当当 高中数学-高中数学里面a31表示什么
3.1.1 方程的根与函数的零点教案
【教学目标】
1.
结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的
联系;
2. 掌握零点存在的判定条件.
【教学重难点】
教学重点:方程的根与函数的零点的关系。
教学难点:求函数零点的个数问题。
【教学过程】
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。
(二)情景导入、展示目标。
探究任务一:函数零点与方程的根的关系
问题:
① 方程
x
2
?2x?3?0
的解为
,函数
y?x
2
?2x?3
的图象与x轴有
个交点,坐标
为 .
②
方程
x
2
?2x?1?0
的解为
,函数
y?x
2
?2x?1
的图象与x轴有
个交点,坐标
为 .
③
方程
x
2
?2x?3?0
的解为
,函数
y?x
2
?2x?3
的图象与x轴有
个交点,坐标
为 .
根据以上结论,可以得到: <
br>一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根就是相应二次函数
y?ax
2
?bx?c?0(a?0)
的图象与x轴交
点的
.
你能将结论进一步推广到
y?f(x)
吗?
已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
新知:对于函数
y?f(x)
,我们把使
f(x)?0
的实数x叫做函数y?f(x)
的零点(zero point).
反思:
函数
y?f
(x)
的零点、方程
f(x)?0
的实数根、函数
y?f(x)
的图象与x轴交点的横坐标,三者有什
么关系?
试试:
(1)函数
y?x
2
?4x?4
的零点为
; (2)函数
y?x
2
?4x?3
的零点为
.
小结:方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.
探究任务二:零点存在性定理
问题:
① 作出
y?x
2
?4x?3
的图象,求
f(2),f(1),f(0)
的值,观察
f(2)<
br>和
f(0)
的符号
② 观察下面函数
y?f(x)
的图象,
?f(b
在区间
[a,b]
上 零点;
f(a)
)
0;
?f(c
在区间
[b,c]
上
零点;
f(b)
)
0;
?f(d
)
0. 在区间
[c,d]
上
零点;
f(c)
新知:如果函数
y?f(x)
在区间
[a
,b]
上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)?f(b)
<0,那么,函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点,即存在
c?(a
,b)
,使得
f(c)?0
,这个c也就是方程
f(x)?0
的根.
讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图
形来分析
.
(三)典型例题
例1求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点的个数.
解析:引导学生借助计算机画函数图像,缩小解的范围。
解:用计算器或计算机做出
x,f(x)
的对应值表和图像(见课本88页)
知
f(2)?0,f(3)?0,
则
f(2)f(3)?0
,这说明函数<
br>f(x)
在区间
(2,3)
内有零点。由于函数
f(x)
在定
于
域
(0,??)
内是增函数,所以它仅有一个零点。
点评:注意计算机与函数的单调性在本题中的应用。
变式训练1:求函数
f(x)?lnx?x?2
的零点所在区间.
小结:函数零点的求法.
① 代数法:求方程
f(x)?0
的实数根;
② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起
来,并利用函数的
性质找出零点.
例2求函数
y?2
x
?3
的零点大致所在区间.
分析;方程的根与函数的零点的应用,学生小组讨论自主完成。
变式训练2
求下列函数的零点:
(1)
y?x
2
?5x?4
;
(2)
y?(x?1)(x
2
?3x?1)
.
(四)小
结:今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?课堂上师生主要解决重点、难点、
疑点、考点
、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达
到提高课堂
效率的目的。
【板书设计】
一、函数零点与方程的根的关系
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】课本88页1,2
3.1.1 方程的根与函数的零点导学案
课前预习学案
一、预习目标
预习方程的根与函数零点的关系。
二、预习内容
(预习教材P
86
~
P
88
,找出疑惑之处)
复习1:一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
(a
?
0)的解法.
判别式
?
=
.
当
?
0,方程有两根,为
x
1,2
?
;
当
?
0,方程有一根,为
x
0
?
;
当
?
0,方程无实数.
复习2:方程
ax
2
+bx+c=0
(a
?
0)的根与二次函数y=ax
2
+bx+c
(a
?
0)的图象之间有什么关系?
判别式
??0
??0
??0
一元二次方程
二次函数图象
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1.
结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的
联系;
2. 掌握零点存在的判定条件.
学习重难点:方程的根与函数的零点的关系,求函数零点的个数问题
二、学习过程
探究任务一:函数零点与方程的根的关系
问题:
①
方程
x
2
?2x?3?0
的解为
,函数
y?x
2
?2x?3
的图象与x轴有 个交点,坐标为
.
② 方程
x
2
?2x?1?0
的解为
,函数
y?x
2
?2x?1
的图象与x轴有
个交点,坐标
为 .
③
方程
x
2
?2x?3?0
的解为
,函数
y?x
2
?2x?3
的图象与x轴有
个交点,坐标
为 .
根据以上结论,可以得到: <
br>一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根就是相应二次函数
y?ax
2
?bx?c?0(a?0)
的图象与x轴交
点的
.
你能将结论进一步推广到
y?f(x)
吗?
新知:对于函数
y?f(x)
,我们
把使
f(x)?0
的实数x叫做函数
y?f(x)
的零点(zero
point).
反思:
函数
y?f(x)
的零点、方程
f(x)?0
的实数根、函数
y?f(x)
的图象与x轴交点的横坐标,三者有什
么关系?
试试:
(1)函数
y?x
2
?4x?4
的零点为
; (2)函数
y?x
2
?4x?3
的零点
为
.
小结:方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与x轴有交点
?
函数<
br>y?f(x)
有零点.
探究任务二:零点存在性定理
问题:
① 作出
y?x
2
?4x?3
的图象,求
f(2),f(1
),f(0)
的值,观察
f(2)
和
f(0)
的符号
②
观察下面函数
y?f(x)
的图象,
?f(b
在区间
[a,b]
上 零点;
f(a)
)
0;
?f(c
在区间
[b,c]
上 零点;
f(b)
)
0;
?f(d
)
0.
在区间
[c,d]
上 零点;
f(c)
新知:如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)?f(b)
<0,那么,
函数
y?f(x)
在区间
(a
,b)
内有零点,即存在
c?(a,b)
,使得
f(c)?0
,这个
c也就是方程
f(x)?0
的根.
讨论:零点个数一定是一个吗?
逆定理成立吗?试结合图形来分析.
三、 典型例题
例1求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点的个数.
变式一:求函数
f(x)?lnx?x?2
的零点所在区间.
小结:函数零点的求法.
①
代数法:求方程
f(x)?0
的实数根;
② 几何法:对于不能用求根公式的方程,
可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来,并利用函数的
性质找出零点.
例2求函数
y?2
x
?3
的零点大致所在区间.
变式训练二
求下列函数的零点:
(1)
y?x
2
?5x?4
;
(2)
y?(x?1)(x
2
?3x?1)
.
四、反思总结
图像连续的函数的零点的性质:
(1)函数的图像是连续的,当它通过零点时(非偶次零点),函数值变号.
推论:函数在区
间
[a,b]
上的图像是连续的,且
f(a)f(b)?0
,那么函数
f(x)
在区间
[a,b]
上至少有一
个零点.
(2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.
五、当堂达标
1. 求函数
y?x
3
?2x
2
?x?2
的零点所在区间,并画出它的大致图象.
课后练习与提高
1. 函
数
f(x)?(x
2
?2)(x
2
?3x?2)
的零点个数
为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函数
f(x)
在
?
a,b
?
上连续,且有<
br>f(a)?f(b)?0
.则函数
f(x)
在
?
a,b
?
上( ).
A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点
C.
只有一个零点 D. 零点情况不确定
3.
函数
f(x)?e
x?1
?4x?4
的零点所在区间为( ).
A.
(?1,0)
B.
(0,1)
C.
(1,2)
D.
(2,3)
4.
函数
y??x
2
?x?20
的零点为 .
5. 若函数
f(x)
为定义域是R的奇函数,且
f(x)
在
(0,??)
上有一个零点.则
f(x)
的零点个数为 .
6.
已知函数
f(x)?2(m?1)x
2
?4mx?2m?1
.
(1)
m
为何值时,函数的图象与
x
轴有两个零点;
(2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求
m
值.
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