高中数学教案选修2-2《1.3.3最大值与最小值》

教学目标：
1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x)在闭区间
上所有点（包括端点a，b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 ．

教学重点：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
函数极值的定义是什么？
2．探究活动．
求函数f(x)的极值的步骤．
二、建构数学
1．函数的最大值和最小值． 观察图中一个定义在闭区间上的函数f(x)的图象．图中f(x
1
)与f(x
3
)是极小值，
f(x
2
)是极大值．函数f(x)在上的最大值是f(b)， 最小值是f(x
3
)．

一般地，在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
说明：
（1） 在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数
1
f(x)＝在(0，＋∞)内连续，但没有最大值与最小值；
x
（2）函数的最值是比较整个定义域 内的函数值得出的；函数的极值是比较极

值点附近函数值得出的．
（3）函数 f(x)在闭区间上连续，是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分
条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可
能不止一个，也可能没有 一个．
2．利用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续 函数所有的极值与定义区间端
点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，则求f(x)在 上的最大值与最小值的
步骤如下：
（1）求f(x)在(a，b)内的极值；
（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在上的最值．
三、数学运用
例1 求函数f(x)＝x
2
－4x＋3在区间内的最大值和最小值．
例2 求函数f(x)＝
1
x＋sinx在区间上的最值．
2
注 在实际问题中， 若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是
最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比 较．
练习
设f(x)＝ax
3
－6ax
2
＋b在区间［ －1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且
a＞b，求a，b的值．
四、回顾小结 < br>（1）函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数
不存在的点，区间端 点；
（2）函数f(x)在闭区间上连续，是f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分
条 件而非必要条件；
（3）闭区间上的连续函数一定有最值；开区间(a，b)内的可导函数不一定有< br>最值，若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值．
五、课外作业
1．课本第33页第2，3，4题．

2．补充．
求函数y＝
1
4
1
3
1
2
x＋x＋x在区间 上的最值．
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