2017全国高中数学竞赛复赛-高中数学必修一必修四错题集
课题:§2.1.2指数函数及其性质
教学任务:(1)使学生了解指数函
数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他
学科的联系;
(2)理解指数函数的的概念和
意义,能画出具体指数函数的图象,探索
并理解指数函数的单调性和特殊点;
(3)在学习的
过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体
到一般的过程、数形结合的方法等.
教学重点:指数函数的的概念和性质.
教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.
教学过程:
一、 引入课题
(备选引例)
1. (合作讨论)人口问题是全球性问题,由于全
球人口迅猛增加,已引起全
世界关注.世界人口2000年大约是60亿,而且以每年1.3%的增长率
增长,
按照这种增长速度,到2050年世界人口将达到100多亿,大有“人口爆炸”
的趋势
.为此,全球范围内敲起了人口警钟,并把每年的7月11日定为“世
界人口日”,呼吁各国要控制人口
增长.为了控制人口过快增长,许多国家
都实行了计划生育.
我国人口问题更为突出,在耕地
面积只占世界7%的国土上,却养育
着22%的世界人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2
000年第
五次人口普查,中国人口已达到13亿,年增长率约为1%.为了有效地控
制人口过
快增长,实行计划生育成为我国一项基本国策.
1
按照上述材料中的1%的增长率,
○
从2000年起,x年后我国的人口
将达到2000年的多少倍?
2
到2050年我国的人口将达到多少?
○
3
你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响?
○
2. 上一节中GDP问题中时
间x与GDP值y的对应关系y=1.073
x
(x∈N
*
,x
≤2
0)能否构成函数?
3.
一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的84%,
第1页 共4页
那么以时间x年为自变量,残留量y的函数关系式是什么?
4.
上面的几个函数有什么共同特征?
二、
新课教学
x
(一)指数函数的概念
一般地,函数
y?a(a?0,且a?1)
叫做指数函数(exponential
function),其
1
指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析;
注意:○
2
注意指数函数的底数的取值范围,
○
引导学生分析底数
为什么不能是负
中x是自变量,函数的定义域为R.
数、零和1.
巩固练习:利用指数函数的定义解决(教材P
68
例2、3)
(二)指数函数的图象和性质
问题:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和
方法吗?
研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质.
研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.
探索研究:
1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:
(1)
y?()
x
(2)
y?()
x
(3)
y?2
(4)
y?3
(5)
y?5
2.从画出的图象
中你能发现函数
y?2
的图象和函数
y?()
x
的图象有什么
关系?可否利用
y?2
的图象画出
y?()
x
的图象?
3.从画出的图象(
y?2
、
y?3
和
y?5
)中,你能发
现函数的图象与其
底数之间有什么样的规律?
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x
xx
x
x
1
3
1
2
x
x
1
2
x
1
2
4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗?
图象特征 函数性质
a?1
0?a?1
a?1
0?a?1
非奇非偶函数
向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,
图象逐渐上升
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1
图象上升趋势是越
来越陡
自左向右看,
图象逐渐下降
在第一象限内的图
象纵坐标都小于1
在第二象限内的图
象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越
来越缓
函数的定义域为R
函数的值域为R
+
a
0
?1
增函数 减函数
x?0,a
x
?1
x?0,a
x
?1
函数值开始增长较
慢,到了某一值后
增长速度极快;
x?0,a
x
?1
x?0,a
x
?1
函数值开始减小极
快,到了某一值后
减小速度较慢;
5.
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
f(x)?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
;(1)在[a,b]上, (2)若
x?0
,则
f(x)?1
;
f(x)
取遍所有
正数当且仅当
x?R
;
(3)对于指数函数
f(x)?a(a?0且a?1
)
,总有
f(1)?a
;
(4)当
a?1
时,若
x
1
?x
2
,则
f(x
1
)?f(x
2<
br>)
;
(三)典型例题
例1.(教材P
66
例6).
解:(略)
问题:你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗?
例2.(教材P
66
例7)
解:(略)
问题:你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小?
说明:规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式.
巩固练习:(教材P
69
习题A组第7题)
第3页 共4页
x
x
三、
四、
归纳小结,强化思想
作业布置
本节主要学习了指数函数的图象,及利用图象研究函数性质的方法.
1.
必做题:教材P
69
习题2.1(A组) 第5、6、8、12题.
2.
选做题:教材P
70
习题2.1(B组) 第1题.
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