2020年高中数学必修三全套精品教案(完整版)

2020年高中数学必修三全套精品教案
（完整版）

第一章算法初步

一、课标要求：
1、本章的课标要求包括算法的含义、 程序框图、基本算法语句，
通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发
展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组
成部分，是计算机 科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常
生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计 算机的算法，
计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的
语言，也就是 计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解
决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的 问题，直接写出解
决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，
再把算法 转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一
个极为重要的环节。
3、通过对解 决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程
组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义 。理解程序框
图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。理解并掌
握几种基本的 算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语

句、循环语句。进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思 想，了解算法的含义，通过模仿、
操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。点是在具体问< br>题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框
图转化为程序语句的过程，理 解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色：
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计 算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越
来越大 的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为
现代人应具备的一种数学素养。需要特别指 出的是，中国古代数学中
蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感
受 算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在
解决问题中的作用；通过模仿、操作、 探索，学习设计程序框图表达
解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，
发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
1、结合熟悉的算法，把握算法的基本思想，学会用自然语言来
描述算法。
2、通过 模仿、操作和探索，经历设计程序流程图表达解决问题
的过程。在具体问题的解决过程中理解程序流程图 的三种基本逻辑结
构：顺序结构、条件结构、循环结构。
3、通过实际问题的学习，了解构造算法的基本程序。
4、经历将具体问题的程序流程图转化 为程序语句的过程，理解
几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、
循 环语句，体会算法的基本思想。
5、需要注意的问题
1) 从熟知的问题出发，体会算法的程序化思想，而不是简单呈
现一些算法。
2) 变量和赋值是 算法学习的重点之一，因为设置恰当的变量，
学习给变量赋值，是构造算法的关键，应作为学习的重点。
3) 不必刻意追求最优的算法，把握算法的基本结构和程序化思
想才是我们的重点。

4) 本章所指的算法基本上是能在计算机上实现的算法。
三、教学内容及课时安排：
1.1算法与程序框图 (约2课时)
1.2基本算法语句 （约3课时）
1.3算法案例 （约5课时）
复习与小结 （约2课时）
四、评价建议
1．重视对学生数学学习过程的评价
关注学生在数学语言的学习过程 中，是否对用集合语言描述数学
和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交
流的能力。
2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能
关注学生在本章（节）及今后学习中，让学生集 中学习算法的初
步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。算法思
想将贯穿高 中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习
算法
1．1．1算法的概念


一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的 思想。（2）能够
用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写
出解 线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最

大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：通过 求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步
骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是 算法，不
同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可
能有多个算法，能 模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限
整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度 与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语
言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计 算机是人类征服自
然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：
重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算
法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：
学法：1、写出的算法 ，必须能解决一类问题(如：判断一个整数
n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……) ，并且能够重
复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确 ，且计算机能够执行，如：让计算机计算1
×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯 水”“替我
理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
1、 创设情境：

算法作为一个名词， 在中学教科书中并没有出现过，我们在基础
教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触 算法，
熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱
括弧，竖式笔算等都 是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具
体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次 不等式、一
元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数
的算法等。因此 ，算法其实是重要的数学对象。
2、 探索研究
算法(algorithm)一词源于算 术(algorism)，即算术方法，是指
一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一 般，把进
行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。 菜谱是做菜肴的
算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的
算法。在数 学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程
序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比 如解方程的算法、函
数求值的算法、作图的算法，等等。


3、 例题分析：
例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n
是否为质数
1
做出判定。

算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执
行第二步。
第 二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的
数，若有这样的数，则n不是质数；若没 有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2 用二分法设计一个求议程x
2
–2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方 程的过程，并假设所求近似根与准确
解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤： 第一步：令f(x)=x
2
–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x
1
=1，x
2
=2。
第二步：令m=(x
1
+x
2
)2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；
若否，则继续判断f(x
1
)·f(m)大于0还是小于0。
第三步：若f(x
1
)·f(m)>0，则令x
1
=m；否则，令x
2
=m。
第四步：判断|x
1
–x
2
|<0.005是否成立？若是，则x
1
、x
2
之 间的任意
取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。
小结：算法具有以下特性：(1 )有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；
(4)不惟一性；(5)普遍性
典例剖析：
1、基本概念题
x-2y=-1,①
例3 写出解二元一次方程组 的算法
2x+y=1②
解：第一步，②-①×2得5y=3；③
第二步，解③得y=35；
第三步，将y=35代入①，得x=15
学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎

样进一步完善？
老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也 适
合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
(A
1
B
2
?B
1
A
2
?0)
的解的算法：
?
?
A2
x?B
2
y?C
2
?0
第一步：②×A
1< br>-①×A
2
，得(A
1
B
2
-A
2
B
1
)y+A
1
C
2
-A
2
C
1
=0；③
AC?AC
第二步：解③，得
y?
2122
；
B
2
?A
2
B
11
2
A
2
C
1
?A
2
A
C?BC?BC
第三步：将
y?< br>代入①，得
x?
2112
。
A
1
B
2?A
2
B
1
A
1
B
2
?A
2
B
1
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到
倒2的另 一个算法：
第一步：取A
1
=1，B
1
=-2，C
1=1，A
2
=2，B
2
=1，C
2
=-1；
?BC?BCAC?AC
第二步：计算
x?
2112
与
y?
2122

A
1
B
2
?A
2
B
1
A
1
B
2
?A
2
B
1
第三步：输 出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。

基础知识应用题
例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较 ，如果它大
于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大
值”就是这个序列中的最大值。
学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面
我们用数学语言来描述本题的算法。
S1 max=a
S2 如果b>max, 则max=b.
S3 如果C>max, 则max=c.
S4 max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+ 2+…
n(n?1)
+
n
=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。
2

解：算法1：
S1：计算1+2得到3；
S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
S1：取n=6；
n(n?1)
S2：计算；
2
S3：输出运算结果。
算法3：
S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；
S2：计算3×7；
S3：输出运算结果。
小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较
大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与
算法3都是比较简单的 算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于
在计算机上执行操作。
学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
老师评一评 算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；
第三步，再将15乘以7，得到结果105；
第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。
S1 使P=1。
S2 使i=3
S3 使P=P×i
S4 使i=i+2
S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。
小结 由于计算机动是高速计算的自动机器， 实现循环的语句。
因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好
的算法。 在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里
需要说明的是，每经过一次循环之后，变 量P、i的值都发生了变化，

并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进 行检验，一旦发现i
的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循
环结构 的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。
4、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念，算法 就是解决问题的步骤，平时列
论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以
用数学语言。
例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，
请写出该同学 从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为
（1）1:00从家出发到公共汽车站
（2）1:10上公共汽车
（3）1:40到达体育馆
（4）1:45做准备活动。
（5）2:00比赛开始。
若用数学语言来描述可写为：
S1 1:00从家出发到公共汽车站
S2 1:10上公共汽车
S3 1:40到达体育馆
S4 1:45做准备活动
S5 2:00比赛开始 < br>大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写
时应尽量用教学语言来描述，它的 优越性在以后的学习中我们会体会
到。
5、自我评价
1、写出解一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
6、评价标准
1、解：算法如下
S1 计算△=b
2
-4ac
S2 如果△〈0，则方程无解；否则x1=
S3 输出计算结果x1，x2或无解信息。
2、解：算法如下：
S1 使i=1

S2 i被3除，得余数r
S3 如果r=0，则打印i，否则不打印
S4 使i=i+1
S5 若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。
7、 作业：1、写出解不等式
x
2
-2
x
-3<0的一个算法。
解：第一步：
x
2
-2
x
-3=0的两根是
x
1
=3，
x
2
=-1。
第二步：由
x
2
- 2
x
-3<0可知不等式的解集为{
x
| -1<
x
<3}。
评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如
ax
2
+
bx
+
c
>0的不等
式的解的步骤（为方便，我们设
a
>0）如下：
第一步：计算△=
b
2
?4ac
；
?b?b
2
?4ac
第 二步：若△>0，示出方程两根
x
1,2
?
（设
x
1
>
x
2
），
2a
则不等式解集为{
x
| x
>
x
1
或
x
<
x
2
}；
b
第三步：若△= 0，则不等式解集为{
x
|
x
∈R且
x
??
}；
2a
第四步：若△<0，则不等式的解集为R。
2、求过P(
a
1
,
b
1
)、Q(
a
2
,
b
2)两点的直线斜率有如下的算法：
第一步：取
x
1
=
a
1
，
y
1
=
b
1
，
x
2
=
a
2
，
y
1
=
b
2
；
第二步：若
x
1
=
x
2
；
第三步：输出斜率不存在；
第四步：若
x
1
≠
x
2
；
y?y
第五步：计算
k?
21
；
x
2
?x
1
第六步：输出结果。
3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的
一个算法。 < br>解：算法：第一步：取
x
1
=-2，
y
1
=-1，< br>x
2
=2，
y
2
=3；
y?y
1
x?x
1
?
第二步：计算；
y
2
?y
1
x
2
?x
1
第三步：在第二步结果中令< br>x
=0得到
y
的值m，得直线与
y
轴交
点(0,m) ；
第四步：在第二步结果中令
y
=0得到
x
的值n，得直线与x
轴交
点(n,0)；
1
第五步：计算S=
|m|?|n|
；
2
第六步：输出运算结果
1．1．2 程序框图(第二、三课时)

一、教学目标：
1、知识与技能：掌握程序框图的概念 ；会用通用的图形符号表示算
法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能
正确画出程序框图。
2、过程与方法：通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表
达 解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对 程序框图有一个
基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基
本要求；认 识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也
是我们学习计算机语言的必经之路。
二、重点与难点：重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种
基本逻辑结构，难点是能综合运用这 些知识正确地画出程序框图。
三、学法与教学用具：
1、通过上节学习我们知道，算法就是 解决问题的步骤，在我们
利用计算机解决问题的时候，首先我们要设计计算机程序，在设计计
算 机程序时我们首先要画出程序运行的流程图，使整个程序的执行过
程直观化，使抽象的问题就得十分清晰 和具体。有了这个流程图，再
去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出
来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端。
2、我们在学习这部分内容时，首先要弄清各种图形 符号的意义，
明确每个图形符号的使用环境，图形符号间的联结方式。例如“起止
框”只能出现 在整个流程图的首尾，它表示程序的开始或结束，其他
图形符号也是如此，它们都有各自的使用环境和作 用，这是我们在学
习这部分知识时必须要注意的一个方面。另外，在我们描述算法或画
程序框图 时，必须遵循一定的逻辑结构，事实证明，无论如何复杂的
问题，我们在设计它们的算法时，只需用顺序 结构、条件结构和循环
结构这三种基本逻辑就可以了，因此我们必须掌握并正确地运用这三
种基 本逻辑结构。
3、教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
1、创设情境：
算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得

更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。
基本概念：
（1）起止框图： 起止框是任何流程图都不可缺少的，它
表明程序的开始和结束 ，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起
止框。
（2）输入、输出框： 表示 数据的输入或结果的输出，它
可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。图1-1中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未知数的系
数a11,a12,a21,a 22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的
数值写在输入框内，它实际上是把未知数的系数 和常数项的值通知给
了计算机，另外两个是输出框，它们分别位于由判断分出的两个分支
中，它 们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出
D≠0时未知数x1,x2的值，右边分支 中的输出框负责输出D=0时的
结果，即输出无法求解信息。
（3）处理框： 它 是采用来赋值、执行计算语句、传送运
算结果的图形符号。图1-1中出现了两个处理框。第一个处理框 的作
用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的作用是计算
x1=(b1 a22-b2a12)D,x2=(b2a11-b1a21)D的值。
（4）判断框： 判断框一般有一个入口和两个出口，有时
也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在 只有
两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”（也可用“Y”与“N”）
两个分支，在图 1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中

的式子是D=0，则说 明D=0时由标有“是”的分支处理数据；若D≠0，
则由标有“否”的分支处理数据。例如，我们要打 印x的绝对值，可
以设计如下框图。

开始


输入x


是 x≥0？ 否


打印x -打印x



结束

从图中可以看到由判断框分出两个分支，构成一个选择性结构，< br>其中选择的标准是“x≥0”，若符合这个条件，则按照“是”分支继
续往下执行；若不符合这个 条件，则按照“否”分支继续往下执行，
这样的话，打印出的结果总是x 的绝对值。
在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用

规则，画程序框图的规则如下：
（1）使用标准的图形符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有 一个进入点和一个退
出点。判断框具有超过一个退出点的惟一符号。
（4）判断框分两大类， 一类判断框“是”与“否”两分支的判
断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的 结
果。
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
2、典例剖析：
例1：已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程序框图。
解：程序框如下图所示：


开始


输入4，2 4和2分
别是x和y的值


w=3×4+4×2

输出w


结束

小结：此图的输入框旁边加了一个注释框 ，它的作用是对框
中的数据或内容进行说明，它可以出现在任何位置。
基础知识应用题 1）顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句
之间，框与框之间是按从上到下 的顺序进行的。
例2：已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一
个算法 ，求出它的面积，并画出算法的程序框图。
算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将 它代
入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。
程序框图：




p=(2+3+4)2



s=√p(p-2)(p-3)(p-4)
开始

2）条件结构：一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结< br>构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。
因此，需要有另一种逻辑结构 来处理这类问题，这种结构叫做条件结
构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。

例3：任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个
数为三边边长的三角形是否存在 ，画出这个算法的程序框图。
算法分析：判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，
只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需
要用到条件结构。
程序框图：


开始
结束
输出s

输入a,b,c



a+b>c , a+c>b, b+c>a是 否
否同时成立？


是












存在这样的三角形
不存在这样的三角形

结束

3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条
件，反复执行某一处理步骤 的情况，这就是循环结构，反复执行的处
理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（1）一类是当型循环结构，如图1-5（ 1）所示，它的功能是当
给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P
1
是
否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一
次条件P
1
不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。
（2）另一类是直到型循环结构， 如下图所示，它的功能是先执
行，然后判断给定的条件P
2
是否成立，如果P
2
仍然不成立，则继续
执行A框，直到某一次给定的条件P
2
成立为止，此时 不再执行A框，

从b点离开循环结构。



A A

P
1
？
P
不成立


b b
当型循环结构
（1）








2
？ 不成立
成立
直到型循环结构
（2）

例4：设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图。
算法分析：只需要一 个累加变量和一个计数变量，将累加变量的
初始值为0，计数变量的值可以从1到100。






程序框图：






i=1



开始

i≤100？
否 是







3、课堂小结：
本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括常用的图 形符号、
算法的基本逻辑结构，算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条

Sum=0
i=i+1
Sum=sum+i
输出sum
结束

件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结
构，循环结 构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支
撑的，它们共同构成了算法的基本结构，无论怎 样复杂的逻辑结构，
都可以通过这三种结构来表达
4、自我评价：
1）设x为为一 个正整数，规定如下运算：若x为奇数，则求3x+2；若x
为偶数，则为5x，写出算法，并画出程序 框图。
2）画出求2
1
+2
2
+2
3
+…2100
的值的程序框图。
5、评价标准：
1．解：算法如下。
S1 输入x
S2 若x为奇数，则输出A=3x+2；否则输出A=5x
S3 算法结束。


程序框图如下图：

开始



i=1

p=0




p=pxi




i≤30? 是

否


输出p



结束

i=i+1

2、 解：序框图如下图

:
开始





i=1

6、作业：

p=0



p=p+2

i
i=i+1



i≥100? 否

是

输出

p



结束





课本P11习题1.1 A组2、3
1.2.1输入、输出语句和赋值语句（第一课时）

教学目标：
知识与技能
（1）正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。
（2）会写一些简单的程序。
（3）掌握赋值语句中的“=”的作用。
过程与方法
（1）让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；
并能初步操作、模仿。
（2）通过对现实生活情境的探究，尝试设计出解决问题的程序，
理解逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过本节内容的学习，使我们认识到计算机与人们生活密
切相关， 增强计算机应用意识，提高学生学习新知识的兴趣。
重点与难点
重点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。
难点：准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。
学法与教学用具
计算机、图形计算器
教学设想
【创设情境】
在现代社会里，计算机已经 成为人们日常生活和工作不可缺
少的工具，如：听MP3，看电影，玩游戏，打字排版，画卡通画，

处理数据等等，那么，计算机是怎样工作的呢？
计算机完成任何一项任 务都需要算法，但是，我们用自然语
言或程序框图描述的算法，计算机是无法“看得懂，听得见”的。< br>因此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言
（programming language）翻译成计算机程序。
程序设计语言有很多种。如BASIC，Foxbase，C 语言，C++，
J++，VB等。为了实现算法中的三种基本的逻辑结构：顺序结构、
条件结构 和循环结构，各种程序设计语言中都包含下列基本的算
法语句：


这就是这一节所要研究的主要内容——基本算法语句。今天，
我们先一起来学习输入、输出语句和赋 值语
句。（板出课题）
【探究新知】
语句n
输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句
语句n+1
我 们知道，顺序结构是任何一个算法都
离不开的基本结构。输入、输出语句和赋值
语句基本上对应 于算法中的顺序结构。（如右
图）计算机从上而下按照语句排列的顺序执行这些语句。
输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息，输出结
果的功能。如下面的例子：
用描点法作函数
y?x
3
?3x
2
?24x?30
的图象 时，需要求出自变
量与函数的一组对应值。编写程序，分别计算当

x??5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5
时的函数值。
程序：(教师可在课前准备好该程序，教学中直接调用运行)







（学生先不必深究该程序如何得来，只要求懂得上机操作， 模仿
编写程序，通过运行自己编写的程序发现问题所在，进一步提高
学生的模仿能力。） 〖提问〗：在这个程序中，你们觉得哪些是输入语句、输出语句和
赋值语句呢？（同学们互相交流、 议论、猜想、概括出结
论。提示：“input”和“print”的中文意思等）
（一）输入语句
在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。这个
语句的一般格式是：



其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每

INPUT “x=”;x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT x
PRINT y
END
INPUT “提示内容”；变量

次运行上述程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0 ，1，2，3，
4，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获
得的值执 行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋
值，其格式为：



例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以
写成：
INPUT “数学，语文，英语”；a，b，c
注：①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。
但最后的变量的后面不需要。
（二）输出语句
在该程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。
它的一般格式是：



同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。例如下面
的语句可以输出斐波那契数列：

INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
PRINT “提示内容”；表达式

PRINT “The Fibonacci Progression is：”；
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “…”
此时屏幕上显示：
The Fibonacci Progression is：1 1 2 3 5 8 13
21 34 55 …
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息。（2）输出数值
计算的结果。
〖思考〗：在 1.1.2中程序框图中的输入框，输出框的内容怎样用
输入语句、输出语句来表达？（学生讨论、交流 想法，然
后请学生作答）
参考答案：
输入框：INPUT “请输入需判断的整数n=”；n
输出框：PRINT n；“是质数。”
PRINT n；“不是质数。”

（三）赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。
除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量
提供初值。它的一般格式是：

变量
=
表达式
赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把 这
个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值
等于表达式的值。
注：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：
2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行
结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因
式分解、解方程等）
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
〖思考〗：在1.1.2中程序框图中的输入框， 哪些语句可以用赋值
语句表达？并写出相应的赋值语句。（学生思考讨论、交
流想法。）
【例题精析】
〖例1〗：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课
的平均成绩。
分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。
算法： 程序：

开始
输入a,b,c

a?b?c

〖例2〗：给一个变量重复赋值。
程序：





[变式引申]：在此程序的基础上，设计一个程序，要求最后A
的输出值是30。

INPUT “数学=”;a
INPUT “语文=”;b
INPUT “英语=”;c
y=(a+b+c)3
PRINT “The average=”;y
END
A=10
A=A+10
PRINT A
END

（该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理
解）
程序：







〖例3〗：交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。
分析：引入一个中间变量X,将 A的值赋予X,又将B的值赋予
A，再将X的值赋予B，从而达到交换A，B的值。（比如
交换 装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶）
程序：








A=10
A=A+15
PRINT A
A=A+5
PRINT A
END
INPUT A
INPUT B
PRINT A，B
X=A
A=B
B=X
PRINT A，B
END

〖补例〗：编写 一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该
圆的周长和面积。（
?
取3.14）
分析：设圆的半径为R，则圆的周长为
C?2
?
R
，面积为
S?
?
R
2
，
可以利用顺序结构中的INPUT语句，PRINT语 句和赋
值语句设计程序。
程序：







【课堂精练】
P
15
练习 1. 2. 3
参考答案：
1.程序: INPUT “请输入华氏温度：”；x
y=(x-32)*59
PRINT “华氏温度：”；x
PRINT “摄氏温度：”；y

INPUT “半径为R=”；R
C=2*3.14*R
S=3.14*R^2
PRINT “该圆的周长为：”；C
PRINT “该圆的面积为：”；S
END

END
〖提问〗：如果要求输 入一个摄氏温度，输出其相应的华氏
温度，又该如何设计程序？（学生课后思考，讨论
完成）
2. 程序： INPUT “请输入a（a
?
0）=”；a
INPUT “请输入b（b
?
0）=”；b
X=a+b
Y=a-b
Z=a*b
Q=ab
PRINT a,b
PRINT X,Y,Z,Q
END
3. 程序： p=(2+3+4)2
t=p*(p-2)*(p-3)*(p-4)
s=SQR(t)
PRINT “该三角形的面积为：”；s
END
注：SQR（）是函数名，用来求某个数的平方根。
【课堂小结】
本节课介绍了输 入语句、输出语句和赋值语句的结构特点
及联系。掌握并应用输入语句，输出语句，赋值语句编写一些< br>

简单的程序解决数学问题，特别是掌握赋值语句中“=”的作用
及应用 。编程一般的步骤：先写出算法，再进行编程。我们要
养成良好的习惯，也有助于数学逻辑思维的形成。
【评价设计】
1．P
23
习题1.2 A组 1（2）、2 2．试对生活中某个简单问题或是常见数学问题，利用所学基
本算法语句等知识来解决自己所提出的 问题。要求写出算
法，画程序框图，并写出程序设计。
1.2.2-1.2.3条件语句和循环语句（第二、三课时）
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解条件语句和循环语句的概念，并掌握其结构的
区别与联系。
（2）会应用条件语句和循环语句编写程序。
过程与方法
经历对现实生活情境的探 究，认识到应用计算机解决数学
问题方便简捷，促进发展学生逻辑思维能力
情感态度与价值观
了解条件语句在程序中起判断转折作用，在解决实际问题
中起决定作用。深刻体会到循环语句在 解决大量重复问题中起
重要作用。减少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学习，有
益于我们养 成严谨的数学思维以及正确处理问题的能力。
重点与难点

重点：条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。
难点：会编写程序中的条件语句和循环语句。
学法与教学用具
计算机、图形计算器
教学设想
【创设情境】
试求自然数1+2+3+……+99+100的和。 显然大家都能准确地口算出它的答案：5050。而能不能将
这项计算工作交给计算机来完成呢？而 要编程，以我们前面所
学的输入、输出语句和赋值语句还不能满足“我们日益增长的
物质需要” ，因此，还需要进一步学习基本算法语句中的另外两
种：条件语句和循环语句（板出课题）
【探究新知】
（一）条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条 件分
支逻辑结构的算法语句。它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE
格式）






IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF

满足条件？
是
语句1 语句2
否

当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，
如果条件符合，就执行T HEN后的语句1，否则执行ELSE后的
语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即
IF-THEN格式）









计算机执行这 种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条
件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如 果条
件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对

是

IF 条件 THEN
语句
END IF

满足条件？
否
语句

应的程序框图为：（如上右图）
条件语句的作用 ：在程序执行过程中，根据判断是否满足
约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件< br>进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处
理。
【例题精析】 〖例1〗：编写程序，输入一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
的系数， 输
出它的实数根。
分析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据
程序 框图给出的算法步骤，逐步把算法用对应的程序语
句表达出来。
算法分析：我们知道，若判别 式
??b
2
?4ac?0
，原方程有两个不
相等的实数根
x
1
?
?b??
2a
?b??
2a
、
；若< br>INPUT “Please input a，b，c =”;a，b，c
d=b*b-4*a*c
p=-b(2*a)
q=SQR(ABS(d))(2*a)
IF d>=0 THEN
x1=p+q
x2=p-q
x
2
?
??0
，原方程有两
个相等的实数根
x
1
?x
2
??
b
； 若
2a
IF x1=x2 THEN
PRINT “One real root:”;x1
??0
，原方程没有
实数根。也就是说，
在求解方程之前，
ELSE
PRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2

需要首先判断判别式的符号。因此，这个过程可以用算法中的条
件结构来实现。
又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可
?
b
以在计算x
1
和
x
2
之前，先计算
p??
，
q ?
。程序框图：（参照
2a
2a
课本
P
17
）
程序：(如右图所示)
注：SQR（）和ABS（）是两个函数，分别用来求某个数的
平方根和绝对值。
x(x?0)
即
SQR(x)?x
，
ABS(x)?
-

x(x?0).< br>?
〖例2〗：编写程序，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺
序输出。

算法分析：用a，b，c表示输
入的3个整数；为了节约变量，
把它们重新排列后，仍 用a，b，
c表示，并使a≥b≥c.具体操
作步骤如下。
第一步：输入3个整数a，b，
c.
第二步：将a与b比较，并把
小者赋给b，大者赋给a.

INPUT “a，b，c =”;a，b，c
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
IF c>a THEN
t=a
a=c
c=t
END IF
IF c>b THEN
t=b
b=c
c=t
END IF
PRINT a，b，c
END

第三步：将a与c比较. 并把小者赋给c，大者赋给a，此时a
已是三者中最大的。
第四步：将b与c比较，并把小者 赋给c，大者赋给b，此时a，
b，c已按从大到小的顺序排列好。
第五步：按顺序输出a，b，c.
程序框图：（参照课本
P
19
）
程序：(如右框图所示)


〖补例〗：铁路部门托运行李的收费方法如下：
y是收费额（单位：元），x是行李重量（单 位：kg）,当
0＜x≤20时，按0.35元kg收费，当x＞20kg时，20kg的部
分 按0.35元kg,超出20kg的部分，则按0.65元kg收费，
请根据上述收费方法编写程序。
0.35x,0?x?20,
y?
?
0.35?20?0.65(x?20) ,x?20.
该函数分析：首先由题意得：
是个分段函数。需要对行李重量作出判断，因此，这 个
过程可以用算法中的条件结构来实现。
程序： INPUT “请输入旅客行李的重量（kg）x=”；x
IF x>0 AND x<=20 THEN
y=0.35*x
ELSE
y=0.35*20+0.65*(x-20)

END IF
PRINT “该旅客行李托运费为：”；y
END
【课堂精练】
1．
P
20
练习 2.（题略）
分析：如果有两个或是两个以上的并列条件时，用“AND”
把它们连接起来。
2．
P
20
练习 1.（题略）
参考答案： INPUT “请输入三个正数a，b，c=”； a，b，
c
IF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a
THEN
PRINT “以下列三个数：”；a，b，c，
“可以构成三角形。”
ELSE
PRINT “以下列三个数：”；a，b，c，
“不可以构成三角形！”
END IF
END
（二）循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程 序框
图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE

循环体

满足条件？
是

型）和直到型（UNTIL型）两种语句 结构。即WHILE语句和
UNTIL语句。
（1）WHILE语句的一般格式是：







其中循环体是由计算机反 复执行的一组语句构成的。
WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循
环 体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条
件符合，就执行WHIL E与WEND之间的循环体；然后再检查
上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复< br>进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循
环体，直接跳到WEND语句后，接 着执行WEND之后的语句。
因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序
结构 框图为：（如上右图）
（2）UNTIL语句的一般格式是：


DO
循环体
LOOP UNTIL 条件


WHILE 条件
循环体
WEND
循环体
否

满足条件？
是

其对应的程序结构框图为：（如上右图）
〖思考〗：直到型循环又称为“后测试型”循环，参 照其直到型循
环结构对应的程序框图，说说计算机是按怎样的顺序执
行UNTIL语句的？（让 学生模仿执行WHILE语句的表
述）
从UNTIL型循环结构分 析，计算机执行该语句时，先
执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，
继续返 回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反
复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体， 跳到
LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进
行条件判断的循环语句。
〖提问〗：通过对照，大家觉得WHILE型语句与UNTIL型语句
之间有什么区别呢？（让 学生表达自己的感受）
区别：在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，而在
UNT IL语句中，是当条件不满足时执行循环体。
【例题精析】

〖例3〗：编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和。
分 析：这是一个累加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以
用UNTIL型语句。由此看来，解决问 题的方法不是惟一的，
当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与复杂的问题。
程
序
WHILE
型：
：
i=1

sum=0
WHLIE i<=100
sum=sum+i
i=i+1

WEND
i=1
sum=0
DO
sum=sum+i
i=i+1
LOOP UNTIL i>100
PRINT sum
END

UNTIL型：










PRINT sum
〖例4〗：根据1.1.2中的图1.1-2,将程序框图转化为程序语句。
分析：仔细观察，该程序框图中既有条件结构，又有循环结构。

程序：

INPUT “n=”;n
flag=1
IF n>2 THEN
：上述判定质数的算法是否还能有所改进？（让学生课
d=2
WHILE d<=n-1 AND flag=1
IF n MOD d=0 THEN
flag=0
ELSE
d=d+1
END IF
WEND
ELSE
IF flag=1 THEN
PRINT n；“是质数。”
ELSE
PRINT n；“不是质数。”
END IF
END IF
END




















〖思考〗

后思考。）
〖补例〗：某纺织厂19 97年的生产总值为300万元，如果年生产
增产率为5﹪，计算最早在哪一年生产总值超过400万< br>元。
分析：从1997年底开始，经过x年后生产总值为300×（1+5
﹪）
x
,可将1997年生产总值赋给变量a，然后对其进行累
乘，用n作为计数变量进行循环， 直到a的值超过400万
元为止。
解：
程序框图为： 程序：













开始
a=300,p=1.05,n=1997
a>400?
否
是
a=a*p
输出n
a=300
p=1.05
n=1997
DO
a=a*p
n=n+1
LOOP UNTIL a>400
PRINT n
END
n=n+1
结束

【课堂精练】
1．
P
23
练习 2. 3（题略）
参考答案：
2.解：程序： X=1
WHILE X＜=20
Y=X^2-3*X+5
X=X+1
PRINT “Y=”；Y
WEND
END
3．解：程序： INPUT “请输入正整数n=”；n
a=1
i=1
WHILE i<=n
a=a*i
i=i+1
WEND
PRINT “n!=” ；a
END
【课堂小结】
本节课主要学习了条件语句和循环语句的结构、特点、作

用以及用法 ，并懂得利用解决一些简单问题。条件语句使程序
执行产生的分支，根据不同的条件执行不同的路线，使 复杂问
题简单化。有些复杂问题可用两层甚至多层循环解决。注意内
外层的衔接，可以从循环体 内转到循环体外，但不允许从循环
体外转入循环体内。
条件语句一般用在需要对条件进行判断 的算法设计中，如
判断一个数的正负，确定两个数的大小等问题，还有求分段函
数的函数值等， 往往要用条件语句，有时甚至要用到条件语句
的嵌套。
循环语句主要用来实现算法中的循环结 构，在处理一些需
要反复执行的运算任务。如累加求和，累乘求积等问题中常用
到。
【评价设计】
1． P
23
习题1.2 A组 3、4
P
24
习题1.2 B组 2.
2．试设计一个生活中某个简单问 题或是常见数学问题，并
利用所学基本算法语句等知识编程。（要求所设计问题
利用条件语句或 循环语句）

1.3算法案例
第一、二课时 辗转相除法与更相减损术
（1）教学目标

（a）知识与技能
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这
些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图
并写出算法程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我
们常 见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序
的学习中体会数学的严谨，领会数学算法 计算机处理的结合方式，初
步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值
1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世
界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的
逻辑思维能力，在利用算法解决数学问 题的过程中培养理性的精神和
动手实践的能力。
（2）教学重难点
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序
语言。
（3）学法与教学用具
学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损

术中 的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗
转相除法与更相减损术的程序框图与算法 程序。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
（一）创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知
识，你能求出18与30的公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数 的方法来求
最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些
公约数，我们又 应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105
的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨 的内容。
（二）研探新知
1.辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有 明显的公约数，
如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数， 同样6105与2146
的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是< br>6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333

1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。 也叫欧几里德算
法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除
法求最大 公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q
0
和一个余 数
r
0
；
第二步：若r
0
＝0，则n为m，n的最大公约 数；若r
0
≠0，则用
除数n除以余数r
0
得到一个商q
1
和一个余数r
1
；
第三步：若r
1
＝0，则r
1
为m，n的最大公约数；若r
1
≠0，则用
除数r
0
除以余 数r
1
得到一个商q
2
和一个余数r
2
；
……
依次计算直至r
n
＝0，此时所得到的r
n－1
即为所求的最大公约 数。
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答
案：53）
2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更 相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，
副置分母·子之数，以少减多，更相减损， 求其等也，以等数约之。
翻译出来为：

第一步：任意给出两个正 数；判断它们是否都是偶数。若是，用
2约简；若不是，执行第二步。
第二步：以较大的数减 去较小的数，接着把较小的数与所得的差
比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止 ，则
这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，
即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：
12）
3.比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法 以除法为主，
更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，
特别当两个数 字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除 余数
为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序
利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设 计出程序
框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求
最大公约数，下 面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序
的正确性，并在计算机上验证自己的结果。
（1）辗转相除法的程序框图及程序
程序框图：
开始
输入两个正
整数m，n
m>n?
否
是
x=n
n=m
m=x
r= m MOD n
n=r
m=n
r=0?
否
是
输出n
结束

程序：
INPUT “m=”;m

INPUT “n=”;n
IF mm=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
5.课堂练习
一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的
BASIC程序中验证。
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119 < br>二.思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？
可否利用求质因数的算法设计出程 序框图及程序？若能，在电脑上测
试自己的程序；若不能说明无法实现的理由。
三。思考：利 用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设
计程序框图并转换成程序在BASIC中实现。

6.小结：
辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法
程序的编写。
（5）评价设计
作业：P38 A（1）B（2）
补充：设计更相减损术求最大公约数的程序框图
第三、四课时 秦九韶算法与排序
（1）教学目标
（a）知识与技能
1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦 九韶算法可以减少
计算次数提高计算效率的实质。
2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法 与冒泡排序法给一组
数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法
与计算 机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
（b）过程与方法
模仿秦九韶计算方法，体 会古人计算构思的巧妙。能根据排序法
中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计 算
机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机
对数学学习的辅助作用。
（c）情态与价值
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，
充 分认识到我国文化历史的悠久。通过对排序法的学习，领会数学计

算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。
（2）教学重难点
重点：1.秦九韶算法的特点
2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计
难点：1.秦九韶算法的先进性理解
2.排序法的计算机程序设计
（3）学法与教学用具
学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，
体会科学的计算。
2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，
领会数学计算在计算机上实施的要求。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
（一）创设情景，揭示课题
我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式
f(x)?x
5
? x
4
?x
3
?x
2
?x?1
当
x?5时的值，并统计所做的计算的种
类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次
加法运算。
我们把多 项式变形为：
f(x)?x
2
(1?x(1?x(1?x)))?x?1
再统 计一下
计算当
x?5
时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次
加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九

韶算法。
（二）研探新知
1.秦九韶计算多项式的方法
f(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?a
n?2
xn?2
???a
1
x?a
0
?(a
n
x
n?1
?a
n?1
x
n?2
?a
n?2
x
n?3
???a
1
)x?a
0
?((a
n
xn?2
?a
n?1
x
n?3
???a
2
)x? a
1
)x?a
0
???
?(?((a
n
x?an?1
)x?a
n?2
)x???a
1
)?a
0

例1 已知一个5次多项式为
f(x)?5x
5
?2x
4
?3.5x
3
?2.6x
2
?1.7x?0.8

用秦九韶算法求这个多项式当
x?5
时的值。
解：略
思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？
（2）在利用秦 九韶算法计算n次多项式当
x?x
0
时需要多少次
乘法计算和多少次加法计算 ？
练习：利用秦九韶算法计算
f(x)?0.83x
5
?0.41x
4
?0.16x
3
?0.33x
2
?0.5x?1

当
x?5
时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式
f(x)?a
5
x
5
?a4
x
4
?a
3
x
3
?a
2
x
2
?a
1
x?a
0
当
x?x
0
时 的值的程序框图。
解：程序框图如下：

开始
输入f(x)
的系数：
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
输入
x
0
n=1
v=a5

n=n+1
v=v x
0
+a
5-n
n≤ 5
是
否
输出v
结束


练习：利用程序框图试编写BASIC程序并在计算机上测试自己的程
序。

2.排序
在信息技术课中我们学习过电子表格,电子表格对分数的排序
非常简单,那 么电子计算机是怎么对数据进行排序的呢?
阅读课本P30—P31面的内容,回答下面的问题:
(1)排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤有什么区
别?
(2)冒泡法排序中对5个数字进行排序最多需要多少趟?
(3)在冒泡法排序对5个数字进行排序的每一趟中需要比较大

小几次?
游戏:5位同学每人拿一个数字牌在讲台上演示冒泡排序法对5个< br>数据4,11,7,9,6排序的过程,让学生通过观察叙述冒泡排序法的主
要步骤.并结合步骤 解决例3的问题.
例3 用冒泡排序法对数据7,5,3,9,1从小到大进行排序
解:P32
练习:写出用冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程中每
一趟排序的结果.
例4 设计冒泡排序法对5个数据进行排序的程序框图.
解: 程序框图如下:

开始
输入
a
1
,a
2
, a
3
,a
4
,a
5
r=1
i=1
a
i
>a
i+1
是
否
x=a
i
a
i
=a
i+1
a
i+1
=x
i=i+1r=r+1
i=5< br>否
是
r=5
否
是
输出
a
1
,a2
,a
3
,a
4
,a
5
结束

思考:直接排序法的程序框图如何设计?可否把上述程序框图转
化为程序?
练习:用直接排序法对例3中的数据从小到大排序

3.小结:
(1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计
(2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡排
序法
(3)冒泡法排序的计算机程序框图设计

（5）评价设计
作业：P38 A（2）（3）
补充：设计程序框图对上述两组数进行排序

第五课时 进位制
（1）教学目标
（a）知识与技能
了解各种进位制 与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与
十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（b）过程与方法
学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各
种 进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
（c）情态与价值
领悟十进制，二进制的特 点，了解计算机的电路与二进制的联系，
进一步认识到计算机与数学的联系。
（2）教学重难点
重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设
计
（3）学法与教学用具
学法：在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制
表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进

制转换为各种进位制的除k去余法。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
（一）创设情景，揭示课题
我们常见的数字都是十进制的,但是并 不是生活中的每一种数字
都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用
的 是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?
（二）研探新知
进位制 是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的
数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即可称n进位制，
简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9
进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进
数57，可以用二 进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用
十六进制表示为39，它们所代表的数值都是 一样的。
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表
示二进制数,34
(5)
表示5进制数.
电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制
之间的转化
例1 把二进制数110011
(2)
化为十进制数.
解:110011=1*2
5
+1*2
4
+0*2
3
+1*2
4
+0*22
+1*2
1
+1*2
0

=32+16+2+1

=51
例2 把89化为二进制数.
解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,
然后去余数.
具体的计算方法如下:
89=2*44+1
44=2*22+0
22=2*11+0
11=2*5+1
5=2*2+1
所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1
=1*2
6
+0*2
5
+1*2
4
+1*2
3+0*2
2
+0*2
1
+1*2
0

=1011001
(2)

这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:

2
2
2
2
2
2
89
44
22
11
5
2
2
1
0
余数
1

0
0

1
1
0

1

把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001
(2)

上述方法也可以推广为把十进制化为k进制数的算法,这种算法成为
除k取余法.
当 数字较小时,也可直接利用各进位制表示数的特点,都是以幂的形
式来表示各位数字,比如2*103
表示千位数字是2,所以可以直接求出
各位数字.即把89转换为二进制数时,直接观察 得出89与64最接近
故89=64*1+25
同理:25=16*1+9
9=8*!+1
即89=64*1+16*1+8*!+1=1*2
6
+1 *2
4
+1*2
3
+1*2
0

位
数
数1 0 1 1 0 0 1

6 5 4 3 2 1 0

字
即89=1011001
(2)

练习:(1)把73转换为二进制数
(2)利用除k取余法把89转换为5进制数
把k进制数a(共有n位)转换为十进制数b的过程可以利用计算机程
序来实现,语句为:
INPUT a,k,n
i=1
b=0
WHILE i<=n
t=GET a[i]
b=b+t*k^(i-1)
i=i+1
WEND
PRINT b
END
练习:(1)请根据上述程序画出程序框图.
参考程序框图:

开始
输入a,k,n
i=1
b=0
t=GET a[ i]
i=i+1
b=b+t*k^(i-1)
i<=n
是
否
输出b
结束


(2)设计一个算法,实现把k进制数a(共有n位)转换为 十进制数b的
过程的程序中的GET函数的功能,输入一个正5位数,取出它的各位数
字,并输 出.

小结:
(1)进位制的概念及表示方法
(2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序
（5）评价设计
作业：P38 A（4）
补充：设计程序框图把一个八进制数23456转换成十进制数.
算法初步 复习课
（1）教学目标
（a）知识与技能
1.明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构：顺序、条件和循
环，以及基本的算法语句。
2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、排序、进
位制等典型的算法知识解决同 类问题。
（b）过程与方法
在复习旧知识的过程中把知识系统化，通过模仿、操作、探索，
经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中进
一步理解程序框图的三种基 本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（c）情态与价值
算法内容反映了时代的特点，同时 也是中国数学课程内容的新特
色。中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就。
现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法
进入中学数学课程，既反映了时代 的要求，也是中国古代数学思想在

一个新的层次上的复兴，也就成为了中国数学课程的一个新的特色。
（2）教学重难点
重点：算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计
难点：与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写
（3）学法与教学用具
学法 ：利用实例让学生体会基本的算法思想，提高逻辑思维能力，
对比信息技术课程中的程序语言的学习和程 序设计，了解数学算法与
信息技术上的区别。通过案例的运用，引导学生体会算法的核心是一
般 意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考
后获得了解决它的基本思路（解题策略 ），将这种思路具体化、条理
化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句）。

教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
一.本章的知识结构
程
序
框
图
算法
算
法
语
句
排序
进位制
辗转相除法与更相减损术
秦九韶算法

二.知识梳理
(1)四种基本的程序框

终端框（起止框）
输入.输出框
处理框
判断框


(2)三种基本逻辑结构
顺序结构
循环结构

(3)基本算法语句
（一）输入语句

条件结构

单个变量



多个变量

；变量1，变量2，变量3，…

INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”
INPUT “提示内容”；变量

（二）输出语句

；表达式

PRINT “提示内容”

（三）赋值语句



（四）条件语句
IF-THEN-ELSE格式





IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF

变量=表达式

满足条件？
是
语句1
否
语句2

当 计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，
如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否 则执行ELSE后的
语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
IF-THEN格式









计 算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条
件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后 的语句，如果条
件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对

是

IF 条件 THEN
语句
END IF

满足条件？
否
语句

应的程序框图为：（如上右图）
（五）循环语句
（1）WHILE语句





其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面
的“条件”是用 于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果 条件符合，
就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如
果条件仍符合 ，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条
件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直 接跳到WEND语
句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前
测试型 ”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图）
（2）UNTIL语句







WHILE 条件
循环体
WEND
循环体

满足条件？
否
是

DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
循环体
否

满足条件？
是

其对应的程序结构框图为：（如上右图）

(4)算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
案例2 秦九韶算法
案例3 排序法：直接插入排序法与冒泡排序法
案例4 进位制
三.典型例题
例1 写一个算法程序,计算1+2+3+…+n的值(要求可以输入任意大于
1的正自然数)
解：INPUT “n=”;n
i=1
sum=0
WHILE i<=n
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
思考：在上述程序语句中我们使用了WHILE格式的循环语句，能不

能使用UNTIL循环？

例2 设计一个程序框图对数字3,1,6,9,8进行排序(利用冒泡排序
法)
开始
输入
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a< br>5
r=1
i=1
a
i
>a
i+1
是
否
x=a
i
a
i
=a
i+1
a
i+1=x
i=i+1r=r+1
i=5
否
是
r=5
否
是
输出
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
结束
思考：上述程序框图中哪些是顺序结构？哪些是条件结构？哪些 是循
环结构？
例3 把十进制数53转化为二进制数.
解：53＝1×2
5
＋1×2
4
＋0×2
3
＋1×2
2
＋0×21
＋1×2
0

＝110101
（2）
例4 利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数。

解：6497＝3869×1＋2628
3869＝2628×1＋1241
2628＝1241*2＋146
1241＝146×8＋73
146＝73×2＋0
所以3869与6497的最大公约数为73
最小公倍数为3869×649773＝344341
思考：上述计算方法能否设计为程序框图？
练习:P40 A(3) (4)
（5）评价设计
作业：P40 A（5）(6)


2.1.1 简单随机抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一
般步骤；
2、过程与方法：
（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问
题；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从
总体中抽取样本。
3 、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题
的提出，体会数学知识与现实世界及各学科 知识之间的联系，
认识数学的重要性。
4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握 抽签法及
随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。
教学设想：

假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包
装饼干进行卫生 达标检验，你准备怎样做？
显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。（为什
么 ？）那么，应当怎样获取样本呢？
【探究新知】
一、简单随机抽样的概念
一般地 ，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n
个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体 内的各个个体被抽到
的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样
本，叫 做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为nN。
思考？
下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选 出10个零件进行质量检验，
在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回
箱子。
二、抽签法和随机数法
1、抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体 中的N个个体编号，把号码写在号
签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，
连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
思考？
你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用
抽签法方便吗？
2、随机数法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫
随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我 们
要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛

< br>奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面
的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数 表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数
7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行 ）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62
87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向 也可以是向左、
向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785
在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它
去掉，按照这种方法继续 向右读，又取出567，199，507，…，依次
下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就 得到一个容量为
60的样本。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】
例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随 机确定一张为起始牌，
这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，
问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本 ，
而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各
张在谁手里已被确定，所 以不是简单随机抽样。
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，
要从 中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方
法抽取样本？
[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1， 2，…，100，并做好大
小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，

进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对
应的 轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随
机数表中 选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个
为68，34，30，13，70，55， 74，77，40，44，这10件即为所要抽
取的样本。
【课堂练习】P
【课堂小结】
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机
抽样有 两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的
是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有 抽签法和随机数法。
2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，
费时、费 力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不
公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点 上当总体容量较大时，
仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容
量较 少的抽样类型。
3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为nN，但
是这里一定要 将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能
性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情 况区分开业，避免
在解题中出现错误。
【评价设计】
1、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进
行测量，下列说法正确的是
A．总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
2、为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的
长度， 在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A、总体 B、个体是每一个学生
C、总体的一个样本 D、样本容量
3、一个总 体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽
取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到 的可能性是 。
4、从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则
抽到的均为女生的可能性是 。

2.1.2 系统抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解系统抽样的概念；

（2）掌握系统抽样的一般步骤；
（3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；
2、过程与方法：通过对实际问题的探究， 归纳应用数学知识解
决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法，
3、情感态度与价值观： 通过数学活动，感受数学对实际生活的
需要，体会现实世界和数学知识的联系。
4、重点与难点：正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统
抽样的方法解决统计问题。
教学设想：
【创设情境】：某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打
算从 高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽
样获取样本外，你能否设计其他抽取样 本的方法？
【探究新知】
一、系统抽样的定义：
一般地，要从容量为N的总体中 抽取容量为n的样本，可将总
体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取
一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体 分段，分段的间
隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般
为k＝[
N
n
].
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确
定一 个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍
数即为抽样编号。
思考？
（1）你能举几个系统抽样的例子吗？
（2）下列抽样中不是系统抽样的是 （ ）
A、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，
按从小号到
大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数
起)号入样 < br>B工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员
从传送带上每隔五分钟抽一件产品 检验

C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，
直到调查到事先规定的调查人数为止
D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座
位号为14的观众留下来座谈
点拨:（2）c不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不
能保证每个个体按事先规定的 概率入样。
二、系统抽样的一般步骤。
（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。
（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,L≤k).
（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L
≤k）。
（4） 按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔
k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第 3个个体编号
L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。
【说明】从系统抽样的步骤可以 看出，系统抽样是把一个问题
划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数
学转 化思想。
【例题精析】
例1、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2， ……，295，
为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统
抽样的方法 进行抽取，并写出过程。
[分析]按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关
键是确定第1段的编号。
解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们
把259名同学分成5 9组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学
生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去， 59组是编号为
291～295的5名学生。采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学
生中抽 出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编
号为k+5L(L=0,1,2,…… ，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3
时的样本编号为3，8，13，……，288，293 。
例2、从忆编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随
机抽取5枚来进行发射 实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系
统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43

C．1，2，3，4，5 D、2，4，6，16，32
[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该
k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d ,其中d=505=10,k是1到10中用简单随机抽
样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故 选B。

【课堂练习】P49 练习1. 2. 3

【课堂小结】
1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方
法进行抽样，系统抽样的步骤为 ：
（1）采用随机的方法将总体中个体编号；
（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；
（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；
（4）按照事先预定的规则抽取样本。
N
2、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔 k为整数，当
n
不是
整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数
间隔k。
【评价设计】
1、从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，
则抽样的间隔为
（ ）
A．99 B、99，5
C．100 D、100，5
2、从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参
加数学测 试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可
能是 （ ）
A．1，2，3，4，5 B、5，16，27，38，49
C．2, 4, 6, 8, 10 D、4，13，22，31，40
3、采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10
的样本，那么每个个体人样 的可能性为
（ ）
A．8 B.8，3

C．8.5 D.9
4、某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，
礼堂中坐满了学生， 会后为了了解有关情况，留下座位号是
15的所有25名学生进行测试，这里运用的是 抽样
方法。
5、某单位的在岗工作为624人，为了调查工作上班时，从家到
单位的 路上平均所用的时间，决定抽取10%的工作调查这一情
况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？
2.1.3 分层抽样
教学目标：

1、知识与技能：
（1）正确理解分层抽样的概念；
（2）掌握分层抽样的一般步骤；
（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正
确的方法进行抽样。
2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感
知应用数学知识解决实际问题的方法。
3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知
识中“估计
与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观
与价值观。
4 、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样
抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决 现实生活中的抽
样问题。

教学设想：
【创设情景】
假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000
人，此地
教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从
本地区的
小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
【探究新知】
一、分层抽样的定义。
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一
定的比例， 从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个
体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。
【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
（1）分层：将相似的个体 归人一类，即为一层，分层要求每层
的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。
（ 2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进
行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体 数量的比与这
层个体数量与总体容量的比相等。
二、分层抽样的步骤：
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。
（2）按比例确定每层抽取个体的个数。
（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。

（4）综合每层抽样，组成样本。
【说明】
（1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。
（3）各层抽样按简单随机抽样进行。
探究交流
（1）分层抽样又称类型抽样，即 将相似的个体归入一类（层），
然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个
个体 等可能入样，必须进行
（ ）
A、每层等可能抽样
B、每层不等可能抽样
C、所有层按同一抽样比等可能抽样
（2）如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个
容量为n
样本，那么每个个体被抽到的可能性为
（ ）
A．
点拨：
（1）保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、
分层抽
共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是

1
N
B.
1
n
C.
n
N
D.
n
N

必不可少的，故此选C。
（2）根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与
总体容量
比，故此题选C。
知识点2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
适 用
类 别
简 单
随 机
抽 样

共同点
（1）抽样过程中
从总体中逐个抽
每个个体被
取
抽到的可能
性相等
将总体均分成几
在起始部分
（2）每次抽出个
部 分，按
样时采用简
系 统
抽 样
体后不再将
预先制定的规则
随机抽样
它放回，即
在各部分抽取
不放回抽样
分层抽样时
将总体分成几
采用简单随
分 层
抽 样
层，
机抽样或系
分层进行抽取
统抽样
分组
成


各自特点 联 系
范 围
总体
个数
较少
总体
个数
较多
总体
由差
异明
显的
几部

【例选精析】
例1、 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200
人，高三年级400人 ，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，
那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为
A.15,5,25 B.15,15,15
C.10,5,30 D15,10,20
[分析]因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4 的
三部分。设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由
3x+2x+4x=45，得 x=5，故高一、高二、高三各年级抽取的
人数分别为15，10，20，故选D。
例2：一 个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：
5：2：3，从3万人中抽取一个300人 的样本，分析某种疾病
的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应
采取什么样 的方法？并写出具体过程。
[分析]采用分层抽样的方法。
解：因为疾病与地理位置和水土 均有关系，所以不同乡镇的发病
情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。
300×315=60（人），3 00×215=100（人），300×215=40（人），
300×215=60（人），因此各乡 镇抽取人数分别为60人、40人、100
人、40人、60 人。

（3）将300人组到一起，即得到一个样本。
【课堂练习】P52 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的 抽样方
法，进行分层抽样时应注意以下几点：
（1）、分层抽样中分多少层、如何分层要视具 体情况而定，总的
原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，
且互不重叠。
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比
等可能抽样。
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进
行抽样。
2、分层抽 样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过
程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种 实用、操作性强、
应用比较广泛的抽样方法。
【评论设计】
1、某单位有老 年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调
查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36 的样本，则适合
的抽取方法是 （ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样

D．先从老人中剔除1人，然后再分层抽样
2、某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有
125人，B型血的有125人， AB型血的有50人，为了研究血型与色
弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血 应抽
取的人数为 人，A型血应抽取的人数为 人，B型血
应抽取的人数为 人，AB型血应抽取的人数为 人。
3、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高
三年级有学生750人，每 个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一
个容量为n的样本，则n= 。
4、对 某单位1000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工
任职年限有关，人事部门提供了如下资料：
任职年限
人数
5年以下
300
5年至10年
500
10年以上
200
试利用上述资料设计一个抽样比为110的抽样方法。


２.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1） 通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布 表，画频率分
布直方图、频率折线图和茎叶图。

（3）通过实例体 会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各
自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确< br>地做出总体估计。
过程与方法
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的 方
法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过对 样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活
的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实， 体会数
学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎
叶图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
教学设想
【创设情境】
在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得
分的原始记录如下﹕
甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，
44，49，50
乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，
31，29， 33

请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发
挥比较稳定？ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要
研究、学习的主要内容——用样本的频率 分布估计总体分布
（板出课题）。
【探究新知】
〖探究〗：P
55

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突 出，
某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额
管理，即确定一个居民月用 水量标准a，用水量不超过a的部分按
平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日< br>常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为
了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展
开讨论）
为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常
用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个 范围的居民最多，他
们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式，通过
分析样本数 据来估计全市居民用水量的分布情况。（如课本P
56
）
分析数据的一种基本方法是 用图将它们画出来，或者用紧凑
的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数
据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据
的构成形式，为我们提供解释数据的新方 式。

下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据
在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可
以让我们更清楚的看到整个样本数据的 频率分布情况。
〈一〉频率分布的概念：
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比 例的
大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步
骤为：
（1） 计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
（2） 决定组距与组数
（3） 将数据分组
（4） 列频率分布表
（5） 画频率分布直方图
以课本P
56
制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步
骤画出频率分布直方图。（让学生自己动手作 图）
频率分布直方图的特征：
（1） 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体
趋势。
（2） 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表
示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
〖探究〗：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，
得到的图和形状也会不同。 不同的形状给人以不同的印
象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1

和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生
分成两大组进行，分别作出两 种组距的图，然后组织同学
们对所作图不同的看法进行交流……）
接下来请同学们思考下面这个问题：
〖思考〗：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的 用水量不超
出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见
课本P
57
）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学
生仔细观察表和图）
〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线
1．频率分布折线图的定义：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率
分布折线图。
2．总体密度曲线的定义：
在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接
近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。
它能够精确地反映了总体在各个范围内取值 的百分比，它能给
我们提供更加精细的信息。（见课本P
60
）
〖思考〗：
１．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什
么？
２．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地
画出来？为什么？
< /p>

实际上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一
般很难想函数图象那样准 确地画出来，我们只能用样本的频率
分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越
精确．
〈三〉茎叶图
１．茎叶图的概念：
当数据是两位有效数字时，用中间的 数字表示十位数，即
第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，
它的中间部 分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，
因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P
6
１
例子）
2．茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点： 一是从统计图上没有原始
数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；
二是茎叶图中 的数据可以随时记录，随时添加，方便记录
与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的 数据，而且茎叶图只方
便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是
没有表示两个记 录那么直观，清晰。
【例题精析】
〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出
的120人的身高
(单位ｃｍ)

区间界限[122,126)[126,130) [130,134)[134,138)[138,142)[142,146)
人数58102233 20
区间界限[146,150)[150,154)[154,158)
人数1165
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。
解：（１）样本频率分布表如下：












（２）其频率分布直方图如下：
频率

组距
分组
[122,126)
[126,130)< br>[130,134)
[134,138)
[138,142)
[142,146 )
[146,150)
[150,154)
[154,158)
合计
频数
5
8
10
22
33
20
11
6
5
120
频率
0.04
0.07
0.08
0.18
0.28
0.17
0.09
0.05
0.04
1


0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02

（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为
0.04+0.07+ 0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数
的19%.
〖例2〗 ：为了了解高一学
生的体能情况,某校抽取部
分学生进行一分钟跳绳次
数次测试，将所 得数据整理
后，画出频率分布直方图
(如图)，图中从左到右各小
长方形面积之比为2 ：4：17：
0.036
0.032
0.028
0.024
0.020
0.016
0.012
0.008
0.004
o

100 110 120 130 140 150
次数
频率

组距
90

15：9：3，第二小组频数为12.
(1)
(2)
第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高
一学生的达标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说
明理由。
分析 ：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，
小长方形的高与频数成正比，各组频数 之和等于样本容量，频率之和
等于1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内
的频率大小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=
4
?0.08

2?4?17?15?9?3
第二小组频数

样本容量
第二小组频数12
??150

第二小组频率0.08
所以
样本容量?
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
17?15?9?3
?100%?88%

2?4?17?15?9?3（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以
前三组的频数之和为 69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次
数的中位数落在第四小组内。
【课堂精练】
P
61
练习 1. 2. 3

【课堂小结】
1． 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布 不
易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分
布。
2． 总体的分布分 两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎
叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本
数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是
用频率分布表或频率分布直方图。

【评价设计】
1．P
72
习题2.2 A组 1、 2
２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据
的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提
取基本的数字特征（如平均数、 标准差），并做出合理的解
释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法

< br>在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的
思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推 理的数学方法。
情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简< br>单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与
现实世界的联系。
重点与难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学设想
【创设情境】
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环
数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个 运动员发挥的更稳定些吗？
为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据
对总体 的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体
的数字特征（板出课题）。
【探究新知】
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P
62

（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本
数据的 “中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生
回忆初中所学的一 些统计知识，思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，
应 当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。
例如前面一节在调查100位居民的月均用 水量的问题中，从这些
样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t
（ 最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市
的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数
多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没
有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是
众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析 ：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据
给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率 分布直方图
得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个 体小于或等于中位数，也有
50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图
中，矩形 的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边
和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数