高中数学小报-高中数学所有函数图像和性质
课 题:
10.3组合 (一)
教学目的:
1理解组合的意义,掌握组合数的计算公式;
2. 能正确认识组合与排列的联系与区别
教学重点:组合的概念和组合数公式
教学难点:组合的概念和组合数公式
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,
并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与
顺序有关的是排列问题
,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求
解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是
简单的,但在具体求解过程中
学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系.
三人行,必有我师
指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺
序.教的秘诀
在于度,学的真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通.
能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.
学生易于辨别组合、全排列
问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解
排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按
以下两步思考:首先
要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进
行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如
果不需要,是组合问题;
否则是排列问题.
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路<
br>通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、
组合题就是从生活
经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,
抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔
者观察,有些同学之所以学习中感
到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做
事、考
虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常
理或常规的
做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情
况,怎么做事就怎么分析,若能借助
适当的工具,模拟做事的过程,则更能说
明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高.
教学过程:
一、复习引入:
1 分类计数原理:做一件事情,完成它
可以有n类办法,在第一类办法
中有
m
1
种不同的方法,在第二类办法中有<
br>m
2
种不同的方法,……,在第n类
办法中有
m
n
种
不同的方法那么完成这件事共有
N?m
1
?m
2
?
?m<
br>n
种不
同的方法
2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,
做第一步有
m
1
种不同的方法,做第二步有
m
2
种不同的方
法,……,做第n步有
m
n
种不同的
方法,那么完成这件事有
N?m
1
?m
2
??
m
n
种不同的方法
3
.排列的概念:从
n
个不同元素中,任取
m
(
m?n
)个元
素(这里的被
取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从
n
个不同元素中取出
m
个
.....
元素的一个排列
....
4.排
列数的定义:从
n
个不同元素中,任取
m
(
m?n
)个元素
的所有排
m
列的个数叫做从
n
个元素中取出
m
元素的排列数
,用符号
A
n
表示
三人行,必有我师
m
5.排列数公式:
A
n
?n(n?1)(n?2)(n?m?1)
(
m,n?N
?
,m?n
)
6 阶乘:
n!
表示正整数1到
n
的连乘积,叫做
n
的阶乘规定
0!?1
.
m
7.排列数的另一个计算公式:
A
n
=
n!
(n?m)!
8.提出问题:
示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某
天的一项活动,其中1
名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不
同的选法?
引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排
列”,而示例2只要求选出2
名同学,是与顺序无关的引出课题:组合.
..
二、讲解新课:
1 组合的概念:
一般地,从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元
素并成一组,
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合
说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
2.组合数的概念:
从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元素的所有
组合的个数,
m
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数.用符号表示.
C
n
...
3.组合数公式的推导:
(1)从4个不同元素
a,b,c,d
中取出3个元素的组合数
C
4
是多少呢?
启发:
由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数
A
4
.....
....
可以求得,故我们可以考察一下
C
4
和
A
4
的关系,如下:
组 合 排列
abc?abc,bac,cab,
abd?abd,bad,dab
,
acd?acd,cad,dac,
bcd?bcd,cbd,dbc,
acb,<
br>adb,
adc,
bdc,
bca,
bda,
cda,
cdb,
cba
dba
dca
dcb
33
3<
br>3
由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素
中取出3个
元素的排列数
A
4
,可以分如下两步:①
考虑从4个不同元素中取
出3个元素的组合,共有
C
4
个;②
对每一个组合的3个不同元素进行全排列,
三人行,必有我师
3
3
<
br>各有
A
3
3
种方法.由分步计数原理得:
A
3
4
=
C?
A
3
4
3
3
,所以,
3
A
4
C?
3
.
A
3
3
4m
(2)推广:一般地,求从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排
列数
A
n
,可以分
m
如下两步:① 先求从
n
个不
同元素中取出
m
个元素的组合数
C
n
;② 求每一
mmm<
br>m
个组合中
m
个元素全排列数
A
m
,根据分步计数原
理得:
A
n
=
C
n
.
?A
m
(3)组合数的公式:
n!
A
n
m
n(n?1)(n?2)(n?m?1)
m
或
C
n
?
(n
,m?N
?
,且m?n)
C?
m
?
m!(n?m
)!
A
m
m!
m
n
三、讲解范例:
7
4
例1.计算:(1)
C
7
;
(2)
C
10
;
7?6?5?4
=35;
4
!
10?9?8?7?6?5?4
7
(2)解法1:
C
10
?
=120.
7!
10!10?9?8
7
?
解法2:
C
10
?
=120.
7!3!3!
m?1
m?1m
?C
n
.
例2.求证:
C
n
?
n?m
(1)解:
C
7?
4
证明:∵
C
n
?
m
n!
m!(n?m)!
m?1n!
?
n?m(m?1)!(n?m?1)!
m?1n!
?
(m?1)!(n?m)(n?m?1)!
n!
m!(n?m)!
m?1
?C
n?m
m?1
n
?
=
=
∴C
n
?
m
m?1
m?1
?C
n
n?m
三人行,必有我师
x?12x?3
例3.设
x?N
?
,
求
C
2x?3
?C
x?1
的值
2x?3?x?1
解:由题意可得:
?
,解得
2?x?4
,
?
?
x?1?2x?3
∵
x?N
?
,
∴
x?2
或
x?3
或
x?4
,
当
x?2
时原式值为7;当
x?3
时原式值为7;当
x?4
时原式值为11.
∴所求值为4或7或11.
例4.(1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同
的分法? <
br>222
解:
C
6
?C
4
?C
2
?9
0
.
(2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2
名男
生和1名女生参加,有多少种选法?
解:问题可以分成2类:
22
第一类
2名男生和2名女生参加,有
C
5
C
4
?60
中选法;
31
第二类
3名男生和1名女生参加,有
C
5
C
4
?40
中选法
依据分类计数原理,共有100种选法
211
错解:
C
5
C
4
C
6
?240
种选法引导学生用直接法检验,可知重复的很多
例5.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问
组成方法共有
多少种?
解法一:(直接法)小组构成有三种情形:3男,2男1女,1男2女,分别有
C<
br>4
,
2112
,
C
4
,
C
4?C
6
?C
6
2112
所以,一共有
C
4+
C
4
+
C
4
=100种方法.
?C
6
?C
6
33
解法二:(间接法)
C
10
?C<
br>6
?100
3
3
四、课堂练习:
1.判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题:
(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?
(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不
同的方法?
三人行,必有我师
2.
7
名同学进行乒乓球擂台赛,决出新
的擂主,则共需进行的比赛场数为( )
A
.
42
B
.
21
C
.
7
D
.
6
3.如果把两条异面直线看作“一对”,则在五棱锥的棱所在的直线中,异面直
线有( )
A
.
15
对
B
.
25
对
C
.
30
对
D
.
20
对
4.设全集
U?
?
a,b,
c,d
?
,集合
A
、
B
是
U
的子集,若<
br>A
有
3
个元素,
B
有
2
个元素,且
AB?
?
a
?
,求集合
A
、
B
,则本题的
解的个数为 ( )
A
.
42
B
.
21
C
.
7
D
.
3
5.从
6
位候选人中选出
2
人分别担任班长和团支部书记,有
种不同的选法
6.从
6
位同学中选出
2
人去参加座谈会,有
种不同的选法
7.圆上有10个点:
(1)过每2个点画一条弦,一共可画
条弦;
(2)过每3个点画一个圆内接三角形,一共可画 个圆内接三角形
8.(1)凸五边形有 条对角线;(2)凸
n
五边形有 条对角线
33
9.计算:(1)
C
15
;(2)
C
6
?C
8
4
.
10.
A,B,C,D,E
5
个足
球队进行单循环比赛,(1)共需比赛多少场?(2)若
各队的得分互不相同,则冠、亚军的可能情况共
有多少种?
11.空间有10个点,其中任何4点不共面,(1)过每3个点作一个平面,一共可作多少个平面?(2)以每4个点为顶点作一个四面体,一共可作多少个四面
体?
12.壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张,一共可以组成多少种币值?
13.写出从<
br>a,b,c,d,e
这
5
个元素中每次取出
4
个的所有不同的
组合
答案:1. (1)组合, (2)排列 2. B 3. A 4. D 5.
30 6. 15
7. (1)45 (2) 120 8.
(1)5(2)
n(n?3)2
9. ⑴455; ⑵
2
10. ⑴10; ⑵20
7
34
11.
⑴
C
10
?120
;
⑵
C
10
?210
12.
C
4
?C<
br>4
?C
4
?C
4
?2?1?15
12344
13.
a,b,c,d
;
a,b,c,e
;
a,b,d,e
;
a,c,d,e
;
b,c,d,e
三人行,必有我师
五、小结 :组合的意义与组合数公式;解决实际问题时首先要看是否与顺序有
关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记:
三人行,必有我师
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