高中数学必修一定义及公式-高中数学教材第二册下a和下b
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高中数学函数知识点总结
1.
对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
2
进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如:集合A?x|x
2
?2x?3?0,B?
?
x
|ax?1
?
若B?A,则实数a的值构成的集合为
3.
注意下列性质:
??
(1)集合
?
a
1
,a<
br>2
,……,a
n
?
的所有子集的个数是2
n
;
要知道它的来历:若B为A的子集,则对于元素a
1
来说,有2种选择(在或者
不在)。同样,对于元素a
2
, a
3
,……
a
n
,都有2种选择,所以,总共有
2
种选择, 即集合A有
2
个子集。
当然,我们也要注意到,这
2
种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况,故真
子集个数为
2?1
,
非空真子集个数为
2?2
n
n
n
nn
(2)若A?B?A?B?A,A?B?B;
(3)德摩根定律:
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
,
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
4.
你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
如:已知关于x的不等式
ax?5
?0的解集为M,若3?M且5?M,求实数a
2
x?a
的取值范围。
7. 对映射的
概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应
能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
注意映射个数的求法。如集合
A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有n
m
个。
如:若<
br>A?{1,2,3,4}
,
B?{a,b,c}
;问:
A
到<
br>B
的映射有 个,
B
到
A
的映射有
个;
A
到
B
的函数
有
个,若
A?{1,2,3}
,则
A
到
B
的一一映射有
个。
函数
y?
?
(x)
的图象与直线
x?a
交点
的个数为 个。
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8.
函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
9.
求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数y?
x
?
4?x
?lg
?
x?3
?
2
的定义域是
函数定义域求法:
? 分式中的分母不为零;
? 偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
10. 如何求复合函数的定义域?
如:函数f(x)的定义域
是a,b,b??a?0,则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定
义域是_____________。
例
若函数
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
,则
的定义域为 。
2
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例
求函数y=
??
?
1
?
?
?
1
的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y
=
x
2
-2x+5,x
?
[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型
有时也可以用其他方法进行化简,不
必拘泥在判别式上面
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b
型:直接用不等式性质
k+x
2
bx
b.
y?
2
型,先化简,再用均值不等式
x?mx?n
x11
例:
y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型
通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一:用判别式
a. y?
法二:用换元法,把分母替换掉
2
x
2
?x?1(x+1)?(x+1)+1
1
例:y???(x+1)??1?2?1?1
x?1x?1x?1
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学
过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三
角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
x?1
的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:求函数y=
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(x?2)
2
+
(x?8)
2
的值域。
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倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例
求函数y=
12. 求一个函数的解析式时,注明函数的定义域了吗?
切记:做题,特别是做大题时,
一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,
与到手的满分失之交臂
如:f
x?2
的值域
x?3
?
x?1?e
x
?x,求f(x).
?
15 .
如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x
1
,x
2
,找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小
关系
可以变形为求
f(x
1
)?f(x
2
)f(x
1
)
的正负号或者与1的关系
x
1
?x
2
f(x
2
)
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(
a,0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:
奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直
线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:
偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的 <
br>②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变
化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化
;(函数相加)
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它
们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同
向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向
变化;(函数相乘)
⑤函数f(x)与
1
f(x)
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ
(α)]同向变化,则在[α,
β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x
[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u
∈[φ(β),φ(α)]反向变化
,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。(同增异减)
-1
⑦若函数y=
f(x)是严格单调的,则其反函数x=f(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
f(g)
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g(x) f[g(x)] f(x)+g(x)
f(x)*g(x)
都是正
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增
增
减
减
增
减
增
减
增
减
减
增
增
减
数
增
减
17. 函数f(x)具有奇偶性的条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称
若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶
函数;一个偶函数与奇函数的乘积
是奇函数。
(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)?0。
(3)f(x)是定义域在(-6,0),(0,6)上的奇函数,若x>0时f(x)=
求x<0时f(x)
判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇(偶)
函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于
原点对称
,则函数为非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提
下,计算
f(?x)
,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0
奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数
f(x)
?1
偶函数
f(-x)
f(x)
??1
奇函数
f(-x)
三、 复合函数奇偶性
f(g)
奇
奇
偶
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g(x)
奇
偶
奇
f[g(x)]
奇
偶
偶
f(x)+g(x)
奇
非奇非
偶
非奇非
f(x)*g(x)
偶
奇
奇
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偶
偶 偶
偶
偶 偶
18.<
br>(若存在实数T(T?0),在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)
,则f(x)为周期
函数,T是一个周期。)
如:若f
?
x?a
?
??f(x),则
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时
说这个函数周期2t. 推
f(x)?f(x?t)?0
?
导:
f(x?t)
?f(x?2t)?0
?
??f(x)?f(x?2t)
,
?
同时
可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一
个意思:函数f(x)关于直线对称,
对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如,f(
x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a
对称。
又如:若f(x)图象有两条对称轴x?a,x?b
即f(a?x)?f(a?x)
,f(b?x)?f(b?x)
?
f(x)?f(2a?x)
?
??
??
??f(2a?x)?f(2b?x)
f(x)?f(2b?x)
??
令
t?2a?x,则2b?x?t?2b?2a,f(t)?f(t?2b?2a)
即f(x)?f(x?
2b?2a)
所以,函数f(x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守
起见,我加了一个绝对值
如:
19.
你掌握常用的图象变换了吗?
f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点(x,y),(-x,y)
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f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点(x,y),(x,-y)
f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点(x,y),(-x,-y)
f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点(x,y),(y,x)
f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点(x,y),(2a-x,y)
f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a,0)对称
联想点(x,y),(2a-x,0)
y?f(x?a)
左移a(a?0)个单位
将y?f(x)图象????????
??
y?f(x?a)
右移
a(a?0)个单位
上移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
??????????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
注意如下“翻折”变换:
f(x)???|f(x把)|轴下方的图像翻到上面x
f(x)??
?f(|x把|)轴右方的图像翻到上面y
19.
(k<0) y
(k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
(1)一次函数:y?kx?b
?
k?0
?
(2)反比例函数:y?
的双曲线。
(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
kk
?
k?0
?
推
广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a,b)
xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?
(3)二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?x?图象为抛物线
?
?
??
2a4a
2
?<
br>b4ac?b
2
?
b
,
顶点坐标为
?
?
?
,对称轴x??
4a
?
2a
?
2a
开口方向:a?0,向上,函数y
min
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4ac?b
2
?
4a
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