高中数学教案平面

第一课时 平 面
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）利用生活 中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图
（3）掌握平面的基本 性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）通过师生的共同 讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价 值观
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.
（二）教学重点 、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图 形语言及符号语言.
难点：平面基本性质的掌握与运用.
（三）教学方法
师生共同讨论 法
教学过程 教学内容
日常生活中有哪些东西给我
们以平面的形象？
师生互动
师：生活中常见的如黑
板、平整的操场、桌面，平静
的湖面等，都 给我们以平面的
印象，你们能举出更多的例子
吗？引导学生观察、思考、举
例和相交交 流，教师对学生活
动给予评价，点出主题.
设计意图
新课导入
培养学生
感性认识
探索新知

1．平面的概念师：刚才大家所讲的一些
随堂练习 判定下列命题是物体都给我们以平面的印象 ，
否正确：几何里所说的平面就是从这加深学生
①书桌面是平面；样的一些物体中抽象出来的， 对平面概
②8个平面重叠起来要比6但是，几何里的平面是向四周念的理解.
个平面重叠起来 厚；无限伸展的，现在请大家判定
③有一个平面的长是50m，下列命题是否正确？
宽是20m ；生：平面是没有厚度，
④平面是绝对的平，无厚度，无限延展的；所以①②③错
可以无限延展 的抽象的数学概念. 误；④正确.
探索新知
2．平面的画法及表示
（1）平面的 画法
通常我们把水平的平面画成
平行四边形，用平行四边形表示
平面，其中平行四边形 的锐角通
常画成45°，且横边长等于其邻
师：在平面几何中，怎样
画直线？(一学生 上黑板画)
师：这位同学画的实质
上是直线的部分，通过想象两
端无限延伸而认为是一 条直
线，仿照直线的画法，我们可
加深学生
对平面概
念的理解，
培养 学生
知识迁移
能力，空间

1

边长的2倍.如果一个平面被另一以怎样画一个平面？想象能力
个平面遮挡住. 我们常把被遮挡生：画出平面的一部分，和发散思
的部分用垂线画出来.加以想象，四周无限延展，来想 能力.
（2）平面的表示表示平面.
法1：平面
?
，平面
?
.
师：大家画一下.
法2：平面ABCD，平面AC学生动手画平面，将有
或平面B D.代表性的画在黑板上，教师给
（3）点与平面的关系予点评，并指出一般画法及注
平面内有 无数个点，平面可看成意事项(作图)
点的集合. 点A在平面
?
内，记
作：A
?
?
. 点B在平面外，记作：
B
?
?
.
师：我们下面学习平面的
基本性质的三个公理.所谓公
理，就是不必证明而直接被承
认的真命题，它们是进一步推
理的出发点和根据. 先研究
下列问题：将直线上的一点固
定在平面上，调整直线上另一A?l
?
点的位置，观察其变化，指出
?
B?l
?
直线 在何时落在平面内.
?
?l?
?
A?
?
?
生：当直 线上两点在一
B?
?
?
?
个平面内时，这条直线落在平
（3 ）公理1的作用：判断直线是否
面内.
师：这处结论就是我们
要讨论的公理1（板书）
在平面内.师：从集合的角度看，公
理1就是说，如果一条直线
探索新知
公 理2：过不在一条直线上的（点集）中有两个元素（点）
三点有且只有一个平面.属于一个平面（点集） ，那么
（1）公理2的图形如图这条直线就是这个平面的真
（2）符号表子集.
示为：C
?
直线直线是由无数个点组成
AB
?
存在惟一 的集合，点P在直线l上，记
的平面
?
，作P∈l；点P在直线l外，记
作P
?
l；如果直线l上所有
?
A?
?
?
的点都在平面
?
内，就说直线
使得
?
B?
?
l在平面
?
内，或者说平面
?
?
C?
?
?
经过直线l，记作l
?
?
，否则
注意：（1）公理中“有且只就说直线l在平面
?
外，记作
有一个”的含义是：“有”，是
l?
?
.
说图形存在， “只有一个”，是下面请同学们用符号表
说图形惟一，“有且只有一个平示公理1.
面”的意 思是说“经过不在同一学生板书，教师点评并完
3．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的
两点在一个平面内，那么这条直
线在此平面内
（1）公理1的图
形如图
（2）符号表示为：
通过实验，
培养学生
观察、归纳
能力.加深
学 生对公
理的理解
与记忆.







加强
学生对知
识的理解，
培养学生
语言（符号
图 形）的表
达能力.












2

直线上的三个点的 平面是有的，
而且只有一个”，也即不共线的
三点确定一个平面.
“有且只有一个平面 ”也可以说
成“确定一个平面.”
（2）过A、B、C三点的平面可
记作“平面ABC ”
善.
公理3：如果两个不重合的
平面有一个公共点，那么它们有
且只有一 条过该点的公共直线.
（1）公理3的图形如图
（2）符号表示为：
?
??< br>?l
P?
??
?
?

大家回忆一下几点可以

确定一条直线

生：两点可确定一条直

线.

师：那么几点可以确定上

个平面呢？

学生思考，讨论然后回

答.

生
1
：三点可确定一个平学生在观
面 察、实验讨
师：不需要附加条件吗？ 论中得出
生
2
：还需要三点不共线 正确结论，
师：这个结论就是我们要加深了对
讨论的公理2 知识的理
师投影公理2图示与符解，还培养
号表示，分析注意事项. 了他们思
师：下面请同学们观察教维的严谨
室的天花板与前面的墙壁，思性.
考这两个平面的公共点有多
少个？它们有什么特点.
生：这两个平面的无穷多
个公共点，且所有这些公共点
都在一条直线上.
师 ：我们把这条直线称为
这两个平面的公共直线.事实
上，如果两个不重合的平面有
一个 公共点，那么它们有且只
有一条过该点的公共直线.
（板书）这就是我们要学的公
理3 .
?
P?l
（3）公理3作用：判断两个平面
是否相交.
例1 如图，用符号表示下图
图形中点、直线、平面之间的位
置关系.
典例分析

分析：根据图形，先判断点、
直线、平面之间的位置关系，然
学生先独立完成，让两个 学生
上黑板，师生给予点评
巩固
所学知识

3

后用符号表示出来.
解：在（1）中，
??
?l
，
a
?
?A
，
a
?
?B
.
在（2 ）中，
??
?l
，
a?
?
，
b?
?
，
al?P
，
bl?P
.
1．下列命题正确的是（ ） 学生独立完成

A．经过三点确定一个平面 答案：

B．经过一条直线和一个点确1．D

定一个平面 2．（1）不共面的四点可

C．四边形确定一个平面 确定4个平面.

D．两两相交且不共点的三条（2）共点的三条直线巩固
直线确定一个平面 可确定一个或3个平面. 所学知识
2．（1）不共面的四点可以3．（1）×（2）√（3）
确定几个平面？ √（4）√ （2）共点的三条直线可以确4．（1）A
?
?
，B
?
?
.
定几个平面？ （2）M
?
?
，M
?
?
.
（3）a
?
?
，a
?
?
.
3．判断下列命题是否正确，
正确的在括号内画“√”，错误
的画“×”.
（1）平面
?
与平面
?
相交，
随堂练习
它们只有有限个公共点. （ ）
（2）经过一条直线和这条直
线外的一点，有且只有一个平面.
（ ）
（3）经过两条相交直线，有
且只有一个平面. （ ）
（4）如果两个平面有三个不
共线的公共点，那么这两个平面
重合. （ ）
4．用符号表示下列语句，并
画出相应的图形：
（1）点A在平面
?
内，但点
B在平面
?
外；
（2）直线a经过平面
?
外的
一点M；
（3）直线a既在平面
?
内，
又在平面
?
内.
回 顾、
反思、归纳
知识，提升
自我整合
知识的能
力，培养思
维 严谨性
归纳总结
1．平面的概念，画法及表示方法.
2．平面的性质及其作用 学生归纳、总结教学、补
3．符号表示 充完善.
4．注意事项

4

固化知识，
提升能力.
课后作业 2.1第一课时 习案 学生独立完成

备选例题
例1 已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明 1
o
若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，
但A?d，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，A，E∈a，∴a
?
α．
同理可证b
?
α，c
?
α．
∴a，b，c，d在同一平面α内．
2当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平
面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
又 H，K∈c，∴c
?
α．
同理可证d
?
α．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般 步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件
中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明 其余的线(或点)均在这个平面内．本
题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应 仔细推敲问题中每一句话
的含义．
例2 正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，对角线A
1
C与平面BDC1
交于点O，AC、BD交于
点M，求证：点C
1
、O、M共线.
分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可.
解答：如图所示A< br>1
A∥C
1
C
?
确定平面A
1
C
A
1
C
?
平面A
1
C
?
O∈平面A
1
C

5
o
A
a E
d
F
b G
c

α
图1
α
d
c
H
K
a
图2

b
D
1
A
1
D
A
M
O
B
B
1
C
1
C

又O∈A
1
C
平面BC
1
D∩直线A
1
C = O
?
O∈平面BC
1
D
?
O在平面A
1
C与平面BC
1
D的交线上.
AC∩BD = M
?
M∈平面BC
1
D
且M∈平面A
1
C
平面BC
1
D∩平面A
1
C = C
1
M
?
O∈C
1
M，即O、C
1
、M三点共线.
评析 ：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可
根据公理2证明这些点 都在这两个平面的公共直线上.



6