高中数学函数专题之函数三要素

函数的三要素
【函数定义域求法】

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的
不等式或不等式组，解此 不等式（或组）即得原函数的定义域。


分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

指数式的底数大于零且不等于1；

0的0次幂没有意义；

对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0。

?
?
正切函数
y?tanx

?
?
x?R,且x?k
?
?,k?
?
?

?
2
?






余切函数
y?cotx

?
x?R,且x?k
?
,k?
?
?

x
2
?2x?15
|x?3|?8
例1 求函数
y?
的定义域。 例2 求函数
y?25?x
2
?lgcosx
的定义域。




二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式 的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个
抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有 两种情况。


类型一：已知
f(x)
的定义域，求
f[g (x)]
的定义域。

其解法是：已知
f(x)
的定义域是［a，b ］求
f[g(x)]
的定义域是解
a?g(x)?b
，即为所求
的定 义域。

例1 已知
f(x)
的定义域为［－2，2］，求
f(x< br>2
?1)
的定义域。






类型二：已知
f[g(x)]
的定义域，求f(x)的定义域。

其 解法是：已知
f[g(x)]
的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由
a?x?b
，
求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例1 已知
f(2x?1)
的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。




三、实际问题型

这里函数的定义域除考虑解析式有意义外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制

例1 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，
求此框 架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

四、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定 义域为R，
求参数范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例1 已知函数
y?mx
2
?6mx?m?8
的定义域为R求实数m的取值范围。



针对练习： 已知函数
f(x)?


kx ?7
的定义域是
2
kx?4kx?3
R，求实数k的取值范围。

【函数值域求法】

一、直接法（从自变量
x
的范围出发，推出y?f(x)
的取值范围）

1
2?x
例1 求函数
y?3





的值域。

二 对称轴法（是求二次函数值域的基本方法，如
F(x)?af
2
(x)?bf(x)?c
的函数的值域
问题，均可使用对称轴法）

例1 求函数
y??x
2
?4x?2
（
x? [?1,1]
）的值域。





三、判别式法 （把函数转化成关于x的二次方程
F(x,y)?0
，通过方程有实根，判别式
2??0
，从而求得原函数的值域，形如
y?
a
1
x
2< br>?b
1
x?c
1
）

a
2
x?b< br>2
x?c
2
例1求函数
y?
x
2
?x?3< br> 的值域

x?x?1


2
四、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一
般也可以 利用反函数法）

例1求函数
y?
域。





1?x
的值域。 例
2x?5
2求函数
y?
1?2
的值
1?2
xx
五、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原
函数 的值域，如
y?ax?b?cx?d
（
a
、
b
、
c
、
d
均为常数，且
a?0
）的函数常用此法
求解。

例1求函数
sin
2
x?3cosx?4
y?
cosx?2
的值域。 例2求函数
y?2x?1?2x
的值域。

例3函数
y?x?1?x
2
的值域 针对练习：
y?
1
sinx
2
?
4
cosx
2






★小结：

（ 1）若题目中含有
a?1
，则可设
a?sin
?
,?
??
?
?
?
(或设a?cos
?
,0?
?
?
?
)


22
（2）若题目中含有
a< br>2
?b
2
?1
则可设
a?cos
?
,b?s in
?
，其中
0?
?
?2
?

（3）若题 目中含有
1?x
2
，则可设
x?cos
?
，其中
0 ?
?
?
?

（4）若题目中含有
1?x
2
，则可设
x?tan
?
，其中
?
?
?
?
?
2
?

2
（5）若题目中含有
x?y?r(x?0,y?0 ,r?0)
，则可设
x?rcos
2
?
,y?rsin
2< br>?
其中
?
?
?
0,
?
?
?
?

?
2
?
六、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域 的子集）上的单调性，求出
函数的值域，形如求函数
y?x?
?
k?0
?
的值域（
0?x?k
时为减函数；
x?k
时为
增函数） ）

例1求函数
y?x?1?2x
的值域。




k
x

例2 求函数y =
2
x?5
?log
3
x?1
（2
?
x
?
10）的值域 针对练习：求函数
y=





x?1
-
x?1
的值域。

七、数型结合法（函数图像是 掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数
图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）< br>
例1求函数
y?x?1?x?1
的值域。





例2 求函数y=





x
2
?6x?13?x
2
?4x?5
的值域 例3 求函数
y?
sinx?2
的值域cosx?1
针对训练：.已知实数
x
、
y
满足方程
x
2
+
y
2
－4
x
+1=0.求（1）
y< br>的最大值和最小值；（2）
x
y
－
x
的最小值；（3）
x
2
+
y
2
的最大值和最小值

【函数解析式求法】

★ 知识点拨： 求解析式常见的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、奇偶法、消
元法（也叫方程组法）等。

一、待定系数法：

特征：已知函数类型；

对策：设出表达式，由已知列方程，从而解出待定系数。

例1设二次函数
f (x)
满足
f(x?2)?
(0,3)，求
f(x)
的解析式




f(2?x)
且
f(x)
=0的两实根平方和为10，图象过点
二、
换元法：

特征：当自变量很复杂的时候，换成新元t，并能解出
x?f(t)
对策：解出
x?f(t)
代入原来的表达式

例2若
f(
1
)?
x



x
,求
f(x)
.

1?x
三、
配凑法：

1
?
充当函数自变量的时候
< br>特征：当
f
或
?
x?
??
?
x
?< br>对策：通常用用一些等价变形公式构造相同的形式，以便换元求出表达式

例3已知f(x?
11
f(x?)?x
3
?
3
xx
，求
f(x)
针对练习：已知
11
)?x
2
?
2
x
x
, 求
f(x)
的解析式.





四、
函数性质法：

例4若
式。



f(x?2)?f(x)
，当
x?[?1,1]
时，
f(x)??x2
?1
，求当
x?[1,3]
时，
f(x)
的解析例5已知函数
f(x)
是定义在
[?6,6]
上的奇函数，它在
[0,3]
上是一次函数，在
[3,6]
上是
二次函数，且当
x?[ 3,6]
时，
f(x)?f(5)?3
，
f(6)?2
，求
f(x)
的解析式。




五、
消元法（也叫方程组法）：

特征：已知一个方程两个未知量的时候

对策：再构造出来一个方程包含原来方程的两个变量，解方程组就能求出表达式

例7、已知f(x)满足
2f(x)?f()?3x
，求
f(x)

1
x