高中数学各种题型的解题技巧

高中数学各种题型的解题技巧




高 中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨
论，却很容易被忽略。也就是在 转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出
现错误。数学大题表面上是很难，但是通过多年的教学积 累和经验总结，我们发
现数学整个学科的解题思维基本上趋于一致，能够形成通解，使我们在数学教学< br>上大幅的简化，甚至不需要刻意的思考。掌握数学解题思想是解答数学题时不可
缺少的一步，建议 同学们在做题型训练之前先了解数学解题思想，掌握解题技巧，
并将做过的题目加以划分，以便在高考前 一个月集中复习。
六种题型解题技巧
一、三角函数题
注意归一公式 、诱导公式的正确性（转化成同名同角三角函数时，套用归一
公式、诱导公式（奇变、偶不变；符号看象 限）时，很容易因为粗心，导致错误！
一着不慎，满盘皆输！）。
二、数列题
1、证明一个数列是等差（等比）数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，
谁为公差（公比）的等差（ 等比）数列；
2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子
时，一般考虑用放缩法；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法（用数
学归纳法时，当n=k+ 1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设
后，如何把当前的式子转化到目标式子，一 般进行适当的放缩，这一点是有难度
的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标 式子，下结
论时一定写上综上：由①②得证；
3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单（所以要有构造
函数的意识）。
三、立体几何题
1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单；
2、求异面 直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表
面积、体积等问题时，最好要建系；
3、注意向量所成的角的余弦值（范围）与所求角的余弦值（范围）的关系
（符号问题、钝 角、锐角问题）。

四、概率问题
1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数；
2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式；
3、记准均值、方差、标准差公式；
4、求概率时，正难则反（根据p1+p2+…+pn=1）；
5、注意计数时利用列举、树图等基本方法；
6、注意放回抽样，不放回抽样；
7、注意“零散的”的知识点（茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等）在
大题中的渗透；
8、注意条件概率公式；
9、注意平均分组、不完全平均分组问题。
五、圆锥曲线问题
1、注意求轨迹方程时，从三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法；
2、注意直线的设法（ 法1分有斜率，没斜率；法2设x=my+b（斜率不为零
时），知道弦中点时，往往用点差法）；注意 判别式；注意韦达定理；注意弦长公
式；注意自变量的取值范围等等；
3、战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。
六、导数、极值、最值、不等式恒成立（或逆用求参）问题
1、先求函数的定义域，正确求出导数 ，特别是复合函数的导数，单调区间
一般不能并，用“和”或“，”隔开（知函数求单调区间，不带等号 ；知单调性，
求参数范围，带等号）；
2、注意最后一问有应用前面结论的意识；
3、注意分论讨论的思想；
4、不等式问题有构造函数的意识；
5、恒成立问题（分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法）；
6、整体思路上保6分，争10分，想14分。
五种数学答题思路
在高考时很多同 学往往因为时间不够导致数学试卷不能写完，试卷得分不
高，掌握解题思想可以帮助同学们快速找到解

题思路，节约思考时间。以下总结高考数学五大解题思想，帮助同学们更好地提
分
一、函数与方程思想

函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量 关系，通过建
立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，
是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决
问题。同学们在解题时可 利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。
二、 数形结合思想
中学数学研究的 对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形
是有的，这个称之为数形结合或形数结合。它 既是寻找问题解决切入点的“法
宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时， 能画图
的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
三、特殊与一般的思想
用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立< br>时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的
正确选项。不仅如 此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用
四、极限思想解题步骤
极限思想解决问题的一般步骤为：一、对于所求的未知量，先设法构思一个
与它有关的变量；二、确认这 变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；三、
构造函数（数列）并利用极限计算法则得出结果或利用 图形的极限位置直接计算
结果
五、分类讨论思想
同学们在解题时常常会遇 到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一
的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的 对象包含了多种情况，这
就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论 。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定
理、公式的限 制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。建议同学
们在分类讨论解题时，要做到标准统一 ，不重不漏。
高考数学大题难题通解
暑假到来，这个时期，是属于我们潜心修炼“理科思维”的最佳时机。
近日得知，许多家长会将本 博内容打印下来供孩子学习，考虑到春节学生有
点属于自己的时间，又赶上高三第二轮复习，本人特意为 广大读者整理了一遍大
题难题的“题型通解”思维。主要是如何借助题目所给信息，利用知识点进行推< br>导。在下文中，详细介绍大题解题思维的步骤，同时结合高考真题，目的为让大
家学会思考。走进 数学的世界。
对于那些数学成绩不好的同学，这篇文章恰好是传授你怎样运用你的数学思
维的最佳途径。好好的读一读吧，会让你有所感悟的。我们说，一旦一个人会动

脑了，那 么创造力是无穷无尽的，希望你的数学早日开悟。
纵观近几年高考数学试题，可以看出试题加强了 对知识点灵活应用的考察。
这就对考生的思维能力要求大大加强。如何才能提升思维能力，很多考生便依 靠
题海战术，寄希望多做题来应对多变的考题，然而凭借题海战术的功底仍然难以
获得科学的思 维方式，以至收效甚微。最主要的原因就是解题思路随意造成的，
并非所谓“不够用功”等原因。由于思 维能力的原因，考生在解答高考题时形成
一定的障碍。主要表现在两个方面，一是无法找到解题的切入点 ，二是虽然找到
解题的突破口，但做这做着就走不下去了。如何解决这两大障碍呢？本章将介绍
行之有效的方法，使考生获得有益的启示。
寻找解题途径的基本方法——从求解（证）入手
遇到有一定难度的考题我们会发现出题者设置了种种障碍。从已知出发，岔
路众多，顺推下 去越做越复杂，难得到答案，如果从问题入手，寻找要想获得所
求，前提是什么？也就是必须要做什么， 需要知道什么？找到“需知”后，将“需
知”作为新的问题，直到与“已知“所能获得的“可知”相沟通 ，将问题解决。
事实上，在不等式证明中采用的“分析法”就是这种思维的充分体现，我们将这
种思维称为“逆向思维”——目标前提性思维。以下结合几例说明目标前提性思
维的运用。
二。完成解题过程的关键——数学式子变形
解答高考数学试题遇到的第二障碍就是数学式子变形。一


道数 学综合题，要想完成从已知到结论的过程，必须经过大量的数学式子变形，
而这些变形仅靠大量的做题过 程是无法真正完全掌握的，很多考生都有这样的经
历，在解一道复杂的考题时，做不下去了，而回过头来 再看一看答案，才恍然大
悟，解法这么简单，后悔莫及，埋怨自己怎么糊涂到没有把式子再这么变一下呢 ？
通过这三个例子可以看出数学式子变形在解题中的重要性。其实数学解题的
每一步推理 和运算，实质都是转换（变形）。但是，转换（变形）的目的是更好
更快的解题，所以变形的方向必定是 化繁为简，化抽象为具体，化未知为已知，
也就是创造条件向有利于解题的方向转化。还必须注意的是， 一切转换必须是等
价的，否则解答将出现错误。解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求
结论中架起的桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和
消除这些差异。寻找差 异是变形依赖的原则，变形中一些规律性的东西需要总结。
在后面的几章中我们列举的一些思维定势，就 是在数学思想指导下总结出来的。
在解答高考题中时刻都在进行数学变形由复杂到简单，这也就是转化， 数学式子

变形的思维方式：时刻关注所求与已知的差异。怎样在这个原则指导变形，列举
两例高考试题说明。