高中数学数列教案一

第三章 数列
第一教时
教材：数列、数列的通项公式
目的： 要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给
出一些数列能够写出其通项公式 ，已知通项公式能够求数列的项。
过程：
一、从实例引入（P110）
1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10
1111
2． 正整数的倒数
1,,,,?

2345
3．
2精确到1，0.1，0.001?的不足近似值1，1.4，1.41，1.414，?

4． ?1的正整数次幂：?1,1,?1,1,…
5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…
二、提出课题：数列
1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）
2． 名称：项，序号，一般公式
a
1
,a
2
,?,a
n
，表示法
?
a
n
?

3． 通项公式：
a
n
与
n
之间的函数关系式
如 数列1：
a
n
?n?3
数列2：
a
n
?
a
n
?(?1)
n
,n?N*

1
数列4：
n
4． 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；
有穷数列、无穷数列。
5． 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整
数集
N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小
到大依
次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
6． 用图象表示：— 是一群孤立的点
例一 （P111 例一 略）
三、关于数列的通项公式
1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）
2． 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成
a
n
?(?1)
n
和

n?2k?1,k?N*
?
?1

a
n
?
?

n?2k,k?N*
?
1
3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要
例二 （P111 例二）略
四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前
n
项分别
是下列
各数：
1?(?1)
n?1
,n?N*
1．1，0，1， 0
a
n
?
2
2．
?
n ?1
56
2
3
4
，，
?
，，
?

a
n
?(?1)
n
?

(n?1)
2?1
35
3
8
15
24
3．7，77，777，7777
a
n
?
7
?(10
n
?1)

9
4．?1，7，?13，19，?25，31
a
n
?(?1)
n
(6n?5)

2
n
?1
359
17
5．，，，
a
n
?
2
n?1

2416
256
2
五、小结：
1． 数列的有关概念
2． 观察法求数列的通项公式
六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2
《课课练》中例题推荐2 练习 7、8

第二教时
教材：数列的递推关系
目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公 式的意义，
会根据给出的递推公式写出数列的前n项。
过程：
一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）
(n?2)
?
S
n
?S
n?1
二、例一：若记数列
?
an
?
的前n项之和为S
n
试证明：
a
n
??

(n?1)
S
?
1
证：显然
n?1
时 ，
a
1
?S
1

当
n?1
即
n?2
时
S
n
?a
1
?a
2
???a
n

S
n?1
?a
1
?a
2
???a
n?1< br>

∴
S
n
?S
n?1
?a
n
∴
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n? 2)

(n?1)
?
S
1
注意：1? 此法可作为常用公式
2? 当
a
1
(?S
1
)
时 满足
S
n
?S
n?1
时，则
a
n
?S
n
?S
n?1

例二：已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为①
S
n
?2n
2
?n
②
S
n
?n
2
?n?1

求数列
?
a
n
?
的通项公式。
解：1．当
n?1
时，
a
1
?S
1
?1

当
n?2
时，
a
n
?2 n
2
?n?2(n?1)
2
?(n?1)?4n?3

经检验
n?1
时
a
1
?1
也适合
a
n
?4n?3

2．当
n?1
时，
a
1
?S
1
?3

当
n?2
时，
a
n
?n
2
?n?1?(n?1)
2
?(n?1)?1?2n

(n?1)
?
3
∴
a
n
?
?

(n?2)
2n
?
三、递推公式 （见课本P112-113 略）
以上一教时钢管的例子
a
n
?n?3

a
1
?4
从另一个角度，可以：
?

(n?1)

a
n
?a
n?1
?1
(n?2)
“递推公式”定义：已知数列
?
a
n
?
的第一项，且任一项
a
n
与它的前
一项
a
n?1
（或前n
项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫
做这个数列的递推公式。
例三 （P113 例三）略
例四 已知
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n
?4
求
a
n
．
解一：可以写出：
a
1
?2
，
a
2
??2
，
a
3??6
，
a
4
??10
，……
观察可得：
a
n
?2?(n?1)(n?4)?2?4(n?1)

解二：由题设：
a
n?1
?a
n
??4

a
n
?a
n?1
??4
a?a
n?2
??4
∴
n?1

a
n?2
?a
n?3
??4
??

?)
a
2
?a
1
??4


a
n
?a
1
??4(n?1)

∴
a
n
?2?4(n?1)

例五 已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
求
a
n
．
解一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2
2

a
3
?2?2
2
?2
3

观察可得：
a
n
?2
n

解二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
a
n
?2

a
n?1
a
n
a< br>n?1
a
n?2
a
2
???????2
n?1
∴
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1
∴
a
n
?a
1
?2
n?1
?2
n

四、小结： 由数列和求通项

递推公式 （简单阶差、阶商法）
五、作业：P114 习题3．1 3、4
《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2
课时练习 6、7、8

第三教时
教材：等差数列（一） 目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公
式，并能用来解决有 关问题。
过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……


3，0，?3，?6，……

1234
，，，，……
2101010

a
n
?12?3(n?1)
12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、得出等差数列的定义： （见P115）
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
．．．．．．．．．．
1．名称：AP 首项
(a
1
)
公差
(d)

2．若
d?0
则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式： < br>a
2
?a
1
?d
a?a
2
?d?(a
1
?d)?d?a
1
?2d

3

a
4
?a
3
?d?(a
1
? 2d)?d?a
1
?3d
????
由此归纳为
a
n
?a
1
?(n?1)d
当
n?1
时
a
1
?a
1
（成立）
注意: 1? 等差数列的通项公式是关于
n
的一次函数
2? 如果通项公式是关于
n
的一次函数，则该数列成AP
证 明：若
a
n
?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A

它是以
A?B
为首项，
A
为公差的AP。
3? 公式中若
d?0
则数列递增，
d?0
则数列递减
4? 图象： 一条直线上的一群孤立点
三、例题： 注意在
a
n
?a1
?(n?1)d
中
n
，
a
n
，
a< br>1
，
d
四数中已知三个可以求
出另一个。
例一 （P115例一）
例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数
例三 （P116例三） 此题可以看成应用题

a?b

2
证明：设公差为
d
，则
A?a?d

b?a?2d

a?ba?a?2d
∴
??a?d?A

22
四、关于等差中项： 如果
a,A,b
成AP 则
A?
例四 《教学与测试》P77 例一：在?1与7之间顺次插入三个数
a,b,c
使
这五个数成AP，求此数列。
解一：∵
?1,a,b,c,7成AP
∴
b
是-1与7 的等差中项
∴
b?
a?
?1?3
?1

2
3?7
?5

2
?1?7
?3

a
又是-1与3的等差中项 ∴
2

c
又是1与7的等差中项 ∴
c?
解二：设
a
1
??1

a
5
?7
∴
7??1?(5?1)d

?d?2

∴所求的数列为-1，1，3，5，7
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、作业： P118 习题3．2 1-9