高中数学全套教学案数学必修1：3.1.1方程的根与函数的零点

3.1.1 方程的根与函数的零点教案

【教学目标】
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的
联系；
2. 掌握零点存在的判定条件.
【教学重难点】
教学重点：方程的根与函数的零点的关系。
教学难点：求函数零点的个数问题。
【教学过程】
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
探究任务一：函数零点与方程的根的关系
问题：
① 方程
x
2
?2x?3?0
的解为 ，函数
y?x
2
?2x?3
的图象与x轴有 个交点，坐标
为 .
② 方程
x
2
?2x?1?0
的解为 ，函数
y?x
2
?2x?1
的图象与x轴有 个交点，坐标
为 .
③ 方程
x
2
?2x?3?0
的解为 ，函数
y?x
2
?2x?3
的图象与x轴有 个交点，坐标
为 .

根据以上结论，可以得到： < br>一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根就是相应二次函数
y?ax
2
?bx?c?0(a?0)
的图象与x轴交
点的 .

你能将结论进一步推广到
y?f(x)
吗？
已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
新知：对于函数
y?f(x)
，我们把使
f(x)?0
的实数x叫做函数y?f(x)
的零点（zero point）.
反思：
函数
y?f (x)
的零点、方程
f(x)?0
的实数根、函数
y?f(x)
的图象与x轴交点的横坐标，三者有什
么关系？

试试：
（1）函数
y?x
2
?4x?4
的零点为 ； （2）函数
y?x
2
?4x?3
的零点为 .
小结：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.

探究任务二：零点存在性定理
问题：
① 作出
y?x
2
?4x?3
的图象，求
f(2),f(1),f(0)
的值，观察
f(2)< br>和
f(0)
的符号
② 观察下面函数
y?f(x)
的图象，





?f(b
在区间
[a,b]
上 零点；
f(a)

)
0；
?f(c
在区间
[b,c]
上 零点；
f(b)

)
0；
?f(d

)
0. 在区间
[c,d]
上 零点；
f(c)

新知：如果函数
y?f(x)
在区间
[a ,b]
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)?f(b)
<0，那么，函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点，即存在
c?(a ,b)
，使得
f(c)?0
，这个c也就是方程
f(x)?0
的根.

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图
形来分析
.
（三）典型例题
例1求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点的个数.
解析：引导学生借助计算机画函数图像，缩小解的范围。
解：用计算器或计算机做出
x,f(x)
的对应值表和图像（见课本88页）
知
f(2)?0,f(3)?0,
则
f(2)f(3)?0
，这说明函数< br>f(x)
在区间
(2,3)
内有零点。由于函数
f(x)
在定 于
域
(0,??)
内是增函数，所以它仅有一个零点。
点评：注意计算机与函数的单调性在本题中的应用。
变式训练1：求函数
f(x)?lnx?x?2
的零点所在区间.
小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方程
f(x)?0
的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起 来，并利用函数的
性质找出零点．
例2求函数
y?2
x
?3
的零点大致所在区间.

分析；方程的根与函数的零点的应用，学生小组讨论自主完成。
变式训练2
求下列函数的零点：
（1）
y?x
2
?5x?4
；
（2）
y?(x?1)(x
2
?3x?1)
.
(四)小 结：今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？课堂上师生主要解决重点、难点、
疑点、考点 、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达
到提高课堂 效率的目的。
【板书设计】
一、函数零点与方程的根的关系
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】课本88页1,2

3.1.1 方程的根与函数的零点导学案

课前预习学案
一、预习目标
预习方程的根与函数零点的关系。
二、预习内容
（预习教材P
86
~ P
88
，找出疑惑之处）
复习1：一元二次方程
ax
2
+bx+c=0 (a
?
0)的解法.
判别式
?
= .
当
?
0，方程有两根，为
x
1,2
?
；
当
?
0，方程有一根，为
x
0
?
；
当
?
0，方程无实数.

复习2：方程
ax
2
+bx+c=0 (a
?
0)的根与二次函数y=ax
2
+bx+c (a
?
0)的图象之间有什么关系？

判别式
??0

??0

??0

一元二次方程



二次函数图象



三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点






疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的
联系；
2. 掌握零点存在的判定条件.
学习重难点：方程的根与函数的零点的关系，求函数零点的个数问题
二、学习过程
探究任务一：函数零点与方程的根的关系
问题：
① 方程
x
2
?2x?3?0
的解为 ，函数
y?x
2
?2x?3
的图象与x轴有 个交点，坐标为
.
② 方程
x
2
?2x?1?0
的解为 ，函数
y?x
2
?2x?1
的图象与x轴有 个交点，坐标
为 .
③ 方程
x
2
?2x?3?0
的解为 ，函数
y?x
2
?2x?3
的图象与x轴有 个交点，坐标
为 .

根据以上结论，可以得到： < br>一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根就是相应二次函数
y?ax
2
?bx?c?0(a?0)
的图象与x轴交
点的 .

你能将结论进一步推广到
y?f(x)
吗？

新知：对于函数
y?f(x)
，我们 把使
f(x)?0
的实数x叫做函数
y?f(x)
的零点（zero point）.

反思：
函数
y?f(x)
的零点、方程
f(x)?0
的实数根、函数
y?f(x)
的图象与x轴交点的横坐标，三者有什
么关系？



试试：
（1）函数
y?x
2
?4x?4
的零点为 ； （2）函数
y?x
2
?4x?3
的零点
为 .





小结：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与x轴有交点
?
函数< br>y?f(x)
有零点.

探究任务二：零点存在性定理
问题：
① 作出
y?x
2
?4x?3
的图象，求
f(2),f(1 ),f(0)
的值，观察
f(2)
和
f(0)
的符号







② 观察下面函数
y?f(x)
的图象，





?f(b
在区间
[a,b]
上 零点；
f(a)

)
0；

?f(c
在区间
[b,c]
上 零点；
f(b)

)
0；
?f(d

)
0. 在区间
[c,d]
上 零点；
f(c)

新知：如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)
<0，那么，
函数
y?f(x)
在区间
(a ,b)
内有零点，即存在
c?(a,b)
，使得
f(c)?0
，这个 c也就是方程
f(x)?0
的根.

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.


三、 典型例题
例1求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点的个数.










变式一：求函数
f(x)?lnx?x?2
的零点所在区间.




小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方程
f(x)?0
的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的
性质找出零点．
例2求函数
y?2
x
?3
的零点大致所在区间.

变式训练二
求下列函数的零点：
（1）
y?x
2
?5x?4
；
（2）
y?(x?1)(x
2
?3x?1)
.







四、反思总结
图像连续的函数的零点的性质：
（1）函数的图像是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.
推论：函数在区 间
[a,b]
上的图像是连续的，且
f(a)f(b)?0
，那么函数
f(x)
在区间
[a,b]
上至少有一
个零点.
（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.
五、当堂达标
1. 求函数
y?x
3
?2x
2
?x?2
的零点所在区间，并画出它的大致图象.






课后练习与提高
1. 函 数
f(x)?(x
2
?2)(x
2
?3x?2)
的零点个数 为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函数
f(x)
在
?
a,b
?
上连续，且有< br>f(a)?f(b)?0
．则函数
f(x)
在
?
a,b
?
上（ ）.
A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定

3. 函数
f(x)?e
x?1
?4x?4
的零点所在区间为（ ）.
A.
(?1,0)
B.
(0,1)
C.
(1,2)
D.
(2,3)


4. 函数
y??x
2
?x?20
的零点为 .
5. 若函数
f(x)
为定义域是R的奇函数，且
f(x)
在
(0,??)
上有一个零点．则
f(x)
的零点个数为 .
6. 已知函数
f(x)?2(m?1)x
2
?4mx?2m?1
.
（1）
m
为何值时，函数的图象与
x
轴有两个零点；
（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求
m
值.