的最小值.





3.如图所示，动物园要建造一面靠墙的
2
间面积相 同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是
30m
，那么宽
x
（单位 ：
m
）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积
是多少？





奇偶性
一．奇函数、偶函数的概念：
①定义偶函数：一般地，对于函数
f(x)
定义域内的任意一个x，都有
f( ?x)?f(x)
，那么函数
f(x)
叫偶函数（even function）。
③定义奇函数：一般地，对于函数
f(x)
定义域内的任意一个x，都有
f( ?x)?f(x)
，那么函数
f(x)
叫奇函数（odd function）。

奇偶性判别：
例1．判断下列函数的奇偶性
1
1
（1）
f(x)?x?
（2）
f(x)?
2
．
x
x

?
1
2
x?1(x?0)
?
?
2
（3）
g(x)?
?
（4）
y?1?x
2
?x
2
?1

?
?< br>1
x
2
?1(x?0)
?
?2
巩固练习：
1、判别函数f(x)＝|x＋1|+|x－1|的奇偶性。





2.设f(x)＝ax
7
＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。




3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝


1
，求f(x)、g(x)。
x?1
跟进训练：

1．在区间
(??,0)
上为增函数的是


A．
y?1

2

B．
y?
（ ）

C．
y??x?2x?1

2
x
?2

1?x
2
D．
y?1?x

2
2．已知函数< br>f(x)?(m?1)x?(m?2)x?(m?7m?12)
为偶函数，则
m
的值是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2
3．函数
y?x?bx?c
(x?(??,1))
是单调函数时，
b
的取值范围
A．
b??2
B．
b??2

4．函数
y?x|x|?px
，
x?R
是
A．偶函数 B．奇函数
（ ）
C ．
b??2
D．
b??2

（ ）
C．不具有奇偶函数 D．与
p
有关
5． 函数
f(x)?x(x?1?x?1)
是（ ）
A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数
C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数
6．函数
y?(2k?1)x?b
在实数集上是增函数，则
A．
k??
（ ）
11
B．
k??
C．
b?0
D．
b?0

22
2
7．函数
y??x?|x|
，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .
8． 若函数
f(x)? (k?2)x?(k?1)x?3
是偶函数，则
f(x)
的递减区间是 .
9．已知
f(x)?x
2
b
?8
，
f(? 2)?10
，求
f(2)
= .
x
10 ．函数
f(x)
在R上为奇函数，且
f(x)?x?1,x?0
，求当
x?0
时，
f(x)
的解析式。

2005
?ax
3
?




11．判断下列函数的奇偶性
?
x
2
?2(x?0)
?
4
①
y?2x?1?1?2x
； ②
y?x?x
； ③
y?
?
0(x?0)
。
?
?x
2
?2(x?0)
?


12．已 知函数
f(x)?x?1
，且
g(x)?f[f(x)]
，
G(x) ?g(x)?
?
f(x)
，试问，是否存在实数
?
，使得
2
G(x)
在
(??,?1]
上为减函数，并且在
(?1,0)
上为增函数.