新高一数学教案(6)_ 集合的含义与表示

新高一数学教案(6)_ 集合的含义与表示
教学目标
1.理解集合的概念，知道常用数集及其记法.
2.理解“属于”关系的意义，了解有限集、无限集、空集的概念.
教学重点
集合的含义，集合的几种表示方法.
教学难点
运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.
一、【哲理小故事】
鹅卵石与钻石


一天晚上，一群游牧部落的牧民正准备安营扎寨休息的时候， 忽然被一束耀眼
的光芒所笼罩。他们知道神就要出现了，因此，他们满怀殷切的期盼，恭候着来自
上苍的旨意。神出现了，神开始说话了：“你们沿途要多拣拾一些鹅卵石，把他们
放在你们的马褡子里 。明天晚上，你们会非常快乐，但也会非常后悔。”说完，神
就消失了。牧民们感到非常失望，因为他们 原本期盼神给他们带来无尽的财富和健
康长寿，但没想到神却吩咐他们去做这件毫无意义的事。但是，不 管怎样，那毕竟
是神的旨意，他们虽然有些不满，但是，他们还是各自拣拾了一些鹅卵石，放在他
们的马褡子里。就这样，他们又走了一天，当夜幕降临，他们开始安营扎寨时，忽
然发现他们昨天放进 马褡子里的每一颗鹅卵石，竟然都变成了钻石。他们高兴极了，
同时也后悔极了，后悔没有拣拾更多的鹅 卵石。
学生经常会问“为什么我们非要学习这些没用的东西呢？”现在我们觉得没用
的知识，就像鹅卵石，将来有可能变为无尽的财富。

二、【趣味课程导入】
大 家接到录取通知书的时候，上面会有学校通知：8月19日8点，新高一年段
在学校操场集合进行军训动 员；试问这个通知的对象是全体的新高一学生还是个别
教学过程
学生？在这里，集合是我们常 用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是
新高一而不是新高二、新高三）对象的总体，而不是 个别的对象，为此，我们将学
习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.
实例引入：
⑴ 1~20以内的所有质数;
⑵ 我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;
⑶ 金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
⑷ 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;
⑸ 所有的正方形;
⑹ 黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.



















二、【基础知识梳理】
1.定义：一般地，把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.
一个集合，通常用大写英文字母 A，B，C，… 表示，它的元素通常用小写英文字
母 a，b，c，...表示．
集合具有两个特点：
?整体性：集合是指某些对象的整体而不是指其中的个别对象.
?确定性：依据某一明确标准 ，对象要么是集合中的元素，要么不是集合中的元素，
二者必居其一.
1

2.集合中元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.
?确定性 ：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，
或者不是A的元素，两种情况必有 一种且只有一种成立.
?互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象） ，
因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
?无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表 示数列之类的特殊集合时，通
常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写.
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.

3.集合与元素的关系：
?如果 a 是集合 A 的元素，就说a 属于A，记作a∈A，读作“a 属于A”．
?如果a 不是集合A 的元素，就说 a 不属于A，记作a ∈A．读作“a 不属于A”．


4.集合的表示方法：列举法、描述法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内 。如：{1，2，3，4，5}，
{x
2
，3x+2，5y
3
-x， x
2
+y
2
}，…；各元素之间用逗号分开.
描述法：把集合中的 所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成
{x|p(x)}
的形式.
5.常用数集及其记法
(1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作 N；
(2) 正整数集：非负整数集内排除0 的集合，记作 N＋或 N*；
(3) 整数集：整数全体构成的集合，记作 Z；
(4）有理数集：有理数全体构成的集合，记作 Q；
(5) 实数集：实数全体构成的集合，记作 R．
6.集合的分类(按集合元素个数来分类)：
(1) 有限集：含有有限个元素的集合；
(2) 无限集：含有无限个元素的集合；
(3) 空集：不含任何元素的集合,记作Φ.



四、【典型例题剖析】
[例 1]
判断下列各组对象能否构成集合？
（1）不小于2004且不大于2010的所有正整数；
（2）方程
x?x?
（3）比较矮的人.

2
1
?0
的实数根；
2

2

[举一反三]
分析下列各组对象能否构成集合：
（1）比2008大的数；
（2）一次函数
y?kx?b(k?0)
的图象上的若干个点；
（3）正比 例函数
y?x
与反比例函数
y??
（4）面积比较小的三角形.

1
的图象的交点；
x
[例 2]
用列举法表示下列集合.
（1）
A?(x,y)x?y?4,x?N
*
,y?N
*
；
（2）（2）
B?
?
2
??
?
6
?
?Zx?N
?

?
1?x
?
2
（3）方程
x?y?4x?6y?13?0
的解集

[举一反三]
用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.
（1）第三象限内所有点组成的集合；
（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；
（3）所有被5除余2的奇数组成的集合.


[例 3]
用符号“∈”或“
?
”填空：
2 N 0 N 0 N
+
0 Z 3 Q
2
Q 7 R 1.5 Z

[举一反三]
下列关系中正确的是（ ）
?
0，
?
B、
1?（
?
0，
?
C、
0?
?
0，1）1）1
?
D、
1?
?
0，1
?
A、
0?（


[例 4]
设a,b是非零实数，那么

a
a
?
b
b
可能取的值组成集合的元素是_______

[举一反三]①
由实数x,－x,｜x｜,
x
2
,?3
x
3
所组成的集合，最多含（ ）
A、2个元素 B、3个元素 C、4个元素 D、5个元素
3

②已知集合
A?xax
2
?2x?1?0,x?R
，若集合A中至多有一 个元素，求实数
a
的取值范围.

??



[例 5]
在数集
?
2x,x
2
?x
?
中 ，实数
x
的取值范围是




1,0,x
?
，求实数
x
的值.
[举一反三]
x
2
?
?






运会的比赛项目”（4）
?
a,a,b,c
?
以上四者不能组成集合的哪几个？


2.集合
?
(x,y)y?2x?1
?
表示（ ）


A、方程
y?2x?1
B、点
(x,y)



C、平面直角坐标系中的所有点组成的集合

D、函数
y?2x?1
图象上的所有点组成的集合




2
课后作业
3.用列举法表示集合
xx?2x?1?0
为（ ）


2
A、
?
1,1
?
B、
??
1
C、
?
x?1
?
D、
?
x?2x?1?0
?



4.若以集合< br>S?
?
a,b,c
?
中三个元素为边可以构成一个三角形，那么该三角 形一


定不是（ ）

A、锐角三角形 B、等腰三角形 C、钝角三角形 D、直角三角形

?
x?y?1

5.方程组
?
的解集是（ ）

?
x?y?3

A、
?
x?2,y??1
?
B、
?
2,?1
?
C、
?
(2,?1)
?
D、（-1，2）

< br>1.（1）“某中学的大胖子”(2)“某校身高超过1.80米的学生”（3）“08年北京奥
??
4

6.定义集合运算：
A?B?
?
z|z?xy,x?A,y?B
?
．设
A?
?
1,2
?,B?
?
0,2
?
，
则集合
A?B
的所有元素 之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
7.已知集合
M?
?
a?Z



?
?
?
6
?N
*
?
,则
M
是（ ）
5?a
?
A、
?
?1,2,3,4
?
B、
?
2,3,7,8
?
C、
?
2,3
?
D、
?
?1,2,3,6,7,8,11
?


8.若
?3?a?3,2a?1,a?4
，求实数
a
.







9.已知
A?a?1,2a ?5a?1,a?1
，且
?2?A
，求
a
值.








10.已知集合
A?x?R mx
2
?2x?3?0,m?R
，且
A
中只有一个元素，求
?
2
?
?
22
?
??
m
的值.





11.已知
a?
系？


1
2?3
,A?xx?m?3n,m,n?Z
,则
a与
A
之间是什么关
??
5