新人教版高中数学必修一精品教案全册

新人教版高中数学必修一精品教案 全册
课题：1.1集合的含义及表示
内容分析：
1．集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合< br>的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代
数中用到的有数集、解 集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从
开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基 本的逻辑知识在日常生
活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助
学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高 中数学的最开始，是因为在高
中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数
学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑
本节首先从初 中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素
的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明 然后，介绍了集合的常用表示
方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子
这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学
习兴趣，使学生认识学习本章的意 义本节课的教学重点是集合的基本概念
集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触 集合的概念时，主
要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定
的 对象集在一起就成为一个集合，也简称集
”这句话，只是对集合概念的描
述性说明
教学过程：
一、复习引入：
1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；
2．教材中的章头引言；
3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；
4．“物以类聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P
4
）
二、讲解新课：
阅读教材第一部分，问题如下：
（1）有那些概念？是如何定义的？

1

（2）有那些符号？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一 些图形、一些整式、一些物体、一些人组成
的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些 指定的对象
集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的
元素.
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
2、常用数集及记法
N?
?
0,1,2,?
?
（1）非负整数集（自然数集）：全体非 负整数的集合记作N，
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N
*
或N
+

N
*
?
?
1,2,3,?
?

?1，?2，?
?
（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,
Z?
?
0，
（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,
?

Q?
?
整数与分数
（5）实数集：全体实数的集合记作R

R?
??

的数轴上所有点所对数应
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括
数0
（2）非负整数集内排除0的集记作N
*
或N
+
Q、Z、R等其它
数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0
的集，表示成Z
*

3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
a?A

4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可

2

（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
（二）集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
例如，由方程
x
2
?1?0
的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
注：（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}
所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只
有一个元素
2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条
件写在大括号内表示集合的方法
格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合
例如，不等式
x?3?2
的 解集可以表示为：
{x?R|x?3?2}
或
{x|x?3?2}

所有直角三角形的集合可以表示为：
{x|x是直角三角形}

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分
如：{直角三角形}；{大于10
4
的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法
4、何时用列举法？何时用描述法？
⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法 表示，只
能用列举法如：集合
{x
2
,3x?2,5y
3
? x,x
2
?y
2
}

⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需
要一一列举出来，常用描述法
如：集合
{(x,y)|y?x
2
?1}
；集合{1000以内的质 数}
例 集合
{(x,y)|y?x
2
?1}
与集合
{y |y?x
2
?1}
是同一个集合吗？

3

答：不是因为集合
{(x,y)|y?x
2
?1}
是抛物线
y?x
2
?1
上所有的点
构成的集合，集合
{y|y?x
2
?1}
=
{y|y?1}
是函数
y?x
2
?1
的所有函数值
构成的数集
（三） 有限集与无限集
1、有限集：含有有限个元素的集合
2、无限集：含有无限个元素的集合
3、空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：
{x?R|x
2
?1?0}
课 题：1.2子集 全集 补集
内容分析
在研究数的时 候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小
于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“ 包含”与“相等”关系
本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系， 并引出子
集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及
子集与 真子集的有关性质 本节课讲重点是子集的概念，难点是弄清元素与子
集、属于与包含之间的区别
教学过程：
一、复习引入：
（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、
文氏图
（2）用列举法表示下列集合：
①
{x|x
3
?2x
2
?x?2?0}
{-1，1，2}
②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}
11111
（3）用描述法表示集合：
{1,,,,}

{x|x?,n?N
*
且n?5}

2345n
（4）集合中元素的特性是什么？
（5）用列举法和描述法分别表示：“与2相差3的所有整数所组成的
集合”
{x?Z||x?2|?3}
{-1，5}
问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
（2）A=N，B=Q
（3）A={-2，4}，
B?{x|x
2
?2x?8?0}

（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）

4

二、讲解新课：
（一） 子集
1 定义：
（1）子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一
．．
个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集
合B，或集合B包含集合A
记作:
A?B或B?A
，A
?
B或B
?
A
读作：A包含于B或B包含A
若任意x?A?x?B，则A?B

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记
作A
?
?
B或B
?
?
A
注：
A?B
有两种可能
（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一
．．
个元素都是 集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是
．．
集合A的元素，我们就说集合A等于集合B ，记作A=B
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果
A?B
，并且
A? B
，我们
就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A
真包含于B或B真包含A
（4）子集与真子集符号的方向
如A?B与B?A同义；A?B与A?B不同

（5）空集是任何集合的子集Φ
?
A
空集是任何非空集合的真子集ΦA 若A≠Φ，则ΦA
任何一个集合是它本身的子集
A?A

（6）易混符号
①“
?
”与“
?
”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间< br>是包含关系如
1?N,?1?N,N?R,
Φ
?
R，{1}
?
{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集
合
如 Φ
?
{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
全集与补集
Q

5
N
Z
R

1 补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即
A?S
），
由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A
的补集（或余集），记作
C
S
A
，即
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

S
2、性质：C
S
（C
S
A）=A ，C
S
S=
?
，C
S
?
=S
A 3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个
集合就可以看作一个全集，全 集通常用U表示
课 题：1.3 交集、交集
内容分析
这小节 研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集
的概念，难点是弄清交集与并集的概念， 符号之间的区别与联系
教学过程：
一、复习引入：
1．说出
C
S
A
的意义
2．填空：若全集U={x|0≤x＜6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那
么
C
U
A?
{0，2，4}
C
U
B?
{0，2，3，5}
3．已知6的正约数的集合为 A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，
5，10}，那么6与10C= .（答：C={1，2}）
A
的正公约数的集合为
A
B
B
4．观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？
图1
图2
如上图，集合A和B的公共部分叫做集合A和集合B的交（图1的阴影
部分），集合A和B合并在一 起得到的集合叫做集合A和集合B的并（图2
的阴影部分）．
观察问题3中A、B、C三个集 合的元素关系易知，集合C={1，2}是由
所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的，即集合C的 元素是集合A、
B的公共元素，此时，我们就把集合C叫做集合A与B的交集，这是今天我
们要 学习的一个重要概念.
问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
（2）A=N，B=Q

6

（3）A={-2，4}，
B?{x|x
2
?2x?8?0}

（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
二、讲解新课：
1．交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A
?
B（读作‘A交B’），
即A
?
B=｛x|x
?
A，且x
?
B｝．
如：｛1,2,3,6｝
?
｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．
又如：Ａ ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则A
?
B={c,d,e}．
2．并集的定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做
A,B的并集．
记作：A
?
B（读作‘A并B’），
即A
?
B ={x|x
?
A，或x
?
B})．
如：｛1,2,3,6｝
?
｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．
3、交集、并集的性质
用文图表示
(1)若A
?
B,则A
?
B=B, A
?
B=B
(2)若A
?
B则A
?
B=A A
?
B=A
(3)若A=B, 则A
?
A=A A
?
A=A



A(B)
(4)若A,B相交，有公共元素，但
不包含
则A
?
B A,A
?
B B
A
?
BA, A
?
BB


B

A

B

B



A
A


A

B
(5) )若A,B无公共元素，则A
?
B=Φ
(学生思考、讨论、分析：从图中你能看出那些结论？)：
从图中观察分析、思考、讨论，完全归纳以下性质，并用集合语言证明：
1．交集的性质
(1)A
?
A=A A
?
Φ=Φ，A
?
B=B
?
A (2)A
?
B
?
A, A
?
B
?
B．
2．并集的性质
(1)A
?
A=A (2)A
?
Φ=A (3)A
?
B=B
?
A (4)A
?
B
?
Ａ,A
?
B
?
B

7

联系交集的性质有结论：Φ
?
A< br>?
B
?
A
?
A
?
B．
3. 德摩根律：(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B),
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)(可以用韦恩图来理解)．
结合补集，还有①A
?
(C
u
A)=U, ②A
?
(C
u
A)= Φ．
容斥原理
一般地把有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有
card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．
三、讲解范例：
例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A
?
B.
解：A
?B=｛x|x>-2｝
?
｛x|x<3｝=｛x|-2例2 设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求A
?
B.
解：A
?
B=｛x|x是等腰三角形｝
?
｛x|x是直角三角形｝
=｛x|x是等腰直角三角形｝．
例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A
?
B.
解：A
?
B=｛3,4,5,6,7,8｝．
例4设A=｛x|x是锐角三角形｝，B=｛x|x是钝角三角形｝，求A
?
B.
解：A
?
B=｛x|x是锐角三角形｝
?
｛x|x是钝角三角形｝
=｛x|x是斜三角形｝．
例5设A=｛x|-1解：A
?
B=｛x|-1?
｛x|1说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交
集、并集，可通过数轴直观显示 ；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于
解题
例6（课本第12页）设A=｛(x,y)| y=-4x+6｝,B=｛(x,y)|y=5x-3｝,求A
?
B.
解：A
?
B=｛(x,y)|y=-4x+6｝
?
｛(x,y)|y=5x-3｝
y??4x?6
=｛(x,y)|
?
｝=｛(1,2)｝
?
注：本题中，(x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方
程的一个解．
形如2n（n
?
Z）的整数叫做偶数，形如2n+1（n
?
Z）的数叫做奇数 ，全
体奇数的集合叫做奇数集全体偶数的集合叫做偶数集．
?
y?5x?3
交集与并集性质例题

8

例1（课本第12页）设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛ 3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,
求C
u
A, C
u
B, (C
u
A)
?
(C
u
B), (C
u
A)
?
(C
u
B), C
u
(A
?
B) , C
u
(A
?
B)．
解：C
u
A=｛1,2,6,7,8｝ C
u
B=｛1,2,3,5,6｝
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)=｛1,2,6｝
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)=｛1,2,3,5,6,7,8｝
例2 已知集 合A={y|y=x
2
-4x+5},B={x|y=
5?x
}求A∩B,A ∪B．
解：A∩B= {x|1≤x≤5}, A∪B=R．
例3 已知A={x|x
2
≤4}, B={x|x>a},若A∩B=Ф,求实数a的取值范围．
解：a≧2
例4 集合M=｛(x,y) |∣xy∣=1,x＞0｝,N=｛(x,y) |xy=-1｝,求M∪N．
解：M∪N=｛(x,y) |xy=-1,或xy=1(x＞0)｝．
?
x?1
?
例5 已知全集U={x|x
2
-3x+2≥0 }，A={x||x-2|>1}，B=
?
x?0
?
，
?
x?2
?
求C
U
A，C
U
B，A∩B，A∩（C
U
B），（C
U
A）∩B
解：∵U={x|x
2
-3x+2 ≥0}＝{x|x
?
1或x
?
2}，
A={x||x-2|>1}={x|x<1或x>3}，
?
x?1
?
B=
?
x?0
?
={x| x
?
1或x>2}
?
x?2
?
∴C
U
A =
?
xx?1或2?x?3
?

C
U
B=
?
xx?2
?

A∩B=A={x|x<1或x>3}，={x|x<1或x>3}，
A∩（C
U
B）=
?

（C
U
A）∩B=
?
2xx?1或2?x?3
?

课 题：1.4 逻辑联结词
内容分析：
学生在初中数学中，学习过简单的 命题(包括原命题与逆命题)知识，掌
握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首 先给出含有
“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”
的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初
中的基础上，结合四种命题 的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实
例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．
这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易
逻辑知识，主要是 为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，

9

在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必
要的．
这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对
简单的推理方法有一定程度的熟 悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通
过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力 ，因此，像对
代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．
教学过程：
一、复习引入：
命题的概念：可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假
命题
例如：①11>5 ②3是15的约数 ③0.7是整数
①②是真命题，③是假命题
反例：④3是15的约数吗？ ⑤ x>8
都不是命题，不涉及真假(问题) 无法判断真假
“这是一棵大树”； “x＜2”． 都 不能叫命题．由于“大树”没有界定，
就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x是未知数，也不能判 断“x＜2”
是否成立．
注意：①初中教材中命题的定义是：判断一件事情的 句子叫做命题；这
里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的
②判 断命题的关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立；
不能判断真假的语句，就不是命题.
③与命题相关的概念是开语句例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语
句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假
的.这种含有变量的语句叫做 开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）.
在教学时，不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为 这个工作过
于复杂，要求学生能够从正面的例子了解命题的概念就可以了．
二、讲解新课：
1．逻辑连接词
例 ⑥ 10可以被2或5整除； （10可以被2整除或10可以被5整
除）
⑦ 菱形的对角线互相垂直且平分；

10

（菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分）
⑧ 0.5非整数 .( 非“0.5是整数”)
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
2．简单命题与复合命题：
简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题
复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题

其实，有些概念前面已遇到过
如：或：不等式
x
2
?x?6>0的解集 { x | x3 }
且：不等式
x
2
?x?6<0的解集 { x | ?2< x<3 } 即 { x | x>?2且
x<3 }
3．复合命题的构成形式
如果用 p, q, r, s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三
种：
即：p或q 记作 p?q p且q 记作 p?q
非p (命题的否定) 记作 ?p
释义：“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如，“x
?
A或x
?
B”，是
指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属 于
A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x
?
A?B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者 .例如，“x
?
A且x
?
B”，是指x属于A，同
时x也属于B（即 x
?
A
?
B）.
“非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p 是“x
?
A”，则“非p”表
示x不是集合A的元素（即x
?
CU
A
）.
开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是< br>无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为
条件命题)．也可以 把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起
来，构成复合的开语句(有的逻辑书也称之 为复合条件命题)，这里的“或”、
“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义 相同．在进行
命题教学时，要注意命题与开语句的区别，特别在举有关逻辑联结词“或”、
“且 ”、“非”的例子时，容易把两者混淆．

11

例1（课本第26页例1）分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简
单命题：
⑴ 24既是8的倍数，也是6的被数；
⑵ 李强是篮球运动员或跳高运动员；
⑶ 平行线不相交.
解：⑴ 这个命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6
的倍数.
⑵ 这个命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员，q：李强是
跳高运动员.
⑶ 这个命题是非p的形式，其中p：平行线相交.
例2 命题“方程|x|=1的解是x=±1”中，使用逻辑联结词的情况是
（ ）
A：使用了逻辑联结词“或” B：使用了逻辑联结词“且”
C：使用了逻辑联结词“非” D：没有使用逻辑联结词
判断复合命题真假的方法
1．“非 p”形式的复合命题
例1 (1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.
(2) )如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.
解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.
(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其
显然为真.
小结：非p复合命题判断真假的方法
当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非 p”形式的
复合命题的真假与p的真假相反，可用下表表示
p
真
假

2．“p且q”形式的复合命题
例2．如果p表示“5是10的约数”，q表示“ 5是15的约数”，r表
示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然< br>非p
假
真

12

后归纳出其规律.
解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；
p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）
小结：“p且q”形式的复合命题真假判断
当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q
为假可用下表表示
p
真
真
假
假

q
真
假
真
假
p且q
真
假
假
假
3．“p或q”形式的复合命题：
例3．如果p表示“5是12的约数” q表示“5是15 的约数”，r表
示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真
假，归纳其规律.
p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；
p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）
小结：“p或q”形式的复合命题真假判断
当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p
或q”为假. 即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情
况时为真. 可用下表表示.
p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
p或q
真
真
真
假
像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.
在真值表中，是根据简单命题的真假，判 断由这些简单命题构成的复
合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.
例4（课本第28页例2）分别指出由下列各组命题构成的“ p或q”，

13

“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：
① p：2+2=5，q：3>2；
② p：9是质数，q：8是12的约数；
③ p：1∈{1，2}，q：{1}
?
{1，2}；
④ p：φ
?
{0}，q：φ={0}.
解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2
?
5.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
②p或q：9是质数或8 是12的约数；p且q：9是质数且8是12
的约数；非p：9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
③p或q：1∈{1，2 }或{1}
?
{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}
?
{1，
2}；非p：1
?
{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
④p或q：φ
?
{0}或φ={0}；p且q：φ
?
{0}且φ={0} ；非p：
φ
?
{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
4．逻辑符号
“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.
例如，“p或q”可记作“p∨q”； “p且q”可记作“p∧q”；“非p”
可记作“┐p”.

注意：数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别
“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：
一是“不可兼有”，即“a或b”是指a， b中的某一个，但不是两者.
日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认 为
有你我都去这种可能.
二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例 如“x
?
A
或x
?
B”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但 ”等价于“且”），x
也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x
?
A∩B）；又如
在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.
数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.

14

还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.
另外，“苹果是长在 树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它
是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.
课 题：1.5 四种命题
内容分析：
学生在初中数学中，学习过简单的命 题(包括原命题与逆命题)知识，掌
握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先 讲述四种
命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲
解反证法． 然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的
有关知识．
这一大节的重点是 充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进
行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方 面，逻辑联结词“或”、“且”、
“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．
这一大节的难 点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对
简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关 的技能和能力，主要还是通
过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对< br>代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．
教学过程：
一、复习引入：
复习初中学过的命题与逆命题，并举例说明（学生回答，教师整理补充）
两个命题，如果第一 个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且
第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命 题叫做互逆命题；如
果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.
例如，(1)同位角相等，两直线平行；
条件（题设）：同位角相等；结论：两直线平行
它的逆命题就是：(2)两直线平行，同位角相等
二、讲解新课：
1．引例
(3)同位角不相等，两直线不平行；
(4)两直线不平行，同位角不相等.
比较命题(1)与(3)、(1)与(4)的条件与结论的异同（学生回答，教师整理

15

补充）
在命题(1)与命题(3)中，一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的条件
的否定和结论的否定，我们称命题(1)与命题(3)互为否命题；
在命题(1)与命题(4)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论
的否定和条件的 否定，我们称命题(1)与命题(4)互为逆否命题；（让学生取名
字）
思考：由原命题怎么得到逆命题、否命题、逆否命题？
（学生回答，教师整理补充）
交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.
2．概括：
(1)为原命题 (2)为逆命题
(3)为否命题 (4)为逆否命题
反问：若(2)为原命题，则(1)(3)(4)各为哪种命题？
若(3)为原命题，则(1)(2)(4)各为哪种命题？
若(4)为原命题，则(1)(2)(3)各为哪种命题？
强调：“互为”的含义
3．四中命题的形式
若p为原命题条件，q为原命题结论（学生回答，教师整理补充）
则：原命题：若 p 则 q
逆命题：若 q 则 p
否命题：若 ?p 则 ?q
逆否命题：若 ?q 则 ?p
4．四种命题的相互关系
互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其 中
一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否
命题.因此，四种 命题之间的相互关系，可用
右下图表示：
5．四种命题的真假关系
一个命题的真假 与其他三个命题的真假有
原命题
若p则q
互
否
否命题
若┐p 则┐q
互
逆
互
为
为
互
否
逆命题
若 q则p
互
否
逆否命题
若┐q则┐p
逆
逆
否

16
互
逆

如下三条关系：
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真
②、原命题为真，它的否命题不一定为真
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真
6．反证法：
要证明某一结论A是正确的 ，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非
A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定 命题的结论而导
出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法
7．反证法的步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立
(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
注意：可能出现矛盾四种情况：
①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，
推出自相矛盾的结论
课 题：1.6 充分条件与必要条件
内容分析：
这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知
识．
这一大节 的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进
行简单推理的技能，发展学生的思维能力 ，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、
“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．
关于 充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控
制在对初中代数、几何的有关问题的理 解上为宜．
教学过程：
一、复习引入：
同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇 到老师的时候，你向老师介绍
你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会 不
会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她
是你的妈妈就足 于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系
呢？今天我们就来学习这个有意义的课题— 充分条件与必要条件.

17

二、讲解新课：
⒈符号“
?
”的含义
前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命 题为真，有的命
题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果
p 成立，那么q一定成立，记作p
?
q，或者q
?
p；如果由p推不出q，命题
为假，记作pq.
q（或qp）.
简单地说，“若p则q”为真，记作p
?
q（或q
?
p）；
“若p则q”为假，记作p
符号“
?
”叫做推断符号.
例如，“若x>0，则x
2
>0”是一个真命题，可写成：x>0
?
x
2
>0；
又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等” 是一个真命题，可写
成：两三角形全等
?
两三角形面积相等.
说明：⑴“p
?
q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.
⑵“p
?
q”也可写为“q
?
p”，有时也用“p→q”.
⒉什么是充分条件？什么是必要条件？
如果已知p
?
q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
在上面是两个例子中，“x>0”是“x
2
>0”的充分条件，“x
2
>0” 是“x>0”
的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三
角形 面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.
⒊充分条件与必要条件的判断
1.直接利用定 义判断：即“若p
?
q成立，则p是q的充分条件，q是p
的必要条件”.（条件与结 论是相对的）
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
⑴ p：x=y；q：x
2
=y
2
.
⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.
分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：⑴由p
?
q，即x=y
?
x
2
=y
2
，知p是q的充分条件，q是p 的必要条
件.
⑵由p
?
q，即三角形的三条边相等
?
三角 形的三个角相等，知p是
q的充分条件，q是p的必要条件；
又由q
?
p， 即三角形的三个角相等
?
三角形的三条边相等，知q也是p

18

的充分条件，p也是q的必要条件.
练习：课本P
35
练习：2⑴⑵⑶⑷.
答案：⑴∵p
?
q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；
⑵∵q
?
p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；
⑶∵p
?
q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q
?
p，
∴q也是p的充 分条件，p也是q的必要条件.
⑷∵p
?
q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条 件；又∵q
?
p，
∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.
以上是直 接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如
果由命题不是很好判断的话，我们可以换 一种方式，根据互为逆否命题的等
价性，利用它的逆否命题来进行判断.
4.什么是充要条件？
如果既有p
?
q，又有q
?
p，就 记作p
?
q.此时，p既是q的充分条件，
p又是q的必要条件，我们就说，p是q的 充分必要条件，简称充要条件.（当
然此时也可以说q是p的充要条件）
例如，“x=0，y =0”是“x
2
+y
2
=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”
是“三角形的三个角相等”的充要条件.
说明：⑴符号“
?
”叫做等价符号.“p< br>?
q”表示“p
?
q且p
?
q”；
也表示“p等价于 q”. “p
?
q”有时也用“p
?
q”；
⑵“充要条件”有时还 可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示
“充分”，“仅当”表示“必要”.
5.几个相关的概念
若p
?
q，但p
若p
若pq，且p< br>q，则说p是q的充分而不必要条件；
q，则说p是q的既不充分也不必要条件.
q，但p
?
q，则说p是q的必要而不充分条件；
例如，“x>2”是“x >1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必
要而不充分的条件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件.
6.充要条件的判断方法
四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在
判断时应该：
⑴确定条件是什么，结论是什么；

19

⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证
法）；
⑶确定条件是结论的什么条件.
7.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？
答：有两种说法 ：⑴若A
?
B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；
若A=B，则A是B的充要 条件（此时B也是A的充要条件）.
在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此
命题的真值集合. < br>⑵若p
?
q，说明p的真值集合
?
q的真值集合，则p是q的充分条件 ，
q是p的必要条件；若p
?
q，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条件（此时q也是p的充要条件）.
课 题：2.1 函数
二、讲解新课：
（一）函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合A
中的任意一个
x
，在集合B中都有唯一确定的数
f( x)
和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合A到集合B的函数，记作
y?f(x)
， x
?
A
其中
x
叫自变量，x
的取值范围A叫做函数
y?f(x)
的定义域；与
x
的值相对
应的
y
的值叫做函数值，函数值的集合
?
f(x)|x?A
?
（
?
B）叫做函数y=f(x)
的值域.
函数符号
y? f(x)
表示“y是x的函数”，有时简记作函数
f(x)
.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
f:A?B

这里 A, B 为非空的数集.
（2）A：定义域，原象的集合；
?
f(x)|x?A< br>?
：值域，象的集合,其中
?
f(x)|x?A
?
? B ；
f
：对应法则 ，
已学函数的定义域和值域
x
?A ，
y
?B
（3）函数符号：
y?f(x)

?
y
是
x
的函数，简记
f(x)

1．一次函数
f(x)?ax?b(a?0)
:定义域R, 值域R;
k< br>2．反比例函
f(x)?
(k?0)
:定义域
?
x|x?0< br>?
, 值域
?
x|x?0
?
;
x
2
3．二次函数
f(x)?ax?bx?c
(a?0)
:定义域R

20

??
4ac?b
2
?
4a c?b
2
?
值域：当
a?0
时，
?
y|y?
?
；当
a?0
时，
?
y|y?
?

4a
?
4a
???
函数的值：关于函数值
f(a)

例：
f(x)
=
x
2
+3x+1 则 f(2)=
2
2
+3×2+1=11
注意：1?在
y?f(x)< br>中
f
表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2?
f(x)
不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3?
f(x)
与
f(a)
是不同的，前者为变数，后者为常数
函数的三要素： 对应法则
f
、定义域A、值域
?
f(x)|x?A
?

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
二、区间的概念及求定义域的方法
1．区间的概念和记号
在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设a,b
?
R ,且a①满足不等式a
?
x
?
b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a③满足不等式a
?
x?
b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分
别表示为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条 以a和b为端点的线段来表示，在图
中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间 内的端
点：




定 义
{x|a
?
x
?
b}
{x|a}
{x|a
?
x
21
名 称
号
闭区间
开区间
符
[a，b]

(a，b)
[a，b]
数 轴 表 示

}
{x|a?
b左开右闭区间
}

(a，b)



这样实数集R也可用区间表示为( -
?
,+
?
),“
?
”读作“无穷大”，“-
?< br>”
读作“负无穷大”，“+
?
”读作“正无穷大”.还可把满足x
?< br>a，x>a，x
?
b，
x?< br>)
，（a，+
?
）,(-
?
,b
]
,(-
?
,b).
注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；
③两个端点之间用“，”隔开.
2．求函数定义域的基本方法
我们知道，根据函数 的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函
数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定） ，不指明这两点是不能算
给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么
集合，那么函数的定义域 就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.有这
个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时 也就给定了定义域，而
求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集
合.
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，
对应法则不 同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是
几个函数.
4．复合函数：设 f(x)=2x?3，g(x)=x
2
+2，则称 f[g(x)] =2(x
2
+2)?3=2x
2
+1
（或g[f(x)] =(2x?3)
2
+2=4x
2
?12x+11）为复合函数
求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0
的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分

22 < /p>

4
1
(1)
2
-2
1
-1
4 5
0
60
0
0

90
2
3
22
(2)
1
A
式子都有意义的实数集合；
1
求平方< br>B
A
乘以2
B
2
3
4
5
6
1
1
⑤若f(x)
-1
是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合 实际问
1
题.
2
4
2
-2
三、映射
3
9
3
-3
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设
(3)
(4)
A，B分别是两个有限集

说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中
的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，
这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫
做集合A到集合B的映射 记作：
f:A?B

象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且
a?A,b?B
，如
果元素
a
和元素
b
对应，则元素
b
叫做元素
a
的 象，元素
a
叫
做元素
b
的原象
关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）
①“A到B”：映射是有方向的，A 到B的映射与B到A的映射往
往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此
映 射是有序的；
②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素
和它对应，这 是映射的存在性；
③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的
元素和它 对应，这是映射的唯一性；
④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映
射的封闭性.
指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B
的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一
思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？
回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都
有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集
合B的映射

23

思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?
一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射
辨析：
①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的
集合等；
②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是
同一个映射；
③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A的任 一元素的象都必须是B中的元素，不要
求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子
集.
映射三要素：集合A、B以及对应法则
f
，缺一不可；
课 题：2.2 函数的表示法
讲解新课：
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法：就是把两个变量的函数 关系，用一个等式表示，这个等式叫
做函数的解析表达式，简称解析式.
例如，s=60t
2
，A=
?
r
2
，S=2
?
rl< br>,y=a
x
2
+bx+c(a
?
0),y=
x?2< br>(x
?
2)等
等都是用解析式表示函数关系的.
优点：一是简明、全 面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求
出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究 的函数主要是用解析
法表示的函数.
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如，学生的身高 单位：厘米



数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车
时 刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

24

⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如，气象 台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国
人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股 市走向图等都是用图象法表示
函数关系的.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的 函数值变化的趋势，
这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
函数值域的表示方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a
?
0)的定义域为R，值域为R；
k
反 比例函数
y?(k?0)
的定义域为{x|x
?
0}，值域为{y|y
?
0}；
x
二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a ?0)
的定义域为R，
22
(4ac?b)(4ac?b)
}. 当a>0 时，值域为{
y|y?
}；当a<0时，值域为{
y|y?
4a4a
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
对于二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
,
⑴若定义域为R时，
2
①当a>0时，则当
x??
b
时， 其最小值
y
min
?
(4ac?b)
；
2a
4a
2
b
(4ac?b)
. ②当a<0时，则当x??
时，其最大值
y
max
?
2a
4a
⑵若 定义域为x
?
[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间
[a,b].
①若
x0
?
[a,b],则
f(x
0
)
是函数的最小值（a> 0）时或最大值（a<0）时，
再比较
f(a),f(b)
的大小决定函数的最大（小 ）值.
②若
x
0
?
[a,b],则[a,b]是在
f(x )
的单调区间内，只需比较
f(a),f(b)
的大小
即可决定函数的最大（ 小）值.
若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置
关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注

25

意二次项系数是否为0的讨论
4．换元法
例．求函数
y?2x?41?x
的值域
解：设
t?1?x
则 t
?
0 x=1?
t
2

代入得
y?f (t)?2?(1?t
2
)?4t
??2t
2
?4t?2??2(t?1)
2
?4

∵t
?
0 ∴y
?
4
5．分段函数
例．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解1
x
：
?2
法
x?1(??
将
1)
函数化为分段函数形式：
?
?
y?
?
3(?1?x?2)
，画出它的图象（下图），由图象可知，
?
2x?1(x?2)
?
3}. 函数的值域是{y|y
?
解法2 ：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两
定点-1，2的距离之和，∴易见y的最 小值是3，∴函数的值域是[3，+
?
]. 如
图
x-1O12
y
3
-1
O
2
x

-1Ox12

-1O12x

两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值 域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、
图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不 断积累，还有如不等式
法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用
简捷解
课 题：2.3 函数的单调性
讲解新课：
⒈ 增函数与减函数
定义：对于函数< br>f(x)
的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
x
1
,x2
，⑴若当
x
1
<
x
2
时，都有
f( x
1
)
<
f(x
2
)
,则说
f(x)在这个区间上是增函数
（如
间上


y
图3）；⑵若当
x
1
<
x
2
时，都有
f(x
1
)
>
f(x
2
)
,则说
f(x)
在这个区
f (x)
是减函数（如图4）.
y
f(x)
f(x
1
)x
1
图3
f(x
2
)
x
2
26 f(x
1
)
x
1
图4
f(x
2
)x
2
x
x

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函
数在一些区 间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数
y?x
2
（图1），当
x
∈[0,+
?
)时是增函数，当
x
∈(-
?
, 0)时是减函数.
⒉ 单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数 ，则就说函数
f(x)
在这一区
间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数
f(x)
的单调区间.此时也说函数
是这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任< br>这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），
如，图5中，在
x
1
,x
2
那样的特定位置上，虽然使得
f(x
1
)
x
1
图5
y
f(x)
意取值
例
f(x
2
)
x
2
x
f(x
1
)
>
f(x
2< br>)
，但显然此图象表示的函数不是一个单
调函数；
⑶除了严格单调函数外，还 有不严格单调函数，它的定义类似上述的定
义，只要将上述定义中的“
f(x
1
)
<
f(x
2
)
或
f(x
1
)
>
f(x
2
)
, ”改为
“
f(x
1
)< br>?
f(x
2
)
或
f(x
1
)
?
f(x
2
)
,”即可；
⑷定义的内涵与外延：
内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；
外延 ①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自
变量的变化与函数值的变化相对时是单 调递减.
②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为
增函数，图象下 降则为减函数.

27

3．函数单调性的证明
例1．判断并证明函数
f(x)?x
3
的单调性
证明：设
x
1
?x
2
则
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
?x
1
x
2
?x
2
)

22
3222
x3x
∵
x
1
?x
2
∴
x
1
?x
2
?0
，x
1
?x
1
x
2
?x
2
?(x
1
?
2
)
2
?
2
?0
,
24
∴
f(x
1
)?f(x
2
)?0
即
f(x
1
)?f(x
2
)
（注：关键
f(x
1
)?f(x
2
)?0
的判断）
2
∴
f(x)?x
3
在R上是增函数.
4．复合函数单调性的判断
对于函数
y?f(u)
和
u?g(x)
，如果
u?g(x)
在区间
(a,b)
上是具有单调
性，当
x?(a,b)
时，
u?(m,n)
，且
y?f(u)
在区 间
(m,n)
上也具有单调性，则
复合函数
y?f(g(x))
在区 间
(a,b)
具有单调性的规律见下表：
y?f(u)

u?g(x)

y?f(g(x))
增 ↗
增 ↗
↘
增 ↗
↘
减
↘
减
↗
减 ↘
增 减 ↘
减 增 ↗

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
证明：①设
x1
,x
2
?(a,b)
，且
x
1
?x
2

∵
u?g(x)
在
(a,b)
上是增函数，
∴
g(x
1
)?g(x
2
)
，且
g(x
1
),g(x
2
)?(m,n)

∵
y?f(u)
在
(m,n)
上是增函数，∴
f(g(x
1
))?g((x
2
))
.
所以复合函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b)
上是增函数 < br>②设
x
1
,x
2
?(a,b)
，且
x
1
?x
2
，∵
u?g(x)
在
(a,b)
上是增 函数，
∴
g(x
1
)?g(x
2
)
，且
g(x
1
),g(x
2
)?(m,n)

∵
y?f (u)
在
(m,n)
上是减函数，∴
f(g(x
1
))?g ((x
2
))
.
所以复合函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b)
上是减函数 < br>③设
x
1
,x
2
?(a,b)
，且
x
1
?x
2
，∵
u?g(x)
在
(a,b)
上是减 函数，

28

∴
g(x
1
) ?g(x
2
)
，且
g(x
1
),g(x
2
)?(m,n)

∵
y?f(u)
在
(m,n)
上是增函数 ，∴
f(g(x
1
))?g((x
2
))
.
所以复合函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b)
上是减函数 < br>④设
x
1
,x
2
?(a,b)
，且
x
1
?x
2
，∵
u?g(x)
在
(a,b)
上是减 函数，
∴
g(x
1
)?g(x
2
)
，且
g(x
1
),g(x
2
)?(m,n)

∵
y?f (u)
在
(m,n)
上是减函数，∴
f(g(x
1
))?g ((x
2
))
.
所以复合函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b)
上是增函数
课 题：2.4 反函数
讲解新课：
反函数的定义
一般地，设函数
y?f(x)(x?A)
的值域是C，根据这个函数中x,y 的关
系，用y把x表示出，得到x=
?
(y). 若对于y在C中的任何一个值，通< br>过x=
?
(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=
?
(y )就表示y是
自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=
?
(y) (y
?
C)叫做函数
y?f(x)(x?A)
的反函数，记作
x?f
?1
(y)
,习惯上改写成
y?f
?1
(x)

探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？
反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函 数的定义可知，对
于任意一个函数
y?f(x)
来说，不一定有反函数，如
y ?x
2
,只有“一一映
射”确定的函数才有反函数，
y?x
2
,
x?[0,??)
有反函数是
y?x

探讨2：互为反函数定义域、值域的关系
从映射的定义可知，函数
y?f(x)是定义域A到值域C的映射，而它
的反函数
y?f
?1
(x)
是 集合C到集合A的映射，因此，函数
y?f(x)
的定义
域正好是它的反函数
y?f
?1
(x)
的值域；函数
y?f(x)
的值域正好是它的反< br>函数
y?f
?1
(x)
的定义域
f[f
?1
(x)]?x,f
?1
[f(x)]?x
（如下表）：
?1
函数
y?f(x)
反函数
y?f(x)

定义域
值 域
A
C
C
A
探讨3：
y?f
?1
(x)
的反函数是？
若函数
y?f(x)
有反函数
y?f
?1
(x)
，那么函数
y?f
?1
(x)
的反函数就是
y?f(x)
，这就是说，函数
y ?f(x)
与
y?f
?1
(x)
互为反函数

29

2、探究互为反函数的函数的图像关系
观察讨论函 数、反函数的图像，归纳结论：函数
y?f(x)
的图象和它
的反函数
y?f
?1
(x)
的图象关于直线
y?x
对称.
3．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）
证明：设M(a,b)是
y?f(x)
的图象上的任意一点，
则当x=a时，
f(x)
有唯一的值
f(a)?b
.
∵
y?f(x)
有反函数
y?f(x)
，
∴当x=b时，
f
?1
(x)
有唯一的值
f
?1
(b)?a
，
即点
M'
(b,a)在反函数
y?f
?1
(x)的图象上.
若a=b，则M，
M'
是直线y=x上的同一个点，它们关
y=x对称.
若a
?
b，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，P
M'，M
M'

由两点间的距离公式得：
PM=
(a?c)
2
?(b?c)
2
,P
M'
=
(b?c)
2?(a?c)
2
，
∴PM=P
M'
. ∴直线y=x是线段M
M'
的垂直平分线，
∴点M,
M'
关于直线y=x对称.
∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，
∴
y?f(x)
图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数
于直线
?1
y?f(x)
P
M
M'
y?f
?1
(x)< br>y?f
?1
(x)
的图象上，由
y?f(x)
与
y? f
?1
(x)
互为反函数可知，函数
y?f
?1
(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数
y?f(x)
的图象上， ∴函数
y?f(x)
与
y?f
?1
(x)
的图象关于直 线y=x对称.
逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一
定是互为反函数.
4．应用：⑴利用对称性作反函数的图像
若
y?f(x)
的图象已作出或比 较好作，那么它的反函数
y?f
?1
(x)
的
图象可以由
y ?f(x)
的图象关于直线y=x对称而得到；
⑵求反函数的定义域求原函数的值域；
⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同
课 题：2.5 指数函数
新课讲解

30

根式
1、定义：
一般地，若
x
n
?a(n?1,n?N*)
则x叫做a的n次方根
n
a
叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
例如，27的3次方根表示 为
3
27
，-32的5次方根表示为
5
?32
，
a
6
的3
次方根表示为
3
a
6
；16的4次方根表示 为?
4
16
，即16的4次方根有
两个，一个是
4
16，另一个是-
4
16
，它们绝对值相等而符号相反.
2、性质：
①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数
n
记作：
x?a

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）
n
x??a
记作：
③负数没有偶次方根，
④ 0的任何次方根为0
注：当a
?
0时，
n
a
?
0 ，表示算术根，所以类似
4
16
=2的写法是错误的.
3、常用公式
根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
①当n为任意正整数时，(
na
)
n
=a.例如，(
3
27
)
3
= 27，(
5
?32
)
5
=-32.
?
a(a?0 )
②当n为奇数时，
n
a
n
=a；当n为偶数时，
n
a
n
=|a|=
?
.
?
?a(a?0)
32< br>5
5
4
4
3
(?2)(?3)
例如，=-2，
2
=2；
3
=3，=|-3|=3.
⑶根式的基本性质：
amp
?
n
a
m
，（a
?
0）.
注意，⑶中的a
?
0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如
6
(?8)
2
?
3
?8
.
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为 奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数
a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的
根指数和被开方数的 指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不
变.
分指数
1.正数的正分数指数幂的意义
np

31

m
n
a
*
?
n
a
m
(
a
＞0,
m
,
n
∈N,且
n
＞1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分
数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定：
m
(1)
a
?
n
?
1
m
n
(< br>a
＞0，
m
,
n
∈N
*
,且
n＞1)
a
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到 有理数指数.
当
a
＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对 于任
意有理数r,s,均有下面的运算性质.
a
m
有理指数幂的运算性质< br>?a
n
?a
m?n
(m,n?Q)
: 3.
(a
m
)
n
?a
mn
(m,n?Q)

a
p
表示一个确定的实数，上述有理说明：若＞0
(
，
P< br>是一个无理数，则
(ab)
n
?a
n
a
?b
n
n?Q)
指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.

指数函数
1．指数函数的定义：
函数
y?a
x
(a ?0且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域
是R
探究1：为什么要规定a>0,且a
?
1呢？
①若a=0，则当x>0时，
a
x
=0；当x
?
0时，
a
x
无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使
a
x
无意义. 如
(?2)
x
，这时对于
11
x=，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在. 42
③若a=1，则对于任何x
?
R，
a
x
=1，是一 个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a?1在规定以后，对于任 何x
?
R，
a
x
都有意义，且
a
x
>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究2：函数
y?2?3
x
是指数函数吗？
指数函数的解析式y=
a
x
中，
a
x
的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=
a
x
+k (a>0且a?
1，k
?
Z)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=< br>a
?x
(a>0,且a
?
1)，因为

32

11
?
1
?
它可以化为y=
??
，其中>0，且
?
1
aa
?
a
?
2.指数函数的图象和性质：
x
x< br>?
1
??
1
?
在同一坐标系中分别作出函数y=
2< br>，y=
??
，y=
10
x
，y=
??
的图象 .
?
2
??
10
?
列表如下：


xx
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
y=
2
x

x
… 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
?
1
?
y=
??
… 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
2
??
x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5

…
y=
10
x

x
… 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 …
?
1
?
y=
??
… 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 …
xx
?
10
?
?
1
??
1
?
我们观察y=
2
x
，y=
??
，y=
10
x
，y=
??
的图象特征， 就可以得到
?
2
??
10
?
x
的图象和性质
y?a(a?0且a?1)


图
象
a>1
-4-2
00
-1
246

-4-2
0
-1
246


性
质


(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
课题 2.6对数函数
新课讲解
对数的定义
定义：一般地，如果
a
?
a?0,a?1
?
的b次幂等于N, 就是
a
b
?N
，

33

那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作
log
a
N?b
，a叫做对数的底数，N
叫做真数
例如：
2
4
2
?1610?100
?
log
10
100?2

log16?2
?
4
1
14
2
?2

?
log
4
2?

10
?2
?0.01
?
log
10
0.01??2

2
探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵
log
a
1?0
，
log
a
a?1

∵对任意
a?0
且
a?1
, 都有
a
0
?1
∴
log
a
1?0

同样易知：
log
a
a?1

⑶对数恒等式
如果把
a
b
?N
中的 b写成
log
a
N
, 则有
a
log
a
N
?N

⑷常用对数：我们通常将以1 0为底的对数叫做常用对数为了简便,N的
常用对数
log
10
N
简 记作lgN
例如：
log
10
5
简记作lg5
log
10
3.5
简记作lg3.5.
⑸自然对数：在科学技术中 常常使用以无理数e=2.71828……为底的对
数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数
log
e
N
简记
作lnN
例如：
log
e
3
简记作ln3
log
e
10
简记作ln10
（6）底数的取值范围
(0 ,1)?(1,??)
；真数的取值范围
(0,??)

对数的性质
积、商、幂的对数运算法则：
log
a
(MN)?
，
lo gM?
，
log(1
N > 0
)
如果 a > 0a 1M > 0有：
a
?
a
N
，
M
log
a
?log
a
M?log
a
N(2)

N
证明：①设M=p,
log
a
M(n
log
a
N=q
log
a
M
n
?nlog?R)(3
)
a
由对数的定义可以得：M=
a
p
，N=
a
q

∴MN=
a
p
a
q
=
a
p?q
∴
log
a
MN=p+q，
即证得
log
a
MN=
log
a
M +
log
a
N
②设
log
a
M=p，
log
a
N=q
由对数的定义可以得M=
a
p
，N=
a
q

M
Ma
p
?p?q

?
q
?a
p?q
∴
log
a
∴
N
N
a
M
?log
a
M?log
a
N< br> 即证得
log
a
N

34

③设
log
a
M=P 由对数定义可以得M=
a
p
,
∴
M
n
＝
a
np
∴
log
a
M
n
=np， 即证得
log
a
M
n
=n
log
a
M < br>说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，
并利用幂的运算性质进行 恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化
成对数式
①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式：如
log
10
5?log
1 0
2?log
10
10?1

③真数的取值范围必须是
(0,??)
：

log
2(?3)(?5)?log
2
(?3)?log
2
(?5)
是不成立的

log
10
(?10)
2
?2log< br>10
(?10)
是不成立的
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
，
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N

对数换底公式及推论
1.对数换底公式：
log
m
N
( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0)
log
a
N?
log
m
a
证明：设
log
a
N = x , 则
a
x
= N
两边取以m 为底的对数：
log
m
a
x
?logm
N?xlog
m
a?log
m
N

log
m
Nlog
m
N
从而得：
x?
∴
log
a
N?

log
m
alog
m
a
2.两个常用的推论:
①
log
a
b?log
b
a?1
，
l og
a
b?log
b
c?log
c
a?1

n
②
log
a
m
b
n
?log
a
b
（ a, b > 0且均不为1）
m
lgblga
??1
证：①
l og
a
b?log
b
a?
n
lgalgb
lgbn lgbn
②
log
a
m
b
n
???log
a
b

m
mlgam
lga
对数函数
1．对数函数的定义：
函数
y?lo
a
gx
(a?0且a ?1)
叫做对数函数；它是指数函数
y?a
x

(a?0且a?1)
的反函数
对数函数
y?log
a
x

(a?0且a?1)
的 定义域为
(0,??)
，值域为
(??,??)

2．对数函数的图象
由于对数函数
y?log
a
x
与指数 函数
y?a
x
互为反函数，所以
y?log
a
x
的 图象
与
y?a
x
的图象关于直线
y?x
对称因此，我们只要 画出和
y?a
x
的图象关于

35

44
3
3
2
1
-6-4-2

1
21
1
A
y?x
对称的曲线，就可以得到
y?log
a< br>x
的图象，然后根据图象特征得出对
01
-2246
0
1246
-1
-1
数函数的性质
-2
-2
-3
-3

3．对数函数的性质
由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表

-2
a>1
-2
-2.5
0
-2.5
图
象

定义域：（0，+∞）
值域：R
性 过点（1，0），即当x=1时，y=0
质
x?(0,1)
时
y?0

x?(1,??)
时
y?0

x?(0,1)
时
y?0

x?(1,??)
时
y?0

在（0，+∞）上是增函数

课题 2.6 幂函数
新课讲解
引入例题
在（0，+∞）上是减函数
经调查，一种商品的价格和需求的关系如下表所示
价格元 0.6

根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系
0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量t 139.6 135.4 131.6 128.2 125.1 122.2 119.5
y?114.8746x
?0.3815912
.

这个关系式与函数
y?x
?0.3815192
是相关联的。
问题：函数
y?x
?0.3815192
是指数函数么？
定义：一般地，我们把形如
y?x
a

的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。

36

课题 3.1 数列
新课讲解
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果 组成两个数列的数
相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可
以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这
个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊数列的一般形式 ：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n是数列
的第n项
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系可以用
一个公式来表示，那么这个 公式就叫做这个数列的通项公式.
5．数列的图像都是一群孤立的点.
6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.
7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.
8． 无穷数列：项数无限的数列.
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，
且
a
n
?n?3 (1
≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运
用 这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算

37

带来很多方便
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1
即a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一
关系也较为重要
定义：
1．递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的 第1项（或前几项），且任一项
a
n
与
它的前一项
a
n?1
（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个
公 式就叫做这个数列的递推公式
说明：递推公式也是给出数列的一种方法
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

2．数列的前n项和：
数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
2
?a< br>3
???a
n
称为数列
?
a
n
?
的 前n项和，记为
S
n
.
S
1
表示前1项之和：
S
1
=
a
1

S
2

表示前2项 之和：
S
2
=
a
1
?a
2

……
S
n?1
表示前n-1项之和：
S
n?1
=
a1
?a
2
?a
3
???a
n?1

S
n
表示前n项之和：
S
n
=
a
1
?a2
?a
3
???a
n
.
∴当n≥1时
Sn
才有意义；当n-1≥1即n≥2时
S
n?1
才有意义.
3．
S
n
与
a
n
之间的关系：
由
S
n
的定义可知，当n=1时，
S
1
=
a
1；当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n? 1
，
?
S
1
(n?1)
即
a
n
=
?
.
?
S
n
?S
n?1
(n?2)< br>说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.
课题 3.2 等差数列及前n项和
一、复习引入：
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法—
—列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n项和公式..这些方法从不同

38

的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子
1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5
个他决定 从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日
增加，依次为：5，15，25，35 ，…
（问：多少天后他的单词量达到3000？）
2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前 的单词量多达3000她打算从今天
起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开 始，她
的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…
（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）
从上面两例中，我们分别得到两个数列
① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，…
请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
·共同特征：从第二项起，每 一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等
差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是 后项减前项），我们
给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
二、新课讲解
1 ．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等
于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差
（常用字母“d”表示）
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N
?
，
则此数列是等差数列，d 为公差 < br>2．等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
【或
a
n
?
a
m
?(n?m)d
】
等 差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列
?
a
n
?
的首
项是
a
1
，公差是d，则据其定义可得：
a
2
?a
1
?d
即：
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d
即：
a
3
? a
2
?d?a
1
?2d

a
4
?a
3
?d
即：
a
4
?a
3
?d?a
1?3d

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?a
1
?(n?1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项
a
n


39

如数列①1，2，3，4，5，6；
a
n
?1?(n?1)?1?n
（1≤n≤6）
数列②10，8，6，4，2，…；
a
n
?10?(n?1)?(?2)?12?2n
（n≥1）
11n
1234
数列③
;,;,1,
?
;

a
n
??(n?1)??
（n≥1）
5555
555由上述关系还可得：
a
m
?a
1
?(m?1)d

即：
a
1
?a
m
?(m?1)d

则：< br>a
n
?
a
1
?(n?1)d
=
a
m
?(m?1)d?(n?1)d?a
m
?(n?m)d

a?a
n
即的第二通项公式
a
n
?
a
m
?(n?m)d
∴ d=
m

m?n
如：
a
5
?a
4
?d?a
3
?2d?a
2
?3d?a
1
?4d

等差中项
等差数列求和公式
设等差数列
?
a
n
?
的前n项和为
s
n
，用公式表示为
s
n
?a
1
?a
2
??a
n
< br>s
n
?a
1
?
?
a
1
?d
?
?
再把项的次序反过来，得
?
?
a
1
??
n?1
?
d
?

?
?
a
n
?
?
n?1
?
d
?

s
n
?a
n
?
?
a
n
?d
?
?
两式 相加可得
2s
n
?n
?
a
1
?a
n?

n
?
a
1
?a
n
?
s< br>n
?

2
将
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
代入上式，得
n
?
n?1
?
s
n
?na
1
?d

2
课题 3.3 等比数列及前n项和
新课讲解
1、预备题：写出下列数列的通项，并讨论其公共特点：
1
11
1,
2
，
4
，
8
，… 5，－25，125，－625，…
2、定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项 的比等于同
一个常数，该数列叫等比数列，这个常数叫公比，用q表示。 （q和各项
均不为0）
3、讨论：等比数列的
a
n
与
a< br>1
,q
有何关系？(试由前面几项归纳出来）→通项
公式。
a
n
?a
n?1
q

a
n?1
?a
n?2
q


40

a
3
?a
2
q

a
2
?a
1
q

通项公式为：
a
n
?a
1
q
n?1
。 < br>4、等比中项：如果在a与b之间插入一数G，使得a,G，b成等比数列那么G
叫做a与b的等 比中项。
5、等比数列求和公式：
设等比数列
?
a
n
?
的前n项和为
s
n
，用公式表示为
s
n
?a
1
?a
2
??a
n
< br>s
n
?a
1
?a
1
q?
等式两边同乘q，得
?a
1
q
n?1

qs
n
?a
1
q?a
1
q
2
?
两式相减，得
?a
1
q
n

q
n?1
?
?
1?q
?
s
n
?a
1
?
1?
n
s
n
?
上式还可写为
a
1
?
1?q
1?q
?

s
n
?

[人教版B]
a
1
?a
n
q

1?q
普通高中课程标准实验教科书—数学第四册

第一章 基本初等函数（II）

1.3.1正弦函数的图像与性质
（第一课时）

教学目标：
1、理解并掌握作正弦函数图象的方法
2、理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法
教学重点：掌握作正弦函数图象的方法
教学过程

41

一、复习引入：
1、 三角函数的概念
2、 三角函数线
3、 函数图像的做法
二、讲解新课：
1、最基本的方法：描点法（列表描点）；
2、几何法：用单位圆中的正弦线——几何画法（多媒体演示）y=sinx x?[0,2?]
(1).先作单位圆，把⊙O
1
十二等分（当然分得越细，图象越精确）;
(2).十二等分后得对应于0,
将相应“变形”;
(4).取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合;
(5).描图（连接）得y=sinx x?[0,2?];
(6).由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx (x?[2k?,2(k+1)?],k?Z,k?0)与
函数y=sinx (x?[0,2?])图象形状相同，只是位置不同——每次向左（右）平
移2?单位长;






(3).将x轴上从0到2?一段分成12等份 (2?≈6.28)，若变动比例，今后图象
??
?
, ,,…2?等角，并作出相应的正弦线;
63
2
y
-
4
-
3
-
2
-
?
o
-
1
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
x
?
3、正弦函数图象的五点作图法 y=sinx x?[0,2?]
? ?
: 五个关键点
?
介绍五点法(0,0) (
y=sinx x?[0,2?]
上面的五个点,在确定函数图象时起着关键作用.当这五个点描出后,正弦函数 < br>的图象的形状就基本上确定了.需要注意的是，用五点法作图其优点是简便，
但是得到的是函数的 近似曲线，所以只有当精确度要求不高，并且比较熟练
的情况下才能使用.
4、例子：
例1 作下列函数的简图
?
3
?
,1) (?,0) (,-1) (2?,0)
2
2

42

(1)y=sinx，x∈[0，2π]，
(2)y=1+sinx，x∈[0，2π]，
5、正弦函数的性质
(1)定义域：R，即（
??,??
）
(2)值 域：[-1，1]（有界性）
?
?
最 值：
x??2k
?
时，
y
max
?1
；
x???2k
?
时，
y
min
??1
；
22
(3)周期性：由诱导公式
si n(x?2k
?
)?sinx
知，当
k?o,k?Z
时，
2 k
?
的每一
个值都是它的周期，
k?1
时，使它的最小正周期；
(4) 由sin(－x)＝－sinx
可知：y＝sinx为奇函数
正弦曲线关于原点O对称
(5) 从y＝sinx的图象上可看出：
??
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1
?
2
3
?
2
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1
2
2
结合上述周期性可知：
?
?
正弦函数在每一个闭区间 ［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，
2
?
2
3
?< br>其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都
2
2是减函数，其值从1减小到－1
6、例子
例1 求使y＝sin2x，x∈R取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值
是什么
例2求y＝1+

1
的定义域
sinx
小结：本节课我们 学习了用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象，用五点
法作正弦函数的简图．和正弦函数的性质

课堂练习：第45页练习A、B

课后作业：第65页习题1-3A



43

44

1.3.1正弦函数的图像与性质
（第二课时）

教学目标：
1、理解振幅的定义；理解振幅变换和周期变换的规律;
2、会用“五点法”画
y< br>＝
A
sin(ω
x
＋
?
)的图象；会用图象变换的方 法
画
y
＝
A
sin(ω
x
＋
?
) 的图象；
教学重点：掌握函数y＝Asin(ωx＋
?
)图象的作法和性质
教学过程
一、复习引入：
正弦函数的图像和性质
二、讲解新课：
例1画出函数y=2sinx x?R；y=sinx x?R的图象
注：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，x?R(A>0且A?1) 的图象可以看作把正数曲线上的所有
点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(01
2
2．它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A
3．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折
例2 画出函数y=sin2x x?R；y=sinx x?R的图象
注：1．函数y=sinωx, x?R (ω>0且ω?1)的图象，可看作把正弦曲线上
所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0< ω<1)到原来的
1
1
2
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
?
?
例3 画出函数y＝sin(x＋)，x∈R；y＝sin(x－)，x∈R的简图
34
注：一般地 ，函数y＝sin(x＋
?
)，x∈R(其中
?
≠0)的图象，可以看作把< br>?
倍（纵坐标不变）
正弦曲线上所有点向左(当
?
＞0时)或向右( 当
?
＜0时＝平行移动｜
?
｜个单
位长度而得到
例4 画出函数y＝3sin(2x＋
?
)，x∈R的简图
3
注：由
y< br>＝sin
x
的图象变换出
y
＝sin(ω
x
＋
?
)的图象一般有两个途径，
只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

45

< br>先将
y
＝sin
x
的图象向左(
?
＞0)或向右(< br>?
＜0＝平移｜
?
｜个单位，再
1
将图象上各点的横坐标变为 原来的倍(ω＞0)，便得
y
＝sin(ω
x
＋
?
)的图< br>?
象
1
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再 沿x轴向
?
|
?
|
左(
?
＞0)或向右(
?
＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋
?
)的图象
?
例子：
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
1如图a是周期为2π的三角函数y＝f（x）的图象，那么f（x）可以写
成( )
Asin（1＋x)
Bsin（－1－x）
Csin（x－1）
Dsin（1－x）
2如图b是函数y＝Asin(ωx＋φ）＋2的图
象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )
4
?
?
AA＝3，
Ｔ
＝，φ＝－
6
4
3
?
3
?
BA＝1，
Ｔ
＝，φ＝－
2
3
?
3
4
?
CA＝1，
Ｔ
＝，φ＝－
34
4
?
?
DA＝1，
Ｔ
＝，φ＝－

图c
3如图c是函数y＝Asin（ωx＋φ）的
3
6
图d
图象的一段，它的解析式为( )
2
?
2x
?
A
y?sin(2x?)
B
y?sin(?)

3324
2
?
3
22
?
C
y?sin(x?)
D
y?sin(2x?)

4函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在同 一
?
周期内，当x＝时，有y
ｍ
ax
＝2，当x＝0时，有y
min
3333
＝－2
3
图e

＜
?
5如图d是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜
的一段图象，则函数f（x）的表达式为
图f

2
＜
?
2
6如图e，是f（x）＝Asi n（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜
的一段图象，则f（x）的表达式为

46

7如图f所示的曲线是y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0， ω＞0）的图象的一部
分，求这个函数的解析式
5
?
8函数y＝Asin（ ωx＋φ）＋
ｋ
（A＞0，ω＞0）在同一周期内，当x＝
3
7
?< br>11
?
2
时，y有最大值为，当x＝时，y有最小值－，求此函数的解析式 < br>9已知f（x）＝sin（x＋θ）＋
3
cos（x－θ）为偶
333
函数，求θ的值
10．由图g所示函数图象，求y＝Asin（ωx＋φ）
（｜φ｜＜π）的表达式
11．函数y＝Asin(ωx＋φ)
图象如图h，求函数的表达式
φπ＝的
图h
图g
小结：函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋
?
)图象的作法和性质

课堂练习：第52页练习A、B

课后作业：第65页习题1-3A


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第一章 基本初等函数（II）

1.3.3余弦函数、正切函数的图像和性质


教学目标：
1、理解并掌握作余弦函数和正切函数图象的方法．
2、理解并掌握余弦函数、正切函数
教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质
教学过程
一、复习引入：

47

正弦函数的图像和性质
二、讲解新课：
1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：
为了作三角函数的图象，三角函数的 自变量要用弧度制来度量，使自变
量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应 该相
同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

2、余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是
(0,1) (
-6
?-5
?
1
现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次 移动的
?
3
?
,0) (?,-1) (,0) (2?,1) y
2
2
-4
?
-3
?
-2
?
0
-1
的图象，
-
?
?
距离为2π，就得到y=cosx ，x∈R
2
?
3
?
4
?
5
?
6< br>?
x
f?x? = cos?x?

3、正切函数
y?tanx
的图象：
?
??
?
我 们可选择
?
?,
?
的区间作出它的图象
?
22
?

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到 正切函数
?
y?tanxx?R
，且
x??k
?
?
k?z
?
的图象，称“正切曲线”
2

4、余弦函数的性质：
（1）、定义域：
余弦函数的定义域是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
（2）、值域
余弦函数的值域是［－1，1］
y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1
（3）、周期性
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是
2π
（4）、奇偶性
y＝cosx为偶函数

48

余弦曲线关于y轴对称
（5）、单调性
余弦函数在每一个闭区间［(2
k
－1)π，2
k
π］(
k
∈Z)上都是增函数，其
值从－1 增加到1；在每一个闭区间［2
k
π，(2
k
＋1)π］(
k
∈Z)上都是减函
数，其值从1减小到－1
5、正切函数的性质：
?
??
(1)．定义域：
?
x|x??k
?
,k?z
?
，
2
??
(2)．值域：R
?
?
??k??
时，
tanx????
(3)．观察：当
x
从小于
k
?
?
?
k?z
?
，< br>x?
22
?
?
???k
?
时，
tanx?? ???
当
x
从大于
?k
?
?
k ?z
?
，
x?
22
(4)．周期性：
T?
?

(5)．奇偶性：
tan
?
?x
?
??tanx
奇函数
?
?
?
?
(6)．单调性：在开区间
?
??k
?
,?k
?
?
k?z
内，函数单调递增
2
?
2
?
6、例子：
例1 求使
y
＝c os
x
＋1，
x
∈R取得最大值的自变量
x
的集合，并说出 最大值
是什么
例2求
y
＝
cosx
的定义域
例3求函数
y
＝－cos
x
的单调区间
例4 求
y
＝3cos
x
的周期
23
?
17
?
例5 判断cos(－)－cos(－)大于0还是小于0
54
3cosx?1
例6 求函数
y
＝的值域
cosx?2
小结：本节课我们学习了余弦函数和正切函数图象作法和性质

课堂练习：第60页练习A、B

课后作业：第65页习题1-3A


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49

第一章 基本初等函数（II）

1.3.3已知三角函数值求角


教学目标：
1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤
2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反 正切函数的意义，会
由已知角的正弦值、余弦、正切值求出
?
0,2
?
?
范围内的角，并能用反正弦，
反余弦，反正切的符号表示角或角的集合
教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质
教学过程
一、复习引入：
1、 单位圆与三角函数线
2、 诱导公式
二、讲解新课：
1、已知三角函数求角：
首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值
的
2、arcsinx
、
arccosx
、
arctanx
的含义要清 楚
2
?
??
?
且x?
?
?,
?
，求
x

2
2
?
22
?
(2) 已知
sinx?,且x?
?
0,2
?
?
，求
x
2
2
(3)已知
sinx??,且x?R
，求
x

2
例2 (1 )已知
cosx?0.7660且x?
?
0,
?
?
，求x

例1 (1)已知
sinx?
(2)已知
cosx??0. 7660
，且
x?
?
0,2
?
?
，求x的值
3、例子
,且x?R
，求x的值 (3)已知
cosx??0.7660
1
?
??
?
例3 （ 1）已知
tanx?且x?
?
?,
?
，求x（精确到
0.1
?
）
?
22
?
1
3
（2）已知
tanx?
且
x?
?
0,2
?
?
，求x的取值集合
3
1
（3）已知
tanx?且x?R
，求x的取值集合
3
B
例4 直角
?ABC
锐角A，B满足：
2cos
2
?tanA?sinA?1,求?A

2

50

53?
例5 1?用反三角函数表示
sinx??,x?(?,)
中的角x
6
7?
2
2?用反三角函数表示
tanx?5,x?(3?,)
中的角x
2
x?1
例6已知
cos(?)??
，求角x的集合
232
例7求
arctan1?arctan2?arctan3
的值
?2?
例8求y = arccos(sinx), (
??x?
)的值域
33

小结：本节课我们学习了已知三角函数值求角的解题步骤,要会由已知角
的正弦值、余弦、正切值求出
?
0,2
?
?
范围内的角，并能用反 正弦，反余弦，
反正切的符号表示角或角的集合

课堂练习：第64页练习A、B
课后作业：第65页习题1-3A


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第二章 平面向量

2.1.1向量的概念


教学目标：
1、要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量
与已知向量相等； < br>2、了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，根据图形判定
向量是否平行、共线、相 等.
教学重点：掌握向量的意义、表示方法以及有关零向量、单位向量、平
行向量、相等向量等概念
教学过程
一、复习引入：

51

< br>在物理中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个
实数就可以表示出来，如长度、质 量等.还有一些量，如我们所学习的
力、位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要
研究的向量.
二、讲解新课：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
注意：1?数量与向量的区别：数量只 有大小，是一个代数量，可以进行
代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小
2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体
系，用以研究空间性质
2.向量有固定向量，自由向量等，我们主要学习自由向量
3.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母
ａ
、
ｂ
等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
AB
；
④向量
AB
的大小――长度称为向量的模，记作|
AB
|.
4.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
00
的方向是任意的
注意
0
与0的区别
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
5.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
6.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量< br>ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ
＝
ｂ
；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示 ，并且与
．
有向线段的起点无关.
．．．．．．．．．
7.共线向量与平行向量关系：

52

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
说明：1.有向线段是向量最好的模型
2.向量不能比较大小
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
8．例：设O是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与
向量
OA
、
OB
、
OC
相 等的向量

小结：本节课我们学习了已知三角函数值求角的解题步骤,要会由已知角
的正弦值、余弦、正切值求出
?
0,2
?
?
范围内的角，并能用反正 弦，反余弦，
反正切的符号表示角或角的集合

课堂练习：第84页练习A、B
课后作业：略


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第二章 平面向量

2.1.2向量的加法


教学目标：
要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则
作 几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向
量计算
教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的
和向量.

53

教学过程
一、复习引入：
1.向量的概念
2.向量的表示方法
二、讲解新课：
1、某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

则两次的位移和：
AB?BC?AC

3、某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

4、船速为
AB
，水速为
BC
，
则两速度和：
AB?BC?AC



5、 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
A

B
A B C
2、若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
C A B
C
A B
C
几何中向量加法是用几何作图来定义的， 一般有两种方法，即向量加法
的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量 共
线不适应）当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一
致的，有三角形法 则可以推广得到加法的多边形法则
说明：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量
a
与
b
不共线时，|
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|;
（3）当
a
与
b
同向 时，则
a
+
b
、
a
、
b
同向，且|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|,当
a与
b
反向时，若|
a
|>|
b
|,则
a
+
b
的方向与
a
相同，且|
a
+
b
|= |
a
|-|
b
|;若
|
a
|<|
b
|,则
a
+
b
的方向与
b
相同，且|
a
+b|=|
b
|-|
a
|.
（4）“向量平移”（自由向量）：使 前一个向量的终点为后一个向量的起
点，可以推广到n个向量连加----多边形法则
5．向 量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

6．向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
小结：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.


54

课堂练习：第88页练习A、B
课后作业：第100页 1、3，第101页1


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第二章 平面向量

2.1.3向量的减法


教学目标：
⑴了解相反向量的概念；
⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
教学重点：掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
教学过程
一、复习引入：
1.向量的概念
2.向量的表示方法
3．向量的加法
二、讲解新课：
1、用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
2、“相反向量”定义向量的减法
1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a
2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 0
3?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

55

即：
a
?
b
=
a
+ (?
b
) 求两个向量差的运算叫做向量的减
法。
3、减法的三角形法则：在平面内取一点O，
作
OA
= a,
OB
= b, 则
BA
= a ? b
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意：1?
AB
表示a ? b强调：差向量“箭头”指向被减数（共起点，
方向指向被减）
2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
例子：
例1 平行四边形ABCD中，
AB
=
a,
AD
=b
，用
a、b
表示向量
AC,DB

例2 已知向量
a、
b
、
c
、
d
，求作向量
a
?
b
、
c
?
d


小结：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.

课堂练习：第90页练习A、B
课后作业：第100页 1、3、6，第101页2、3


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第二章 平面向量

2.1.4数乘向量


教学目标：
1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2.掌握实数与向量的积的运算律
教学重点：掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义
教学过程

56

一、复习引入：
1.向量的概念
2.向量的表示方法
3．向量的加法，减法及运算律
二、讲解新课：
? ??????
1．实例引入：已知非零向量
a
，作出
a
+
a
+
a
和(?
a
)+(?
a
)+(?
a)
????

OC
=
OA?AB?BC
=
a
+
a
+
a
=3
a

????
PN
=
PQ?QM?MN
=(?
a
)+(?
a
)+ (?
a
)=?3
a

????????
（1）3
a
与
a
方向相同且|3
a
|=3|
a
|；（2）?3
a
与
a
方向相反且|?3
a
|=3|
a
|
??
2．实数与向量的积的定义：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作：λ
a
，
??????
λ
a
的长定义为|λ
a
|=|λ||
a
|，λ
a
的方向定义为：λ>0时λ
a
与
a
方向相同；
??
λ<0时λ
a
与
a
方向 相反.
??
λ=0或
a
=
0
时规定：λ
a
=
0

??
3．数乘的几何意义就是把向量
a
沿向量a
的方向或反方向放大或缩小
??
4．运算定律 结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
①
???
第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
②
?
?
?
?
第二分配律：λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
③
结合律证明：
?
如果λ=0，μ=0，< br>a
=
0
至少有一个成立，则①式成立
????
如果λ?0， μ?0，
a
?
0
有：|λ(μ
a
)|=|λ||μ
a
|=|λ||μ||
a
|
???
|(λμ)
a
|=|λμ||
a
|=|λ||μ||
a
|
??
∴|λ(μ
a
)|=|(λμ)
a
|
?
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与
a
同向；
?
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与
a
反向
??
从而λ(μ
a
)=(λμ)
a

第一分配律证明：
?
如果λ=0，μ=0，
a
=
0
至少有一个成立，则②式显然成立
?
如果λ?0，μ?0，
a
?
0

??
当λ、μ同号时，则λ
a
和μ
a
同向，
?? ?
∴|(λ+μ)
a
|=|λ+μ||
a
|=(|λ|+|μ|)|
a
|
???????
|λ
a
+μ
a
|= |λ
a
|+|μ
a
|=|λ||
a
|+|μ||
a
|=(|λ|+|μ|)|
a
|

57

?
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与
a
同向
???
即 |(λ+μ)
a
|=|λ
a
+μ
a
|
?
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ
a
同向；当λ<μ时
????
②两边向量的方向都与μ
a
同向，且|(λ+μ)
a
|=|λ
a
+μ
a
|
∴②式成立
第二分配律证明：
?
?
a
如果=
0
，
b
=
0
中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
?
?
当
a
?
0
，
b
?
0
且λ?0，λ?1时
（1）当λ>0且λ?1时在平面内任取一点O，
?
??
作
OA?
a

AB?
b

OA
1
?
λ
a

A
1
B
1
?
λ
?
b
< br>?
?
?
?
则
OB?
a
+
b

OB
1
?
λ
a
+λ
b

由作法知 ，
AB
∥
A
1
B
1
有?OAB=?OA
1
B
1
|
AB
|=λ|
A
1
B
1
|
|OA
1
||A
1
B
1
|
??
λ ∴△OAB∽△OA
1
B
1
∴
OB
1
|
|
OA|
|
|AB|
?
λ ?AOB=? A
1
OB
1


∴
|OB|
因此， O，B，B
1
在同一直线上，|
OB
1
|=|λ
OB
|
OB
1
与λ
OB
方向也相同
?
??
?
∴λ(
a
+
b
)=λ
a
+λb

∴ ③式成立
注：加框部分为选讲部分
5．例子
1、设x是未知向量，解方程
5(x+a)+3(x-b)=0
?
?
?
?
当λ<0时 可类似证明：λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

1
(
AB
+
DC
).
2
解法一：构造三 角形，使
EF
作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解
2、凸四边形
ABCD
的边
AD
、
BC
的中点分别为
E
、F
，求证
EF
＝
决.
过点
C
在平面内作CG
＝
AB
，则四边形
ABGC
是平行四边形，故
F< br>为
AG
中点.
11
∴
EF
是△
ADG
的中位线，∴
EF
=
DG
, ∴
EF
＝
DG
.
22而
DG
＝
DC
＋
CG
＝
DC
＋
AB
，
1
∴
EF
＝（
AB
＋
DC
）.
2

58

解法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连
EB
，
EC< br>，则有
EB
＝
EA
＋
AB
，
EC
＝
ED
＋
DC
，
又∵
E
是
AD
之中点，∴有
EA
＋
ED
＝0.
即有
EB
＋
EC
＝
AB
＋
DC
；
以
EB
与
EC
为邻边作平行四边形
EBGC
，则由
F
是
BC
之中点，可得
F
也是
EG
之中点 .
111
∴
EF
＝
EG
＝（
EB
＋EC
）＝（
AB
＋
DC
）
222

小结：实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；实数与向
量的积的运算律

课堂练习：第95页练习A、B
课后作业：第100页 4、5，第101页4


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[人教版B]

第二章 平面向量

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算


教学目标：
理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算
教学重点：向量共线的条件与轴上向量坐标运算
教学过程
一、复习引入：
1. 向量的表示方法
2. 向量的加法，减法及运算律

59

3．实数与向量的乘法
二、讲解新课：
??
???
1．若有向量
a
(
a
?
0
)、
b< br>，实数λ，使
b
=λ
a
则由实数与向量积的
?
?
定义知：
a
与
b
为共线向量
????
???? ?
若
a
与
b
共线(
a
?
0
)且|
b
|：|
a
|=μ，则当
a
与
b
同向时< br>b
=μ
a
,
??
??
当< br>a
与
b
反向时
b
=?μ
a

??
从而得：向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只有一 个非零
实数λ
?
?
使
b
=λ
a

向量，
零向量与任意向量共线
a
??
3.与向量
a
同方向的
a
的单位向量为
e?

|a|
4．数轴上的基向量
e
的概念
5、轴上向量的坐标：轴上向 量
a
，一定存在一个实数x，使得
a?xe
，
那么x称为向量
a
的坐标
6、设点A、B是数轴上的两点其坐标分别为
x
1
和< br>x
2
，那么向量
AB
的坐
标为
?
?
2.若存在两个不全为0的实数
?
,
?
使 得
?
a?
?
b?0
，那么
a
与
b
为共线
AB?x
2
?x
1

由此得两点A、B之间的距离为
|AB|?|x
1
?x
2
|

7．例子
例1 三角形两边中点的连线平行与第三边并且等与第三边的一半。
已知：如图3-1，
?ABC
中，D，E分别是边AB，AC的中点。
1
求证：
DEBC
且
DE?BC
。
2
证明：因为D，E分别是边AB，AC的中点，
??????????
1
?
1
?
所以
AD?AB
，
AE?AC
。
????????????????
22
1
?
1
?
所以
DE?AE?AD?(AC?AB)?BC
，
22
1
再由D， B不共点，故
DEBC
且
DE?BC
。
2

例2 如图3-2，平行四边形OACB中，
1
BD?BC
，OD与BA相交于E。
3

60
O

B

D

C
?
b

E
E’
?
a

图3-2

A

1
BA
。 4
1
证明：设E’是线段BA上的一点，且
BE'?BA
，只要证E，E ’重合即可。设
?????
?????
?
?
4
1
?
?
?
1
?
?
OA?a
，
OB?b
，则
BD?a
，
OD?b?a
。
??????????????? ?
?
?
33
?
?
?
BE'
?
OE '
?
b
，
E'A?a?OE'
，
3BE'?E'A
，
?????
?
?
?
?3(OE'?b)?a?OE'
，
???
?
1
?
3
?
1
?
?OE' ?(a?3b)?(b?a)
，
?????
4
?
43
3
?OE'?OD
，
4
?
O，E’，D三点共线，
1
?

BE?BA
。
4

求证：
BE?
小结：本节课学 习了向量共线的条件与轴上向量坐标运算，应注意向量
共线，并不是说表示向量的有向线段在一条直线上 .
课堂练习：第99页练习A、B
课后作业：第100页8，第101页5、6

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第二章 平面向量

2.2.1平面向量基本定理


教学目标：
(1)了解平面向量基本定理的证明
(2)学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量
教学重点：掌握用平面内两不共线向量表示平面内任一向量的方法
教学过程
一、复习引入：
由平面向量的几何表示可知，平面向量
a
、
b的关系：①共线②不共线。
若
a
=
o
，则
b
与
a
共线。若
a
≠
o
，则
b
与
a< br>共线?有且只有一个实数?，
b
=?
a
.

61

二、讲解新课：
1、
e
1
、
e
2
不共线，
e
1
、
e
2
中能否有零向量？
a
与
e
1
、
e
2
的关系可能有
几 种情况？
分析：
e
1
、
e
2
不共线，则
e
1
?
o
且
e
2
?
o

(1)
a
与
e
1
共线，则有且只有一个?
1
，使< br>a
=?
1
e
1
、
(2)
a
与e
2
共线，则有且只有一个?
2
，
a
=?
2< br>e
2

(3)
a
与
e
1
、
e
2
都共线，则
a
=
o

(4)
a
与
e
1
、
e
2
都不共线，
a
能否用e
1
、
e
2
表示呢？
2、平面向量基本定理：如果< br>e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
??< br>那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+
λ
2e
2

(1)我们把不共线向量
ｅ
１
、
ｅ２
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量
ａ
在给出基底
ｅ
１
、
ｅ２
的条件下进行分解；
?
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ
1，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
4．例子
例1：如图
OA
、
OB
不共线，
AP?tAB(t?R)
，用
OA
、
OB
表示< br>OP


例2：如图△OAB，其中
OA
=
a
、M、N分别是边
OA
、
OB
=
b
，
11
OB
上的点，且
OM?a
，
ON?b
，设
AN与BM相交于
32
P，用向量
a,b
表示
OP

?
?
例3在△ABC中，
AB
=
a
,
BC
=
b
AD为边BC的
中线，G为△ABC的重心，求向量
AG

例4设
e
1
,
e
2
是两个不共线向量，已知< br>AB
=2
e
1
+k
e
2
,
CB
=
e
1
+3
e
2
,
CD
=2
e
1
?
e
2
, 若三点A, B, D共线，求k的值
例5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC,
?
??
?
AB中点，设
AD
=
a
,
AB
=
b
，试以
a
,
b
为基底表示
DC
,
BC
,
MN


小结：平面内两不共线向量表示平面内任一向量的方法
课堂练习：第104页练习A、B

62

课后作业：第112页A 1


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第二章 平面向量

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算


教学目标：
(1) 理解平面向量的坐标的概念；
(2) 掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线
教学重点：平面向量的坐标运算
教学过程
一、复习引入：
平面向量基本 定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那 么
??
对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2

二、讲解新课：
1、平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实
数
x
、
y
，使得
1
a=xi+yj…………○
我们把
(x,y)
叫做向量a的（直角）坐标，记作
2
a=(x,y)…………○
其中
x
叫做a在
x
轴上的坐标，
y
叫做a在
y
轴
2
式叫做向量的坐标表示 上 的坐标，○
与
．
a相等的向量的坐标也为
．．．．．．．．．．
(x ,y)


63

特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)
如图，在直角坐标平面内，以 原点O为起点作
OA?a
，则点
A
的位置由
a
唯一确定 < br>设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是
点
A
的坐标；反过来，点
A
的坐标
(x,y)
也就是向
量
OA
的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一
个平面向量都是可以 用一对实数唯一表示
2、平面向量的坐标运算
（1） 若
a?(x
1,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
? y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
设基底为
i
、
j
，则
a?b
?(x
1
i?y
1
j)?( x
2
i?y
2
j)?(x
1
?x
2
)i? (y
1
?y
2
)j

即
a?b
?(x1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，同理可得
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

（2） 若
A(x
1
,y
1
)< br>，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
AB
=
OB
?
OA
=( x
2,
y
2
) ? (x
1
,y
1
)= (x
2
? x
1
, y
2
? y
1
) < br>（3）若
a?(x,y)
和实数
?
，则
?
a?(?
x,
?
y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
设基底为
i
、
j
，则
?
a
?
?
(xi?yj)?
?xi?
?
yj
，即
?
a?(
?
x,
?
y)

3．例子
例1已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求点
D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点
例2已知三个力
F
1
(3, 4),
F
2
(2, ?5),
F
3
(x, y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0

求
F
3
的坐标
见课本第108页例子

小结：平面向量的坐标运算
课堂练习：第109页练习A、B
课后作业：第112页A 2、3、4、5、6



64

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册
[人教版B]

第二章 平面向量

2.3.1用平面向量坐标表示向量共线条件


教学目标：
理解用坐标表示的平面向量共线的条件
教学重点：理解用坐标表示的平面向量共线的条件
教学过程
一、复习引入：
1、平面向量基本定理
2、平面向量的坐标
3、向量共线
二、讲解新课：
1、 设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，那么
a∥
b
(b?0)
的充要条件是
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
。
证明：由基本定理可知，
a
∥
b
(b?0)
的充要条件是存在一实数
?
，使
a ?
?
b

?
x
1
?
?
x
2
∴
(x
1
,y
1
)?
?
(x
2
,y
2
)
，即
?

y?
?
y2
?
1
消去
?
后得
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

故知命题成立。
2、[定理]
a
∥
b
(b?0)
的充要条件是
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
。
3、两向量平行的条件是：对应坐标成比例
4、例子
例1已知
a?(4, 2)
，
b?(6,y)
，且
a
∥
b
，求
y

例2已知
A(?1,?1)
，
B(1,3)
，
C (2,5)
，求证
A
、
B
、
C
三点共线
小结：平面向量的坐标运算
课堂练习：第111页练习A、B
课后作业：第112页B 3、4、5

65

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册
[人教版B]

第二章 平面向量

2.3.1向量数量积的物理背景与定义


教学目标：
掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义
教学重点：平面向量的数量积的定义
教学过程
一、复习引入：
1． 向量共线定理
2．平面向量基本定理：
3．平面向量的坐标表示
4．平面向量的坐标运算
二、讲解新课：
1、力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角
2、两个非零向量夹角的概念
已知非零向量< br>ａ
与
ｂ
，作
OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝θ（０≤θ≤π）
叫
ａ
与< br>ｂ
的夹角
说明：（1）当θ＝０时，
ａ
与
ｂ
同向；
（2）当θ＝π时，
ａ
与
ｂ
反向；
?
（3）当θ ＝时，
ａ
与
ｂ
垂直，记
ａ
⊥
ｂ
；
2
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0?≤?≤180?

3、向量在轴上的正射影：
作图

66
C

定义：|b|cos?叫做向量b在a所在轴上的正射影
正射影也是一个数量，不是向量；当 ?为锐角时正射影为正值；当?为钝角时
正射影为负值；当?为直角时正射影为0；当? = 0?时正射影为|b|；当? = 180?
时正射影为?|b|
4、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量
ａ
与
ｂ< br>，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫
ａ
与
ｂ
的数量积， 记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）并规定0与任何向
量的数量积为0
?注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定
（2）两个向 量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a
×b，而a?b是两个向量的数量的积 ，书写时要严格区分符号“· ”在向量
运算中既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实 数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且
a?b=0，不能推出b= 0因为其中cos?有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc
?
a=c但是a?b = b?c
a = c
如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而
一般a与c不共线
5、两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量
1?e?a = a?e =|a|cos?
2?a?b ? a?b = 0
3? a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

a?b
4?cos? =
|a||b|
5?|
a
?
b
| ≤ |
a
||
b
|
6、例子

67

例1 判断正误，并简要说明理由
①
ａ
·0＝ 0；②0·
ａ
＝０；③0－
AB
＝
BA
；④｜
ａ< br>·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜；
⑤若
ａ< br>≠0，则对任一非零
ｂ
有
ａ
·
ｂ
≠０；⑥
ａ
·
ｂ
＝０，则
ａ
与
ｂ
中
至少有一个为0； ⑦对任意向量
ａ
，
ｂ
，с都有（
ａ
·
ｂ
） с＝
ａ
（
ｂ
·с）；
⑧
ａ
与
ｂ
是 两个单位向量，则
ａ
２
＝
ｂ
２

例2 已知｜ａ
｜＝３，｜
ｂ
｜＝６，当①
ａ
∥
ｂ
，②ａ
⊥
ｂ
，③
ａ
与
ｂ
的
夹角是60°时 ，分别求
ａ
·
ｂ

小结：平面向量的数量积的定义及其物理意义
课堂练习：第116页练习A、B
课后作业：第123页A 1、2、3


普通高中课程标准实验教科书—数学第四册
[人教版B]

第二章 平面向量

2.3.2向量数量积的运算律


教学目标：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解
决一些简单问题
教学重点：平面向量数量积的运算规律
教学过程
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
2．平面向量数量积（内积）的定义
3．两个向量的数量积的性质：
二、讲解新课：

68

平面向量数量积的运算律
1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?
∴a ? b = b ? a
2．数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证：若
?
> 0，(
?
a)?b =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，a?(
?
b) =
?
|a||b|cos?，
若
?
< 0，(
?
a)?b =|
?
a||b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?
3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作
OA
= a,
AB
= b，
OC
= c，
∵a + b （即
OB
）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，
即 |a + b| cos? = |a| cos?
1
+ |b| cos?
2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?
1
+ |c| |b| cos?
2

∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c +
b?c
说明：（1）一般地，(
ａ
·
ｂ
)с≠
ａ
（
ｂ< br>·с）
（2）
ａ
·с＝
ｂ
·с，с≠0
ａ
＝
ｂ

（3）有如下常用性质：
ａ
２
＝｜
ａ
｜
２
，
（
ａ
＋
ｂ
）（с＋
ｄ
）＝
ａ
·с＋
ａ
·
ｄ
＋
ｂ
·с＋
ｂ
·
ｄ

(
ａ
＋
ｂ
)
２
＝
ａ
２
＋２
ａ
·
ｂ
＋
ｂ
２
4、例子
例1 已知
a
、
b
都是非零向量，且
a
+ 3
b
与7
a
? 5
b
垂直，
a
? 4
b
与7
a
? 2
b
垂直，求
a
与
b
的夹角
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
例3求证：菱形对角线互相垂直
小结：平面向量数量积运算规律
课堂练习：第119页练习A、B
课后作业：略



69

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册
[人教版B]

第二章 平面向量

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式


教学目标：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公
式
教学重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹
角公式
教学过程
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义
2．向量的数量积的几何意义
3．两个向量的数量积的性质
4． 平面向量数量积的运算律
二、讲解新课：
1、平面两向量数量积的坐标表示
?< br>?
?
?
?
?
已知两个非零向量
a?(x
1< br>,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)< br>，试用
a
和
b
的坐标表示
a?b

?
?
设
i
是
x
轴上的单位向量，
j
是
y< br>轴上的单位向量，那么
??
?
??
?
a?x
1i?y
1
j
，
b?x
2
i?y
2
j< br>
?
2
?????
2
????
?
?
所以
a?b?(x
1
i?y
1
j)(x
2
i?y< br>2
j)
?x
1
x
2
i?x
1
y2
i?j?x
2
y
1
i?j?y
1
y
2
j

??
??????
又
i?i?1
，
j?j?1
，
i?j?j?i?0

?
?
所以
a? b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
?
?
即
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

2、向量垂直的判定

70