新苏教版高中数学选修2-2教学案(全册 共214页)

新苏教版高中数学选修2-2教学案（全册）
_1.1导数的概念

1．1.1 平均变化率


假设下图是一座山的剖面示意图， 并在上面建立平面直角坐标系．A是出发点，H是山
顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．

自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A
的 坐标为(x
0
，y
0
)，点B的坐标为(x
1
，y
1
)．
问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多
少？
提示：Δx＝x
1
－x
0
，Δy＝y
1
－y
0
.
问题2：如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度？
Δy
提示：对于山坡AB，可用来近似刻画山路的陡峭程度．
Δx
Δyy
1
－y
0
问题3：试想＝的几何意义是什么？
Δx
x
1
－x
0
Δy
y
1
－y
0
提示 ：＝表示直线AB的斜率．
Δx
x
1
－x
0
ΔyΔy问题4：从A到B，从A到C，两者的相同吗？的值与山路的陡峭程度有什么关系？
ΔxΔx
Δy
提示：不相同.的值越大，山路越陡峭．
Δx
1．一般地，函数f(x)在区间[x
1
，x
2
]上的平均变化率为f?x
2
?－f?x
1
?
.
x
2
－ x
1
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．

在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：
第 1 页 共 211 页

(1)函数在[x
1
，x
2
]上有意义；
f?x
2
?－f?x
1
?
(2)在式子中，x
2
－x
1< br>>0，而f(x
2
)－f(x
1
)的值可正、可负、可为0.
x
2
－x
1
(3)在平均变化率中，当x
1
取定值后，x
2
取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相
同；同样的，当x
2
取定值后，x
1
取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．


[对应学生用书P3]




[例1] (1)求函数f(x)＝3x
2
＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；
(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率．
[精解详析] (1)函数f(x)＝3x
2
＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：
f?2 .1?－f?2??3×2.1
2
＋2?－?3×2
2
＋2?
＝＝1 2.3.
0.1
2.1－2
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上 的平均变化率为
[3×?－1?－2]－[3×?－2?－2]

?－1?－?－2?
＝
?－5?－?－8?
＝3.
－1＋2
g?－1?－g?－2?
＝
?－1?－?－2?
求函数在某区间的平均变化率
[一点通] 求函数平均变化率的步骤为：
第一步：求自变量的改变量x
2
－x
1
；
第二步：求函数值的改变量f(x
2
)－f(x
1
)；
f?x
2
?－f?x
1
?
第三步：求平均变化率.
x
2
－x
1

1．函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率是________．
解析：函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率为
－12＋6
＝－3.
2
答案：－3
2.如图是函数y＝f(x)的图象，则：
g?4?－g?2?－3×4－?－3?×2
＝＝
4－24－2
第 2 页 共 211 页

(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
f?1?－f? －1?2－1
1
解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝. 22
1－?－1?
x＋3
?
?
，－1≤x≤1，
(2) 由函数f(x)的图象知，f(x)＝
?
2

?
?
x＋1， 13
3－
2
3
f?2?－f?0?
所以，函数f (x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
24
2－0
13
答案：：(1) (2)
24
3．本例条 件不变，分别计算f(x)与g(x)在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大
小． f?2?－f?1?3×2
2
＋2－?3×1
2
＋2?
解：(1 )＝＝9.
2－12－1
g?2?－g?1?3×2－2－?3×1－2?
(2)＝＝3.
2－12－1
f(x)比g(x)在[1,2]上的平均变化率大．

实际问题中的平均变化率

[例2] 物体的运动方程为S＝t＋1(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到
t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度．
[思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的
比值．
[精解详析] 物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为
S?1＋Δt?－S?1??1＋Δt?＋1－1＋1
＝
Δt
?1＋Δt? －1
＝
＝
2＋Δt－2?2＋Δt－2??2＋Δt＋2?
＝
Δt
Δt?2＋Δt＋2?
1
(ms)．
2＋Δt＋2
1
ms.
2＋Δt＋2
即物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为
[一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见 的有求某段时间内的平均速度、加
速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关 键．

4．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．
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解析：∵S＝πr
2
，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时，
圆的面积S的平均变化率为
S?0.3?－S?0.1?
π×0.3
2－π×0.1
2
＝＝0.4π.
0.2
0.3－0.1
答案：0.4π
5．在F
1
赛车中 ，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t
2
，
则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？
解：赛车在[20,20.1]上的平均速度为
S?20.1?－S?20?
20.1－20
＝
?10×20.1＋5×20 .1
2
?－?10×20＋5×20
2
?
21.05
＝＝2 10.5(ms)．
0.1
20.1－20



[例3] 甲、乙两人走过的路程s
1
(t)，s
2
(t)与时间t 的关系如图所示，
试比较两人的速度哪个大？
[思路点拨] 要比较两人的速度，其实就是比 较两人走过的路程对
时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．
[精解详析] 在t
0
处s
1
(t
0
)＝s
2
(t
0
)，
但
s
1
?t
0
?－s
1
?t
0
－Δt?s
2
?t
0
?－s
2
? t
0
－Δt?
<，
ΔtΔt
函数平均变化率的应用
所以 在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速
度比甲的速度大．
[一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对
值越大 ，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越
慢．
< br>6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t
0
，
t
1
]，[t
1
，t
2
]，[t
2
，t3
]上的平均速度分别为v
1
，v
2
，v
3
， 则三者的大小
关系是________．
s?t
1
?－s?t
0< br>?
解析：v
1
＝＝k
OA
，
t
1
－t
0
v
2
＝
v
3
＝
s?t
2< br>?－s?t
1
?
＝k
AB
，
t
2
－t
1
s?t
3
?－s?t
2
?
＝k
BC
，
t
3
－t
2
第 4 页 共 211 页

由图象知：k
OA
AB
BC
，
所以v
3
>v
2
>v
1
.
答案：v
3
>v
2
>v
1

7．A、B两 机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中
W
1
(t)、 W
2
(t)分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)

①两机关节能效果一样好；
②A机关比B机关节能效果好；
③A机关在[0，t
0
]上的用电平均变化 率比B机关在[0，t
0
]上的用电平均变化率大；
④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大．
解析：由图可知，在t＝0时，W
1
(0)>W
2
(0)，
当t＝t
0
时，W
1
(t
0
)＝W
2
( t
0
)，
W
1
?t
0
?－W
1
?0?W
2
?t
0
?－W
2
?0?
所以<， t
0
t
0
且
?
W
1
?t
0< br>?－W
1
?0?
??
W
2
?t
0
? －W
2
?0?
?
t
0
t
0
??
>
??
.
故只有②正确．
答案：②

1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题
(1)平均变化率的公式中，分子是区间 两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的
自变量的差．
(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点．
2．一次函数的平均变化率
一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化 率为
f?n?－f?m??kn＋b?－?km＋b?
＝＝
n－mn－m
k. 由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b，在区间[m，n]上的变化率与m，n的值无关，只与
一次项 系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．
3．平均变化率的几何意义
第 5 页 共 211 页

f?x
2
?－f?x
1< br>?
(1)平均变化率表示点(x
1
，f(x
1
))，(x2
，f(x
2
))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数
x
2－x
1
量化”．
(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．


[对应课时跟踪训练(一)]

一、填空题
1．函数f(x)＝x
2
－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________．
f?1.1?－f?1 ??1.1
2
－1?－?1
2
－1?
0.21
解析：＝＝＝ 2.1.
0.1
1.1－11.1－1
答案：2.1
2．函数f(x)＝2x＋4在区间[a，b]上的平均变化率为________．
f?b?－f?a??2b＋4?－?2a＋4?2?b－a?
解析：＝＝＝2.
b－ab－ab－a
答案：2
3．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物 的浓度c(单位：mgmL)来表示，
它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表 给出了c(t)的一些函数值：
tmin
c(t)
(mgmL)

服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
c?70?－c?30?0.90－0.98
解析：＝＝－0.002.
40
70－30
答案：－0.002
4.如图所示物体甲、乙在时间0到t
1
范围内路程的变化情况，则在0
到t
0
范围内甲的平均速度___ _____乙的平均速度，在t
0
到t
1
范围内甲的平
均速度___ _____乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．
解析：由图可知，在[0，t
0
]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；
在[t
0
，t
1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．
答案：等于 大于
5．函数y＝x
3
＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________.
?a
3< br>＋2?－?1
3
＋2?a
3
－1
2
解析：＝＝a＋a ＋1＝21.
a－1a－1
0
0.84
10
0.89
20
0.94
30
0.98
40
1.00
50
1.00
60
0.97
70
0.90
80
0.79
90
0.63
第 6 页 共 211 页

解之得a＝4或a＝－5.
又∵a>1，∴a＝4.
答案：4
二、解答题
6．已知函数f(x)＝2x
2
＋1.求函 数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率．
2×2.01
2
＋1－2×2
2
－1
解：函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为＝8.02.
2.01－2
πππ
7．求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．
632
π
sin－sin 0
6
π
3
解：在0到之间的平均变化率为＝；
6
ππ－0
6
ππ
sin－sin
23
3?2－3?
ππ在到之间的平均变化率为＝.
32
πππ
－
23
3
3 ?2－3?
∵2－3<1，∴>，
ππ
3?2－3?
π
3
ππ
∴函数y＝sin x在0到之 间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，
6
π
32
π
π
故在0到之间的平均变化率较大．
6
8．已知气球的表面积S(单位：cm
2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr
2
.
求：
(1)气球表面积S由10 cm
2
膨胀到20 cm
2
时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量
与表面积增量的比值；
(2)气球表面积S由30 cm
2
膨胀到40 cm
2
时的平均膨胀率．
解：根据函数的增量来证明．
由S(r)＝4πr
2
，r>0，把r表示成表面积S的函数：
r(S)＝
1
πS.
2π
(1)当S由10 cm
2
膨胀到20 cm
2
时，气球表面积的增量ΔS＝20－10＝10( cm
2
)，气球半
径的增量Δr＝r(20)－r(10)＝
1
(2 0π－10π)≈0.37(cm)．
2π
Δr
0.37
所以气球的平均膨胀率为≈＝0.037.
ΔS
10
(2)当S由30 cm
2
膨胀到40 cm
2
时，气球表面积的增量ΔS＝
1
(40π－
2π
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Δr
0.239
30 π)≈0.239(cm
2
)．所以气球的平均膨胀率为≈＝0.023 9.
ΔS
10


1．1.2 瞬时变化率——导数



如图P
n
的坐标为(x
n
，f(x
n
))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x
0
，y
0
)．
曲线上一点处的切线

问题1：当点P
n
→点P时，试想割线PP
n
如何变化？
提示：当点P
n
趋近于点P时，割线PP
n
趋近于确定的位置．
问题2：割线PP
n
斜率是什么？
f?x
n
?－f?x< br>0
?
提示：割线PP
n
的斜率是k
n
＝.
x
n
－x
0
问题3：割线PP
n
的斜率与过点P的切线PT 的斜率k有什么关系呢？
提示：当点P
n
无限趋近于点P时，k
n
无限趋近于切线PT的斜率．
问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？
提示：能．

1．割线
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．
2．切线
随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限 逼
近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点
P 处的切线.


第 8 页 共 211 页

瞬时速度与瞬时加速度

一质点的运动方程为S＝8－3t
2
，其中S表示位移，t表示时间．
问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？
8－3?1＋Δt?2
－8＋3×1
2
提示：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝－ 6－3Δt.
Δt
问题2：Δt的变化对所求平均速度有何影响？
提示：Δt越小，平均速度越接近常数－6.

1．平均速度
运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．
2．瞬时速度
S?t
0< br>＋Δt?－S?t
0
?
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S( t)的平均变化率无
Δt
限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t
0
时的瞬时速度，也就是位移对于时间的
瞬时变化率．
3．瞬时加速度
v?t0
＋Δt?－v?t
0
?
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体 速度v(t)的平均变化率无
Δt
限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t
0
时的瞬时加速度，也就是速度对于时间
的瞬时变化率．



1．导数
Δy
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x
0
∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝
Δx
f?x
0
＋Δx?－f ?x
0
?
无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x
0
处可导， 并称该常数A为函数f(x)
Δx
在x＝x
0
处的导数，记作f′(x
0
)．
2．导数的几何意义
导数f′(x
0
)的几何意义是曲 线y＝f(x)在点P(x
0
，f(x
0
))处的切线的斜率．
3．导函数
(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数 也随自变量x的变化而变
化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x) ，在不引起混淆时，
导函数f′(x)也简称f(x)的导数．
(2)f(x)在x＝x0
处的导数f′(x
0
)就是导函数f′(x)在x＝x
0
处的 函数值．

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导 数

1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线
方程．
2．函数y＝f(x)在点x
0
处的导数f′(x
0
)就是导函数f ′(x)在x＝x
0
处的函数值，所以求函
数在一点处的导数，一般先求出函数的导函 数，再计算这点的导函数值．


[对应学生用书P5]



求曲线上某一点处的切线
5
1
2，
?
，用切线斜率定义求： [例1] 已知曲线y＝x＋上 的一点A
?
?
2
?
x
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
f?2＋Δx?－f?2?
[思路点拨] 先计算，再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值．
Δx
1－Δx
1
2＋
?
＝[精解详析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－
?
＋Δx，
2＋Δx?
2
?
2?2＋Δx?
∴
－Δx－1
ΔyΔx
＝＋＝＋1.
Δx
2Δx?2＋Δx?
Δx
2?2＋Δx?
Δy< br>3
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，
Δx
4
3
即点A处的切线的斜率是.
4
53
(2)切线方程为y－＝(x－2)，
24
即3x－4y＋4＝0.
[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲 线过某点的切线方程，只需求出切
Δy
线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近 的常数．
Δx

5
1
1，－
?
处的切线的斜率为________． 1．曲线y＝ －x
2
－2在点P
?
2
??
2
51
1，－
?
，Q
?
1＋Δx，－?1＋Δx?
2
－2
?，则割线PQ的斜率为k
PQ
＝解析：设P
?
2
?
2< br>???
15
－?1＋Δx?
2
－2＋
22
1
＝－
Δx－1.
Δx
2
5
1
1，－
?
处 的当Δx无限趋近于0时，k
PQ
无限趋近于－1，所以曲线y＝－x
2
－2 在点P
?
2
??
2
第 10 页 共 211 页

切线的斜率为－1.
答案：－1
2．已知曲线y＝2x
2
＋4x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为________．
f?x< br>0
＋Δx?－f?x
0
?2?Δx?
2
＋4x
0Δx＋4Δx
解析：设P点坐标为(x
0
，y
0
)，则＝＝4x
0
＋4＋2Δx.
Δx
?x
0
＋Δx?－x
0< br>当Δx无限趋近于0时，4x
0
＋4＋2Δx无限趋近于4x
0
＋4，
因此4x
0
＋4＝16，即x
0
＝3，
所以y
0
＝2×3
2
＋4×3＝18＋12＝30.
即P点坐标为(3,30)．
答案：(3,30)
3．已知曲线y＝3x
2
－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．
解：设A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)
2
－(1＋Δx))，
3?1＋Δx?
2
－?1＋Δx?－?3×1
2
－1?
则k
AB
＝＝5＋3Δx，
Δx
当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所 以曲线y＝3x
2
－x在点A(1,2)处的切
线斜率是5.
切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.

瞬时速度
[例2] 一质点按规律S(t)＝at
2
＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位 ：s)，若该质点
在t＝2 s时的瞬时速度为8 ms，求常数a的值．
[思路点拨] 先求出质点在t＝2s时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．
ΔS
[精解详析] 因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)
2
＋1－a·2
2
－ 1＝4aΔt＋a(Δt)
2
，所以
Δt
＝4a＋aΔt.
ΔS
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a.
Δt
所以t＝2 s时的瞬时速度为4a ms.
故4a＝8，即a＝2.
[一点通] 要计算物体的瞬时速 度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变
ΔSΔS
量ΔS，再求出平均速度v＝ ，最后计算当Δt无限趋近于0时，无限趋近常数，就是
ΔtΔt
该物体在该时刻的瞬时速度．

4．一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t
2
，则 此物体在t＝2时的
瞬时速度为________．
解析：由于ΔS＝3(2＋Δt)－(2 ＋Δt)
2
－(3×2－2
2
)＝3Δt－4Δt－(Δt)
2＝－Δt－(Δt)
2
，
第 11 页 共 211 页

2
ΔS
－Δt－?Δt?
所以＝＝－1－Δt.
ΔtΔt
ΔS
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数－1.
Δt
故物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
答案：－1
?
t2
＋2，0≤t<3，
?
5．如果一个物体的运动方程S(t)＝
?试求该物体在t＝1和t＝4
2
?
29＋3?t－3?，t≥3，
?
时的瞬时速度．
解：当t＝1时，S(t)＝t
2
＋2，
2
ΔS
S?1＋Δt?－S?1??1＋Δt?＋2－3
则＝＝＝2＋Δt，
ΔtΔtΔt
当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2，
所以v(1)＝2；
∵t＝4∈[3，＋∞)，
∴S(t)＝29＋3(t－3)
2
＝3t
2
－18t＋56， < br>22
ΔS
3?4＋Δt?－18?4＋Δt?＋56－3×4＋18×4－56
∴＝
ΔtΔt
3Δt
2
＋6·Δt
＝＝3·Δt＋6，
Δt
ΔS
∴当Δt无限趋近于0时，3·Δt＋6→6，即→6，
Δt
所以v(4)＝6.

[例3] 已知f(x)＝x
2
－3.
(1)求f(x)在x＝2处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．
Δy
f?2＋Δx?－f?2?
[精解详析] (1)因为＝
ΔxΔx
?2＋Δx?
2
－3－?2
2
－3?
＝
Δx
＝4＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，
所以f(x)在x＝2处的导数等于4.
Δy
f?a＋Δx?－f?a?
(2)因为＝
ΔxΔx
导数及其应用
第 12 页 共 211 页

?a＋Δx?
2
－3－?a
2
－3?
＝
Δx
＝2a＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，
所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.
[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x
0
处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)；
Δy
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?
(2)求平均 变化率＝；
ΔxΔx
(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．

1
6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
x
1
解析：∵函数y＝f(x)＝x＋，
x
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
1?Δx?
2
＝1＋Δx＋－1－1＝，
1＋Δx1＋Δx
∴
ΔyΔxΔy
＝，当Δx→0时，→0，
Δx
1＋Δx
Δx
1
即y＝x＋在x＝1处的导数为0.
x
答案：0
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
f?1＋Δx?－f?1?a?1＋Δx?＋4－a－4
解析：∵＝＝a，
ΔxΔx
∴f′(1)＝a，即a＝2.
答案：2
8．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如
果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x
2
－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f (x)在x＝6处
的导数f′(6)，并解释它的实际意义．
解：当x从6变到6＋Δx时， 函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化
率为：
f?6＋Δx?－f?6?

Δx
?6＋Δx?
2
－7?6 ＋Δx?＋15－?6
2
－7×6＋15?
＝
Δx
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5Δx＋?Δx?
2
＝＝5＋Δx.
Δx
当x→6时，即Δx→0，平均变化率趋近于5，
所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬
时变化速度．也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升
高5℃.

1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程
(1)若已知点(x
0
，y< br>0
)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x
0
处的导数，然后根据直
线的点斜式方程，得切线方程y－y
0
＝f′(x
0
)(x－x0
)．
(2)若题中所给的点(x
0
，y
0
)不在曲 线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意
义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
2．f′(x
0
)与f′(x)的异同

区别 联系
在 x＝x
0
处的导数f′(x
0
)是导函数f′(x)
在x＝x
0
处的函数值，因此求函数在某
一点处的导数，一般先求导函数，再计
算导函数在这 点的函数值
f′(x
0
) f′(x
0
)是具体的值，是数值
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点
f′(x) 都存在导数而定义的一个新函
数，是函数



[对应课时跟踪训练(二)]


一、填空题
1．一质点运动的 方程为S＝5－3t
2
，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－
3 Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．
解析：∵当Δt无限趋近于0时，－ 3Δt－6无限趋近于常数－6，∴该质点在t＝1时的
瞬时速度为－6.
答案：－6
2．函数f(x)＝1－3x在x＝2处的导数为________．
Δy
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－3Δx，＝－3，
Δx
Δy
则Δx趋于0时，＝－3.
Δx
故f(x)在x＝2处的导数为－3.
答案：－3
第 14 页 共 211 页

1
3．已知函数y＝f(x)的图象在点M (1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝
2
________ .
115
解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝，
222
51
所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
22
答案：3
3
1
1，－
?
处的切线的倾斜角为________． 4．曲线f (x)＝x
2
－2在点
?
2
??
2
1
?< br>1
?1＋Δx?
2
－2－
?
?
2
－2
?
f?1＋Δx?－f?1?
2
解析：∵＝
ΔxΔx
1
?Δx?
2
＋Δx
2
1
＝＝
Δx＋1.
Δx2
f?1＋Δx?－f?1?
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数1，即切线的斜率 为1.
Δx
π
∴切线的倾斜角为.
4
π
答案：
4
5．已知曲线y＝2ax
2
＋1过点P(a，3)，则该曲线在P点处的切线方程 为________．
解析：∵y＝2ax
2
＋1过点P(a，3)，
∴3＝2a
2
＋1，即a
2
＝1.
又∵a≥0，∴a＝1，即y＝2x
2
＋1.
∴P(1,3)．
22
Δy
f?1＋Δx?－f?1?2?1＋Δx?＋1－2×1－1
又＝＝＝4＋2 Δx.
ΔxΔxΔx
Δy
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数4，
Δx
∴f′(1)＝4，即切线的斜率为4.
由点斜式可得切线方程为y－3＝4(x－1)，
即4x－y－1＝0.
答案：4x－y－1＝0
二、 解答题
1
6．已知质点运动方程是S(t )＝gt
2
＋2t－1(g是重力加速度，常量)，求质点在t＝4 s时
2
的瞬时速度(其中s的单位是m，t的单位是s)．
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