高中数学7大解题思路

高中数学的7大解题方法
想要提高数学成绩，不是多做题就可以了。创世教育认为，保 证做题量是学好数
学的必要条件，在做题的同时要保证做题的质量，善于分析，对题型进行深入思
考。我教过的学生很多，好学生和成绩不好的学生之间差别在于，好学生是很善
于总结与归纳的。总结 题型归纳方法是数学学习的更高境界，只有用数学的思想
武装自己，灵活运用各种解题方法，才能更有效 的学习数学。高中数学常用的无
非就是七种解题方法与四大思想，熟练掌握，成绩想不提高都难。这里创 世教育
先讲一讲方法：
第一大解题方法：配方法
配方法是对数学式子进行一种定向 变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方
找到已知和未知的联系，从而化繁为简．何时配方，需要我 们适当预测，并且合
理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方．有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方．它主要适用于：已 知
或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，
或者缺项的二 次曲线的平移变换等问题。
第二大解题方法：换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体 ，用一个变量去代替它，从而使问题得到
简化，这种方法叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和 设元，理论依据
是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从
而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法．通 过引进新的变量，可以把分散的条件联
系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者 变为熟悉的形
式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式 为有理式、化超越式为代数式，
在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是
在已知或者未知中， 某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，
当然有时候要通过变形才能发现，而变为熟 悉的一元二次不等式求解和指数方程
的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式 易求时，主要利用已知代数式中
与三角知识中有某点联系进行换元。问题变成了熟悉的求三角函数值域． 为什么
会此想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要.如变量
x,y。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新
变量范围的选取 ，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不
能扩大。

第三大解题方法：待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数， 然后根据所给条件来确定这些未
知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多 项式
或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列 出等式或方程．使用待定系数法，就
是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化 为方程组来
解决，要判阿断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是
否具 有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解
因式、拆分分式、数列求和、 求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这
些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定 系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
① 利用对应系数相等列方程；
② 由恒等的概念用数值代入法列方程；
③ 利用定义本身的属性列方程；
④ 利用几何条件列方程．
比如在求圆锥曲线的方程时，我们 可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的
形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方 程未知系数的方程或
方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
第四大解题方法：定义法
定义法，就是直 接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是
由定义和公理推演出来．定义是揭示概念 内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反
映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后 的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质
特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体 的高度抽象。用定义法解题，是最
直接的方法，本讲让我们回到定义中去。
第五大解题方法：参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目 研究的数学对象发生联系的
新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题．直线与 二
次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证．换元法也是引入参数的典型例子．
辨证唯物论 肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的
任务就是要揭示事物之间的内在联系 ，从而发现事物的变化规律．参数的作用就
是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系．参数 体现了近代数学中
运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已
经比较普遍．
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利
用参数提供的信息，顺利地解答问题．

第六大解题方法：归纳法
归纳是一种有 特殊事例导出一般原理的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不
完全归纳推理两种．不完全归纳推理只 根据一类事物中的部分对象具有的共同性
质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推 理论证中是不允
许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．
< br>数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学
题中有着广泛的应 用．它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题
时成立，这是递推的基础；第二步是假设在 n=k时命题成立，再证明n=k+1时命
题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确 性能否由特殊推广
到一般，实际上它使命题的正确性突破啊啊了有限，达到无限．这两个步骤密切
相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数 结论都正确”，
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数 学归纳法证明问题时，关键是n=k+1时命题成立的推证，此步证明啊啊要
具有目标意识，注意与最终 要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解
题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题 。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、
三角不等式 、数列问题、几何问题、整除性问题等等。



第七大解题方法：反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思
考问题的证明方 法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．法国数
学家阿达玛(Hadamard)对反证 法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其

结论，就会导致矛盾”．具体地讲，反 证法就是从否定命题的结论入手，并把对
命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使 之得到与已知条
件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假
设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明．
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛 盾律”和“排中律”．在同一思维过程
中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这 就是逻辑思维
中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，
这就是逻辑思维中的“排中律”．反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根
据“矛盾律”，这些矛盾 的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公
理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真 的，所以“否定的结论”必为
假．再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断 不能
同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真．所以反证法是以逻辑思维的
基本规律和 理论为依据的，反证法是可信的．
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”．即从 否定结论开
始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本
思想 就是“否定之否定”．应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出
矛盾 → 结论成立．实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“ 反设”进行推理，否则就不是反证法．用反
证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只 要将这种情况驳倒
了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须
将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使 用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器
之一”．一般来讲，反证法常用来证明的题型 有：命题的结论以“否定形式”、
“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定 结论更明
显．具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结
论入手 进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
上面刚讨论了课本知识点的掌握问题，现在我们说一下一些 需要悟出来的技巧的
掌握问题。假设某几天你无意中做了很多道涉及式子变形的题目，朦胧地悟出了式子变形的大概技巧，这就是一个你无意间初步掌握的知识点。但这个知识点的
彻底掌握需要你先找 大量式子变形的题目练习，再每隔几天安排一次复习。但刚
刚说了，你是无意间悟得的，马上你的时间又 会被老师布置的与此无关的作业所
淹没，所以一年半年以后再碰到稍有难度的涉及式子变形的题目，你多 半还是做
不出来。

说了这么多，其实就一句话:把你不会的知识点找出来，通 过针对性练习让你彻
底掌握，成绩自然提高。