高中数学课程标准2003理念-高中数学教师必须具备的
第二章 函数
第一教时
教材:映射
目的:要求学生了解映射和一一映射的概念,为今后在此基础上对函数概念的理
解打下基础。
过程:
一、复习:以前遇到过的有关“对应”的例子
1?
看电影时,电影票与座位之间存在者一一对应的关系。
2?
对任意实数a,数轴上都有唯一的一点A与此相对应。
3? 坐标平面内任意一点A
都有唯一的有序数对(x, y)和它对应。
4?
任意一个三角形,都有唯一的确定的面积与此相对应。
二、提出课题:一种特殊的对应:映射
A B
开平方
A B
求正弦
A
B
1
?1
2
?2
3
?3
求平方
A B
乘以2
9
4
1
3
?3
2
?2
1
?1
30?
45?
60?
90?
1
2
2
2
3
2
1
1
4
9
1
2
3
1
2
3
4
5
6
(1)
(2) (3) (4)
引导观察,分析以上三个实例。注意讲清以下几点:
1.先讲清对应法则:然后,根据法则,
对于集合A中的每一个元素,在集
合B中都有一个(或几个)元素与此相对应。
2.对应的形式:一对多(如①)、多对一(如③)、一对一(如②、④)
3.映射的概念(定义):强调:两个“一”即“任一”、“唯一”。
4.注意映射是有方向性的。
5.符号:f : A B 集合A到集合B的映射。
6.讲解:象与原象定义。
再举例:1?A={1,2,3,4}
B={3,4,5,6,7,8,9} 法则:乘2加1 是映射
2?A=N
+
B={0,1} 法则:B中的元素x 除以2得的余数 是映射
3?A=Z B=N
*
法则:求绝对值
不是映射(
A
中没有象)
4?A={0,1,2,4}
B={0,1,4,9,64} 法则:f :a b=(a?1)
2
是映
射
三、一一映射
观察上面的例图(2) 得出两个特点:
1?对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象 (单射)
2?集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 (满射)
即集合B中的每一个元素都有原象。
结论:(见P48) 从而得出一一映射的定义。
例一:A={a,b,c,d} B={m,n,p,q}
它是一一映射
例二:P48
A
B
a
b
c
d
f
m
n
p
q
例三:看上面的图例(2)、(3)、(4)及例1?、2?、4?
辨析为什么不是一一
映射。
四、练习 P49
五、作业 P49—50
习题2.1
《教学与测试》 P33—34第16课
第二教时
教材:函数概念及复合函数
目的:要求学生从映射的观点去理解函数的概念,明确决定函数的三个要素。
过程:
一、复习:(提问)
1.什么叫从集合到集合上的映射?
2.传统(初中)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?
二、函数概念:
1.重复初中时讲的函数(传统)定义:“定义域”“函数值”“值域”的
定义。
2.从映射的观点定义函数(近代定义):
1?函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f:A B 这里 A, B 非
空。
2?A:定义域,原象的集合
B:值域,象的集合(C)其中C ? B
f:对应法则 x?A y?B
3?函数符号:y=f(x) —— y 是 x
的函数,简记 f(x)
3.举例消化、巩固函数概念:见课本 P51—52
一次函数,反比例函数,二次函数
注意:1?务必注意语言规范
2?二次函数的值域应分 a>0, a<0 讨论
4.关于函数值 f(a)
例:f(x)=x
2
+3x+1 则
f(2)=2
2
+3×2+1=11
注意:1?在y=f(x)中 f
表示对应法则,不同的函数其含义不一样。
2?f(x)不一定是解析式,有时可能是“列表”“图象”。
3?f(x)与f(a)是不同的,前者为函数,后者为函数值。
三、函数的三要素:
对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。
例一:判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?为什么?
1.
y
1
?
(x?3)(x?5)
x?3
y
2
?x?5
解:不是同一函数,定义域
不同
2
。
y
1
?x?1x?1
y
2
?(x?1)(x?1)
解:不是同一函数,定义域
不同
3
。
f(x)?x
g(x)?x
2
4.
不是同一函数,值域不同
解:
f(x)?x
F(x)?
3
x
3
解:是同一函数
5.
f
1
(x)?(2x?5)
2
f
2
(x)?2x?5
解:不是同一函数,定义域、值域都
不同
例二: P55 例三
(略)
四、关于复合函数
设 f(x)=2x?3
g(x)=x
2
+2 则称 f[g(x)](或g[f(x)])为复合函数。
f[g(x)]=2(x
2
+2)?3=2x
2
+1
g[f(x)]=(2x?3)
2
+2=4x
2
?12x+11
例三:已知:f(x)=x?x+3 求
:f(
2
1
)
f(x+1)
x
111
解:f(
)=()
2
?
+3
xxx
f(x+1)=(x+1)
2
?(x+1)+3=x
2
+x+3
例四:课本P54 例一
五、小结:从映射观点出发的函数定义,符号f(x)
函数的三要素,复合函数
六、作业:《课课练》P48-50 课时2 函数(一)
除“定义域”等内容
.
第三教时
教材:定义域
目的:要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法,同时掌握表示法。
过程:
一、复习:
1.函数的定义(近代定义) 2.函数的三要素
今天研究的课题是函数的定义域—自变量x取值的集合(或者说:原象的
集合A)
叫做函数y=f(x)的定义域。
二、认定:给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函
数如果没有
给出定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取
值的集合
。
例一、(P54例二)求下列函数的定义域:
1.
f(x)?
1
2
。
f(x)?3x?2
x?2
解:要使函数有意义,必须: 解:要使函数有意义,必须:
x?2?0
3x+2
≥
0
即
x
?
2 即 x
≥
?
∴函数
f(x)?
是:
2
3
1
的定义域是:
∴函数
f(x)?3x?2
的定义域
x?2
2
??
?
x|x?2
?
?
x|x??
?
3
??
3
。
f(x)?x?1?
1
2?
x
?
x?1?0
?
x??1
解:要使函数有意义,必须:
?
?
?
2?x?0x?2
??
∴函数
f(x)?3x?2
的定义域是:
?
x|x??1且x?2
?
例二、求下列函数的定义域:
1.
f(x)?4?x?1
2.
f(x)?
2
x
2
?3x?4
x?1?2
解:要使函数有意义,必须:
解:要使函数有意义,必须:
4?x
2
?1
?
x
2
?3x?4?0
?
x??4或x??1
?<
br>?
?
x?1?2?0
x??3且x?1
?
?
即:
?3?x?3
?x??3或?3?x??1或x?4
∴函数
f(x)?4?x?1
的定义域为: ∴函数
f(x)?
2
x
2
?3x?4
的定义
x?1?2
域为:
{
x
|
?3?x?3
} {
x|
x??3或?3?x??1或x?4
}
3.
f(x)?
11?
1
1?
1
x
x?0
x?0
1
解:要使函数有意义,必须:
1??0
?
x??1
x
1
x??<
br>1
1??0
2
1
1?
x
1
??
∴函
数的定义域为:
?
x|x?R且x?0,?1,?
?
2
??
4.
f(x)?
(x?1)
0
x?x
?
x?1?0
?
x??1
?
?
解:要使函数有意义,必须:
?
x?x?0
x?0
?
?
∴函数
f(x)
?
(x?1)
0
x?x
的定义域为:
?
x|x??1或?1
?x?0
?
5
。
y?x?2?3?
3
1
3x?7
?
?
x?2?3?0
?
x?R
7
?
?
解:要使函数有意义,必须:
?
x??
?
?
3x?7?0
3
?
即 x<
?
∴函数
y?
77
或
x>
?
33
x?2?3?
3
7
??
的定
义域为:
?
x|x?R,x??
?
3
??
3x?7
1
例三、若函数
y?ax
2
?ax?
1
的定义域是一切实数,求实数
a
的取值范围。
a
a?0
?
1
?
1
解:
ax?ax??0恒成立,等价于
?
?0?a?2
2
??a?4a??0
a
?
a
?
11
例四、若函数
y
?f(x)
的定义域为[?1,1],求函数
y?f(x?)?f(x?)
的定
44
2
义域。
1
??
5
?1?x??1
??<
br>?
4
?x?
4
解:要使函数有意义,必须:
?
??
13
?
?1?x??1
?
??x?
4
??<
br>4
3
4
??
3
?x?
3
5
44
4
11
33
??
∴函数
y?f(x?
)?f(x?)
的定义域为:
?
x|??x?
?
44
44
??
例五、设
f(x)
的定义域是[?3,
2
],求函数
f(x?2)
的定义域。
解:要使函数有意义,必须:
?3?x?2?2
得:
?1?x?2?2
∵
x
≥
0 ∴
0?x?2?2
0?x?6?42
∴函数
f(x?2)
的定域义为:
x|0?x?6?42
三、小结: 求(整式、分式、根式)函数定义域的基本法则。
四、 P57
习题2、2 1—3 (其中1、3题为复习上节内容)
《课课练》P49-50
有关定义域内容
《精编》P81 5 P82 15、16、17、18
??
第四教时
教材: 函数的表示法,分段函数,区间。
目的:
要求学生明确函数的三种表示方法,继而要求学生掌握分段函数的概念
和区间的概念。
过程:
一、复习:函数的概念
提出课题:函数的表示法。
常用的函数表示法有三种:解析法、列表法、图象法。
二、解析法:
定义:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的
解析表达式。
它的优点是:关系清楚,容易求函数值、研究性质。
例:加速度公式:
s?
1
2
gt
(如
s?60t
2
)
2
圆面积公式:
A?
?
r
2
圆柱表面积:
s?2
?
rl
二次函数
y?ax
2
?bx?c
(a?0)
y?x?2
(
x
≥
2)
又例:
y?x?1?x?3
我们可用“零点法”把绝对值符号打开,即:
x??1
?
?4
?
y?x?1?x?3
=
?
2x?2
?1?x?3
?
4
x?3
?
这一种函数我们把它称为分段函数。
三、列表法:
定义:列出表格来表示两个变量的函数关系。
它的优点是:不必通过计算就能知道函数对应值。
例:初中接触过的平方表,平方根表,
立方表,立方根表,三角函数表,
汽车、火车站的里程价目表等等。
又如:1984-1994年国民生产总值表。P52
四、图象法
定义:用函数图象表示两个变量之间的关系。
例:平时作的函数图象:二次函数、一次函数、反比例函数图象。
又如:气象台温度的自动记录器,记录的温度随时间变化的曲线(略)
人口出生率变化曲线
(见P53)略
它的优点是:直观形象地表示出函数变化情况。
注意:函数的图象可
以是直线(如:一次函数)、曲线(如:抛物线),也可
以是折线及一些孤立的点集(或点)。
例四、例五、例六 见P55-56 (略)
(注意强调分段函数概念)
五、区间 见课本P53-54
注意:1)这是(关于区间)的定义
2)今后视题目的要求,可用不等式、区间、集合表示(答案)
3)“闭”与“开”在数轴上的表示
4)关于“+∞”“?∞”的概念
六、小结:三种表示法及优点 练习:P56 练习
七、作业: P57 习题2、2 3,4,5,6
第五教时
教材: 函数的解析式;《教学与测试》第17、18课
目的:
要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。
过程:
一、复习:函数的三种常用表示方法。
(x?0)
?
0
f(1)?
2;f(?1)?0;f(0)?
?
?
提问:1、已知
f(x)?
?
?
(x?0)
则:
f{f[f(?1)]}?<
br>?
?1
?
x?1
(x?0)
?
2、已知f(x)=x
2
?1 g(x)=
x?1
求f[g(x)]
解:f[g(x)]=(
x?1
)
2
?1=x+2
x
二、提出问题:已知复合函数如何求
例一、(《教学与测试》P37 例一)
1.若
f(x?1?x?2x)
,求f(x)。
解法一(换元法):令t=
x?1
则x=t
2
?1,
t
≥
1代入原式有
f
(
t
)
?
(
t?
1)
2
?
2(
t?
1
)
?t
2
?
1
∴
f(x)?x
2
?1
(x
≥
1)
解
法二(定义法):
x?
2
x?
(
x?
1)
2
?
1
∴
f(x?1)?(x?1)
2
?1
x?1
≥
1
∴f(x)=x
2
?1 (x
≥
1)
1x
2.若
f()?
求f(x)
x1?x
1
11
1
解: 令
t?
则
x?
(t?0) 则
f(t)?
t
?
1
xt
t?1
1?
t
1
∴f(x)=
(x?0且x?1)
x?1
例二、已知f(x)=ax+b,且af(x)+b=ax+8
求f(x)
解:(待定系数法)
?
a
2
?9
∵af(x)+b=a(ax+b)+b=a
x+ab+b ∴
?
?
ab?b?8
2
?
a?3
解之
?
或
?
b?2
?
a??3
∴f(x)=3x+2或f(x)=?3x?4
?
?
b??4
例三、已知f(x)是一次函数,
且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式。
解:(待定系数法)设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x?1
?
?
k
2
?4
?
k??2
?
k?2
1
或
?
则
?
?
?
b??
?
b?1<
br>?
(k?1)b??1
?
3
?
∴
f(x)?2x?<
br>1
或
f(x)??2x?1
3
1
1?x
2
f()
例四、
g(x)?1?2x,f
?
g(x)
?
?
(x?0) 求
2
x
2
(1?t)
2
1?
3?2t
?t
2
1?t
4
?
解一:令
t?1?2x
则
x?
∴
f(t)?
2
(1?t)
2
1?2t?t
2
4
1
1
4
?
15
∴
f()?
1
2
1?1?
4
3?
1?
1
1?()
2
11
1
4
?15
解二:令
1?2x?
则
x?
∴
f()
?
1
24
2
()
2
4
三、应用题:《教学与测试》
思考题
例五、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再
回
到A。设x表示P点的行程,y表示PA的长,求y关于x的函数。
解:如图 当P在AB边上运动时, PA=x
D P C
当P在BC边上运动时
PA=
1?(x?1)
2
当P在CD边上运动时PA=
1?(3?x)
2
P
当P在DA边上运动时PA=4?x
A P B
x
?
?
x
2
?2x?2
?
∴
y?
?
2
?
x?6x?10
?
4?x
?
四、小结:几种常见方法
五、作业: 《教学与测试》 P38 4、5、6、7、8
(0?x?1)
(1?x?2)
(2?x?3)
(3?x?4)
《课课练》
P49 3 P50 8
补充:
1.设
f(x?
x
?1
)?x
3
?x
?3
,
g(x?x
?1
)?x
2
?x
?2
求f[g(x)]。
111
解:
f(x?)?(x?)
3
?3(x?)
∴
f(x)?x
3
?3x
xxx
11
g(x?)?(x?
)
2
?
2
∴
g(x)?x
2
?2
xx
∴
f
?
g(x)
?
?
x
6
?
6
x
4
?
9
x
2
?
2
1
1?1?x
2
2
2.已知
f()?x?1?x
(x>0) 求f(x)
()
x
x
3.已知
f(2x?1)?x
2
?2x
求f(x)
4.《精编》 P31 6、7、8
第六教时
(若时间不够,可将部分内容延至第七教时)
教材: 函数图象;《教学与测试》第19课
目的: 要求学生根据函数解析式作出它们的图象,并且能根据图象分析函数的
性质;同时了解
图象的简单变换(平移变换和对称变换)。
过程:
一、复习:函数有哪三种表示方法?
今天主要研究函数的图象。
二、例一、画出下列函数的图象。(《教学与测试》P39)
1
。
y?(?1)
x
x?
?
0,1,2,3
?
2
。
y?x?1?x
y
(x?1)
?
1
解:
1
解:
y?x?1?x?
?
?
2x?1
(x?1)
o
1 2 3
x
?1
y
注意:由于定义域从而导致
函数图象只是若干个孤立点。
1
?1
o
1 2 3
x
1
(x?)
0
2
。
y?
3
x?x
注意:先写成分段函数再作图。
y
1
0.5
?1 ?0.5
o x
1
?
1
?
x??
解:定义域为
?
2
?x?0
且x?
?
2
?
x?x?0
?
强调:定义域十分重要。
三、例二、根据所给定义域,画出函数
y?x
2
?2x?2
的图象。
1
。
x?R
2
。
x?(?1,2]
3
。
x?(?1,2]
且x?Z
y
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
?
2
?1 O 1 2 3 4
1
2
3
4
x
x
?2
?
1 O
y
4
3
2
1
?2
?
1 O
1
2
3
4
x
四、关于分段函数的图象
?
3x
2
?2
(x?0)
?
例三、已知
f(x)?
?
?
(x?0)
画出它的图象,并求f(1),f(?2)。
?
?1
(x?0)
y
?
?
解:f(1)=3×1
2
?2=1
f(?2)=?1
五、关于函数图象的变换
1.平移变换
研究函数y=f(x)与y=f(x+a)+b的图象之间的关系
1
例四、函数
y
?(x?1)
2
?2和
y?(x?)
2
?1
的图象分别是由
y?x
2
函数的图象
2
-1
-2
经过如何变化得到的。
解:
y?x
2
1
y?(x?)
2
?1
2
1)将
y?x
2
的图象沿 x轴向左平移1个单
位再沿y轴向下平移2个单位
得
y?(x?1)
2
?2
的图象;
y?(x?1)
2
?2
2)将
y?x
2
的图象沿x轴向右平移
1
个
2<
br>单位再沿y轴向上平移1个单位得函数
1
y?(x?)
2
?1
的图象。
2
小结:1
。
将函数
y=f(x)
的图象向左(或向右)平移|k|个单位(k>0向左,k<0
向右)得
y=f(x+
k)
图象;
2.将函数
y=f(x)
的图象向上(或向下)平
移|k|个单位(k>0向上,k<0
向下)得
y=f(x) +k
图象。
2、对称变换 函数
y=f(x)
与
y=?f(x)、y=f(?x)及y=?f(
?x)的
图象分别关于x轴、y轴、
原点对称
1
例五、设
f(x)?
(x>0)作出y=?f(x)、y=f(?x)及y=?f(?x)的图象。
x
y
y
y
y=f(?x)
x
O
x
O
x
O
y=?f(x)
y=?f(?x)
横坐标不变,纵坐标
纵坐标不变,横坐标 横坐标与纵坐标都取
取相反数 取相反数
原来相反数
图象关于轴对称 图象关于轴对称 图象关于原点对称
3、翻折变换 由函数
y=f(x)
的图象作出
y=|f(x)|
与
y=f(|x|)
的图象
例六、作出函数y=|x
2
?2x
?1|及y=|x|
2
?2|x|?1的图象。
解:分析1:
当x
2
?2x?1
≥
0时,y=x
2
?2x?1
当x
2
?2x?1
<
0时,y=?(x
2
?2x?1)
y
步骤:1.作出函数y=x
2
?2x?1的图象
2.将上述图象x轴下方部分以x
2
轴为对称轴向上翻折(上方部分不
变),即得y=|x
2
?2x?1|的图象。
1
?1
O 1 2 3
x
?1
?2
分析2:当x
≥
0时 y=x
2
?2x?1
当x<0时 y=x
2
+2x?1 即 y=(?x)
2
?2(?x)?1
y
步骤:1)作出y=x
2
?2x?1的图象;
3
2)y轴右方部分不变,再将右方部
2
分以y轴为对称轴向左翻折,即得
1
y=|x|
2
?2|x|?1的图象 。
1 2 3
?3 ?2 ?1 O
x
?1
?2
?3
小结: 将y=f(x)的图象,x轴上方部分不变,下方部分以
x轴为对称轴向上翻
折即得y=|f(x)|的图象;
将y=f(x)的图象,y轴右方部分
不变,以y轴为对称轴将右方部分向左
翻折即得y=f(|x|)的图象。
六、作业:
《教学与测试》 P40 7、8
《课课练》 P53 3 P54 9
《精编》 P83 24、25、26
2x?52(x?3)?11
????2?
(第26题应作启发:
y?
)
3?xx?3x?3
第七教时
教材: 续函数图象
目的: 完成第六教时可能没有完成的教学任务,然后进行综合练习。
过程:
例一、 某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余
下的路程。在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下
图四个图形中较符合该生走
法的是哪一种。 (《教学与测试》 备用题1)
O t O t
O t O t
d d d d
(A)
(B) (C) (D)
解: A、
C图中t=0时d=0即该生一出家门便进家门(与学校距离为0)
应排除,B、D中因该生一开始就跑
步与学校距离迅速减小。故应选D。
例二、设M={x|0
≤
x
≤
2},N={y|0
≤
y
≤
2}
给出下列四个图形,其中能表示从集合
M到集合N的函数关系有几个?
y
2
1
y
2
1
y
3
2
1
y
2
1
(A) (B) (C)
(D)
解:(A)中定义域为[0,1] (C)中值域[0,3]?N (D)中
x
的值(如
x
=1)
有两个
y
值与之对应,不是函数
∴只有(B)正确。
例三、讨论函数
y?
解:
y?
3x?71
的图象与
y?
的图象的关系。(《精编》 P79)
x?2x
3x?73x?6?11
??3?
x?2
x?2
x?2
可由
y?
11
的图象向左平移两个单位得
y?
的图象
,再向上平移三
x
x?2
1
?3
的图象。
x?2
个单位得
y?
例四、如图为y=f(x)的图象,求作y=
?f(x),y=f(?x), y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象。
y??f(x)
y?f(?x)
y?f(x)
y?f(x)
作业:作出下列函数的图象:
(?2?x?0)
?
4?x
2
1.
f(x)?
?
2
2.
y?x
2
?2x?3
(0?x?2)
?
?x?1
O
x
O
x
O
x
O
x
y
3.
y?
7?4x
4.
y?x
2
?2x?3
x?4
第八教时
教材:函数的值域
目的:要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。
过程:
一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。
提出课题:函数的值域
二、新授:
1.直接法(观察法):
x
例一、求下列函数的值域:1?
y?
2?
f(x)?5?1?x
x?1
xx?1?111
??1??0
∴
y?1
解:1?
y?
∵
x?1x?1x?1x?1
即函数
y?
x
x?1
的值域是 {
y
|
y
?R且
y
?1}
(此法亦称部分分式法)
2?
f(x)?5?1?x
∵
1?x?[0,??)
f(x)?[5,??)
即函数
y
=
f(x)?5?1?x
的值域是 {
y
|
y
≥
5}
2.二次函数法:
例二、1?若
x
为实数,求 y=x
2
+2x+3的值域
解:由题设
x
≥
0
y
=
x
2
+2
x
+3=(
x
+1)
2
+2
当
x
=0 时
y
min
=3 函数无最大值
∴函数
y
=
x
2
+2
x
+3的值域是{
y
|
y
≥
3}
2?求函数
y?2?4x?x
2
的值域
解:由
4
x
?
x
2
≥
0 得
0
≤
x
≤
4
在此区间内
(4
x
?
x
2
)
ma
x
=4
(4
x
?
x
2
)
min
=0
∴函数
y?2?4x?x
2
的值域是{
y
|
0
≤
y
≤2
}
3.判别式法(△法)
例三、求函
数
y?
x
2
?5x?6
x
2
?x?6
的值
域
解一:去分母得 (
y
?1)
x
2
+(<
br>y
+5)
x
?6
y
?6=0 (*)
当
y
?1时 ∵
x
?R ∴△=(
y
+5)
2
+4(
y
?1)×6(
y
+1)
≥
0
由此得 (5
y
+1)
2
≥
0
?
1
?5
检验
y??
1
5
时 x??
5
2?(?
6
?2
(代入(*)求根)
5
)
∵2?定义域 {
x
|
x
?2且
x
?3}
∴
y??
1
5
再检验
y
=1 代入(*)求得
x
=2 ∴
y
?1
∴
x
2
?5x?6
综上所述,函数
y?
2
的值域为 {
y
|
y
?1且
x?x?6
y
?
?
}
解二:把已知函数化为函数
y?
(x?2)(x?3)x?36
??1?
(x?2)(x?3)x?3x?3
1
5
(
x
?2
) 由此可得
y
?1
11
∵
x
=2时
y??
即
y??
55
1
x
2
?5x?6
∴函数
y?
2
的值域为 {
y
|
y
?1且
y
?
?
}
5
x?x?6
4.换元法
例四、求函数
y?2x?41?x
的值域
解:设
t?1?x
则
t
≥
0
x
=1?
t
2
代入得
y
=
f
(
t
)=2
×
(1?
t
2
)+4
t
=?2
t
2
+4
t
+2=?2(
t
?1)
2
+4
∵
t
≥
0 ∴
y
≤
4
三、小结:
1.直接法:应注意基本初等函数的值域
2.二次函数法:应特别当心“定义域”
3.△法:须检验
4.换元法:注意“新元”的取值范围
四、练习与作业:
《课课练》 P51—54中有关值域部分
《教学与测试》
P41—42中有关值域部分
第九教时
教材:函数的单调性
目的:要求学生掌握函数单调性的定义,并掌握判断一些函数单调性的方法。能
利用单调性进一步研究
函数。
过程:
一、复习函数的图象 作y=x
2
y=x
3
y=?x
3
O x
y
y
y=?x
3
y=x
3
y=x
2
O x
二、引导观察:从而得出函数单调性的直观概念。
1、观察讲解时注意:1
。
“在区间上”
2“随着x的?” “相应的y值?”
。
3
。
“我们说函数?在?上是增(减)函数”
2、上升到理性,得出定义: (见P58)
注意强调:1
。
属于定义域I内某个区间上
2任意两个自变量
x
1
,x
2
且
x
1
时
..
。
3
。
都有
..f(x
1
)
)
4
。
可用P58的示意图
3、讲解“单调区间”概念。
同时解释一下“严格”单调的意义。
三、例题:例一 图象法 见P59例一 (略)
例二 定义法 见P59例二 (略)
例三 定义法 见P59-60
例三 (略)
注意:课本中的两个“想一想” 同时强调观察—猜想—讨论的方法。
例四、讨论函数
f(x)?1?x
2
的单调性。
解:定义域
{x|?1
≤
x
≤
1} 在[?1,1]上任取x
1
,x
2
且x
1
则
f(x
1
)?1?x
1
f(x
2
)?1?x
2
则
f(x
1)
?
f(x
2
)?1?x?1?x
2
=
22<
br>x
2
?x
1
2
1
2
22
22
(1?x
1
)?(1?x
2
)
1?x?1?x
2
1
2
2
=
1?x?1?x
2
1
2
2
?
(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
)
1?x?1?x
2
1
2
2
22
?1?x
2
?0
∵
x
1
?x
2
∴
x
2
?x
1
?0
另外,恒有
1?x
1
∴若?1
≤
x
1
≤
0 则
x
1
+x
2
<0
则
f(x
1
)
?
f(x
2
)?0
f(x
1
)
<
f(x
2
)
若 x
1
≤1
则
x
1
+x
2
>0
则
f(x
1
)
?
f(x
2
)?0
f(x
1
)
>
f(x
2
)
∴ 在[?1,0]上f(x)为增函数,在[0,1]上为减函数。
四、小结:1.有关单调性的定义;
2.关于单调区间的概念;
3.判断函数单调性的常用方法:定义法
图象观察—猜想—推理论证
五、作业(练习)
P60 练习 P64-65 习题2.3
4、5、6
练习中 1 口答 其中1、2、3 口答
第十教时
教材:函数的奇偶性
目的:要求学生掌握函数奇偶性的定义,并掌握判断函数奇偶性的基本方法。
过程:
一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。
二、提出课题:函数的第二个性质――奇偶性
1.依然观察 y=x
2
与
y=x
3
的图象――从对称的角度
.观察结果:
y=x
2
的图象关于轴对称
y=x
3
的图象关于原点对称
3.继而,更深入分析这两种对称的特点:
①当自变量取一对相反数时,y取同一值.
111
f(x)=y=x
2
f(?1)=f(1)=1
f(?)?f()?
224
即 f(?x)=f(x)
再抽象出来:如果点 (x,y)
在函数y=x
2
的图象上,则该点关于y轴的对称点 (?x,y)
也在函数y=x
2
的图象上.
②当自变量取一对相反数时,y亦取相反数.
111
f(x)=y=x
3
f(?1)=?f(1)=?1
f(?)??f()??
228
即 f(?x)=f(x)
再抽象出来:如果点 (x,y)
在函数y=x
3
的图象上,则该点关于原点的对称点
(?x,?y)
也在函数y=x
3
的图象上.
4.得出奇(偶)函数的定义(见P61 略)
注意强调:①定义本身蕴涵着:
函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇(偶)函数的必要条件――
前提
②"定义域内任一个":
意味着不存在"某个区间上的"的奇(偶)函数――不研究
③判断函数奇偶性最基本的方法:
先看定义域,再用定义――f(?x)=f(x) (
或f(?x)=?f(x) )
三、例题:例一、(见P61-62 例四)
例二、(见P62 例五)
此题系函数奇偶性与单调性综合例题,比例典型.
小结:一般函数的奇偶性有四种:奇函数、偶函数、即奇且偶函数、
非奇非偶函数
例:
y?
1
y=2x (奇函数)
x
y=?3x
2
+1
y=2x
4
+3x
2
(偶函数)
y=0
(即奇且偶函数)
y=2x+1 (非奇非偶函数)
例三、判断下列函数的奇偶性:
1.
f(x)?(x?1)
1?x
1?x
?x?0
?
?
1
解:定义域:
?
1?x
??1?x?1
关于原点非对称区间
?0
?
?
1?x
∴此函数为非奇非偶函数
2.
f(x)?x
2
?11?x
2
?
x
2
?1?0
?
x?1或x??1
?
?
解:定义域:
?
∴定义域为
x
=±1
2
?
1?x?0
?
?1?x?1
f(?x)?x
2
?11?x
2
?f(x)
且
f
(±1) = 0
∴此函数为即奇且偶函数
?
x
2
?x(x?0)
3.
f(x)?
?
2
?
x?x(x?0)
解:显然定义域关于原点对称
当
x>0时, ?x<0 f (?x) = x
2
?x =
?(x?x
2
)
当 x<0时, ?x>0 f (?x) =
?x?x
2
= ?(x
2
+x)
?
?(x
2
?x)(x?0)
即:
f(?x)?
?
??f(x)
2
?
?(x?x)(x?0)
∴此函数为奇函数
四、奇函数?图象关于原点对称
偶函数?图象关于轴对称
例四、(见P63 例六) 略
五、小结:1.定义 2.图象特征
3.判定方法
六、作业:P63 练习
P65 习题2. 3
7、8、9
第十一教时
教材:函数的单调性与奇偶性综合练习(《教学与测试》第21、22课)
目的:通过对例题(习题)的判析,使学生对函数的单调性与奇偶性有更深刻的
理解。
过程:
一、复习函数单调性与奇偶性的定义、图象的直观形态、单调区间、判定方法等
概念。
二、处理《教学与测试》第21、22课例题
例一.(P43 例一)
注意突出定义域:x?1 然后分区间讨论
例二.(P43 例二) 难点在于:判断
x
2
+ x
1
x
2
+ x
2
> 0
应考虑用配方
法
而且:∵x
1
,
x
2
中至少有一个不为0, ∴??
反之,倘若 x
1,
x
2
全为0 x
2
+
x
1
x
2
+ x
2
= 0
例三.(P43
例三) 难点在于:分 a > 0, a = 0, a < 0 讨论
应突出“二次函数”,再结合图象分析
例四.(P45 例一)
1、2题已讲过;
第3题是两个函数之乘积, 尤其后者要利用幂指数概
念
例五.(P45 例二) 此题是常见形式:应注意其中的“转换”关系
..
例六.(P45 例三) 此题是单调性与奇偶性综合题,注意思路分析。
三、补充:
例七、已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数,求证:f [g
(x)]在 R上也是增
函数。
证:任取 x
1
, x ? R 且
x
1
< x
2
∵g (x) 在R上是增函数 ∴g
(x
1
)
)
又∵f (x) 在R上是增函数
∴f [g (x
1
)] < f [g (x
2
)]
而且
x
1
< x
2
∴ f [g (x)]
在R上是增函数
同理可以推广:
若 f (x)、g (x) 均是R上的减函数,则 f
[g (x)] 是R上的增函数
若 f (x)、g (x)
是R上的一增、一减函数,则 f [g (x)] 是R上的减函数
例八、函数 f (x)在
[0,
??
?
上单调递减,求
f(1?x
2
)
的
递减区间。
解:f (x) 定义域:[0,
??
?
又∵
1?x
2
≥
0 ∴只要 1 ?
x
2
≥
0 即 x
2
≤
1 ∴ ? 1
≤
x
≤
1
当 x ? [ 0, 1] 时, u
=
1?x
2
关于 x 递增, f (u)关于 x 递减
∴单调区间为 [?1,0]
例九、已知函数 f (x) 是定义在
R上的奇函数,给出下列命题:
1.f (0) = 0
2.若 f
(x) 在 [0,
??
?
上有最小值 ?1,则 f (x)
在
?
??,0
?
上有最大
值1。
3.若 f
(x) 在 [1,
??
?
上为增函数,则 f (x) 在
?
??,?1
?
上为减函数。
4.若 x >
0时,f (x) = x
2
? 2x , 则 x < 0 时,f (x) = ?
x
2
? 2x 。
其中正确的序号是: ① ② ④
例十、判断
f(x)?
1?x
2
?x?1
1?x?x?1
2
的奇偶性。
解:∵
1?x
2
?x?1?0
∴函数的定义域为 R
且 f (x) + f (?x)
?
?
1?
x
2
?x?1
1?x?x?1
22
2
?
1?(?x
)
2
?(?x)?1
1?(?x)
2
?(?x)?1
222
2
222
?0
(1?x)?(x?1)?(1?x)?(x?1)
(1?x?1)?x
∴f (x) = ? f (?x) ∴f (x) 为奇函数
注:判断函数奇偶性的又一途径:f (x) + f (?x) = 0 为奇函数
f (x) + f (?x) = 2 f (x) 为偶函数
四、作业:《教学与测试》
第21、22课中“练习题”
第十二教时
教材:反函数(1)
目的:要求学生掌握反函数的概念,会求一些简单函数的反函数。
过程:
一、复习:映射、一一映射及函数的近代定义。
二、反函数的引入及其定义:
1.映射的例子:①这个映射所决定的函数是: y = 3x
?
1
②这个映射是有方向的:f::A B ( f:x y = 3x ?
1)
③如果把方向“倒过来”呢?
(写成) f
?1
: A B
( f
?1
:y
x?
④观察一下函数
y = 3x
?
1与函数
x?
y?1
)
3
y?1
的联系
3
我们发现:它们之间自变量与函数对调
了;定义域与值域也对调了,后
者的解析是前者解析中解出来的(x)。
2.得出结论:函数
x?
y?1
称作函数 y = 3x
?
1的反函数。
3
定义:P66 (略)
注意:(再反复强调):①用 y表示 x
,
x =
?
(y)
②满足函数的(近代)定义
③自变量与函数对调
④定义域与值域对调
⑤写法:x = f
?1
(y)
考虑到“用 y表示自变量 x的函数”的习惯,将
x = f
?1
(y) 写成 y = f
?1
(x)
x?1
3
如上例 f
?1
:
y?
3.几个必须清楚的问题:
1? 如果 y = f
(x) 有反函数 y = f
?1
(x),那么 y = f
?1
(x) 的反函数是 y = f
(x),它们互为反函数。
2?
并不是所有的函数都有反函数。如 y = x
2
(可作映射说明)
因此,只有决定函数的映射是一一映射,这个函数才有反函数。
3?
两个函数互为反函数,必须:原函数的定义域是它的反函数的值域
原函数的值域是它的反函数的定义域
如:
x?
y
(y?Z)
不是函数 y = 2 x ( x ? Z )
的反函数。
2
4? 指导阅读课本,包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。
三、求反函数:
1.例题:(见P66—67 例一)
注意:1?
强调:求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一
映射。
2?
求出反函数后习惯上必须将 x、y 对调,写成习惯形式。
3?
求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。
2.小结:求函数反函数的步骤:
1?判析 2?反解 3?互换 4?写出定义域
3.补充例题:
1? 求函数
y?1?1?x
2
(?1
≤
x < 0)的反函数。
解:∵ ?1
≤
x < 0 ∴0
<
x
2
≤
1
∴0
≤
1
?
x
2
<
1
∴ 0
≤
1?x
2
<
1 ∴0
<
y
≤
1
由:
y?1?1?x
2
解得:
x??2y?y
2
(∵ ?1
≤
x < 0 )
∴
y?1?1?x
2
(?1
≤
x <
0)的反函数是:
y??2x?x
2
( 0
<
x
≤
1 )
?
x
2
?1(0?x?1)
2? 求函数
y?
?
2
的反函数。
(?1?x?0)
?
x
解:①当 0
≤
x
≤
1时, ?1
≤
x
2
?1
≤
0 即 0
≤
y
≤
1
由 y =
x
2
?1 (0
≤
x
≤
1) 解得
x??y?1
(?1
≤
y
≤
0)
∴ f
?1
(x) =
?x?1
(?1
≤
x
≤
0)
②当 ?1
≤
x < 0时, 0
<
x
2
≤
1 即 0
<
y
≤
1
由 y = x
2
(?1
≤
x
< 0) 解得
x??y
(0
<
y
≤
1)
∴ f
?1
(x) =
?x
(0
<
x
≤
1)
?
x?1(?1?x?0)
∴所求反函数为:
y?
?
(0?x?1)
?
?x
四、小结:反函数的定义、求法、注意点。
五、作业:课本 P66练习 1 P66—69 习题2
.
4 1、2
《课课练》 P61“例题推荐”1、2 P62 7、8
第十三、十四教时
教材:反函数
目的:在掌握反函数概念的基础上,初步会求非单调函数在
各不同单调区间上的
反函数;同时掌握互为反函数图象之间的关系。 处理《教学与测试》23课
P53
过程:
六、复习:反函数的概念,求一个反函数的步骤。
七、例一
分别求函数
y?x
2
?6x?2
在各单调区间上的反函数。
小结:
一般,非单调函数在其定义域内无反函数,但在其各单调区间上是存
在反函数的,关键是
求出其单调区间。
例二 求下列函数的反函数:
3?2x
x
2
?1
1.
y?
2
。
y?
2
x?5
x?1
小结:
y?f
(x)
的值域就是它的反函数
y?f
?1
(x)
的定义域。因此,往
往求
函数的值域就是转化成求其反函数的定义域。
八、下面研究互为反函数的函数图象间的关系。
例三 P67 略
例四
P67-68 略
九、
第十五教时
教材: 指数(1)
目的:要求学
生掌握根式和分数指数幂的概念,进而掌握有理指数幂的概念及运
算法则,并能具体应用于计算中。
过程:一、复习初中已学过的整数指数幂的概念。
1.概念:
a
n
?a?a?a?a(n?N*)
n个a
1
a
0
?1(a?0)
a
?n
?
n
(a?0,n?N*)
a
2.运算性质:
a
m
?a
n
?a
m?n
(m,n?Z)
(a
m
)
n
?a
mn
(m,n?Z)
(ab)
n
?a
n
?b
n
(n?Z)
3.
两点解释:①
a
m
?a
n
可看作
a
m
?
a
?n
∴
a
m
?a
n
=
a
m
?a
?n
=
a
m?n
a
n
a
n
a
n
n?nn?n
②
()
可看作
a?b
∴
()
=
a?b
=
n
bb
b
二、根式:
1.定义:若
x
n
?a(n?1,n?N
?
)
则x叫做a的n次方根。
2.求法:当n为奇数时:正数的n次方根为正数,负数的n次方根为
负数
记作:
x?
n
a
例(略)
当n为偶数时,正数的n次方根有两个(互
为相反数)
记作:
x??
n
a
负数没有偶次方根
0的任何次方根为0
3.名称:
n
a
叫做根式 n叫做根指数
a叫做被开方数
4.公式:
(
n
a)
n
?a
当n为奇数时
n
a
n
?a
当n为偶数时
n
?
a(a?0)
a?a?
?
?a(a?0)
?
n
5.例一 (见P71
例1)
三、分数指数幂
3
5
10
5
2
3
a?a(a?0)
1
2
a
10
?a<
br>2
?a(a?0)
推广
b?b
2
(b?0)
1.概
念:导入:
12
?
5
3
a
12
?a
4?a
3
(a?0)
4
c
5
?c
4
(c
?0)
事实上,
(a
k
)
n
?a
kn
若设a>0,
k?
则
(a)?(a)?a
m
kn
m
n
n
m
(n?1,n?N*)
n
由n次根式定义,
a是a的n
次方根,即:
a
同样规定
:
a
?
m
n
m
n
m
m
n
?
n
a
m
?
1
a
m
n
(a?0,m,n?N*且n?1)
2.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
3.整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。
a
r
a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)
(a
r)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)
(ab)r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
四、例二
(P72例二)略
例三 (P73例三)略
例四
(P73例四)略
例五 (P73例五)略
五、小结
六、作业:
P74-75 练习 习题2、5
《课课练》 课时11
第十六教时
教材: 指数(2) 苏大《教学与测试》第25、26课
目的:复习巩固根式与分数指数幂的概念,并能用以解决具体问题。
过程:
一、根式
例一 (苏大P51例一)写出使下列等式成立的x的取值范围:
1?
??
?
3
1
?
?
1
2?
?
x?3
?
x?3
??
3
(x?5)(x<
br>2
?25)?(5?x)x?5
解:1?只须
∞)
1
有意义,即
x
? 3
∴
x
的取值范围是(?∞,3)∪(3,+
x?3
2? ∵
(x?5)(x
2
?25)?(x?5)
2
(x?5)?x?5x?
5
∴
x?5x?5?(5?x)x?5
成立的充要条件是
?
x?5?0
?
x??5
即:x??5或
?
x?5?0或
?
x?5?5?x
x?5?0
?
?
∴
x
的取值范围是[?5,5]
例二
1?化简
3?3
2?2?3
2?求证:
42?26?
4
18?
4
2
2(3?3)
2?4?23
2(3?3)
2?(3?1)
2
解:1?原式=
??
2(3?3)
3?3
2(3?3)
2
=
?
(3?3)(3?3)
2(12?63)
?22?6
6
(注意复习,根式开平方)
2? 证:∵
(
4
18?
4
2)
2
?(
4
18)
2
?2
4
18?
4
2?(
4
2)
2
?18?2
4
18?2?2?32?2
4
6
2
?2
?42?26?0
∴由平方根的定义得:
42?26?
4
18?
4
2
例三 画出函数
y?x
2
?2x?1?
3
x
3
?3x
2
?3x?1
的图象。
解:∵
3
x
3
?3x
2
?3x?1?
3
(x?1)
3
?x?1
?
x?1(x??1)
x?2x?1?x?1?
?
?x?1(x??1)
?
2
?
2x(x??1)
∴
y?
?
?
?2(x??1)
二、分数指数幂
例四 (苏大书P53例一)计算下列各式:
1?
2?
7
0
2
2
0.256
3
4
1.5?(?)
?8?2?(2?3)?(?)
3
63
?
1
3
a
?8ab
a?2ab?4b
3
2
3
2
3
4
3
1
3
?(1?2
3
b
3
)?a
a
1
22
3
()?2
1
?4?27?110
解: 1? 原式=
()
3
?2
4
?2
4
?22
?3
2
?
33
131
2? 原式=
a(a?8b)
a?2ab?4b
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
?
a
1
3
1
3
1
3
?a?
1
3
a?2b
a(a?8b)
?a
a?8b
例五 先化简,再用计算器求值(结果保留四位有效数字)
1?
(a?45)?2.3
1.4
2?
(m?m?1?m?m?1)?
3
m(其中m?8.3)
22
5
3
1
2
解: 1?
原式=
(5?2)
2?
?
1
2
2
?
?2.3
1.4
?
5?2?2.3
1.4
?3.445431?933.4145
原式
<
br>?
2222
=
?
?
m?m?1?2(m?m?1)(m?m?
1)?m?m?1
?
?m
??
5
6
1
6
?(2m?2)?m?18.6?8.3?12.84979177?12.85
例六 已知
a
x
?a
?x
?u
其中a>0,
x?R
将下列各式分别u用表示出来:
1?
a?a
2?
a?a
?
2
?
x
2
x
2
3x
2
3x
5
6
1
6
5
6
1<
br>6
解
1?
a?a
x
2
x
?
2
:
?(a?a
3x
2
x
2
x
?
2
2
)?a
x
?2?a
x
?a
?x
?a
?
x
?a
x
?a
?x
?2?u?2
?
x
2
x
2
?
x
2
x
2
2?
a?a
3x
?
2
?(a?a)(a
x
?a
?a
x?x
x
2
?a
?x
)
)?(u?1)u?2
?(a?a?1)(a?a
x
2
?
三 作业
《教学与测试》余下部分
第十七教时
教材: 指数函数(1) — 指数函数的定义、图象
目的: 要求学生掌握指数函数的定义及图象特征。
过程:一、导入新课
P57例(细胞分裂)
又例:某工厂从今年起每年计划增产
8%,设原来的产量为
1,x年后产量为y,则y与x的函数关系式为
y?1.08
x
二、得出指数函数的定义:
函数
y?a
x
(a?0且a?1)
叫做指数函数,其中x是自变
量,函数的定义域是R。
注意:为什么要规定 a>0且a?1:∵a<0时 a
x
不一定有意
义
a=0时,若x>0,a
x
=0;若x<0,则a
x
无意义
a=1时,y=1
x
=1(常量)没有研究必要。
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。
三、指数函数的图象
1,
y?2
x
,
?
1
?
2.
y?
??
?
2
?x
表(P76 略)
列
列表(P76 略)
2.观察,小结
a a>1
定义域
R
值
域
定
点
单调性 单调递增
单调递减
y?0
0
R
y?0
<
br>x?0时,y?1
x?0时,0?y?1
x?0时,0?y?1
x?0时,y?
1
过点(0,1) 过点(0,1)
3.例一(应用问题)见P76例一 (略)
强调:1? 先写出函数式:
y?0.84
x
2?
∵要求出“经过多少年” ∴不能仅作示意图,作图
要力求精确。
3? 列表,作图 注意定义域
x?0
最后得出结
论。
4.例二 (P77例二) 略
利用图形平移,很快得出结论。
四、利用指数函数的单调性比较两个指数值的大小:
例三 (P77 例三)略
例四
《课课练》P73 例一
比较下列各组中数的大小:
1
0
,
0.4
?2.5
,
2
?0.2
,
2.5
1.6
第十八教时
教材:
指数函数(2) — 指数函数的性质
目的: 要求加深对指数函数性质的理解与掌握。
过程:一、复习指数函数的定义与性质
二、例一 求下列函数的定义域和值域:
1
x
1
1.
y?1?a
2.
y?()
?3
2
x
解:1.要使函数有意义,必须 2.要使函数有意义,必
须
1?a
x
?0
a
x
?1
x?3?0
即
x??3
当
a?1
时
x?0
∵
当
0?a?1
时
x?0
∴
1
?0
x?3
1
11
y?()
x?3
?()
0
?1
22
∵
a
x
?0
∴
0?a
x
?1?1
又∵
y?0
∴值域为
0?y?1
∴值域为
y?0
且
y?1
例二
比较下列两个值的大小:
1
?
1.
?
??
?
3
?
?
1
?
??
?
3<
br>?
?
3
5
?
3
5
和
4
?<
br>3
2
∵
?
1
?
??
?<
br>3
?
?
3
5
?1
4
?
3
2
?1
∴
?
4
?
3
2
2.
?
?2
和
3.14
?2
∵指数
?2?0
底数
?
?3.14
∴
?
?2
<
3.14
?2
3.
??
?
1
?
??
?
3
?
?<
br>1
2
?
1
?
?
3
?
?
1<
br>2
和
??
?
3
?
?
2
?
?
1
2
∵
??
?
1
?
?
3
?
?
1
2
?1
??
?
3
?
?
2
?
?
1
2
?1
∴
>
??
?
3
?
?
2
?<
br>?
1
2
?
1
?
y?
???
2
?
x
注意讲
y?2
与
y?3
,
x
x
1
?
与
y?
?
??
?
3
?x
图象关系并推广
4.若
a
?3
?a
?4
,求a的取值范围。
解:
a
?3
?a
?4
a
4
??1?a?1
a3
或解:由
a
?3
?a
?4
∵
?3??4
∴
y?a
x
为增函数
∴
a?1
例三
1
?
求函数
y?
?<
br>??
?
2
?
x?2x
2
的单调区间,并证明之。 <
br>2
x
2
?2x
2
?
1
?
2
??
x
1
(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
?2)
2
?x
1
?2x
2
?2x<
br>1
y
2
?
2
?
?
1
??
1
?
解:设
x
1
?x
2
则 <
br>??
??
?
??
2
y
1
?
1
?
x
1
?2x
1
?
2
?
2
??
??
?
2
?
∵
x
1
?x
2
∴
x
2
?x
1
?0
当
x
1
,x
2
?
?
??,1
?
时,
x
1
?x
2
?2?0
这时
(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
?2)?0
即
y
2
?1
∴
y
2
?y
1
,函数单调递增
y
1
当
x
1
,x
2
?
?
1,??
?
时
,
x
1
?x
2
?2?0
这时
(x
2?x
1
)(x
2
?x
1
?2)?0
即
y
2
?1
∴
y
2
?y
1
,函数单调递减
y
1
∴函数y在
?
??,1
?
上单调递增,在
?
1,??
?
上单调递减。
例四
证明函数
y?a
x
和
y?a
?x
(a?0且a?1)
的图象关于y轴对称。
证:设P
1
(x
1
, y
1
)是函数
y?a
x
(a?0且a?1)
的图象上任意一点
则
y
1
?a
x
而P
1
(x
1
, y
1
)关于y轴的对称点Q是(?x
1
, y
1
)
1
∴
y
1
?a
x
?a
?(?x)
即Q在函数
y?a
?x
的图象上
11
由于P
1
是任意取的
所以
y?a
x
上任一点关于y轴的对称点都在
y?a
?x
的图象上
同理可证:
y?a
?x
图象上任意一点也一定在函数
y?a
x
的图
象上
∴
函数
y?a
x
和
y?a
?x
的图象关于y轴对称。
三、作业:
《课课练》 P75 例1.2
课时练习 4.5.6.7.8
补充:1.作下列函数图象:
1?
y?2
4?
y??2
x
?2
2.已知函数
y?a
x
?b
的图象过点(0,2)、(?2,11),求f(
x).
x
2?
?
1
?
y?
?
?
?
2
?
x?1
3?
y?2
x?1
第十九教时
教材:指数函数(3)
目的:复习指数函数的定义和性质,并通过练习以期达到熟练技巧。
过程:
一、复习:定义:形如
y?a
x
?
a?0,a?0
?
的函数称为指数函数。
性质:定义域、值域、单调性、奇偶性 (略)
二、例一、已知函数
?
1
?
y?
??
?
2
?
?
x?1
?
求定义域、值域,并作出其图象。
y
1 .
.
o 1
x
?
?
1
?
x?1
?<
br>?
,x?1
解:
y?
?
?
?
2
?
?
x?1
?
2,x?1
定义域:x?R 值域:
0?y?1
1
?
(其对称性与
y?
?
??
?
2
?
|x|
比较)
例二、求下列函数的单调区间:
1.
y?
?
tg60?
?
x?4x?3
2
1
?
2.
y?
?
??
?
2
?2
1?x?2x?1
解:1.
y?
?
tg60?
?
x?4x?3
2
?3
?
x?2
?<
br>?1
∴增区间为
[2,??)
减区间为
(??,2]
??
2
3x
1?x?2x?1
?
?
1
?
?
2.
y?
??
?
?
2
?x?2
?
2
?
?
?
(
1
)
3x
?
?2
(x??1)
1
(?1?x?)
2
1
(x?)
2
∴增区间为
(??,?1]
减区间为
[?1,??)
例三、设函数 f (x)是偶函数,如果函数
y?2
f
?
x
?
在 x>0
时是增函数,则
在x<0
时,是增函数还是减函数?并证明之。
解:是减函数。
设
x
1
?x
2
?a
则
?x
1
??x
2
?0
∵
f
?
x
?
是偶函数,
∴
f
?
?x
?
?f
?
x
?
∴
2
f
?
x
2
?
2
f
?
?x
2
?
2
f
?
x
?
?
1
2
f
?
?x
?
1
∵
y?2
f
?
x
?
在 x>0,
时是增函数,且
?x
1
??x
2
, ∴
2
f
?
?x
2
?
2
f
?
?x
?1
1
?
即
2
f
?
x
2
?
1
?
x
2
?
2
x
1
?
2
f
?
x
?1
,
又:
2
f
?
x
?
?0
,
2
f
?0
∴
2
f
?
x
?
?2
f
?
,
1
?
∴ x<0 时,y是减函数。
例四、已知函数
y?
2
x
?2
?x
2
求:1?函数的定义域、值域 2?判断函数的奇偶性
解:1? 定义域为 R
由
y?
2
x
?2
?x
得
2
2x
2
?2y?2
x
?1?0
∵x?R, ∴△≥0, 即
4y
2
?4?0
,
∴
y
2
?1
, 又∵
y?0
,∴
y?1
2? ∵定义域为 R (是关于原点的对称区间)
又∵
f
?
?x
?
?
2
?x
?2
x
2
?f
?
x
?
,
∴
f
?
x
?
是偶函数。
例五、
2
x
?4
y
?4?0
,
z?4
x
?2?4
y
?5
求 z 的取值范围。
解:由题设:
4
y
?4?2
x
,
代入
z?4
x
?2
?
4?2
x
?
?5
整理得:
z?
?
2
x
?
2
?2?2
x
?3?
?
2
x
?1
?
2
?4
又∵
4
y
?4?2
x
?0
,
∴
0?2
x
?4
f
?
x
?
?2
x
?1?4
在
2
x
?
?
2,4
?
时是增函数
∴
?3?z?21
三、《教学与测试》第27课 P55—56 略
四、作业:《教学与测试》P56 练习题
??
2
第二十教时
教材:对数的基本概念
目的:要求学生理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化,并
由此求一
些特殊的对数式的值。
进程:
一、引入:从指数导入,见P80例题
假设1995年我国的国民生产总值为
a亿元,如每年平均增长
8%,那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍?
设:经过x年国民生产总值是1995年的2倍
则有
a
?
1?8%
?
x
?2a
1.08
x
?2
这是已知底数和幂的值,求指数的问题。即指数式
a
b
?N
中,已
知a 和N求b的问题。(这里
a?0且a?1
)
二、课题:对数
定义:一般地,如果
a
?
a?0,a?1
?
的b次幂等于N, 就是
a
b
?N
,那么数 b
叫做 a为底 N的对数,记作
log
a
N?b
,a叫做对数的底数,N叫
做真数。
a
b
?N
gN?b
lo
a
1.在指数式中 N > 0 (负数与零没有对数)
2.
?
对任意
a?0
且
a?1
, 都有
a
0
?1
∴
log
a
1?0
ga?1
同样易知:
lo
a
3.如果把
a
b
?N
中的 b写成
log
a
N
,
则有
a
log
a
N
?N
(对数恒等式)
三、对数式与指数式的互换,并由此求某些特殊的对数。
g100?2
例如:
4
2
?16
log
4
16?2
10
2
?100
lo
10
1
4
2
?2
lo
4
g2?
10
?2
?0.01
log
10
0.01??2
1
2
例一、P81 例一、例二
例二、1.计算:
log
9
27
,
log
4
3
81
,
log
?
2?3<
br>?
?
2?3
?
,
log
3
5
4625
解:设
x?
log
9
27
则
a
x
?27,
3
2x
?3
3
, ∴
x?
设
x?
log81
4
?
则
?
?
3
?
?81
,
??
x
3
2
4
3
x
3
4
?3
4
, ∴
x?16
令
x?
log
?
2?
x??1
?1
x?1
??
2?3
??
=, ∴, ∴
log
2?3
????
2?3?2?3
3
?
?
2?3
?<
br>令
x?
log
3
5
4
x
?
34
?
3
??
625
, ∴
5?625
,
5?5
4
, ∴
x?5
??
??
x
4
2.求 x
的值:①
log
3
x??
②
log
2
x??
③
log
?
2x?
1
?
3x
2
?2x?1?1
④
log
2<
br>?
log
3
?
log
4
x
?
??0
2
3
4
5
3
??
解:①
x?3
?
3
4
?
1
4
27
1
②
x?2
?
5
3
?
2
32<
br>③
3x
2
?2x?1?2x
2
?1?x
2
?
2x?0?x?0,x??2
?
2x
2
?1?0
?
2
但必须:
?
?
2x?1?1
∴
x?0
舍去
x??2
?
3x
2
?
2x?1?0
?
?
④
log
3
?
log
4
x
?
?1
, ∴
log
4
x?3
,
x?4
3
?64
3.求底数:
log
x
3??
,
lo
x
g2?
?
3
5
3
57
8
解:
x
?
?
5
?
??
?
3?
?
3
3
?
??
??
?
8
?<
br>2?2
7
?
?
?
7
?
8
?
3
5
, ∴
x?3
?
5
3
7
x
8
?
?
?
,
∴
x?2
?
?
四、介绍两种特殊的对数:
1.常用对数:以10作底
log
10
N
写成
lgN
2.自然对数:以 e作底 e为无理数,e = 2.71828??
log
e
N
写成
lnN
五、小结:1°定义 2°互换 3°求值
六、作业:(练习)
P
81 练习
P
84
习题2.7 1,2
《课课练》 P79 课时练习 6—10
第二十一教时
教材:积、商、幂、方根的对数
目的:要求学生掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程,
从而能较熟练地运用这些法则解决问题。
过程:
一、 复习:1?对数的定义
log
a
N?b
其中 a 与 N的取值范围。
2?指数式与对数式的互化,及几个重要公式。
3?指数运算法则 (积、商、幂、方根)
二、 积、商、幂、方根的对数
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N1
M
如果
a > 0 , a ? 1 , M > 0 , N > 0 有:
log
a?log
a
M?log
a
N2
N
loga
M
n
?nlog
a
M(n?R)3
证明:1、 3
(略)见 P82
M
?a
p?q
( ∴ a
p
=
M , a
q
= N )
N
MM
?p?q
即 :
log
a
?log
a
M?logN
∴
log
a
NN
证明:2 设log
a
M =
p, log
a
n = q , 则
1?语言表达:“积的对数 =
对数的和”??(简易表达——记忆用)
2?注意有时必须逆向运算:如
log
10
5?log
10
2?log
10
10?1
3?注意定义域:
log
2
(?3)(?5)?log
2
(?3)?log
2
(?5)
是不成立的
log
10
(?10)
2
?2log
10
(?10
)
是不成立的
4?当心记忆错误:
log
a
(MN)?loga
M?log
a
N
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N<
br>
三、 例题: P82—83 例三、例四 (略)
补充例题:
1. 计算:
3log
7
2?log
7
9?2log
7
(
3
22
)
2
3
?(
解:原式
?log
7
3
22<
br>9
)
2
?log
7
1?0
2. 1?已知
3
a
= 2 用 a 表示 log
3
4 ?
log
3
6
解:∵ 3
a
= 2 ∴ a = log
3
2
∴ log
3
4 ? log
3
6 =
log
3
2
?log
3
2?1?a?1
3
2?已知 log
3
2 = a , 3
b
= 5 用 a, b表示
log
3
30
解: ∵3
b
=5 ∴b=log
3
5
又∵log
3
2=a
∴
111
log3
30
=
log
3
?
2?3?5
?
?
?
log
3
2?log
3
3?log
3
5
?
?(a?b?1)
222
3.计算:log
15
5log
15
45+(log
15
3)
2
解一:原式
= log
15
5(log
15
3+1)+(log
15
3
)
2
=log
15
5+log
15
3(log
15
5+log
15
3)
=lo
g
15
5+log
15
3?log
15
15=log
15
5+ log
15
3= log
15
15
解二:原式 =
?
log
15
?
?
15
?
2
?
log
15
(15?3)?(log
15
3
)
3
?
=(1-log15
3)(1+log
15
3)+(log
15
3)
2
=1-(log
15
3)<
br>2
+(log
15
3)
2
=1
4.
作为机动(有时间可处理):《课课练》P.81 例三中2,3,4,7
四、
小结:运算法则,注意正反两方面用
五、 作业: P.83练习 P.843,4,5,6
及 《课课练》P.81—P.82
第二十二教时
教材: 换底公式
目的:要求学生掌握对数的换底公式,并能解决有关的化简、求值、证明问题。
过程:
一、复习:对数的运算法则
导入新课:对数的运算的前提条件是“同底”,如果底不同怎么办?
二、换底公式:
log
a
N?
log
m
N
( a > 0 , a ? 1 )
log
m
a
以 m
为底的对数:
证:设 log
a
N = x , 则 a
x
= N
两边取
log
m
a
x?log
m
N?xlog
m
a?log
m
N
从而得:
x?
log
m
Nlog
m
N
∴
log
a
N?
log
m
alog
m
a
n
log
a
b
( a, b >
m
两个较为常用的推论:
1?
log
a
b?log
b
a?1
2?
log
a
m
b
n
?
0且均不为1)
证:1?
log
a
b?log
b
a?lgblga
??1
lgalgb
lgb
n
nlgbn
2?
log
a
m
b???log
a
b
m
mlgam
lga
n
三、例一、计算:1?
5
1?log
0.2
3
2?
log
4
3?log
1
4
32
2
解:1? 原式 =
5
5
log0.2
3
?
5
5
log
5
1
3
?
5
?15
1
3
115153
log
2
3?log
3
2?log
2
2???
224442
例二、已知 log
18
9 = a ,
18
b
= 5 , 求 log
36
45 (用 a,
b 表
2? 原式 =
示)
解:∵ log
18
9 = a ∴
log
18
2 =
1 ? a
∵ 18
b
= 5
∴ log
18
5 = b
∴
log
36
45?
18
?1?log
18
2
?a
∴log
18
2
log
18
45l
o
18
g9?lo
18
g5
a?b
??log
18
361?lo
18
g22?a
111
例三、设
3
x
?4
y
?6
z
?t?1
求证:
??
zx2y
证:∵
3
x
?4
y
?6
z
?t?1
x?
lgtlgtlgt
,y?,z?
lg3lg4lg6
∴
∴
11lg6lg3lg2lg41
??????
zxlgtlgtlgt2lgt2y
例四、若log
8
3 = p , log
3
5 = q , 求 lg 5
解:∵ log
8
3 = p
∴
log
2
3?3p?lg3?3plg2?3p(1?lg5)
又∵
lg5?qlg3?3pq(1?lg5)
log
3
5?
lg5
?q
lg3
∴
∴
(1?3pq)lg5?3pq
∴
lg5?
以下例题备用:
例五、计算:
(log
4
3?lo
g
8
3)(log
3
2?log
9
2)?log
1
4
32
2
3pq
1?3pq
解:原式
?(log
2
2
3?log
2
3
3)(l
og
3
2?log
3
2
2)?log
1
2
2
5
4
1115
3?log3)(log2?log2)?
?(log
2233
2324
535555
log???
?log
2
3?
3
2?
624442
例六、若
log
3
4?log
4
8?log
8
m
?log
4
2
求 m
解:由题意:
∴
m?3
四、小结:换底公式及其推论
五、作业:
1
lg4lg8lgm1
???
∴
lgm?lg3
2
lg3lg4lg82
1.求下列各式的值:
1?
log
9
2?
25
3?5?3?5
61
log
6
5
1
log
8
7
1
(?)
4
(10)
1
3?
(log
2
5?log
4
0.2)(lo
g
5
2?log
25
0.5)
()
4
25
4?
log
9
6
32(log
2
3?log
4
9?log
8
27?log
16
81
?log
32
243)
()
12
2.已知
2lg(3x?2)?lgx?lg(3x?2)
求
log
x
222
的值。
7
()
4
3.已知 lg 5 = m , lg 3 = n 用 m , n
表示 log
30
8
3(1?m)
()
1?m
1?a
4.已知
log
3
2?
求 log
12
3
(a)
a
?49
5.设 a , b , c 为不等于 1
的正数,若
a
x
?b
y
?c
z
且
111
???0
求证:abc = 1
xy
z
6.求值:
lg5?log
7.求值:
2
log
2
10
20?(lg2
2
)
2
?3
log
3
2?1
3)
3
?log
(2?
(7?43)?102?lg2
( ?189)
第二十三教时
教材:
对数(习题课)
目的: 复习对数的概念,运算法则及换底公式处理;《教学与测试》第29、30
课, 使学生对这部分知识达到较熟练的程度。
过程:
六、复习:1.对数的概念。(与指数的互化)
2.对数的运算法则
3.对数的换底公式,及其推论。
二、处理《教学与测试》第29、30课 P59-62
注意:第30课 例一 1 及 例二 已于第二十二教时用过(可视情
况处理)
三、补充例题:
1.(29课备用题)证明:
log
a<
br>x
?1?log
a
b
log
ab
x
证明: 设
log
a
x?p
,
log
ab
x?q
,
log
a
b?r
则:
x?a
p
x?(ab)
q
?a
q
b
q
b?a
r
∴
a
p
?(ab)
q
?a
q(1?r)
从而
p?q(1?r)
∵
q?0
∴
p
?1?r
即:
q
l
og
a
x
?1?log
a
b
(获证)
log
ab
x
2.(30课备用题1)已知
log
a
1
b
1
?log
a
2
b
2
?
??
?log
a
n
b
n
?<
br>?
求证:
log
a
1a
2
?
a
n
(b
1
b
2
?<
br>b
n
)?
?
证明:由换底公式
定理得:
lgb
n
lgb
1
lgb
2
??
????
?
由等比
lga
1
lga
2
lgan
lgb
1
?lgb
2
?
?
?lgb
n
?
?
∴
lga
1
?lga
2
?
?
?lga
n
lg(b
1
b
2
?b
n
)
?
?
lg(a
1
a
2
?
a
n
)
∴
log
a
1
a
2
?
a
n
(b<
br>1
b
2
?
b
n
)?
lg(b
1b
2
?
b
n
)
?
?
lg(a
1
a
2
?
a
n
)
3. 设
x,y,z?(0,??)
且
3
x
?4
y
?6
z
1? 求证
111
??
x2yz
2?比较
3x,4y,6z
的大小。
1? 证明:设
3
x
?4
y
?6
z
?k
∵
x,y,z?(0,??)
∴
k?1
取对数得:
x?
∴
lgklgklgk
y?
z?
lg4lg6
lg3
11lg3lg42lg3?lg42l
g3?2lg2lg61
???????
x2ylgk2lgk2lgk2lgklgkz
2?
64
34lg64?lg81
81
?0
3x?4
y?lgk(?)?lgk??
lg3lg4lg3lg4lg3lg4
lgklg
∴
3x?4y
又:
9
46lg36?lg64
16
?0
4y?6z?lgk(?)?lgk??
lg4lg6lg2lg6lg2lg6
lgk?lg
∴
4y?6z
∴
3x?4y?6z
四、作业: 第29、30课 余下的练习题
《教学与测试》
第二十四教时
教材: 对数函数的定义、图象、性质
目的:要求
学生了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系,
会求对数函数的定义域。
过程:
一、复习: 指数函数的定义、图象、性质
四、从实例导入:回忆学习指数函数时用的实例。
细胞分裂问题:细胞的个数是分裂次数的指数函数
y?2
x
反之,细胞分裂的次数是细胞个数的函数
y
1
?1
o
1
x
由对数定义:
x?log
2
y
即:次数y是个数x的函数
y?log
2
x
定义:函数
y?log
a
x
(a?0且a?1)
叫做对数函数;它是指数函
数
y?a
x
(a?0且a?1)
的反函数。
对数函数
y?log
a
x
(a?0且a?1)
的定义域
为
(0,??)
,值域为
(??,??)
。
例一、(P87 例一)略
?
1
?
?
1
?
例二、 求函数
y?
??
?2
和函数
y?
??
?<
br>5
?
?
2
?
x
x
x
2
?1
?2
(x?0)
的反函数。
?
1
?
解:1?
??
?y?2
∴
f
?1
(x)?lo
1
g(x?2)
(x??2)
?
5
?
5
x
2
?
1
?
1
?
2?
??
?
2
?
?y?2
∴
f
?1
(x)??lo
1
g(x?2)
(2?x?
2
5
)
2
五、对数函数的图象
由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数
函数的图象只须由
相应的指数函数图象作关于
y?x
的对称图形,即可获得。
同样:也分
a?1
与
0?a?1
两种情况归纳
以
y?log
2
x
与
y?log
1
x
为例
2
y
y=x
y
y=x
1
o
1
y=log
2
x
x
1
o
1
x
y=
log
1
x
2
例三、作出下列对数函数的图象:
1.
y?log
2
x
y
1
o
1
x
2.
y?log
1
(x?2)
2
六、对数函数的性质
由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质。见P87 表 (从略)
定义域:
(0,??)
值域:R 过点 (1,0)
即当
x?1
时
y?0
当
a?1
时
单调递增 当
0?a?1
时 单调递减
由图:
a?1
时
x?(0,1)
时
y?0
x?(1,??)
时
y?0
0?a?1
时
x?(0,1)
时
y?0
x?(1,??)
时
y?0
例四、例五(见P88
例二、例三)
七、小结:对数函数定义、图象、性质
八、作业: P89练习 2、3
习题2.8 1、2、3
第二十五教时
教材: 对数函数性质的应用
目的:加深对对数函数性质的理解与把握,并能够运用解决具体问题。
过程:
一、复习:对数函数的定义、图象、性质
二、例一 求下列反函数的定义域、值域:
1.
y?2
?x
2
?1
?
1
4
2
解:要使函数有意义,必须:
2
?x?1
?
1
?
0
即:
?x
2
?1??2??1?x?1
4
值域:∵
?1?x?1
∴
?1??x
2
?0
从而
?2??x
2
?1??1
∴
1
?2
?x
4
2
?1
?
1
∴
0?2
?x
2
2
?1
?
111
?
∴
0?y?
442
2.
y?log
2
(x
2
?2x?5)
解:∵
x
2
?2x?5
对一切实数都恒有
x
2
?2x?5?4
∴函数定义域为R
从而
log
2
(x
2
?2x?5)?log
2
4?2
即函数值域为
y?2
3.
y?log
1
(?x
2
?4x?5)
3
解:函数有意义,必须:
?x
2
?4x?5?0?x
2
?4x?5?0??1?x?5
由
?1?x?5
∴在此区间内
(?x
2
?4x?5)
max
?9
∴
0??x
2
?4x?5?9
从而
log
1
(?x
2
?4x?5)?log
1
9??
2
即:值域为
y??2
33
4.
y?
log
a
(?x
2
?x)
解:要使函数有意义,必须:
?x
2
?x?0
①
log
a
(?x
2
?x)?0
②
由①:
?1?x?0
由②:当
a?1
时 必须
?x
2
?x?1
x?
?
当
0?a?1
时 必须
?x
2
?x?1
x?R
综合①②得
?1?x?0且0?a?1
当
?1?x?0
时
(?x
2
?x)
max
?
11
∴
0??x
2
?x?
44
∴
log
a
(?x
2
?x)?log
a
例二
比较下列各数大小:
1.
log
0.3
0.7与log
0.4
0.3
1
1
y?log
a
(0?a?1)
4
4
解:
∵
log
0.3
0.7?log
0.3
0.3?1
log
0.4
0.3?log
0.4
0.4?1
∴
log
0.3
0.7?log
0.4
0.3
?
1
?
2.
log
0.6
0.8,log3.4
0.7和
??
?
3
?
?
1
2<
br>
?
1
2
?
1
?
解:
∵
0?log
0.6
0.8?1
log
3.4
0.7?0
??
?
3
?
?
1
?
∴log
3.4
0.7?log
0.6
0.8?
??
?
3
?
?
1
2
?1
3.
log
0.3
0.1和log
0.2
0.1
解:
log
0.3
0.1?
1
log
0.1
0.
3
?0
log
0.2
0.1?
1
log0.1
0.2
?0
∵
log
0.1
0.3?log
0.1
0.2
∴
log
0.3
0.1?log
0.2
0.1
例三 已知
f(x)?1?log
x
3
,
g(x)?2log
x
2
试比较
f(x)和g(x)
的大小。
解:
f(x)?g(x)?log
x
3x
4
?1
0?x?1
??
4
?
3
x
?
3x
1? 当
?
x
?x?
或
?
?0?x?1
时
f(x)?g(x)
?10??1
3
??
4
?
4
?
2?
当
3x4
?1即x?
时
f(x)?g(x)
43?00?x?1
??
4
?
x
3
?
x
3? 当
?
?1?x?
或
?
3x
?x?
?
时
f(x)?g(x)
0??1?1
3
??
4
??
4
44
综上所述:
x?(0,1)?(,??)
时
f(x)?g(x)
;
x
?
时
f(x)?g(x)
33
4
x?(1,)时
f(x)?g(x)
3
例四 求函数
y?log
1
(x
2
?3x?18)
的单调区间,并用单调定义给
予证明。
2
解:定义域
x
2
?3x?18?0?x?6或x??3
单调区间是
(6,??)
设
x
1
,x
2
?(
6,??)且x
1
?x
2
则
y
1
?log<
br>1
(x
1
?3x
1
?18)
y2
?log
1
(x
2
?3x
2
?18)
2
2
22
(x
1
?3x<
br>1
?18)?(x
2
?3x
2
?18)
=
(
x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
?3)
∵
x
2
?x
1
?6
∴
x
2
?x
1
?0
x
2
?x
1
?3?0
∴x
2
?3x
2
?18?x
1
?3x
1
?18
又底数
0?
∴
y
2
?y
1
?0
y
2
?y
1
∴
y
在
(6,??)
上是减函数。
三、作业:《课课练》
P86 9 P87 “例题推荐” 1 2 3
P88 “课时练习” 8
9
22
22
1
?1
2
第二十六教时
教材: 对数函数(习题课)《教学与测试》P63第31课
目的:通过习题复习、巩固对数函数的图像、性质,逐步达到熟练技巧。
过程:
三、复习:对数函数的图象、性质
题目:比较下列两个对数的大小
1.
log
4
5和log
9
8
2.
log
0.5
0.4和log
2
0.7
(
log
4
5?log
9
8
)
(
log
0.5
0.4?log
2
0.7
)
四、处理《教学与测试》 第31课例一、例二
五、补充例题:
1.若
l
og
m
3?log
n
3
,求
m和n
的关系。
解:原式可以化为
11
?
log
3
mlog
3
n
当
log
3
m?0
且
log
3
n?0
时,
即
0?log
3
n?log
3
m
∵底数
3?1
∴
m?n?1
当
log
3
m?0
且
log
3
n?0
时,即
log
3
n?log
3
m?0
∵底数
3?1
∴
0?n?m?1
当
log
3
m?0
且
log
3
n?0
时,
0?m?1?n
综上所述
m,n
的关系为m?n?1
或
0?n?m?1
或
0?m?1?n
实际上三种情况可用图形表示:
log
n
3
log
m
3
O
log
m
3
O
O
log
n
3
log
n
3
log
m
3
2.设
x?
?
2,8
?,函数
f(x)?
1
?
,求
a
的值。
8
1
log
a
(ax)?log
a
(a
2
x)
的最大值是1,最小值是
2
解:
f(x)?
11
2
(log
a
x
?1)(log
a
x?2)?log
a
x?3log
a
x?
2
22
??
?
131
(log
a
x?)
2
?
228
13
由题设,∵
[f(x)]
min
??
这时
log
a
x??
2
8
又∵
x?
?
2,8
?
∴
a?(0,1)
∵
f(x)
是关于
log
a
x
的二次函数,
∴函数最大值或最小值必在
x?2或x?8
时取得
?
131
若
(log
a
2?)??1
则
a?2
3
228
3
2
1
?
∵取得最小值时
x
?
?
?
2
?
1
?
3
?
?
?
?
?
?2?2
这时
x?
?
2,8
?舍去
1311
若
(log
a
8?)??1
则
a?
此时取得最小值时
2282
?
1
?
x?
??
?
2
?
?
3
2
?22?
[2,8]
符合题意
∴
a?
1
2
六、处理《教学与测试》第31课 例三 (P63)略
作业:《教学与测试》第31课 练习题
第二十七教时
教材:函数的应用举例一
目的:让学生熟悉借助“几何图形”和“计算利润”两种常见类型的应用问题。
过程:
一、应用问题的解答绝大部分是通过建立模型(常常是函数模型)并借助图
象和性质来进行研究的,研究结果再应用于实践。
1.数学模型来源于实践,是实际问题的抽象和概括
,因此首先必须对实际问
题要有深刻的理解。
2.其次,应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础。
3.最后,当然需要有较强的运算能力。
二、例一
(课本P90)有一块半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的
形
状,下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上。写出这个梯形周
长y
与腰长x间的函数式,并写出它的定义域。
分析:关键是用半径
R
与腰
D
长
x
表示上底
由对称性:
CD=AB?
2
AE
因此只要求
AE
x
A
E
2R
解:设腰长
AD=BC=x
作
DE
?
AB
垂足为
E
连结
BD
B
则?
ADB=
90?
由此:
Rt
△
ADE
∽
Rt
△
ABD
x
2
x
2
∴
AD?AE?AB
AE?
∴
CD?AB?2AE?2R?
2RR
2
C
x
x
2
x
2
?2x?4R
∴周长
y?2R?2x?(2R?)??
RR
∵
ABCD
是圆内接梯形 ∴
AD?0,AE?0,CD?0
x?0
x
2
?0?x|0?x?2R
R
x
2
2R??0
R
??
《课课练》 P98
3 —此题作为作业
例二 如图,已知⊙O的半径为R,由直径AB的端点B作圆的
切线,从
圆周上任一点P引该切线的垂线,垂足为M,连AP设AP=x
1.
写出AP+2PM关于x的函数关系式 2.求此函数的最值
解
:1.过
P
作
PD
?
AB
于
D
,连
PB
设
AD=a
则
x
2
?2R?a
x
2
x
2
a?
PM?2R?
2R
2R
x
2
∴
f(x)?AP?2PM???x?4R
R
P
(0?x?2R)
2.
f(x)??
当
x?
1R17R
(x?)
2
?
R24
A D O
R
17
时
f(x)
max
?R
当
x?2R
时
f(x)
min
?2R
4
2
例三 《教学与测试》34课 例一 (P69)
距离船只A的正北
方向100海里处有一船只B,以每小时20海里的速度,沿
北偏西60?角的方向行驶,A船只以每小时15海里的速度
向正北方向行驶,两船同时出发,问几小时后两船相 距最近?
D
解:设
t
小时后A行驶到点C,B行驶到点D,则BD=20
BC=100-15
t
过D作DE?BC于E
DE=BDsin60?=10
3
t
BE=BDcos60?=10
t
∴EC=BC+BE=100-5
t
C
A
p>
CD=
DE
2
?CE
2
?103t?
?
100?5t
?
2
=
325t
2
?1000t?1
0000
∴
t
=
3
20
20
时CD最小
,最小值为200,即两船行驶小时相距最近。
13
13
13
??
2
例四.《课课练》P.98例二
某超市为了获取最大利润做了一番试验,若
将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可
销售60件,
现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1
元,其销
售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚得利润最
大,并求出最大利润。
解:设商品售价定为
x
元时,利润为
y
元,则
y
=(
x
-8)[60-(
x
-10)10]=-10[(
x
-12)
2
-16]=-10(
x
-12)
2
+160 (
x
>10)
当且仅当
x
=12时,
y<
br>有最大值160元,即售价定为12元时可获最大利润
160元。
三.作业:《课课练》 P.97-98 “例题推荐”1,3
P.995,6,7,8
《教学与测试》P.70
思考题
第二十八教时
教材: 函数的应用举例二
目的:
要求学生熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题,并能掌握其解法。
过程:
七、新授:
例一、(《教学与测试》 P69 第34课)
某工厂今年1月、2月
、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、
1.3万件,为估计以后每月的产量,以这三个月的产量
为依据,用
一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可选用
二次函数或
y?a?b
x
?c
(a,b,c为常数),已知四月份该产品的产量为
1.
37万件,请问:用以上那个函数作模拟函数较好?说明理由。
解:设二次函数为:
y?px
2
?qx?r
?
p?q?r?1
?
p??0.05
??
由已知得:
?
4p?2q?r?1.2?
?
q?0.35
?
9p?3q?r?1.3
?
r?0.7
??
∴
y??0.05x
2
?0.35x?0.7
当 x
= 4时,
y
1
??0.05?4
2
?0.35?4?0.7?1.
3
又对于函数
y?a?b
x
?c
?
ab?c?1
?
a??0.8
??
由已知得:
?
ab
2
?c?1.2?
?
b?0.5
∴
?
ab
3
?c?1.3
?
c?1.4
?
?
1
y??0.8?()
x
?1.4
2
1
当 x =
4时,
y
2
??0.8?()
4
?1.4?1.35
2
由四月份的实际产量为1.37万件,
|y
2
?1.37|?0.02?0.07?|y
1
?1.37|
1
∴选用函数
y??0.8?()
x
?1.4
作模拟函数较好。
2
例二、(《教学与测试》 P69 第34课)
已知某商品的价格每上涨x%,销售的数量就减少mx%,其中m为
正常数。
1
1.当
m?
时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额最
2
大
?
2.如果适当的涨价,能使销售总金额增加,求m的取值范围。
解:1.设商品现在定价a元,卖出的数量为b个。
由题设:当价格上涨x%时,销售总额为
y?a(1?x%)?b(1?mx%)
ab
[?mx
2
?100(1?m)x?10000]
10000
1ab
[?(x?50)
2
?22500]
取
m?
得:
y?
220000
9
当 x
= 50时,
y
max
?ab
8
即该商品的价格上涨50%时,销售总金额最大。
ab
[?mx
2
?100(1?m)x?10000]
2.∵二次函数
y?
10000
50(1?m)50(1?m)
]
上
递增,在
[,??)
上递减 在
(?x,
mm
50(1?m)
?0
∴适当地涨价,即 x > 0 , 即
m
就是 0 < m <1 ,
能使销售总金额增加。
例三、(课本 91 例二)
按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和
为y,存期为x,写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。如果
存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后本利和是多少?
“复利”:即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期利息。
即
y?
分析:1期后
y
1
?a?a?r?a(1?r)
2期后
y
2
?a(1?r)
2
??
∴
x 期后,本利和为:
y?a(1?r)
x
将 a =
1000元,r = 2.25%,x = 5 代入上式:
y?1000?(1?2.25%)
5
?100?
01.022
5
5
由计算器算得:y = 1117.68(元)
二、如有时间多余,则可处理《课课练》 P101“例题推荐” 3
三、作业:《教学与测试》 P70 第7题
《课课练》
“例题推荐” P100 1,2 P101 7,8
第二十九教时
教材:
函数的应用举例三
目的: 结合物理等学科,利用构建数学模型,解决问题。
过程:
例二、 (课本 P91 例三)
设海拔 x m处的大气压强是 y Pa,y与 x
之间的函数关系式是
y?ce
kx
,其中
c,k为常量,已知某地某天在海平面的大气压为Pa,
1000
m高空的大气压为
0.90?10
5
Pa,求:600
m高空的大气压强。(结
果保留3个有效数字)
解:将 x = 0 , y
=
1.01?10
5
;x = 1000 , y = 代入
y?ce
kx
得:
?
1.01?10
5
?ce
k?0
?
c?1.01?10
5
(1)
?
?
?
5k?100051000k
(2)
0.90?10?ce0.90?10?ce
??
将 (1) 代入 (2) 得
:
0.90?10
5
?1.01?10
5
e
1000k?k?
10.90
?ln
10001.01
?4
由计算器得:
k??1.15?10
?4
∴
y?1.01?10
5
?e
?1.15?10
将 x = 600 代入,
得:
y?1.01?10
5
?e
?1.15?10
由计算器得:
y?1.01?10
5
?e
?1.15?10
例二、(《课课练》 P102 “例题推荐” 1)
一根均匀的轻质弹簧,已知在 600 N的拉力范围内,其长度与所受拉
力
成一次函数关系,现测得当它在 100 N的拉力作用下,长度为 0.55 m ,
在 300 N拉力作用下长度为 0.65,那么弹簧在不受拉力作用时,其
自然长度是多少?
?4
?4
?600
解:设拉力是 x N (0
≤
x
≤
600) 时,弹簧的长度为 y m
设:y = k x + b
由题设:
?
?
0.55?100k?b
?
k?0.0005
?
?
0.65?300k?bb?0.50
??
∴所求函数关系是:
y = 0.0005 x + 0.50
∴当 x = 0时,y = 0.50 ,
即不受拉力作用时,弹簧自然长度为 0.50
m。
例三、(《课课练》
“例题推荐” 2)
一物体加热到 T
0
?C
时,移入室内,室温保持常温 a?C,这物体逐
渐
冷却,经过 t
分后,物体的温度是 T?C,那么 T 与 t 之间的关系
有
下列形式
T?a?(T
o
?a)?e
?kt
(这里 e
=2.71828,k为常数),现有加
热
到 100?C的物体,移入常温为
20?C的室内,经过 20分后,物体
的
温度是 80?C,求:
1.经过 20分后,物体的温度是多少度?(精确到 1?C )
2.经过多少分(精确到
1分),物体的温度是 30?C?
解:将 T
0
= 100 ,
T = 80 , a = 20 , t =
10代入关系式
T?a?(T
o
?a)?e
?kt
得:
80?20?(100?20)?e
?10k
化简得:
e
?10k
?0.75
两边取自然对数,并计算得:
?10?k?ln0.75
∴ k =
0.0288
从而可得:
T?20?(100?20)?e
?0.028
8?t
?20?80e
?0.0288?t
(
*
)
6
1.把 t =
20代入
(
*
)
T?20?(100?20)?e
?0
.0288?20
?20?80e
?0.57
由计算器得:T =
64.97 ?C
即经过 20分后,物体的温度约为65度。
2.把 T
= 30代入
(
*
)
30?20?(100?20)?e
?0.0
e
?0.0288?t
?0.125
2?t8
8
则
两边取自然对数,并计算得:
t?72.2
即物体冷却到30?C约经过72分钟。
二、作业:《课课练》P103—104 “例题推荐”
3
“练习题”
5,6,7,8
第三十教时
教材:单元复习之一——函数概念、性质、指数运算及指数函数
目的:通过复习与练习要求学生对函数概念、性质、指数、指数函数有更深的理
解
过程:
一、复习:映射、一一映射、函数定义、性质、反函数、指数、指数函数
二、《教学与测试》 P49 第34课 “基础训练题” 1 略
例一、(《教学与测试》 49 例1)
已知函数
f(x)?x
2
?2ax?1
在区间[?1,2]上的最大值
是4,
求 a的值。
解:抛物线对称轴为
x??a
,
区间[?1,2]中点为
1
2
1? 当 2
≥
?a , 即 a
≤
?2时,由题设:f (?1) =
4, 即 1
? 2a +1 = 4, a = ?1
(不合)
2? 当
1
??a?2
, 即
?2?a?1
时,由题设:f (?1)
= 4,
2
1
2
1
2
即 a = ?1
3? 当
?1??a?
,
即
??a?1
时,由题设:f (2) = 4,
即 4 + 4a +1 =
4,
a??
4? 当 ?a<
?1
, 即 a>1时,由题设:f (2) = 4, 即 4 +
4a +1 = 4,
a??
(不合)
注:若是已知最小值,此种分类同样适用,也可分
?a 在
1
4
1
4
?
??,?1
?
,
?
?1,2
?<
br>,
?
2,??
?
三个区间。但本题亦可将1?、2?和
3?、4?分别合并成
两个区间讨论。
例二、已知函数 f
(x), 当 x , y?R时,恒有f (x + y) = f (x) + f (y) ,
1? 求证: f (x) 是奇函数。
2? 若 f (?3) = a,试用 a 表示 f (24)
3? 如果 x > 0 时,f (x) > 0 且 f (1) < 0,试求 f (x)
在
区间[?2,6]上的
+ f (? x),
最大值与最小值。
解:1? 令 x = y = 0 得 f (0) = 0,再令 y = ? x 得 f (0)
= f (x)
∴f (x) = f (? x) ∴f
(x)为奇函数
2? 由 f (?3) = a 得 f (3) =
? f(?3) = ?a,
f (24) = f ( 3 + 3 + ?? + 3) = 8
f (3) = ? f (3)
8个 3
3? 设
x
1
< x
2
,则 f (x
2
) = f
(x
1
+ x
2
? x
1
) = f
(x
1
) + f (x
2
? x
1
) < f
(x
1
),
( ∵ x
2
? x
1
>
0 , f ( x
2
? x
1
) < 0 )
∴f (x) 在区间[?2,6]上是减函数。
∴f
(x)
max
= f (?2) = ?f (2) = ?2f (1) = 1
f (x)
min
= f
(6) = 6 f (1) = ?3
例三、(《教学与测试》第28课 例一)
求函数
y?
1?2
x
4
x
的值域和单调区间。
解:
y?
1?2
x
1
2
1
4x
?(
2
x
)?
2
x
?[(
1
2
)
x
?
1
2
]
2
?
1
4
??
1
4
∴函数的值域为
?
?
1
4
,??
?
?
?
∵设
u?(
1
2
)
x
, 它在
?
??,??
?
上单调递减,
而二次函数
y?(u?
1
)
2
111
2
?
4
在
u?
2
时是减函数,在
u?
2
时
是增函数令
(
1
2
)
x
?
1
2
,则 x
≥
1 令
(
11
2
)
x
?
2
,则 x
≤
1
1?2
x
∴函数
y?
在
?
1,??
?
上是增函数,在
?
??,1]
上
x
4
是减函数。
例四、(《教学与测试》第28课 例二)
2
?m
是奇函数,求常数 m
的值。 1.已知
f(x)?
x
3?1
2.画出函数
y?|3
x
?1|
的图象,并利用图象回答:k 为何值时,
方程
|3
x
?1|?k
无解?有一解?有两解?
解:1.定义域:x ? 0
若 f
(x)为奇函数,则
(
22
?m)?(?m)?0
x?x3?13?1
1113
x
?
?x
??
x
?x
?1
∴
m??
x
3?13?13?13?1
3.图象如图所示:
y
1
o
x
当 k < 0时,直线 y = k与函数
y?|3
x
?1|
图象无交
点 ∴方程无解。
当 k = 0或 k
≥
1时,直线 y = k与函数
y?|3
x
?1|
图象有一个交点 ∴方程有一解。
当 0 < k < 1时,直线 y = k与函数
y?|3
x
?1|
图象
有两个交点
∴方程有两解。
例五、(《教学与测试》第28课
例三)——机动,可以不讲
设
y
1
?a
2x
,y
2
?a
x?3
,其中 a > 0,a ?
1,
问:x为何值时有1? y
1
= y
2
2? y
1
< y
2
解:1.由于指数函数是单调
函数,∴
2
y
1
?y
2
?2x?x
2
?3
?x??1或x?3
2.当
0 < a < 1,由 y
1
< y
2
,得
2x > x
2
?3 ,解得 ?1 < x < 3
当 a > 1,由 y
1
< y
2
,得 2x <
x
2
?3 ,解得 x < ?1
或 x > 3
三、作业:
P50 3—7
《教学与测试》 P58
6、7
第三十一教时
教材:单元复习之二——续单元复习之一
目的:通处理一些未了的例题(《教学与测试》备用题),加深学生对概念的理解
过程:
1.某产品的总成本 y万元与产量 x台之间的函数关系式是
若每台产品的售价为25万元
,则生产者不
y?3000?20x?0.1x
2
x?(0,240),
亏本的最低产量为多少?
00
解:
25x?3000?20x?0.1x
2
即:
x
2
?50x?300?
∴x
≥
150
(x
≤?120
舍去) 即:最低产量为150台
2.已知函数
f(x)?ax
2
?a
2
x?2b?a
3
1?
当x?(?2,6)时,其值为正;x?
(??,?2)?(6,??)
时,其值为负,求a,
b
的
值及f (x)的表达式
k
2?
设
F(x)??f(x)?4(k?1)x?2(6k?1)
,k为何值时,函数F
(x)的值恒
4
为
负值
?
f(?2)?4a?2
a
2
?2b?a
3
?0
2
32a?8a?0
(a
< 解:1? 由已知
?
解得:
23
?
f(6)?36a?6a?2b?a?0
0)
∴a = ? 4 从而 b = ? 8
∴
f(x)??4x
2
?16x?48
k
2?
F(x)??(?4x
2
?16x?48)?4(k?1)x?2(6k?1)
?kx
2
?4x?2
4
k?0
?
欲
F(x)?0
则
?
得 k < ? 2
??16?8k?0
?
3.已知 a >
0,且
a
3x
?a
?3x
?52
,求 a
x
的值。
解:设
t?a
x
?a
?x则
a
3x
?a
?3x
?(a
x
?a
?
x
)(a
2x
?a
x
a
?x
?a
?2x<
br>)?t(t
2
?3)?52
∴
t
3
?3t?52?0?(t?4)(t
2
?4t?13)?0
∵
t
2
?4t?13?(t?2)
2
?9?0
∴t = 4 即
a
x
?a
?x
?4
∴
(a
x
)
2
?4a
x
?1?0
∴
a
x
?2?2
?
1
n
4.已知 a
> 0,a ? 1,
x?(a?a
n
)
2
, 求
(x?x
2
?1)
n
的值。
2
???
1
11
2
解:
?x?1?(a
n
?a
n
)?1?(a
n
?a
n
?2)?1?(a
n
?a
n
)<
br>2
444
2
1111
?
a
??
1
n
1
n
?
nn
n
?(x?x?1)?[(a?a)
?(a?a)]?
?
1
22
?
?
a
2n
1
1
112211
(a?1)
(0?a?1)
5.已知n?N
*
,
f(n)?n?0.9
n
比较 f
(n) 与 f (n+1) 大小,并求 f (n)的最大
值。
解
f(n?1)
?f(n)?(n?1)?0.9
n?1
?n?0.9
n
?0.9
n
(0.9n?0.9?n)?
9?n
?0.9
n
10
:
当1?n?9时,f(n?1)?f(n)
∵
0.9n
?0
∴
当n?9时,f(n?1)?f(n)即f(10)?f(9)
当n?9时,f(n?1)?f(n)
综上:f (0) < f (1) < ??< f
(9) = f (10) > f (11) > f(12) >??
∴ 当 n
= 9 或 n = 10时,f (n)最大,最大值为 f (9) = 9×0.9
9
6.已知
9
x
?4
y
?1
,求
3
x?1
?2
2y?1
的最大值。
1
x
1115
?3?(1?9
x
)??(3
x
?)
2
?
32239
15
∴当
3
x
?
即
x = ? 1时,
3
x?1
?2
2y?1
有最大值
39
11
7.画出函数
y?|()
|x|
?|
的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程
22
11
|()
|x|
?|?k
无解?有一解?有两解?
22
解:∵
3
x?1
?2
2y?1
?
1<
br>
2
1
解:当 k<0或k>时,无解。
2
1
当
k?
时,方程有唯一解 (x = 0) 。
2
当 k = 0时,方程有两解 (x =±1) 。
1
当
0?k?
时,方程有四个不同解。
2
作业:《课课练》P76—77
“例题推荐” 1、2 练习:4、5、6、7、8
第三十二教时
教材:单元复习之三——对数函数(《教学与测试》第32、33课)
目的:重点复习对数及对数函数的有关内容,通过复习期望学生对知识有更深的
理解
过程:
一、 复习:对数概念,对数运算,换底公式,对数函数的概念、图象、性质
二、 例一、已知过原点O的一条直线与函数
y?log
8
x
的图象
交于A、B两点,
过
A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,
若C
恰好在
y?log
2
x
函数的图象上,试求A、B、C三点的坐标。
解:设A(x
1 ,
log
8
x
1
) ,
B(x
2 ,
log
8
x
2
) , 则C(x
1
,
log
8
x
2
)
∵C在函数的图象上 ∴
log
8
x
2
?log
2
x
1
1
即:
log
2
x
2
?log
2
x
1
∴ x
2
= x
1
3
3
C B
A
E F
x
1
x
2
OEOF
3
3
?
又: 即: ∴
x
1
log
8
x
1
?
?x
1
log
8
x
1
EAFB
log
8
x
1
log
8
x
2
3
∴
3x
1
log
8
x
1
?x
1
log
8
x
1
由x
1
>1 , ∴log
8
x
1
?1
从而有:
3x
1
=x
1
3
∴
x
1
?3,x
2
?33
∴A、B、C
三点的坐标分别为:
A(3,log
8
3),B(33,log
8
3
3),C(3,log
2
3)
例二、求函数
y?log
a
(x?x
2
)
(a>0 , a?1)的定义域、值域、单调区间。
解:1.定义域:
x?x
2
?0
得:
0?x?1
111
2.∵
0?x?x
2
??(x?)
2
??
244
∴当0log
a
(x?x
2
)?log
a
1
?
log,??
?
a
?
4
?
1
函数的值域为
4
当a>1时,
log
a
(x?x
2
)?log
a
1
?
函数的值域为
?
?
??,
log
a
4
?
1
?
?
4
?
11
3.∵
x?x
2
?0
在区间内
u?x?x
2
在
(0,]
上递增,在
[,1)
上递减。
22
11
当0(0,]
上是减函数, 在
[,1)
是增函数。
22
11
当a>1时,
函数在
(0,]
上是增函数, 在
[,1)
是减函数。
22
例三、已知
f(x)?1?log
2
x
(1
≤
x
≤
4),求函数
g(x)?f
2
(x)?f(x
2
)
的
最大
值和最小值。
解:∵f
(x)的定义域为[1, 4] ∴g(x)的定义域为[1, 2]
∵
g(x)?f
2
(x)?f(x
2
)?(1?log
2
x)
2<
br>?(1?log
2
x
2
)?(log
2
x?2)2
?2
∵1
≤
x
≤
2
∴
0?log
2
x?1
∴当x = 1时, g
(x)
max
= 2 ;当x = 2时, g (x)
min
= 7
1
例四、对于任意的实数x,规定y取4?x,x+1,
(5?x)
三个值的
最小值。
2
1.求y与x的函数关系,并画出函数的图象。
2.x为何值时,y最大?最大值是多少?
解:1.易得A(1, 2)
B(3, 1)
∴y与x的函数关系是:
?
x?1x?1
?
1
y?
?
(5?x)1?x?3
?
2
x?3
?
4?x
2.由图:x = 1时,
y
max
= 2
A
B
例五、设函数
y?(2?x)(3?x)
的定义域为A,函
数
y?lg(k?2x?x
2
)
的
定义域为B,若A?B,求实数k
的取值范围。
解一:由(2+x)(3?x)
≥
0
得:?2
≤
x
≤
3
∴A={x|?2
≤
x
≤
3}
而B={x|k?2x?x
2
>0}
令
f(x)?k?2x?x
2
?
f(?2)?0
?<
br>k?2?(?2)?(?2)
2
?0
由A?B得:
?
?
?
?k?15
2
?
f(3)?0
?
k?2?3
?3?0
解二:∵A={x|?2
≤
x
≤
3}
B
={x|k?2x?x
2
>0}={x|
?1?1?k?x??1?1?k
}
由A?B知:
?1?1?k??2?3??1?1?k
得:k
>15
例六、已知函数
f(x)?log
a
(a?a
x
)
(a?1)
1? 求f (x)的定义域、值域。 2?
判断并证明其单调性。
解:1? ∵a>1, 由
a?a
x
得:x <
1 ∴f (x)的定义域为
(??,1)
由
lo
g
a
(a?a
x
)?log
a
a?1
知f
(x)的值域为
(??,1)
2?
当
x
1
?x
2
?1
时, 由a >1
知
a?a
x
?a?a
x
12
∴
log<
br>a
(a?a
x
)?log
a
(a?a
x
)<
br> 即
f(x
1
)?f(x
2
)
∴f
(x)为减函
数。
三、作业:《教学与测试》 P66、P68
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