如何提高高中数学的解题能力

如何提高高中数学的解题能力

数学家哈尔莫斯认为，“数学的真正的组成部分是问题和解，掌握数
学就是意味着善于解题”。 解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技
能的必要途径,也是检验知识、运用知识的基本形式。数学 学习的好与坏，
集中表现在解题能力上。有效地提高数学解题能力,有助于学生独立的有
创造性 的认识活动,也可以促进学生数学能力的发展。
但是学生的数学解题能力并非通过传授就可以完全获得 的，如何在课
堂教学中提高学生的解题能力呢？结合笔者多年的教学实践，可以从以下
几个方面 做起：
一、用好例题习题，培养学生应变能力。
课本的例题与习题是应用课本基础知识和基 本方法的典型示范，让学
生熟悉并掌握例题的解题模式、思路和步骤，从而实现解题的类化。纵观
近几年的高考试题，不难发现试题中有许多题是课本书中的题或是将课本
书上的题经过“改装”而得的 。为什么还是有许多考生在这些题上失分呢？
原因之一是学生平时做题一味求多，不求甚解，忽视了对自 己的解题能力
的提高。在教学中对例题的讲解采用“以一变应万变”的教学方法，具体
地说，就 是指在解一题后，恰当改换（变）一下题目的条件或结论，让学
生类比、比较后获得解题思路，从而起到 了“举一反三、触类旁通”的作
用，达到了培养应变能力的目的。如我在讲基本不等式的应用时讲了一道

习题：（已知
x?0,
当
x
取什么值时，
f (x)?x?
有最小值？最小值是多
少？）
讲完后，对上述习题进行变式：
变式1. 已知
f(x)?x?
1
(x?1)
，求
f(x)
的最小值；
x?1
1
x
x
2
?x?1
(x?0)
，求
f(x)
的最小值； 变式2.
f(x)?
x
变式3.
f(x)?
变式4.
f(x)?
x
(x?0)
，求
f(x)
的最大值；
2
x?x?1
x
2
?2
x?1
2
,求f(x)
的最小值.
由这些变式，可以培养学生的思维的灵活性，使学生掌握和理解构造 使用
基本不等式的条件和技巧。使学生的应变思维能力得到大大加强。
二、要充分展现解题的 思维分析过程，尤其是暴露思维受阻过程或失败的
探索过程，提高思考分析问题的有效性。
如我讲立体几何的一道复习题：
例2、如图，四棱锥
P
－
ABCD
中，
PA
⊥底面
ABCD
.四边形
ABCD
中，< br>AB
⊥
AD
，
AB
＋
AD
＝4，
C D
＝2，∠
CDA
＝45°.
(1)求证：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
(2)设
AB
＝
AP
.
(ⅰ)若直线
PB
与平面
PCD
所成的角为30°，求线段
AB
的长；
(ⅱ)在线 段
AD
上是否存在一个点
G
，使得点
G
到点
P、

B
、
C
、
D
的距离都相等？说明理由 ．
教师分析过程：
问题1：该题选用几何方法还是向量方法？为什么？（让学生进行探索）
让学生分组选一种方法，并让他们说说理由。
用几何法的同学发现：第(1)小题用几何法简 单，但是在第(2)小题遇到了
阻碍：(ⅰ)线面角用定义难找出来；转换成公式
sin30? ?
h1
?
（其中
h
是
PB2
点B到平面PCD的距 离）来求，而
h
由
V
P?BCD
?V
B?PCD
公式求得；但是因为
C点位置难定，P点的长度不定，两个三角形
?BCD,?PCD
的面积难求，这
个思路受阻；(ⅱ)“
G
到点
P
、
B、
C
、
D
的距离都相等”可转换成“P、B、
C、D四点共球” 问题上，这显然超出了高考考查的知识能力要求，这个思
路失败。
用向量法的同学发现：第（ 1）小题用向量法要求两个平面的法向量，太
多运算过程，浪费时间。第（2）(ⅰ)小题用向量法顺理 成章，思维没有
阻碍；第（2）(ⅱ)小题“
G
到点
P
、
B
、
C
、
D
的距离都相等”可转换成
“
GB?GP ?GC?GD
”，思路顺利；
通过讨论，学生统一了解题方向：第（1）小题用几何方法，第（2）小题
用向量方法。
问题2：在用向量法解决第（2）小题过程中，你遇到了什么样的困境？
学生继续解题，并让学生把关键步骤和数据说出来：（横线部分学生填空）
①怎么样确定关键点坐标C（ 0 ， 3-a ， 0 ），G（ 0 ， x ， 0 ）？
②GB=
x
2
?a
2
， GP=
x
2
?a
2
， GC=
(x?a?3)
2
?1
， GD=
(x?a?4)
2
。
③如何利用“GP= GB= GC= GD”这个条件来探究G点的存在性？
经过学生的尝试探索，他们反馈遇到的困境：
在“③如何利用“GP= GB= GC= G D”这个条件来探究G点的存在性？”这
里遇到思维阻碍有两个方面：一是解决存在性问题的通法（假设 G点存在
来解决）学生并不掌握；二是“GP= GB= GC= GD”这个等量关系该如何进

行转换，使其能体现到点G的存在。此时，要发挥教师的主导作用了：
第一步：
几何条件:GP= GB= GC= GD
?
代数条件:
x
2< br>?a
2
=
(x?a?3)
2
?1
=
(x?a ?4)
2
,实现几何到代数的
转化；
第二步：G点是否存在
?关于
x
方程
x
2
?a
2
=
(x?a? 3)
2
?1
=
(x?a?4)
2
是否有解；
第三 步：关于
x
方程
x
2
?a
2
=
(x?a? 3)
2
?1
=
(x?a?4)
2
怎么样解？
?
5?3a
?
x?
?
x?a?(x?a?3)?1
3? a
解不等式组
{
?
?
8?4a
x
2
?a
2
?(x?a?4)
2
?
x?
4?a
?
2 22
第四步：
G点存在
?
关于
x
方程
x
2
?a
2
=
(x?a?3)
2
?1
=
(x ?a?4)
2
有解
?
5?3a8?4a
?
有解，否则G点不存在
3?a4?a
5?3a8?4a
?(0?a?4)
有解
?a
2
?3a?4?0< br>有解；
3?a4?a
第五步：方程
而方程
a
2
?3 a?4?0
的判别式
??(?3)
2
?4?1?4??7?0
，显然 无解。
结论:方程
a
2
?3a?4?0
无解
?
5 ?3a8?4a
?(0?a?4)
无解
3?a4?a
?
关于
x
方程
x
2
?a
2
=
(x?a?3)
2
?1
=
(x?a?4)
2
无解
?
G点不存在 由上述例题的展示可见，在适当时机，故意暴露自己或学生在解题过程中
的思维受阻、失败的探索过 程，目的是想让多数同学有正确的思路和方法，
这样充分展示思维过程更容易让学生进行有效的思维，提 高解决数学问题
的能力。
三、解题过程中要凸现其中的 “数学思想方法”，使学生领悟课本的基
本技能，转换成自己的解题能力。

数学思想方法是一种数学意识，用以对数学问题的认识、处理和解
决．数学方法是数学思想的具体体现， 具有模式化与可操作性的特征，可
以作为解题的具体手段．只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和 解
决问题时得心应手 。
如上面出现的例2、由教师的分析后，学生写完后，可以总结 用到的数
学思想方法：（横线部分学生填空）
I、我们使用向量法解决几何问题，这个体现了 ：数形结合思想；沟通“数”
与“形”的工具是向量与坐标系；
II、我们把“G点是否存在”
?
“关于
x
方程
x
2
?a
2
=
(x?a?3)
2
?1
=
( x?a?4)
2
是否有解”
其中体现了转化思想；
III、我们把复杂抽 象的“G点是否存在”问题变成我们熟悉的“方程是否
有解”问题，其中体现了化归思想。
因 此，把数学中重要数学思想方法穿插在解题过程中，潜移默化，有
意识的培养学生思维的高度与广度，不 仅有事半功倍的效果，还可激发学
生的兴趣，增强他们对遇到困难问题时解决问题的能力和信心。
四、要重视重复做典型错题，以巩固他们的解题方法，形成解题规律，提
高解题的效率。 对于数学学科，做题是必须的。教师往往要指导学生做一定数量的
数学习题，以达到积累解题经验、 总结解题思路、形成解题规律、催生解
题灵感、掌握学习方法的目的。
平时教学中我主要是让 学生积累典型错题，并集中写在一个错题本上，把
自己的错解写在左边，正解用红笔写在右边。每周固定 安排一个时间进行

错题回顾。每次月考试前对复习过的章节出现的错题重新写一遍并归纳 反
思。
总之，学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，要在日常的教
学教学过 程中由此至终的坚持贯穿。只要坚持有目的、有计划地对学生进
行培养和训练，并贯彻“学生主体，教师 主导”的教学理念，学生的解题
能力一定会得到很好地发展和提高！